13.2 命题与证明 课件(共51张PPT)

(共51张PPT)
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
命题
互逆命题
定理与证明
三角形内角和定理推论 1，2
三角形内角和定理推论 3、4
知1－讲
知识点
命题
1
1.定义
对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题 .
知1－讲
特别解读：
(1)命题只是对事件进行判断，判断的结果可能是正确的，也可能是错误的；
(2)命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语；
(3)命题必须具有“判断”作用，要对事件作出肯定或
否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句 .
知1－讲
2. 命题的结构
命题由题设(条件)和结论两部分组成 . 题设(条件)是已知事项，结论是由已知事项推出的事项 .
知1－讲
特别提醒
◆命题常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件， “那么”引出的部分是结论 .
◆有些命题的条件和结论不明显，可将它经过适当变形，改写成 “如果……那么……”的形式 .
知1－讲
3. 命题的种类
(1)真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题 .
(2)假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题 .
知1－讲
4.反例
符合命题的条件，但不满足命题结论的例子称之为反例 .
知1－练
例1
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式并判断命题的真假 .
(1)互为补角的两个角相等；
(2)同角的余角相等 ；
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行.
知1－练
解题秘方：紧扣命题的结构形式进行改写 .
解：(1)如果两个角互为补角，那么这两个角相等 . 假
命题.
(2)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 . 真命题.
(3)如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 . 假命题.
知1－练
解法提醒
◆命题改写的原则：不改变命题的原意 .
◆命题改写的方法：
理清命题的题设与结论部分，改写命题时将题设放在“如果”后面，将结论放在 “那么”后面 . 说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可 . 这个反例必须符合命题的题设，但不满足命题的结论 . 而说明一个命题是真命题，则需要从已知出发，经过推理，最后得出正确结论.
知2－讲
知识点
互逆命题
2
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题
称为互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫
做原命题的逆命题 .
知2－讲
特别提醒：
(1)“题设、结论正好相反”是指：第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设 .
(2)“互逆命题”是说明两个命题之间的关系，两个命
题的地位可以互换，可以确定其中任何一个为原命题，另一
个为逆命题 .
知2－讲
(3) 写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，把题设和结论互换，并用通顺的语句将它们连接起来即可得到它的逆命题 .
(4)原命题的真假和其逆命题的真假没有必然联系，原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题；原命题是假命题，其逆命题也不一定是假命题 .
知2－讲
特别警示
判断一个命题是真命题，需要经过推理说明其正确性，而判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可 .
知2－练
判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)如果 a ＞ b，那么 a2 ＞ b2；
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
(4)如果 ab ＜ 0，那么 a ＞ 0， b ＜ 0.
例2
知2－练
解题秘方：紧扣互逆命题“题设、结论正好相反”这一特征改写命题 .
知2－练
解：(1)原命题是真命题 . 逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交 . 逆命题是真命题 .
(2)原命题是假命题 . 逆命题：如果 a2 ＞ b2，那么 a ＞ b. 逆命题是假命题 .
(3)原命题是真命题 . 逆命题：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数 . 逆命题是真命题 .
(4)原命题是假命题 . 逆命题：如果 a ＞ 0， b ＜ 0，那么 ab ＜ 0. 逆命题是真命题 .
知2－练
解法提醒
写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，然后将它的题设和结论交换位置就可得到这个命题的逆命题 . 判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了 .
知3－讲
知识点
定理与证明
3
1.定理 有些命题，是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据 . 这样的真命题叫做定理 .
知3－讲
2. 证明 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，
并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或
演绎法). 演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明 .
(1) 证明一个命题是真命题的依据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实(公理)、定理等 .
(2)证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可 .
知3－讲
特别解读
定义、命题、基本事实（公理）、定理之间的联系与区别：
联系：这四者都是命题 .
区别：定义、基本事实 (公理 )、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实 ( 公理 ) 是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据 .
知3－讲
3. 证明的一般步骤
(1)审题，分清命题的题设和结论；
(2)画图，结合图形写出已知和求证；
(3)分析因果关系，找出证明途径；
(4)有条理地写出证明过程 .
知3－练
填写下列证明过程中推理的依据 .
如图 13.2-1，已知 AC， BD 相交于点 O， DF 平分∠ CDO与 AC 相交于点 F， BE 平分∠ ABO 与 AC 相交于点 E，∠ A=∠ C. 求证：∠ 1= ∠ 2.
例3
解题秘方：根据推理过程一步一步写出推理的依据 .
知3－练
已知
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
已知
角平分线的定义
等量代换
知3－练
方法点拨
证明是从条件出发， 经过一步一 步推理，最后推出结论的过程 . 证明的每一步推理都要有依据，不能“想当然”，这些依据可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已学过的定理 . 在初学证明时要把依据写在每一步推理后面的括号里，如本例中的“已知”“等量代换”等 .
知4－讲
知识点
三角形内角和定理推论 1，2
4
1.推论 1 直角三角形的两锐角互余 .
几何语言： 在△ ABC 中，∵∠ C=90°，
∴∠ A+ ∠ B=90°.
知4－讲
2. 直角三角形的表示 直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt △ ABC.
注意：“Rt △”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“直角三角形的边”不能写成“Rt △的边”.
知4－讲
3. 推论 2 有两个角互余的三角形是直角三角形 .
几何语言： 在△ ABC 中，
∵∠ A+ ∠ B=90°，
∴∠ C=90°，即△ ABC 为直角三角形 .
知4－讲
特别解读
1. 直角三角形的性质和判定的理论依据是三角形的内角和定理 .
2.在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系，可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求解 .
知4－练
如图 13.2-2， AB ∥ CD，直线 EF 分别交 AB， CD于点 E， F，∠ BEF 的平分线与∠ DFE 的平分线相交于点 P，求证：△ EFP 是直角三角形 .
例4
知4－练
解题秘方：三角形中有两个角的和等于 90°(互余)就可说明该三角形为直角三角形 .
知4－练
知4－练
特别提醒
直角三角形的判定方法：
1. 证明三角形中有一个内角为 90°(或证明三角形的两条边互相垂直)；
2. 证明一个三角形中有两个内角互余；
3. 证明三角形中有一个内角与已知的直角相等 .
知4－练
如图 13.2-3，在△ ABC 中，∠ ACB=90°， ∠ ACD=∠ B，求证： CD ⊥ AB.
例5
知4－练
解题秘方：利用直角三角形的性质与判定推导出 CD， AB的夹角为直角 .
知4－练
证明： ∵∠ ACB=90°，∴∠ A+ ∠ B=90°.
∵∠ ACD= ∠ B，∴∠ A+ ∠ ACD=90°.
∴∠ CDA=90°. ∴ CD ⊥ AB.
知4－练
教你一招
证明两条直线垂直的方法：
1.定义法：推导相交的两直线的夹角中有一个角为直角 .
2.证明直角三角形法：
在三角形中，推导出两个角的和为 90° ，从而得此三角形为直角三角形 .
知5－讲
知识点
三角形内角和定理推论 3、4
5
1.定义 由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角 .
知5－讲
特别解读
1. 位置： 在三角形的外部 .
2. 与相邻内角互为邻补角 .
3. 三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角．
4. 三角形的外角和等于360° .
知5－讲
2. 推论 3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 .
常见应用： (1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个内角；
(2)证明一个角等于另两个角的和或差；
(3)作为中间关系式证明两个角相等 .
3. 推论 4 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角 .
知5－练
如图 13.2-4， CE 是△ ABC 的外角∠ ACD 的平分线，且 CE 交 BA 的延长线于点 E．
例6
知5－练
解题秘方：(1)根据三角形外角性质求出∠ ACD，即可求出∠ ACE，求出∠ CAE，再根据三角形内角和定理求出∠ E；
知5－练
(1)若∠ B=30°，∠ ACB=40°，求∠ E 的度数；
解： ∵∠ ACB=40°，∴∠ ACD=180°－40°=140°.
∵ CE 是△ ABC 的外角∠ ACD 的平分线，
∴∠ ACE=70°.
∵∠ B=30°，∴∠ CAE= ∠ B+ ∠ ACB=70°.
∴∠ E=180°－70°－70°=40°.
知5－练
解题秘方：(2)紧扣“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”将∠ BAC 转化为∠ B 与∠ E 的关系，即可解决问题．
知5－练
(2)求证：∠ BAC= ∠ B+2 ∠ E．
证明： ∵ CE 平分∠ ACD，∴∠ ACE= ∠ DCE.
∵∠ DCE= ∠ B+ ∠ E，∴∠ ACE= ∠ B+ ∠ E.
∵∠ BAC= ∠ ACE+ ∠ E，
∴∠ BAC= ∠ B+ ∠ E+ ∠ E= ∠ B+2 ∠ E.
知5－练
解法提醒
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，拓展了求角的问题的研究方向 . 在求三角形的某一个角的度数或某些角的关系时，可以由三角形的内部到外部寻找合适的突破点 . 内部利用三角形的内角和定理，而涉及外角时往往利用三角形的外角的性质 .
知5－练
如图13.2-5，请确定∠ 1与∠ 2的大小关系，并说明理由.
例7
知5－练
解法提醒
“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”是证明有关角的不等关系的一种重要方法，它常常结合不等式的性质(如本例中不等式的传递性)来解决有关角的不等关系问题，用它可解决与三角形有关的角的大小问题 . 本题通过∠ 3把∠1和∠2联系在一起是解题的关键 .
知5－练
解题秘方：要判断∠ 1 与∠ 2 的大小关系，需找出一个角作为桥梁将这两个角联系起来，观察图 13.2-5 知∠ 3 能担当这种角色；用三角形外角的性质，先判断∠ 1 与∠ 3 的大小关系，再判断∠ 3 与∠ 2 的大小关系，然后判断∠ 1 与∠ 2 的大小关系 .
知5－练
解：∠ 1 ＞∠ 2.
理由如下：
∵∠ 1 是△ ABC 的一个外角，∴∠ 1 ＞∠ 3.
∵∠ 3 是△ FGC 的一个外角，∴∠ 3 ＞∠ 2.
∴∠ 1 ＞∠ 2.
命题与证明
真命题
定理
命题
证明
三角形内角和
定理的推论
演绎推理