12.2 一次函数 课件(共104张PPT)

(共104张PPT)
课时讲解
1
一次函数的定义
正比例函数的图象及性质
一次函数的图象
一次函数的性质
用待定系数法确定一次函数表达式
建立一次函数模型解实际应用题
一次函数与一元一次方程
一次函数与一元一次不等式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时流程
2
知1－讲
知识点
一次函数的定义
1
1. 定义 一般地，形如 y=kx+b( k， b 为常数，且 k ≠ 0)的函数叫做一次函数 .
其中，当 b=0 时，一次函数 y=kx+b 就成为 y=kx( k 为常数，且 k ≠ 0)，形如 y=kx( k 为常数，且 k ≠ 0)的函数叫做正比例函数 .
知1－讲
特别提醒
1.一次函数y=kx+b(k≠0) 的结构特征：
(1)k ≠ 0；
(2)自变量x的次数是1；
(3)常数项b可以是任意实数 .
2.函数是一次函数 函数关系式为y=kx+b(k，b是常数，k ≠ 0).
2.一次函数与正比例函数的关系
(1)正比例函数 y=kx ( k ≠ 0 )是一次函数 y=kx+b ( k ≠ 0 ) 中 b=0 的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数 .
(2)若已知 y 与 x 成正比例，则可设函数关系式为 y=kx ( k ≠ 0 ) ；若已知 y 是 x 的一次函数，则可设函数关系式为y=kx+b ( k，b是常数，k ≠ 0 ) .
知1－讲
知1－练
例1
知1－练
解： (1)因为 x 的次数是 2，
所以 y= － 2x2 不是一次函数 .
解题秘方：紧扣一次函数和正比例函数的结构特征进行识别 .
知1－练
(3)因为 y=3x2－x(3x－2)=2x， k=2， b=0，
所以它是一次函数，也是正比例函数 .
知1－练
(4)因为 x 的次数是 2，
所以 y=1－x2 不是一次函数 .
知1－练
技巧点拨
判断函数是否为一次函 数的方法：
先看函数表达式是否是整式的形式，再将函数表达式进行恒等变形， 然后看它是否符合一 次函数表达式y=kx+b 的结构特征：
(1) k ≠ 0； (2) 自变量 x 的次数为 1；
(3) 常数项 b 可以为任意实数 .
知1－练
已知 y=( m+1) x2－|m|+n+4.
例2
解题秘方：紧扣一次函数和正比例函数的定义进行求解 .
知1－练
解：由题意知 2－| m|=1， m+1 ≠ 0，解得 m=1.
故当 m=1， n 为任意实数时， y 是 x 的一次函数，函数表达式为 y=2x+n+4.
(1)当 m， n 为何值时， y 是 x 的一次函数？并写出函数表达式；
知1－练
解：由题意知 2－| m|=1， m+1 ≠ 0， n+4=0，
解得 m=1， n=－4.
故当 m=1， n=－4 时， y 是 x 的正比例函数，函数表达式为 y=2x.
(2)当 m， n 为何值时， y 是 x 的正比例函数？并写出函数表达式 .
知1－练
特别提醒
根据一次函数定义求待定字母的值时，要注意：
1. 函数表达式是自变量的 一次式，若含有一次以上的项， 则其系数必为 0；
2. 注意隐含条件：一次项的系数不为 0.
知2－讲
知识点
正比例函数的图象及性质
2
正比例函数 y=kx( k ≠ 0) 的图象及性质如下表
知2－讲
k>0 k<0
图象
图象形状 过原点，从左向右是上升的直线(↗) 过原点，从左向右是下降的直线(↘)
经过的象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小
知2－讲
特别提醒
对于正比例函数y=kx(k≠0)，k的符号、图象所经过的象限、函数的增减性这三者，知其一则可知余下的其二，即
知2－练
在同一直角坐标系中，画出函数 y=5x， y=x 的图象．
例3
解题秘方：按“两点法：(0，0)和(1， k)”作图 .
知2－练
解：列表：
描点、连线，如图 12.2-1 所示 .
x 0 1
y=5x 0 5
y=x 0 1
知2－练
解法提醒
1.画正比例函数图象时，要视具体情况尽量选取“整数点”，不一定必须选取点(1，k).
2. 一般情况下，画正比例函数图象时要体现直线是向两方无限延伸的，不要画成线段或射线，若自变量有范围限制，则要依据端点情况进行适当调整 .
知2－练
例4
[ 中考·珠海 ]已知函数 y=3x 的图象经过点 A(－1，y1)，点 B(－2， y2)，则 y1_______y2(填“>”“<”或“=” ) .
知2－练
解： 方法一：把点 A、点 B 的坐标分别代入 y=3x，
当 x=－1 时，y1=3×( －1) =－3；
当 x=－2 时，y2=3×( －2) =－6.
因为－3>－6，所以y1>y2.
方法二：画出正比例函数 y=3x 的图象，
在函数图象上标出点 A、点 B，如图 12.2 － 2，
因为y1 在 y2 的上方，所以y1>y2.
知2－练
答案：＞
方法三：根据正比例函数的增减性比较函数值的大小 . 根据正比例函数的性质，当k>0时， y随x的增大而增大，因为－1>－2，所以y1>y2.
知2－练
方法点拨
正比例函数中比较函数值大小的方法：
方法一： 求值比较法；
方法二：数形结合思想，用“形”上的点的位置来比较“数”的大小；
方法三：利用函数的增减性来比较大小 .
知3－讲
知识点
一次函数的图象
3
1. 一次函数的图象
一次函数 y=kx+b ( k， b 是常数， k ≠ 0 )的图象是一条直线，我们称它为直线 y=kx+b.
知3－讲
2. 一次函数的图象与正比例函数的图象的关系
一次函数 y=kx+b ( k ≠ 0 )的图象可以由直线 y=kx ( k ≠ 0 )沿y轴向上( b＞ 0 )或向下( b＜ 0 )平移｜ b｜个单位长度而得到 .
知3－讲
知3－讲
4. 截距
直线 y=kx+b 与 y 轴相交于点(0， b)， b 叫做直线 y=kx+b在 y 轴上的截距，简称截距，如图 12.2-3 所示 .
知3－讲
◆｜k｜的大小决定直线y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的倾斜程度：｜k｜越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；｜k｜越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓.
◆截距不是距离，不一定是非负数，也可以是负数 .
知3－练
例5
在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：
(1) y1=2x － 1； (2) y2=2x； (3) y3=2x+2.
然后观察图象，你能得到什么结论？
解题秘方：按“两点法”的作图步骤作图 .
知3－练
解法提醒
画一次函数y=kx+b( k ≠ 0)的图象，若 b ≠ 0，通常选取该直线与 y 轴的交点(横坐标为 0 的点)和与 x轴的交点(纵坐标为 0的点)，由两点确定一条直线得一次函数的图象 .
知3－练
解： 列表如下：
描点、连线，即可得到它们的图象，
如图 12.2 － 4.
x 0
y1 －1 0
x 0 1
y2 0 2
x 0 －1
y3 2 0
知3－练
从图象中我们可以看出：它们是一组互相平行的直线，原因是这组函数的表达式中 k 的值都是 2.
结论：一次函数中的 k 值相等( b 值不相等)时，其图象是一组互相平行的直线 . 它们可以通过互相平移得到 .
知3－练
设直线 y=－2x+4 与 x 轴的交点为 A，与 y 轴的交点为 B，画出函数图象并求 S 三角形 AOB.
例6
解题秘方：紧扣直线与两坐标轴的交点进行解答 .
知3－练
方法提醒
直角坐标系中图形面积的计算方法：
计算直角坐标系中图形面积的方法是先利用点的坐标求出线段的长，然后根据面积公式求图形的面积.
知3－练
知3－练
[ 模拟·陕西 ] 在平面直角坐标系中，将直线 l1： y= － 3x － 2 向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得到直线 l2，则直线 l2 的表达式为( )
A. y= － 3x － 9 B. y= － 3x － 2
C. y= － 3x+2 D. y= － 3x+9
例7
知3－练
答案：B
解题秘方：紧扣“平移规律：上加下减、左加右减”进行求解 .
解：先将直线 y = － 3x － 2 向 左平移 1 个单位得直线 y= － 3 ( x+1 ) － 2，即 y = － 3x － 5 ，
再将直线 y = － 3x － 5 向上平移 3 个单位，得直线
y = － 3x － 5+3，即 y = － 3x － 2 .
知3－练
详解
“左加右减(只改变 x )”即向左平移 1 个单位， 只需将 x 变成( x+1 ) ，其余都不变 .
详解
“上加下减(只改变 b)”即向上平移 3 个单位，只需将 b 加 3， 其余都不变 .
知3－练
注：上述两次平移可合写为： y=－3( x+1) －2+3，即 y=－3x－2.
特别警示：“上加下减(只改变 b)，左加右减(只改变x)”这种平移规律，是函数表达式的变化规律，不要将其与点的平移与坐标的变化规律相混淆，点的平移与坐标的变化规律是：上加下减，左减右加 .
知4－讲
知识点
一次函数的性质
4
一次函数 y=kx+b( k， b 是常数且 k ≠ 0)的性质和 k， b 的符号的关系
知4－讲
一次函数 y=kx+b（ k ≠ 0）
k， b 的符号 k>0 k<0
b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0
图象的 位置
增减性 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小
与 y 轴交点的位置 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点
知4－讲
特别提醒
1.由k，b的符号可以确定直线y=kx+b(k，b是常数，k≠0)所经过的象限；反之，由直线y=kx+b(k，b是常数，k≠0)所经过的象限也可以确定k，b 的符号 .
2.k 决定一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的增减性，b决定函数图象与y轴的交点位置 .
知4－练
例8
知4－练
答案：A
解题秘方：紧扣函数的增减性求解 .
知3－练
解法提醒
对于一次函数y=kx+b ( k ≠ 0 ) 来说：
k 的符号，函数图象的上升或下降趋势，函数的增减性这三者有如影随形的关系，知其一，便可知其他两种特性 . 即：
知3－练
例9
已知一次函数 y= ( 6+3m ) x+ ( m － 4 ) ， y 随 x 的增大而增大，函数的图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，求 m 的取值范围 .
知3－练
解题秘方：紧扣“k， b 的符号与函数的增减性及图象的位置的关系”解答 .
知3－练
详解
由y随x的增大而增大可得k>0，即6+3m>0.
由函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上可知b<0，即m－4<0.
注意：以上情况，反之亦成立 .
知5－讲
知识点
用待定系数法确定一次函数表达式
5
1. 定义
先设出待求的函数表达式，再根据条件确定表达式中未
知的系数，从而得出函数表达式的方法，叫做待定系数法 .
知5－讲
2. 一般步骤
(1)设： 设出含有待定系数的函数表达式；
(2)代： 把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程(组) ；
(3)解： 解方程(组) ，求出待定的系数；
(4)回代： 将求得的待定系数的值代回所设的表达式 .
知5－讲
特别提醒
1. 用待定系数法求函数表达式时，要先判断函数是哪一类函数，然后才能设出所求函数的表达式 .
2. 在正比例函数 y=kx 中，只有一个待定系数 k，只需 要一 个除( 0， 0 ) 外的条件即可求出 k 的值；在一次函数 y=kx+b 中，有两个待定系数 k， b，因而需要两个条件才能求出 k 和 b 的值 .
知5－讲
上面的步骤可表示如下：
知5－练
[ 中考·铜仁 ]在平面直角坐标系内有三点A (－ 1， 4 ) ，B (－ 3， 2 ) ， C ( 0， 6 ) .
例10
解题秘方：紧扣待定系数法求函数表达式的步骤求解 .
知5－练
(1)求过其中两点的直线的函数表达式(选一种情形作答) ；
知5－练
(2)判断 A， B， C 三点是否在同一直线上，并说明理由 .
解：当 x=0 时， y=0+5 ≠ 6，
所以点 C ( 0，6 )不在直线 AB 上，
即点 A， B， C 三点不在同一条直线上．
知5－练
知6－讲
知识点
建立一次函数模型解实际应用题
6
利用一次函数解决实际问题，关键是找到题目中的两个
变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题，常见类型如下：
知6－讲
(1)题目中已知一次函数的表达式，可直接运用一次函数的性质求解；
(2)题目中没有给出一次函数的表达式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的表达式，再利用一次函数的性质解决
实际问题 .
知6－讲
特别提醒
应用一次函数解决实际问题的关键是建立一次函数模型，同时注意实际问题中自变量的取值范围要使实际问题有意义 .
知6－练
世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)计量法，但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度(° F)计量法，两种计量法之间有如下的对应关系：
例11
摄氏温度 x/ ℃ 0 10 20 30 40 50
华氏温度 y/ F 32 50 68 86 104 122
知6－练
解题秘方：紧扣一次函数的性质及待定系数法求表达式的方法求解 .
知6－练
解法提醒
在利用一次函数解决实际问题时，要先判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，若是一次函数关系，再根据表格中提供的信息确定出函数表达式， 并解决问题 .
知6－练
解：观察表格中的对应数据的特征可知：摄氏温度每增加 10 ℃，华氏温度就增加 18 °F，因此猜想 y 与 x 之间是一次函数关系 .
(1)猜想 y 与 x 之间的函数关系；
知6－练
另解
先根据表中的数据特点建立适当的平面直角坐标系 .
如图 12.2- 6 所示，以 表中对应值为坐标的点分布在一条直线上，据此，可猜想 y 与 x 之间的函数关系为 一次函数关系 .
知6－练
(2)确定 y 与 x 之间的函数表达式，并加以检验；
知6－练
(3) 0 ° F 时的温度对应多少摄氏度？
知6－练
(4)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？如果没有相等的可能，请说明理由，如果有相等的可能，请写出此时的值 .
知6－练
在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数 s(次)是这个人年龄 n(岁)的一次函数 .
例12
解题秘方：紧扣用待定系数法求函数表达式及自变量值与函数值的关系求解 .
知6－练
(1)根据图 12.2﹣7 中所提供的信息，求在正常情况下，s 关于 n 的函数表达式 .
知6－练
知6－练
(2)若一位 63 岁的老人在跑步，医生在途中给他测得10 秒钟的心跳为 26 次，他此时是否有危险？为什么？
知6－练
解法提醒
1.根据图中的信息，利用待定系数法确定函数表达式，当已知自变量的取 值 时，利用 函数表达式便可求出相对应的函数值 .
2. 将实际问题抽象成数学问题， 用数学知识解决身边 的 实 际 问 题，体现了学以致用的理念 .
知6－练
在一条直线上依次有 A， B， C 三个海岛，某海巡船从 A 岛出发沿直线匀速经 B 岛驶向 C 岛，执行海巡任务，最终到达 C 岛，设该海巡船行驶 x(h)后，与 B 岛的距离为y( km)， y 与 x 的函数关系如图 12.2﹣8 所示 .
例13
知6－练
解题秘方：结合图象信息用待定系数法求函数关系式 .
知6－练
技巧点拨
对于有关一次函数图象的应用问题，信息量比较大，因此要从图象中提取出合理信息，过滤掉没用的信息，从中找到求关系式所用的条件，一般采用待定系数法求出一次函数关系式 .
知6－练
解：由图 12.2-8 可知， A， B 两岛间的距离为 25 km，B， C 两岛间的距离为 60 km，所以 A， C 两岛间的距离为25+60=85(km)， 海巡船的速度为 25÷0.5=50(km/h)，所以 a=85÷50 = 1.7.
(1) A， C 两岛间的距离为________ km， a= _______；
85
1.7
知6－练
(2)求 y 与 x 的函数关系式，并解释图中点 P 的坐标所表示的实际意义；
知6－练
知6－练
特别提醒
在不同自变量取值范围内求出函数关系式后，不要忘了综合在一起 .
知6－练
解：由 － 50x+25=15，解得 x=0.2.
由 50x － 25=15，解得 x=0.8. 0.8 － 0.2=0.6 ( h ).
所以该海巡船能接收到该信号的时间有 0.6 h.
(3)在 B 岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为 15 km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长 .
注意正确理解题意，所求时间应为(0.8－0.2)h，
而不是 0.8 h.
知7－讲
知识点
一次函数与一元一次方程
7
1. 一次函数 y=kx+b( k， b 为常数，且 k ≠ 0)与一元一次方程 kx+b=0(k，b 为常数，且 k ≠ 0)的关系
数： 函数 y=kx+b 中，函数值 y=0 时自变量 x 的值是方程kx+b=0 的解 .
形： 函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交点的横坐标是方程kx+b=0 的解 .
知7－讲
2. 一次函数图象法解一元一次方程的步骤
(1) 转化： 将一元一次方程转化为一次函数；
(2) 画图象： 画出一次函数的图象；
(3) 找交点： 找出一次函数图象与 x 轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解 .
知7－讲
特别提醒
◆求一次函数图象与x 轴交点的横坐标的实质就是解一元一 次方程； 也就是说，“ 数” 题可用“形”解，“形” 题也可用“数”解 .
◆对于一 次 函 数y=kx+b(k ≠ 0，k，b 为常数)，已知 x的值求 y 的值，或已知 y 的值求 x 的值时，就是把问题转化为关于 y 或 x的一元一次方程来求解 .
知7－练
利用函数图象解方程 2x－2=x+3.
例14
解题秘方：紧扣“一次函数图象法解一元一次方程的步骤” 求解 .
知7－练
利用函数图象解一元一次方程时，一般需将方程变形为 kx+b=0(k， b 为常数， 且k ≠ 0)的形式，然后令 y=kx+b 并 画 出其图象， 通过观察直线y=kx+b 与 x 轴 的交点的 横坐标 确 定方程的解，此种求解方法对作图的准确性要求较高 .
知7－练
解：由 2x－2=x+3 得 x－5=0，
令 y=x－5，画出函数 y=x－5 的图象，
如图 12.2-9 所示，
由图 12.2-9 可知，直线 y=x－5 与
x 轴的交点坐标为(5，0)，所以 x=5.
知7－练
例15
知7－练
解题秘方：紧扣“一元一次方程和一次函数间的关系”求解 .
知7－练
知7－练
知7－练
解法提醒
1. 一次函数的图象与坐标轴交点的坐标求法：令 y=0，解 方 程即得与 x轴的交点的横坐标；令 x=0，解方程即得与 y 轴的交点的纵坐标 .
2. 同一坐标轴上两点间的距离即是横坐标或者纵坐标差的绝对值 .
知8－讲
知识点
一次函数与一元一次不等式
8
1. 一次函数 y=kx+b(k， b 为常数，且 k ≠ 0)与一元一次不等式 kx+b ＞ 0(或 kx+b ＜ 0)( k， b 为常数，且 k ≠ 0)的关系
知8－讲
数： 函数 y=kx+b 中，函数值 y ＞ 0 时自变量 x 的取值范围是不等式 kx+b ＞ 0 的解集；函数值 y ＜ 0 时自变量 x 的取值范围是不等式 kx+b ＜ 0 的解集 .
形： 函数 y=kx+b 的图象中，位于 x 轴上方的部分对应的自变量 x 的取值范围是不等式 kx+b ＞ 0 的解集； 位于 x 轴下方的部分对应的自变量 x 的取值范围是不等式 kx+b ＜ 0的解集 .
知8－讲
2. 拓展
直线 y1=k1x+b1 与直线 y2=k2x+b2 的交点的横坐标即为方程 k1x+b1=k2x+b2 的 解； 不等式 k1x+b1 ＞ k2x+b2( 或 k1x+b1 ＜k2x+b2)的解集就是直线 y1=k1x+b1 在直线 y2=k2x+b2 上(或下)方部分对应的 x 的取值范围 .
知8－讲
示例： 如图 12.2 - 11 所示， 方程k1x+b1=k2x+b2 的解为 x=a； 不等式 k1x+b1 ＞ k2x+b2 的解集为 x ＞ a；不等式 k1x+b1 ＜ k2x+b2 的解集为 x ＜ a.
知8－讲
特别提醒
利用图象法解一元一次不等式的一般步骤：
1. 将不等式转化为ax+b ＞ 0 或 ax+b ＜0(a ≠ 0)的形式；
2. 画出函数 y=ax+b( a ≠ 0) 的图象并确定函数图象与 x 轴的交点的横坐标；
3. 根据函数图象确定对应不等式的解集 .
知8－练
用画函数图象的方法解不等式 3x+2 ＞ 2x － 1.
例16
知8－练
解法提醒
将不等式转化为 ax+b ＞ 0(a ≠ 0) 的形式，画出函数y=ax+b(a ≠ 0) 的图象，观察图象即可求出不等式的解集 .
知8－练
解题秘方：紧扣“用图象法解一元一次不等式的步骤” 求解 .
知8－练
方法点拨
一元一次不等式的图象解法就是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低，能直观地看到怎样用图象来表示不等式的解集，体现了数形结合和转化思想的应用 .
知8－练
解：方法一： 原不等式可化为 x+3 ＞ 0.
画出函数 y=x+3 的图象(如图 12.2-12 所示).
由图象可以看出，当 x ＞ － 3 时，
这条直线上的点在 x 轴上方，
即此时 y=x+3 ＞ 0.
所以不等式 3x+2 ＞ 2x － 1 的解集为 x ＞ － 3.
知8－练
方法二： 在同一坐标系中分别画出函数y=3x+2 与函数 y=2x － 1 的图象(如图 12.2-13所示)，可以看出，它们交点的横坐标为 － 3.
当 x ＞ － 3 时，对于同一个 x 的值，直线 y=3x+2 上的点在直线 y=2x － 1 上相应点的上方，这时 3x+2 ＞ 2x － 1, 即不等式的解集为x ＞ － 3.
一次函数
表达式
y=kx+b(k ≠ 0)
一次函数
图象及性质
与方程、不等
式的关系
y=kx(k ≠ 0)
待定系数法
求表达式
正比例函数