12.1 函数 课件(共51张PPT)
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文档简介
(共51张PPT)
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
常量与变量
函数
列表法和解析法
图象法
知1－讲
知识点
常量与变量
1
1.定义 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量 .
知1－讲
特别提醒
判断一个量是常量还是变量，应先看它是否在一个变化过程中，若在，则看它在这个变化过程中数值是否发生改变 .
说明： (1) “常量”是已知数，是指在整个变化
过程中保持不变的量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母 . 如在匀速运动中的速度 v 就是一个常量 .
(2)变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量 . 如在 s=vt 中，当 s 一定时， v， t 为变量， s 为常量；当 t 一定时， s， v 为变量， t 为常量 .
知1－讲
2. 判断一个量是常量还是变量的方法
看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变(或者说是否会取不同的数值) ，若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则此量是变量 .
知1－讲
注意： (1)常量与变量只与在某一个变化过程中的数值是否发生改变有关.
(2)变量、常量与字母的指数没有关系，如 y=100 － 2x2 中，x， y 是变量，而不能说 x2 是变量 .
知1－讲
知1－练
例1
知1－练
解题秘方：紧扣“常量与变量”的定义进行辨识 .
知1－练
特别警示
常量与变量是以某一变化过程中该量的值是否发生改变，即该量是否会取不同的数值作为识别标准的 . 不要误认为常量必须为具体的数，表示不变量的字母，也可以作为常量 .
知2－讲
知识点
函数
2
函数的定义
一般地，设在一个变化过程中有两个变量 x， y，如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量， y 是 x 的函数 .
知2－讲
特别提醒
函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同值，y的值可以相同，如：函数y=x2，当x=1和x=－1时，y的对应值都是 1.
知2－讲
说明：
(1)在函数中定义的两个变量 x， y 是有主次之分的，
变量 x 的变化是主动的，称之为自变量，而变量 y 是随 x 的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数) ；
(2)函数不是数，函数的实质是两个变量的对应关系 .
知2－讲
2. 判断一个关系是否是函数关系的方法
一看是否在一个变化过程中；
二看是否存在两个变量；
三看对于变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应 . 以上三者(简称“三要素” )缺一不可 .
知2－讲
3. 函数值
如果在自变量取值范围内给定一个数值 a，函数对应的值为 b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值 .
知2－讲
特别提醒
1. 函数与函数值的区别： 函数表示的是两个变量之间的一种对应关系， 而函数值是一个数值 .
2. 一个函数的函数值是 着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少时的函数值 .
知2－练
例2
判断下列各式中 y 是否是 x 的函数，并说明理由 . (1)y=± x； (2) y=x3； (3)2x2+y2=10； (4) y=|x|.
知1－练
解：(1) y 不是 x 的函数，因为 x 每取一个值时， y 有两个对应值，不满足唯一确定；
(2) y是x的函数，因为每一个x的值都有唯一的y值与之对应.
解题秘方：紧扣函数定义的特征进行解答 .
知1－练
(3) y 不是 x 的函数，例如当 x=1 时， y 有两个对应值，不满足唯一确定；
(4) y 是 x 的函数，因为每一个 x 的值都有唯一的 y 值与之对应 .
知2－练
判断两个变量是否具有函数关系，只需看它是否符合定义中的“三要素”即可，但要注意两点：
1.对于自变量 x 取不同的数值，与之对应的 y 的值不一定不同，只要有唯一值与之对应即可 .
2.不能只看是否有关系式存在，有些函数关系是没有关系式的(如心电图中的时间与生物电流的关系) .
知3－讲
知识点
列表法和解析法
3
列表法和解析法
知3－讲
表示方法 定义 优点 缺点
列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，由表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与它对应的函数值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自 变量与函数的变化规律
解析法 用数学式子表示函数关系的方法叫解析法 . 其中的等式叫做函数表达式 (或函数解析式 ) 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应的函数值时，往往要经过比较复杂的计算，而 且有些函数不能用解析法表示出来
知3－讲
2. 自变量的取值范围
(1) 定义： 使函数有意义的自变量取值的全体实数叫做自变量的取值范围 .
(2) 确定自变量取值范围的方法： 其一，要使函数关系式有意义 ；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义 .
注意： 自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独一个数 .
知3－讲
3. 求函数值及自变量值的方法
(1)当已知的是函数关系式时，求函数值的实质就是利用代入法求代数式的值；
(2)当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如 y=x2 － 1 中，当 y=0 时， x=±1.
知3－讲
特别提醒
对于实际问题中的函数关系，函数值与自变量的值都要使实际问题有意义 .
知3－练
例3
求下列函数中自变量x的取值范围.
(1) y＝3x＋7； (2) y＝ ；
(3) y＝ .
解题秘方：紧扣“确定自变量取值范围的方法”求解 .
知3－练
解法提醒
常见函数自变量的取值范围的确定
类型 取值范围
整式型 全体实数
分式型 使分母不为0的实数
偶次根式型 使根号下的式子的值大于或等于0的实数
零次型 使幂的底数不为0的实数
综合型 使各部分都有意义的实数的公共部分
知3－练
知3－练
已知函数 y=13 － 4x.
(1)当 x=3 时，对应的函数值是多少？
(2)当 x 为何值时，函数值为 2 ？
例4
知3－练
解法提醒
求函数值的一般步骤：
1. 明确自变量的取值；
2. 将自变量的取值代入函数表达式；
3. 按照函数表达式指明 的 运算顺序进行计算 .
知3－练
解题秘方：紧扣“求函数值及自变量值的方法”求解 .
知3－练
等腰三角形 ABC 的周长为 10 cm，底边 BC 的长为 y cm，腰 AB 的长为 x cm.
(1)写出 y 关于 x 的函数表达式；
(2)求 x 的取值范围 .
例5
知3－练
解题秘方： 紧扣“函数表达式的特点”结合几何相关性质求解 .
知3－练
方法点拨
1. 求几何问题的函数表达式，实质上是建立几何中两个变量之间的数量关系，要熟悉一些常用的几何关系式.如：圆的周长与半径的关系式，立方体的体积与棱长的关系式等 .
2. 确定自变量的取值范围时，一方面要考虑使函数表达式有意义，另一方面还要注意使几何问题有意义.
知3－练
解： (1)由题意可得 2x+y=10，
所以 y 关于 x 的函数表达式为 y=10－2x.
知3－练
知4－讲
知识点
图象法
4
1.定义 一般地，对于一个函数，如果把自变量 x 与函数 y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点， 这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．
知4－讲
特别提醒
1. 函数图象上的任意点P( x， y) 中的 x， y都满足函数表达式 .
2. 满足函数表达式 的任意一个有序实数对( x， y)所对应的点 一 定 在 函 数 的 图象上 .
3. 函数图象上的所有点的坐标满足函数表达式 . 它们是函数中的两个变量间的关系的两种不同(一种是 “形”，一种是“数” )的呈现方式 .
知4－讲
2. 函数图象的画法步骤
(1)列表： 列表给出自变量和函数的一些对应值 .
(2)描点： 以表中各组对应值为坐标 , 在坐标平面内描出相应的点 .
(3)连线： 按照自变量由小到大的顺序 , 把所描各点用平滑曲线依次连接起来 .
知4－讲
注意： (1)函数的图象是由一些点组成的 , 在描点的时候应尽可能地多选几个点，使图象更准确；
(2)在画图象时 , 应考虑自变量的取值范围 .
知4－讲
3.图象法
表示方法 定义 优点 缺点
图象法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应函数的准 确值
知4－练
例6
知4－练
解题秘方：紧扣“函数图象的画法步骤”进行作图，利用函数图象上的所有点的坐标满足函数表达式进行解答 .
知4－练
解：(1)列表：
描点、连线就得到函数
y=2x－1 的图象(如图 12.1-1).
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … －7 －5 －3 －1 1 3 5 …
知4－练
知4－练
作法提醒
1. 列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边取值 ，取值要有代表性，使画出的函数图象能反映出函数的全貌 .
2. 描点体现了“数”与 “形”的联系，是数形结合思想的体现，描点时要以表中每对对应值为坐标，点描得越多，图象就越精确.
3. 连线时要用平滑的曲线将所描的点依次连接 .
知4－练
一水箱中有水 500 L，现在往外放水 , 每分钟放水50 L，请用三种不同的方法表示水箱中剩余水量 y ( L )与放水时间 t ( min )之间的函数关系 .
例7
知4－练
解题秘方：紧扣“等量关系：剩余水量 = 原水量 －放出水量” 用三种方法表示函数关系 .
知4－练
解： (1)解析法：表达式为 y=500 － 50t(0 ≤ t ≤ 10).
(2)列表法：表格如下 .
t/min 0 1 2 3 4 … 7 8 9 10
y/L 500 450 400 350 300 … 150 100 50 0
知4－练
(3)图象法：图象如图 12.1-2 所示 .
知4－练
特别提醒
本题中纵轴和横轴表示的是不同意义的量，因此两轴可以取不同的单位长度 . 不论用哪种表示方法都要注意自变量的取值要符合实际意义 .
函数
列表法
画函
数图
象的
步骤
函数
常量
变量
自变量
因变量
解析法
图象法
函数值
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
常量与变量
函数
列表法和解析法
图象法
知1－讲
知识点
常量与变量
1
1.定义 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量 .
知1－讲
特别提醒
判断一个量是常量还是变量，应先看它是否在一个变化过程中，若在，则看它在这个变化过程中数值是否发生改变 .
说明： (1) “常量”是已知数，是指在整个变化
过程中保持不变的量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母 . 如在匀速运动中的速度 v 就是一个常量 .
(2)变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量 . 如在 s=vt 中，当 s 一定时， v， t 为变量， s 为常量；当 t 一定时， s， v 为变量， t 为常量 .
知1－讲
2. 判断一个量是常量还是变量的方法
看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变(或者说是否会取不同的数值) ，若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则此量是变量 .
知1－讲
注意： (1)常量与变量只与在某一个变化过程中的数值是否发生改变有关.
(2)变量、常量与字母的指数没有关系，如 y=100 － 2x2 中，x， y 是变量，而不能说 x2 是变量 .
知1－讲
知1－练
例1
知1－练
解题秘方：紧扣“常量与变量”的定义进行辨识 .
知1－练
特别警示
常量与变量是以某一变化过程中该量的值是否发生改变，即该量是否会取不同的数值作为识别标准的 . 不要误认为常量必须为具体的数，表示不变量的字母，也可以作为常量 .
知2－讲
知识点
函数
2
函数的定义
一般地，设在一个变化过程中有两个变量 x， y，如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量， y 是 x 的函数 .
知2－讲
特别提醒
函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同值，y的值可以相同，如：函数y=x2，当x=1和x=－1时，y的对应值都是 1.
知2－讲
说明：
(1)在函数中定义的两个变量 x， y 是有主次之分的，
变量 x 的变化是主动的，称之为自变量，而变量 y 是随 x 的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数) ；
(2)函数不是数，函数的实质是两个变量的对应关系 .
知2－讲
2. 判断一个关系是否是函数关系的方法
一看是否在一个变化过程中；
二看是否存在两个变量；
三看对于变量每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应 . 以上三者(简称“三要素” )缺一不可 .
知2－讲
3. 函数值
如果在自变量取值范围内给定一个数值 a，函数对应的值为 b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值 .
知2－讲
特别提醒
1. 函数与函数值的区别： 函数表示的是两个变量之间的一种对应关系， 而函数值是一个数值 .
2. 一个函数的函数值是 着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少时的函数值 .
知2－练
例2
判断下列各式中 y 是否是 x 的函数，并说明理由 . (1)y=± x； (2) y=x3； (3)2x2+y2=10； (4) y=|x|.
知1－练
解：(1) y 不是 x 的函数，因为 x 每取一个值时， y 有两个对应值，不满足唯一确定；
(2) y是x的函数，因为每一个x的值都有唯一的y值与之对应.
解题秘方：紧扣函数定义的特征进行解答 .
知1－练
(3) y 不是 x 的函数，例如当 x=1 时， y 有两个对应值，不满足唯一确定；
(4) y 是 x 的函数，因为每一个 x 的值都有唯一的 y 值与之对应 .
知2－练
判断两个变量是否具有函数关系，只需看它是否符合定义中的“三要素”即可，但要注意两点：
1.对于自变量 x 取不同的数值，与之对应的 y 的值不一定不同，只要有唯一值与之对应即可 .
2.不能只看是否有关系式存在，有些函数关系是没有关系式的(如心电图中的时间与生物电流的关系) .
知3－讲
知识点
列表法和解析法
3
列表法和解析法
知3－讲
表示方法 定义 优点 缺点
列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，由表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与它对应的函数值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自 变量与函数的变化规律
解析法 用数学式子表示函数关系的方法叫解析法 . 其中的等式叫做函数表达式 (或函数解析式 ) 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应的函数值时，往往要经过比较复杂的计算，而 且有些函数不能用解析法表示出来
知3－讲
2. 自变量的取值范围
(1) 定义： 使函数有意义的自变量取值的全体实数叫做自变量的取值范围 .
(2) 确定自变量取值范围的方法： 其一，要使函数关系式有意义 ；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义 .
注意： 自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独一个数 .
知3－讲
3. 求函数值及自变量值的方法
(1)当已知的是函数关系式时，求函数值的实质就是利用代入法求代数式的值；
(2)当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如 y=x2 － 1 中，当 y=0 时， x=±1.
知3－讲
特别提醒
对于实际问题中的函数关系，函数值与自变量的值都要使实际问题有意义 .
知3－练
例3
求下列函数中自变量x的取值范围.
(1) y＝3x＋7； (2) y＝ ；
(3) y＝ .
解题秘方：紧扣“确定自变量取值范围的方法”求解 .
知3－练
解法提醒
常见函数自变量的取值范围的确定
类型 取值范围
整式型 全体实数
分式型 使分母不为0的实数
偶次根式型 使根号下的式子的值大于或等于0的实数
零次型 使幂的底数不为0的实数
综合型 使各部分都有意义的实数的公共部分
知3－练
知3－练
已知函数 y=13 － 4x.
(1)当 x=3 时，对应的函数值是多少？
(2)当 x 为何值时，函数值为 2 ？
例4
知3－练
解法提醒
求函数值的一般步骤：
1. 明确自变量的取值；
2. 将自变量的取值代入函数表达式；
3. 按照函数表达式指明 的 运算顺序进行计算 .
知3－练
解题秘方：紧扣“求函数值及自变量值的方法”求解 .
知3－练
等腰三角形 ABC 的周长为 10 cm，底边 BC 的长为 y cm，腰 AB 的长为 x cm.
(1)写出 y 关于 x 的函数表达式；
(2)求 x 的取值范围 .
例5
知3－练
解题秘方： 紧扣“函数表达式的特点”结合几何相关性质求解 .
知3－练
方法点拨
1. 求几何问题的函数表达式，实质上是建立几何中两个变量之间的数量关系，要熟悉一些常用的几何关系式.如：圆的周长与半径的关系式，立方体的体积与棱长的关系式等 .
2. 确定自变量的取值范围时，一方面要考虑使函数表达式有意义，另一方面还要注意使几何问题有意义.
知3－练
解： (1)由题意可得 2x+y=10，
所以 y 关于 x 的函数表达式为 y=10－2x.
知3－练
知4－讲
知识点
图象法
4
1.定义 一般地，对于一个函数，如果把自变量 x 与函数 y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点， 这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．
知4－讲
特别提醒
1. 函数图象上的任意点P( x， y) 中的 x， y都满足函数表达式 .
2. 满足函数表达式 的任意一个有序实数对( x， y)所对应的点 一 定 在 函 数 的 图象上 .
3. 函数图象上的所有点的坐标满足函数表达式 . 它们是函数中的两个变量间的关系的两种不同(一种是 “形”，一种是“数” )的呈现方式 .
知4－讲
2. 函数图象的画法步骤
(1)列表： 列表给出自变量和函数的一些对应值 .
(2)描点： 以表中各组对应值为坐标 , 在坐标平面内描出相应的点 .
(3)连线： 按照自变量由小到大的顺序 , 把所描各点用平滑曲线依次连接起来 .
知4－讲
注意： (1)函数的图象是由一些点组成的 , 在描点的时候应尽可能地多选几个点，使图象更准确；
(2)在画图象时 , 应考虑自变量的取值范围 .
知4－讲
3.图象法
表示方法 定义 优点 缺点
图象法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应函数的准 确值
知4－练
例6
知4－练
解题秘方：紧扣“函数图象的画法步骤”进行作图，利用函数图象上的所有点的坐标满足函数表达式进行解答 .
知4－练
解：(1)列表：
描点、连线就得到函数
y=2x－1 的图象(如图 12.1-1).
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … －7 －5 －3 －1 1 3 5 …
知4－练
知4－练
作法提醒
1. 列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边取值 ，取值要有代表性，使画出的函数图象能反映出函数的全貌 .
2. 描点体现了“数”与 “形”的联系，是数形结合思想的体现，描点时要以表中每对对应值为坐标，点描得越多，图象就越精确.
3. 连线时要用平滑的曲线将所描的点依次连接 .
知4－练
一水箱中有水 500 L，现在往外放水 , 每分钟放水50 L，请用三种不同的方法表示水箱中剩余水量 y ( L )与放水时间 t ( min )之间的函数关系 .
例7
知4－练
解题秘方：紧扣“等量关系：剩余水量 = 原水量 －放出水量” 用三种方法表示函数关系 .
知4－练
解： (1)解析法：表达式为 y=500 － 50t(0 ≤ t ≤ 10).
(2)列表法：表格如下 .
t/min 0 1 2 3 4 … 7 8 9 10
y/L 500 450 400 350 300 … 150 100 50 0
知4－练
(3)图象法：图象如图 12.1-2 所示 .
知4－练
特别提醒
本题中纵轴和横轴表示的是不同意义的量，因此两轴可以取不同的单位长度 . 不论用哪种表示方法都要注意自变量的取值要符合实际意义 .
函数
列表法
画函
数图
象的
步骤
函数
常量
变量
自变量
因变量
解析法
图象法
函数值