期末复习试题 2024-2025学年下期初中数学人教版八年级下册

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期末复习试题
2024-2025学年下期初中数学人教版八年级下册
一、单选题
1．下列四组数中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，6，7 C．7，24，25 D．9，12，15
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在中，，，的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，平行四边形中，，平分交边于点E，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．随的增大而增大
C．它的图象与轴交于点 D．它的图象经过第一、二、四象限
6．在一次体育测试中，某班40名学生的跳绳成绩（单位：次）如下表所示：
跳绳成绩
人数 5 10 15 10
则下列关于这40名学生跳绳成绩的统计量，说法正确的是（ ）
A．平均数一定是170 B．众数一定是170
C．中位数在范围内（含160，不含180） D．方差为0
7．如图，在边长为4的菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折得，与边交于点，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
8．对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，根据图象得到如下结论，其中结论错误的是（ ）
A．在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小
B．方程组的解为
C．方程的解为
D．当时，
10．如图①，四边形中，，，点从点出发，沿折线运动，到点时停止，已知的面积与点运动的路程的函数图象如图②所示，则点从开始到停止运动的总路程为（ ）
A．10 B． C．12 D．11
二、填空题
11．若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为 ．
12．如图，在菱形中，，，对角线与相交于点．将边沿方向平移到，连接．当点是的中点时，四边形的面积为 ．
13．某市教师招考的计分规则是：笔试成绩按照，面试成绩按照计入总分，小红的笔试成绩是85分，面试成绩是80分，则小红最后的得分是 分．
14．如图，把长方形沿直线向上折叠，使点C落在的位置上，已知，，则 ．
15．如图，在中，，，，M，E分别是边上两个动点，并满足，过点M作交于点F，点H在内，且，．点G在上运动，连接，，当的值最小时，的长为 ．
16．1.在平面直角坐标系中，直线l过原点且经过一、三象限，直线l与x轴所夹锐角的度数为．对于点P和x轴上的两点M，N，给出如下定义：记点P关于直线l的对称点为点Q，若点Q的纵坐标为正数，且是以°的等腰直角三角形，则称点P为M，N的点．
（1）如图，若点，，点P为M、N的点，连接，．则点的坐标为 ；
（2）已知，，若点为M，N的点，且点的横坐标为，则 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：
八（1）班方案：沿线段铺设2段水管；
八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管；
(1)求证：；
(2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？
19．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为．
(1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
20．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
(1)为证明上述定理，需先写出已知，求证，如下：
已知：如图，是的中位线．
求证：________，________．
（请你补充完整）
(2)请写出证明过程：
21．如图，在中，，垂足为F，，垂足为E，M为的中点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的大小．
22．为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，某校在课后延时服务期间开展了丰富多彩的选修课，艾老师为大家开展了《我是小小理财家》的选修课，在这节选修课后，同学们为了解全校2400名学生平均每天使用零花钱的情况，他们随机调查了部分学生平均每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次接受随机调查的学生有______人，图①中的值是______；
(2)本次调查获取样本数据的众数为______元，中位数为______元；
(3)根据样本数据，估计该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生人数．
23．某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元．设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？
(3)商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元出售，且限定商场最多购进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3120元，求a的值．
24．如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是．
(1)请求出点的坐标；
(2)已知点是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标；
(3)已知直线：恰好将平行四边形分成面积相等的两部分，求出与之间满足的关系式．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D C C D B D D
1．B
【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键．
【详解】解：解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意；
B、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意；
C、由可知，7，24，25不是勾股数，符合题意；
D、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】题目主要考查二次根式加减乘除运算，根据运算法则依次判断即可，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：A、不能合并，选项错误，不符合题意；
B、、不能合并，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、，选项错误，不符合题意．
故选：C．
3．B
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟记定理并应用是解题的关键．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理依次判断即可．
【详解】，
，
，
，
，
为直角三角形，故A选项不符合题意；
，，，
为不是直角三角形，故B选项符合题意；
，
设，，
，，
，
为直角三角形，故C选项不符合题意；
∴，
为直角三角形，故D选项不符合题意；
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，证明，得到是解题的关键．
先根据平行四边形的性质得到，进一步证明，得到，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
5．C
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，求一次函数值，一次函数图象经过的象限，根据解析式可得增减性和函数经过的象限，再求出当时和当时的函数值即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数解析式为，，
∴随的增大而减小，它的图象经过第二，三、四象限，故B、D结论错误；
当时，，当时，，
∴当时，，它的图象与轴交于点，故A结论错误，C结论正确；
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了平均数、众数、中位数、方差的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平均数、众数、中位数、方差的定义，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、平均数不一定是170，故此选项说法错误，不符合题意；
B、众数不一定是170，故此选项说法错误，不符合题意；
C、中位数在范围内（含160，不含180），故此选项说法正确，符合题意；
D、方差大于0，故此选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
7．D
【分析】此题考查了菱形的性质以及等腰直角三角形的性质，勾股定理解三角形等．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
根据题意可得为等腰直角三角形，，根据勾股定理求得 ，再由可得，再证明为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出．
【详解】解：∵在边长为4的菱形中，，为边上的高，
根据折叠易得：，，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∴， ，
即为等腰直角三角形，
∴，即：
∴
故选D．
8．B
【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可．
【详解】解：由题意得，
，
，
，
故选：B．
9．D
【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
【详解】A．由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故A结论正确，不合题意；
B．由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，所以方程组的解为，故B结论正确，不合题意；
C．由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为，所以方程的解为，故C结论正确，不合题意；
D．由函数图象可知， 当时，，故D结论错误，符合题意；
故选：D．
10．D
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，动点问题的函数图象、勾股定理，解本题的关键在理解题意，能从函数图象中找到准确的信息，利用数形结合思想进行解答．
过点C作于点E，根据函数图象，得出和三角形的面积，从而可以求得的长，再根据题意，得出四边形是矩形，得出、的长，再根据勾股定理，得出的长，进而求得点P从开始到停止运动的总路程．
【详解】解：如图，过点C作于点E，
由图②可知，点P从A到B运动的路程是3，即；当点P与点B重合时，的面积是，由B到C运动的路程为3，即，
∴，
解得：，
∵，，，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴点P从开始到停止运动的总路程为：．
故选：D．
11．
【分析】本题考查的是同类二次根式、最简二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义列出方程，解方程求出a，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
则，
，
故答案为：．
12．
【分析】由菱形的性质得，，，，再证明是等边三角形，得，则，进而由勾股定理得，然后证明四边形是平行四边形，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵将边沿方向平移到，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形的面积为 ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键．
13．82
【分析】本题考查了加权平均数，熟知加权平均数的计算公式，准确计算是解题的关键．
根据加权平均数定义求解即可．
【详解】解：，
故答案为：82．
14．
【分析】本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．先根据折叠的性质得到，再由得到，则，可判断；设，则，然后在中利用勾股定理得到，再解方程即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
是由折叠得到，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
即的长为，
．
故答案为：．
15．
【分析】如图，过点H作于点K，在的延长线上截取线段，使得，连接，过点J作于点T．证明，推出，再证明，，求出，再根据可得结论．
【详解】解：如图，过点H作于点K，在的延长线上截取线段，使得，连接，过点J作于点T．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
16． / /
【分析】本题主要考查了对称、一次函数点的坐标特征、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据题意过作轴于点，则根据等腰直角三角形的性质易求，，再根据，直线是一三象限的角平分线，且P和Q关于l对称，即可和是关于直线l的对称，由此得到P点坐标；
（2）由可知，进而求出，根据和，利用直角三角形性质求出，，进而求出长即可求出．
【详解】解：（1）过作于点，
∵Q是以的等腰直角三角形，
∴，
∵点，，
∴，，
∴，
∴，
过作轴于点，
∵，则直线是一三象限的角平分线，且点关于直线l的对称点为点，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）如图，设中点为点，则在直线上，设与交于点，直线与轴交于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴.
即，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）运用二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）运用乘法公式，二次根式的混合法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)证明见解析
(2)从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，求三角形高：
（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可证明结论；
（2）利用等面积法求出，进而求出两个方案中水管的长度即可得到结论．
【详解】（1）证明：由题意得，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴；
（2）解：从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴八（1）班方案中水管的长度小于八（2）班方案中水管的长度，
∴从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案．
19．(1)
(2)元
【分析】本题考查二次根式的应用；
（1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可；
（2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论．
【详解】（1）解：长方形的周长
答：长方形的周长是．
（2）铺地砖的面积
故购买地砖的花费为(元)
答：购买地砖需要花费元．
20．(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形的中位线定理的证明，掌握全等三角形的性质和判定以及平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（1）结合图形把命题的结论作为求证的内容即可；
（2）延长至F，使，连接，通过证明和证明四边形是平行四边形，即可证明三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．
【详解】（1）解：根据题目“三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半”，可知求证：，，
故答案为：，
（2）证明：延长至F，使，连接，
∵E是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴且．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据，，和是直角三角形，再根据为的中点，由直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出；
（2）根据，可得，，由，，由三角形内角和即可求得的度数．
【详解】（1）证明：，，
和均是直角三角形，
为的中点，
，，
；
（2）解：，
，，
，，
，，
，
的度数为．
22．(1)50，32
(2)10，15
(3)864人
【分析】本题主要考查了抽样调查．熟练掌握条形统计图和扇形统计图的互补性，中位数，众数，样本容量的定义和确定，用样本估计总体，是解题的关键．
（1）以5元组的4人占8%求出调查的总人数；（2）根据从小到大排列，第25个，第26个数落在15元组，得中位数为15元，10元组16人，人数最多，得众数为10元；（3）2400乘20元和30元总人数占比，即得．
【详解】（1）解：∵（人），，
∴本次接受随机调查的学生有50人，图①中的值是32．
故答案为：50，32．
（2）∵10元组16人，人数最多，
∴众数为10元，
∵4元的4人，10元的16人，15元的12人，且，，
∴从小到大排列，第25个，第26个数落在15元组，
∴中位数为15元．
故答案为：10，15．
（3）（人），
故该校平均每天使用零花钱的金额大于15元的学生约864人．
23．(1)
(2)2800元
(3)
【分析】（1）根据利润（售价进价）销售量进行求解即可；
（2）先根据最多投入8400元列出不等式求出，再由一次函数的性质求解即可；
（3）先仿照（1）求出，然后讨论的取值范围，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：由题意得，，
解得，
∵，
∴y随x增大而减小，
∴当时，y最大，最大为，
∴商场可获得的最大利润是2800元；
（3）解：由题意得，；
当，即时，y随x增大而减小，
∴当时能获得最大利润，
∴，
解得（舍去）；
当时，获得的利润为，不符合题意；
当时，则y随x增大而增大，
∴当时能获得最大利润，
∴，
解得；
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键．
24．(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）利用平行四边形的性质和平移的性质即可求解；
（2）设，分情况进行讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理求解即可；
（3）连接，交于，利用中点坐标公式求出中点，再利用待定系数法可表示出和的关系．
【详解】（1）解：点坐标是，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点坐标是，
∴；
（2）解：∵点是线段上一个动点，
∴设，
①当时，三角形是等腰三角形，根据勾股定理得，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
②当时，三角形是等腰三角形，
则点在的垂直平分线上，
∴，
③时，根据勾股定理得，
∴，
∴（不合题意舍去），（不合题意舍去），
综上所述，或；
（3）解：如图，连接，交于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点坐标是，点坐标是，
∴，
∵正好将平行四边形分成面积相等的两部分，
∴直线过，
∴
∴，
即与的函数关系式为．
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