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【决战期末·50道综合题专练】北师大版八年级下册期末数学试卷
1．我市校计划购买甲、乙两种树苗共200株来绿化校园，甲种树苗每株25元，乙种树苗每株30元，通过调查了解，甲乙两种树苗成活率分别是90%和95%．
（1）若购买这种树苗共用去5600元，则甲、乙两种树苗各购买了多少株？
（2）如果要求这200株树苗的成活率不低于93%，那么乙种树苗至少要购买多少株．
2．某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米．
（1）如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积．
（2）如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE.
4．为奖励成绩进步突出的学生，某班班委计划购买A，B，C三种奖品，已知买2个A种奖品和4个B种奖品共花100元；买3个A种奖品和2个B种奖品共花70元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）该班班委现有班费190元，他们想三种奖品均购买，且购买B种奖品不少于3个，C种奖品不超过2个，已知C种奖品每个30元，若要实现该班班委的全部想法，问他们最多能购买多少件A种奖品？
5．某市的一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍．
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若乙公司单独工作m天后，再由甲、乙两公司合做完成这项工程，还需要多少天？（不用写解题过程，用含m的代数式表示结果即可）
6．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ACFD是平行四边形．
7．如图，△ABC中，AB=AC=4，D、E分别为AB、AC的中点，连接CD，过E作EFDC交BC的延长线于F；
（1）求证：DE=CF；
（2）若∠B=60°，求EF的长.
8．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
（1）如图是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理
（2）如图，在中，，是边上的高，，，求的长度
（3）如图①，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．
9．如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）.
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1.
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2）；则点B的对应点坐标是
（3）将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°，直接写出点A对应点的坐标
（4）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为 .
10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上．
（1）请直接写出线段AB、AC的长度；
（2）连结BC，请判断△ABC的形状，并说明理由．
11．某文具店计划购进、两种笔记本，已知种笔记本的进价比种笔记本的进价每本便宜3元．现分别购进种笔记本150本，种笔记本300本，共计6300元．
（1）求、两种笔记本的进价；
（2）文具店第二次又购进、两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，、两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．两种笔记本按标价各卖出本以后，该店进行促销活动，剩余的种笔记本按标价的七折销售，剩余的种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出的最小值．
12．三角形 在平面直角坐标系 中的位置如图所示.
（1）写出三角形的顶点A，B两点的坐标；
（2）三角形 中任意一点 经平移后对应点为 将三角形 作同样的平移得到三角形 ，请画出三角形 ；
（3）求三角形 的面积.
13．解不等式（组）.
（1）解不等式：，
（2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上.
14．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，将线段向右平移4单位，向下平移1单位，平移后A对应D，B对应C，
（1）在如图直角坐标系中，画出这个四边形.
（2）写出点C、D的坐标，则C ，D .
（3）四边形的周长为 .
15．图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影.（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形）
（1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形.
（2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
16．某汽车销售公司经销某品牌A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年 5月份A 款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A 款汽车， 去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A 款汽车每辆售价多少万元
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B 款汽车，已知A款汽车每 辆进价为7.5万元，B 款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于102万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案 其中哪种进货方案所需资金最少
17．剪纸是我国古老的民间艺术之一．作为一种镂空艺术，剪纸能在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．某经销商在某网店选中A，B两种剪纸作品，决定从该网店进货并销售．两种剪纸作品的进货价和销售价如下表：
A种剪纸作品 B种剪纸作品
进货价（元/件） 30 40
销售价（元/件） 35 50
（1）该经销商用680元购进了A，B两种剪纸作品共20件，求两种剪纸作品各购进多少件．
（2）该经销商计划再次购进两种剪纸作品共33件，其中B种剪纸作品的进货量不超过A种剪纸作品进货量的2倍．该经销商应如何设计进货方案才能在两种剪纸作品全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？
18．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少．
，两种型号车的进货和销售价格如下表：
型车 型车
进货价格（元） 1100 1400
销售价格（元） 今年的销售价格 2000
（1）今年型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该车行计划新进一批型车和新款型车共80辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
19．近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着消费者前去体验．某露营地提供了、两种型号帐篷供游客租用．已知租用1顶型帐篷和2顶型帐篷一天的费用是190元；租用2顶型帐篷和1顶型帐篷一天的费用是140元．
（1）求租用每顶型帐篷和每顶型帐篷一天的费用；
（2）若某游学机构需要租用该景区、两种帐篷共30顶，租用型帐篷的数量不超过型帐篷数量的，为使租用帐篷的总费用最低，应租用多少顶型帐篷？租用帐篷一天的总费用最低为多少元？
20．如图，在中，点，在对角线上，．求证：
（1）；
（2）．
21．某报刊销售处从报社购进甲、乙两种报纸进行销售.已知从报社购进甲种报纸200份与乙种报纸300份共需360元，购进甲种报纸300份与乙种报纸200份共需340元.
（1）求购进甲、乙两种报纸的单价.
（2）已知销售处卖出甲、乙两种报纸的售价分别为每份1元、1.5元.销售处每天从报社购进甲、乙两种报纸共600份，若每天能全部销售完并且销售这两种报纸的总利润不低于300元，问：该销售处每天最多购进甲种报纸多少份
22．已知：如图，E、F是 ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：
（1）△ADF≌△CBE；
（2）EB∥DF．
23．如图所示，长方形纸片ABCD的长AD＝8cm，宽AB＝4cm，将其沿着折痕EF折叠，使点D与点B重合.
（1）求证：BE＝BF；
（2）求折叠后△BEF的面积.
24．如图所示，在矩形中，，是对角线，过顶点作的平行线与的延长线相交于点，求证：
（1）四边形是平行四边形
（2）．
25．图①是美丽的弦图，包含四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(实线)的周长为24，OC=3，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密拼接，记正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=16，则S2= ．
26．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.
（1）辨析：下列分式中， 是和谐分式 （填写序号即可）；
①；②；③；④.
（2）理解：若a为整数，且为和谐分式，请写出a的值；
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数？
27．在 中， ，点 ， 分别在 ， 上， ， 与 相交于点
（1）求证： ；
（2）求证： .
28．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式， ▲ ，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：⑴实际每天修建的长度比原计划多；
⑵原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
29．如图，在三角形中，，，沿方向平移至，若，．
（1）求的长；
（2）求四边形的周长．
30．观察下列等式：
， ， ．
将以上三个等式左、右两边分别相加得：
（1）若 为正整数，猜想并填空： ．
（2）计算 的结果为 ．
（3）解分式方程： ．
31．体育用品店准备从厂家购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元．
（1）若商店用5000元购进甲款篮球的数量是用2000元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？
（2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？
32．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
33．为了促进学生的体育锻炼，增强体质，某中学从去年开始，开展了“足球训练营”活动，学校在某体育用品店购买了A、B两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费3500元，B品牌共花费2000元，已知每个A品牌足球的销售单价比B品牌便宜10元，且购买A品牌足球的数量是B品牌数量的2倍.
（1）去年A，B品牌足球的销售单价各是多少元？
（2）由于今年参加“足球训练营”人数增加，需要从该店再购买A，B两种足球共37个，已知该店今年对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年提高了，B品牌比去年降低了，如果今年购买A，B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个A品牌足球？
34．某公司决定从厂家购买甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙两型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台．
（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台；
（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，有哪些购买方案？
35．如图，在△ABC中，点D在BC边上，EF∥AD，分别交AB、BC于点E、F，DG平分∠ADC，交AC于点G，∠1+∠2＝180°.
（1）求证：DG∥AB
（2）若∠B＝32°，求∠ADC的度数.
36．暑假临近，云云和南南约好去河南旅游，据悉，河南是一个有着悠久历史和丰富文化的省份，还有着许多美食和土特产：新郑大枣、道口烧鸡、灵宝苹果、信阳毛尖、铁棍山药等土特产都是河南的一张张名片．某土特产店销售着新郑大枣和信阳毛尖两种河南特产，若购买9盒信阳毛尖和6盒新郑大枣共需3900元；若购买5盒信阳毛尖和3盒新郑大枣共需2100元．
（1）求每盒信阳毛尖和新郑大枣各多少元？
（2）若某公司购买信阳毛尖和新郑大枣共计30盒，且信阳毛尖的数量至少比新郑大枣的数量多5盒，又不超过新郑大枣的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
37．如图， 是等边三角形，点 在 上，点 在 的延长线上，且 ．
（1）如图甲，若点 是 的中点，求证：
（2）如图乙，若点 不 的中点， 是否成立 证明你的结论．
（3）如图丙，若点 在线段 的延长线上，试判断 与 的大小关系，并说明理由．
38．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中.
（1）把进行平移，得到，使点A与对应，请在网格中画出；
（2）线段与线段的关系是： ；
（3）求出△ABC的面积.
39．解方程
（1）
（2）
40．随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.盐城高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图，小明先接温水后再接开水，接满的水杯，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题：
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度.生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度比较接近人体体温.
（1）若先接温水10秒，求再接开水的时间.
（2）设接温水的时间为x秒，接到水杯中水的温度为．
①若，求x的值；
②求y关于x的函数关系式，并写出达到最佳水温时x的取值范围．
41．已知 和 是互为邻补角， ，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注： ， ）．
（1）如图 ，使三角板的短直角边 与射线 重合，则 ．
（2）将三角板 如图 放置，长直角边 恰好平分 ，请说明 所在射线是 的平分线．
（3）将三角板 如图 放置，使 时，求 的度数．
（4）拓展：将图 中的三角板绕点O以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时， 恰好与直线 重合，求t的值．（注：“旋转一周”是指三角板 在这个平面内绕着这个平面内的点O转动一周．)
42．如图，在 中， ， 为角平分线.
图1 图2
（1）如图1，已知 ， .求 的面积；
（2）在（1）的条件下， 垂直平分线与 交于点 ，画图并求 的长.
（3）如图2，若 为等边三角形， ， 分别为边 ， 上的动点，且满足 .设 ， ， ，请用等式表示 ， ， 之间的数量关系，并说明理由.
43．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，OA＝12，OC＝9，连接AC．
（1）填空：点A的坐标： ；点B的坐标： ．
（2）若CD平分∠ACO，交x轴于D，求点D的坐标．
（3）在（2）的条件下，经过点D的直线交直线BC于E，当△CDE为以CD为底的等腰三角形时，求该直线的解析式．
44．如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着以每秒1个单位的速度向终点运动，点运动的时间为秒．
（1）的长为 ；
（2）连接，求当为何值时，；
（3）连接，求当为何值时，是直角三角形；
（4）直接写出当为何值时，是等腰三角形．
45．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800元
第二周 4台 10台 3100元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求、两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
46．如图，在四边形 中， 和 分别平分四边形的外角 和 ， 与 相交于点 ，若 ．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图1，若 ，试猜想 所满足的数量关系式，并说明理由．
（3）如图2，若 ，判断 的位置关系，并说明理由．
47．如图
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，
①请你猜想写出FE与FD之间的数量关系，不用说明理由；
②判断∠AFC与∠B的数量关系，请说明理由.
（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中其他条件不变，请问你在（1）中所得FE与FD之间的数量关系是否依然成立？请说明理由.
48．判定一个三角形是不是等腰三角形，我们经常利用以下的判定方法：“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，请你利用以上判定方法解决下列问题
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为β
（0°＜β＜180°），得到△A′B′C
（1）设A′B′与CB相交于点D，
①当旋转角为β=25°，∠B′DB= °；
（2）如图2，E是AC边上的点，且 ，P是A′B′边上的点，且∠A′PC=60°，连接EP、CP，已知AC=10，①当β= °时，EP长度最大，最大值为 ；
②当β= °时，△ECP的面积最大，最大值为 。
49．如图1所示，在 ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿射线AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s，同时，点Q从点C出发，沿射线CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止运动，如图2所示，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）当t为何值时，PQ∥MN？
（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得PQ=QM，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
50．我市某中学计划购进若干个排球和足球如果购买20个排球和15个足球，一共需要花费2050元；如果购买10个排球和20个足球，一共需要花费1900元
（1）求每个排球和每个足球的价格分别是多少元
（2）如果学校要购买排球和足球共50个，并且预算总费用不超过3210元，那么该学校至多能购买多少个足球
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【决战期末·50道综合题专练】北师大版八年级下册期末数学试卷
1．我市校计划购买甲、乙两种树苗共200株来绿化校园，甲种树苗每株25元，乙种树苗每株30元，通过调查了解，甲乙两种树苗成活率分别是90%和95%．
（1）若购买这种树苗共用去5600元，则甲、乙两种树苗各购买了多少株？
（2）如果要求这200株树苗的成活率不低于93%，那么乙种树苗至少要购买多少株．
【答案】（1）解：设购买甲种树苗x棵，乙种树苗y棵，
由已知得： ，
解得： ．
（2）解：设购买乙种树苗a株，则购买甲种树苗200﹣a株，
由已知可得： ×100%≥93%，
解得：a≥120．
【解析】【分析】（1）设购买甲种树苗x棵，乙种树苗y棵，结合两种树苗共买了200株和购买钱数=单价×数量，列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）设购买乙种树苗a株，则购买甲种树苗200﹣a株，根据成活率=成活的棵数÷总棵数列出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
2．某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米．
（1）如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积．
（2）如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长．
【答案】（1）平方米
（2）108米
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE.
【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE.
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出 ∠C＝∠ABC36°， 根据等腰三角形的三线合一得出 AD⊥BC， 故 ∠ADB＝90°， 从而根据直角三角形的两锐角互余算出∠BAD的度数；
（2）根据角平分线的定义得出 ∠ABE＝∠CBE，根据二直线平行内错角相等得出 ∠FEB＝∠CBE， 故 ∠FBE＝∠FEB， 根据等角对等边得出 FB＝FE.
4．为奖励成绩进步突出的学生，某班班委计划购买A，B，C三种奖品，已知买2个A种奖品和4个B种奖品共花100元；买3个A种奖品和2个B种奖品共花70元．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）该班班委现有班费190元，他们想三种奖品均购买，且购买B种奖品不少于3个，C种奖品不超过2个，已知C种奖品每个30元，若要实现该班班委的全部想法，问他们最多能购买多少件A种奖品？
【答案】（1）解：设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元，
则 ，
解得．
∴A奖品的单价为10元，B奖品的单价为20元．
（2）解：设最多能购买m件A奖品，
则，
解得．
∴最多能购买10件A奖品．
【解析】【分析】（1）设A奖品的单价为x元，B奖品的单价为y元，根据“ 已知买2个A种奖品和4个B种奖品共花100元；买3个A种奖品和2个B种奖品共花70元” 列出方程组并解之即可；
（2）设最多能购买m件A奖品，当B、C按最少买，则A购买就最多，根据：总费用不超过190元，列出不等式并求解即可.
5．某市的一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍．
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若乙公司单独工作m天后，再由甲、乙两公司合做完成这项工程，还需要多少天？（不用写解题过程，用含m的代数式表示结果即可）
【答案】（1）解：设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程1.5x天，
根据题意，得， ，
解得，x＝20，
经检验，x＝20是方程的解且符合题意，
∴乙公司单独完成需要的时间为1.5x＝30天．
答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天；
（2）解：设甲、乙两公司还需要合做y天完成这项工程，
根据题意，得， ，
解得，y= .
故甲、乙两公司还需要合做 天完成这项工程.
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再解方程并检验求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再计算求解即可。
6．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）连接AD，求证：四边形ACFD是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
（2）证明：由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，∠ACB＝∠F，
∴，
∴四边形ACFD是平行四边形．
【解析】【分析】（1） 由可得∠B＝∠DEF，由BE＝CF可得BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，可证△ABC≌△DEF（SAS） ；
（2） 由（1）得：△ABC≌△DEF，则AC＝DF，∠ACB＝∠F，，可证四边形ACFD是平行四边形。
7．如图，△ABC中，AB=AC=4，D、E分别为AB、AC的中点，连接CD，过E作EFDC交BC的延长线于F；
（1）求证：DE=CF；
（2）若∠B=60°，求EF的长.
【答案】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DEBC，即DECF，
又∵EFDC，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∴DE=CF；
（2）解：∵AB=AC=4，∠B=60°，
∴BC=AB=AC=4，
又∵D为AB中点，
∴CD⊥AB，
∴在Rt△BCD中，
BD=AB=2，
∴CD=，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴EF=CD=2.
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理得DE∥BC，结合EF∥DC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形CDEF为平行四边形， 进而根据平行四边形对边相等得出DE=CF；
（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC是等边三角形，进而根据等边三角形的三线合一可得CD⊥AB， BD=AB=2， 在Rt△BDC中，利用勾股定理算出CD，最后根据平行四边形对边相等得出答案.
8．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
（1）如图是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理
（2）如图，在中，，是边上的高，，，求的长度
（3）如图①，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．
【答案】（1）解：∵，，4个直角三角形的面积为：，
又∵，
∴，
即；
（2）解：由勾股定理得：，，，
∴，
∴，
∵，
又，
∴，
∵，
∴；
（3）解：根据（1）有：，，，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
即值为25．
【解析】【分析】（1）根据，可得，再化简可得；
（2）根据，，可得，再求出即可；
（3）先求出，，再求出，最后求出即可。
9．如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）.
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1.
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2）；则点B的对应点坐标是
（3）将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°，直接写出点A对应点的坐标
（4）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为 .
【答案】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）（-3，0）
（3）（2，3）
（4）（-1，-2）
【解析】【解答】解：（2）∵点A（-3，2）经过平移后得到点 A2 （-5，-2），
∴△ABC的平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，
∴点B（-1，4）向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度的对应点坐标为（-3，0），
故答案为：（-3，0）；
（3）解：如图所示， △A'B'C' 是△ABC绕原点O顺时针旋转90度后的图形，
∴点A对应点的坐标为（2，3）；
故答案为：（2，3）；
（4）解：如图所示， ， ， ， ，
∵旋转中心在线段 A1A2和线段 C1C2的垂直平分线上，
∴旋转中心的坐标为（-1，-2）.
故答案为：（-1，-2）.
【分析】（1）分别将OA、OB、OC以点O为旋转中心旋转180°得到OA1、OB1和OC1，然后将A1、B1和C1三点顺次连接起来即可；
（2）根据平移前后A点坐标的变化得到平移方式，依此作图即可；
（3）先根据要求画出 △ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的图形，则可得出点A对应点的坐标 ；
（4）先得出A1、A2、C1、C2的坐标 ，根据旋转中心必在对应点连线的垂直平分线上，连接A1A2， C1C2，即可得到旋转中心的坐标.
10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上．
（1）请直接写出线段AB、AC的长度；
（2）连结BC，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：由勾股定理可得AB＝ ，AC＝
（2）解：△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
由（1）可知 ， ，
又BC2＝32+12＝10，
∴AB2+BC2＝AC2．
∴△ABC是直角三角形．
又AB=BC= ，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）先利用勾股定理计算AB和AC的长，再利用勾股定理逆定理判断△ABC是直角三角形，结合AB=BC即可得到答案。
11．某文具店计划购进、两种笔记本，已知种笔记本的进价比种笔记本的进价每本便宜3元．现分别购进种笔记本150本，种笔记本300本，共计6300元．
（1）求、两种笔记本的进价；
（2）文具店第二次又购进、两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，、两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．两种笔记本按标价各卖出本以后，该店进行促销活动，剩余的种笔记本按标价的七折销售，剩余的种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出的最小值．
【答案】（1）种笔记本每本12元，种笔记本每本15元
（2）20
12．三角形 在平面直角坐标系 中的位置如图所示.
（1）写出三角形的顶点A，B两点的坐标；
（2）三角形 中任意一点 经平移后对应点为 将三角形 作同样的平移得到三角形 ，请画出三角形 ；
（3）求三角形 的面积.
【答案】（1）解： ，
（2）解：如图
（3）解：
【解析】【分析】（1）观察平面直角坐标系中的点A，B的位置，可得到点A，B的坐标.
（2）利用点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，由点P（a，b）经过平移后的对应点的坐标P1(a+5，b-4），可知是将△ABC向右平移5个单位，再向下平移4个单位，据此画出△A1B1C1即可.
（3）利用△A1B1C1的面积=正方形的面积减去三个三角形的面积，列式计算即可.
13．解不等式（组）.
（1）解不等式：，
（2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上.
【答案】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
未知数系数化为1得：；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
将不等式的解集表示在数轴上，如图所示：
【解析】【分析】（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解；
（2）首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分可得不等式组的解集，接下来根据解集的表示方法表示在数轴上即可.
14．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，将线段向右平移4单位，向下平移1单位，平移后A对应D，B对应C，
（1）在如图直角坐标系中，画出这个四边形.
（2）写出点C、D的坐标，则C ，D .
（3）四边形的周长为 .
【答案】（1）解：四边形如图所示，
；
（2）（2，-2）；（3，2）
（3）
【解析】【解答】（2）解：根据图像知，，
故答案为：，；
（3）解：，
∴四边形的周长为.
故答案为：.
【分析】（1）根据点A、B的坐标找出相应的位置，然后分别将点A、B先向右平移4单位，向下平移1单位得到点D、C，再顺次连接可得四边形ABCD；
（2）根据点C、D的位置可得相应的坐标；
（3）根据勾股定理求出AB、BC、CD、DA的值，然后根据周长的意义进行计算.
15．图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影.（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形）
（1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形.
（2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
【答案】（1）解：如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形.
（2）解：如图所示：既是轴对称图形，又是中心对称图形.
.
【解析】【分析】（1）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案；（2）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案.
16．某汽车销售公司经销某品牌A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年 5月份A 款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A 款汽车， 去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A 款汽车每辆售价多少万元
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B 款汽车，已知A款汽车每 辆进价为7.5万元，B 款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于102万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案 其中哪种进货方案所需资金最少
【答案】（1）今年5月份A款汽车每辆售价9万元
（2）所以有3种方案：方案一：A款汽车购进8辆；B款汽车购进7辆；方案二：A款汽车购进9辆；B款汽车购进6辆；方案三：A款汽车购进10辆；B款汽车购进5辆，方案一所需资金最小
17．剪纸是我国古老的民间艺术之一．作为一种镂空艺术，剪纸能在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．某经销商在某网店选中A，B两种剪纸作品，决定从该网店进货并销售．两种剪纸作品的进货价和销售价如下表：
A种剪纸作品 B种剪纸作品
进货价（元/件） 30 40
销售价（元/件） 35 50
（1）该经销商用680元购进了A，B两种剪纸作品共20件，求两种剪纸作品各购进多少件．
（2）该经销商计划再次购进两种剪纸作品共33件，其中B种剪纸作品的进货量不超过A种剪纸作品进货量的2倍．该经销商应如何设计进货方案才能在两种剪纸作品全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）A剪纸作品购进20个，B剪纸作品购进10个；
（2）按照A剪纸作品购进11个、B剪纸作品购进22个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是440元．
18．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少．
，两种型号车的进货和销售价格如下表：
型车 型车
进货价格（元） 1100 1400
销售价格（元） 今年的销售价格 2000
（1）今年型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该车行计划新进一批型车和新款型车共80辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
【答案】（1）今年型车每辆售价1600元；
（2）当新进型车27辆，型车53辆时，这批车获利最大
19．近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着消费者前去体验．某露营地提供了、两种型号帐篷供游客租用．已知租用1顶型帐篷和2顶型帐篷一天的费用是190元；租用2顶型帐篷和1顶型帐篷一天的费用是140元．
（1）求租用每顶型帐篷和每顶型帐篷一天的费用；
（2）若某游学机构需要租用该景区、两种帐篷共30顶，租用型帐篷的数量不超过型帐篷数量的，为使租用帐篷的总费用最低，应租用多少顶型帐篷？租用帐篷一天的总费用最低为多少元？
【答案】（1）租用每顶型帐篷需要30元，租用每顶型帐篷需要80元
（2）最省钱的租用方案是租用型帐篷10顶，则型帐篷20顶，此方案的总费用为1900元
20．如图，在中，点，在对角线上，．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，，
．
，，
．
．
．
（2）证明：由（1）得，
．
，，
．
．
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，，进而根据平行线的性质得到，再运用三角形全等的判定与性质证明，进而即可求解；
（2）根据三角形全等的性质即可得到，再结合题意根据平行线的判定即可求解。
21．某报刊销售处从报社购进甲、乙两种报纸进行销售.已知从报社购进甲种报纸200份与乙种报纸300份共需360元，购进甲种报纸300份与乙种报纸200份共需340元.
（1）求购进甲、乙两种报纸的单价.
（2）已知销售处卖出甲、乙两种报纸的售价分别为每份1元、1.5元.销售处每天从报社购进甲、乙两种报纸共600份，若每天能全部销售完并且销售这两种报纸的总利润不低于300元，问：该销售处每天最多购进甲种报纸多少份
【答案】（1）解：设购进甲、乙两种报纸的单价分别是x元、y元.
根据题意得 解得
∴购进甲、乙两种报纸的单价分别是0.6元，0.8元.
（2）解：设该销售处每天购进甲种报纸a份.
根据题意得(1-0.6)a＋(1.5-0.8)(600一a)≥300，
解得a≤400.
∴该销售处每天最多购进甲种报纸400份.
【解析】【分析】（1）抓住题中关键的已知条件：从报社购进甲种报纸200份与乙种报纸300份共需360元，购进甲种报纸300份与乙种报纸200份共需340元，隐含两个等量关系，再设未知数，列方程组，求出方程组的解即可。
（2）此题中等量关系为：销售处每天从报社购进甲、乙两种报纸共600份；不等关系为：若每天能全部销售完并且销售这两种报纸的总利润≥300，设未知数，列不等式，然后求出不等式的最大整数解即可。
22．已知：如图，E、F是 ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：
（1）△ADF≌△CBE；
（2）EB∥DF．
【答案】（1）解：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴EB∥DF．
【解析】【分析】（1）由AE＝CF以及线段的和差关系得AF＝CE，由平行四边形性质得AD＝BC，AD∥BC，根据平行线的性质可得∠DAF＝∠BCE，然后根据全等三角形的判定定理“SAS”进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AFD＝∠CEB，然后根据平行线的判定定理进行证明.
23．如图所示，长方形纸片ABCD的长AD＝8cm，宽AB＝4cm，将其沿着折痕EF折叠，使点D与点B重合.
（1）求证：BE＝BF；
（2）求折叠后△BEF的面积.
【答案】（1）证明：由折叠的性质得：∠BEF＝∠DEF，
∵AD BC，
∴∠BFE＝∠DEF，
∴∠BFE＝∠BEF，
∴BE＝BF；
（2）解：设AE＝x，则BE＝DE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2
解得，x＝3，
∴BE＝BF＝5，
∴△BEF的面积＝ ×BF×AB＝ ×5×4＝10.
【解析】【分析】(1)由折叠的性质得出 ∠BEF＝∠DEF， 再由平行线的性质得出 ∠BFE＝∠DEF， 则可求出 ∠BFE＝∠BEF， 进而根据等腰三角形的性质，即可得证；
(2) 设AE＝x，则BE＝DE＝8﹣x，在Rt△ABE中， 根据勾股定理建立方程求解，则可求出BF长，最后计算△BEF面积即可.
24．如图所示，在矩形中，，是对角线，过顶点作的平行线与的延长线相交于点，求证：
（1）四边形是平行四边形
（2）．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得BE∥CD，结合，根据平行四边形的定义即证结论；
（2）由平行四边形的性质可得BD=EC，由矩形的性质可得AC=BD，利用等量代换即得结论.
25．图①是美丽的弦图，包含四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(实线)的周长为24，OC=3，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密拼接，记正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=16，则S2= ．
【答案】（1）解：S小正方形=(a-b)2=a2-2ab+b2 ，S小正方形=c2 -4× ab=c2 -2ab，
∴ a2-2ab+b2=c2 -2ab．∴a2+b2=c2
（2）解：24÷4=6，
设AC=x，依题意有(x+3)2+3=(6-x)2 ，解得x=1，
∴该飞镖状图案的面积是 ×(3+1)×3×4=24．
（3）
【解析】【分析】（1）通过图中小正方形的面积证明勾股定理即可；
（2）设AC=x，依题意有(x+3)2+3=(6-x)2 ，解得x=1，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（3）根据图形的特征得出四边形，MNKT的面积为x，将其余八个全等的三角形面积一个是为y，从而用x、y表示出得出答案即可。
26．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.
（1）辨析：下列分式中， 是和谐分式 （填写序号即可）；
①；②；③；④.
（2）理解：若a为整数，且为和谐分式，请写出a的值；
（3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数？
【答案】（1）④
（2）解：∵为和谐分式，
∴能够因式分解，
∵a为整数，，，，
∴a＝ 4或4或5；
（3）解：原式
，
∵x≠ 2， 1，0，1，
∴当x＝ 3时，该分式的值为整数.
【解析】【解答】解：（1）∵①式的分子分母均不能因式分解，
∴①式不是“和谐分式”；
∵②的分母＝（t＋2b）（t 2b），但能够约分，
∴②式不是“和谐分式”；
∵③的分母＝（x＋y）（x y），能约分，
∴③不是“和谐分式”；
∵④的分子＝（m＋1）（m 1），不能约分，
∴④是“和谐分式”；
故答案为：④；
【分析】（1）直接根据“和谐分式”的概念进行判断；
（2）由题意可得y2+ay+4能够因式分解，而y2+4y+4=(y+2)2，y2-4y+4=(y-2)2，y2+5y+4=(y+1)(y+4)，据此可得a的值；
（3）对能分解的进行分解，然后将除法化为乘法，再约分，接下来根据同分母分式减法法则即可对原式进行化简，然后结合分式的值为整数就可求出x的值.
27．在 中， ，点 ， 分别在 ， 上， ， 与 相交于点
（1）求证： ；
（2）求证： .
【答案】（1）证明：在 和 中，
，
（2）证明： ，
，
，
，
，
.
【解析】【分析】（1）根据AE＝AF，∠A＝∠A，AB＝AC即可证明三角形全等；
（2）根据（1）中的全等可得：∠ABF＝∠ACE，再根据等边对等角，即可得出∠PBC＝∠PCB，进而得证.
28．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式， ▲ ，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”
条件：⑴实际每天修建的长度比原计划多；
⑵原计划每天修建的长度比实际少75米．
在上述的2个条件中选择1个（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．
【答案】解：选①
设原计划每天修建下水管道的长度为米
经检验：是所列方程的解
答：原计划每天修建下水管道的长度为300米．
【解析】【分析】选①，设原计划每天修建下水管道的长度为米，则实际每天修建下水管道的长度为（1+25%）x米，根据：原计划的天数比实际多用2天，列出方程并解之即可.
29．如图，在三角形中，，，沿方向平移至，若，．
（1）求的长；
（2）求四边形的周长．
【答案】（1）解：∵ABC沿AB方向向右平移得到DEF，
∴AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，
∵AE＝8cm，DB＝2cm，
∴AD＝BE＝CF＝＝3cm，
即；
（2）解：由平移的特征及（1）得
，．
∵，，
∴四边形的周长．
【解析】【分析】（1）由平移的性质可得AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，据此即可求解；
（2）根据四边形AEFC的周长=AE+EF+CF+AC即可求解.
30．观察下列等式：
， ， ．
将以上三个等式左、右两边分别相加得：
（1）若 为正整数，猜想并填空： ．
（2）计算 的结果为 ．
（3）解分式方程： ．
【答案】（1）
（2）
（3）原方程变形为： ，
∴ ，
去分母，得： ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解．
【解析】【解答】（1）∵ ， ， ，
∴当 为正整数时， ．
故答案为： ．
（2）
．
故答案为： ．
【分析】（1）观察已知等式，可知等式的左边的分子为1，分母为两个连续的正整数，等式的右边等于较小的正整数的倒数减去较大的正整数的倒数，根据此规律可得到的结果.
（2）利用（1）中的规律，将已知式子转化为分数之和，然后求出结果.
（3）利用（1）的规律，将方程的右边进行转化，可得到方程 ， 然后解分式方程求出x的值.
31．体育用品店准备从厂家购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元．
（1）若商店用5000元购进甲款篮球的数量是用2000元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？
（2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？
【答案】（1）每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元；
（2）购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大
32．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
【答案】（1）x≥-1
（2）x≤3
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）-1≤x≤3
【解析】【解答】（1）解：解不等式①，得x≥-1；
故答案为：x≥-1；
（2）解：解不等式②，得x≤3；
故答案为：x≤3；
（4）解：原不等式组的解集为-1≤x≤3．
故答案为：-1≤x≤3．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可。
33．为了促进学生的体育锻炼，增强体质，某中学从去年开始，开展了“足球训练营”活动，学校在某体育用品店购买了A、B两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费3500元，B品牌共花费2000元，已知每个A品牌足球的销售单价比B品牌便宜10元，且购买A品牌足球的数量是B品牌数量的2倍.
（1）去年A，B品牌足球的销售单价各是多少元？
（2）由于今年参加“足球训练营”人数增加，需要从该店再购买A，B两种足球共37个，已知该店今年对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年提高了，B品牌比去年降低了，如果今年购买A，B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个A品牌足球？
【答案】（1）解：设去年A品牌足球的销售单价是x元，则B品牌足球的销售单价是（x+10）元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
.
答：去年A品牌足球的销售单价是70元，B品牌足球的销售单价是80元
（2）解：设学校购买m个A品牌足球，则购买（37-m）个B品牌足球，
依题意得：，
解得：.
又为整数，
的最大值为17.
答：学校最多可购买17个A品牌足球.
【解析】【分析】（1）设去年A品牌足球的销售单价是x元，由每个A品牌足球的销售单价比B品牌便宜10元可得B品牌足球的销售单价是（x+10）元，再根据购买A品牌足球的数量是B品牌数量的2倍列出分式方程求解；
（2）设学校购买m个A品牌足球，由购买A，B两种足球共37个可得购买B品牌足球（37-m）个，根据今年购买A，B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半列出不等式求得m的取值范围，进而求得m的最大值即可.
34．某公司决定从厂家购买甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙两型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台．
（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台；
（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，有哪些购买方案？
【答案】（1）该公司至少购进甲型显示器23台
（2）购买方案有三种：①甲型显示器23台，乙型显示器27台；②甲型显示器24台，乙型显示器26台；③甲型显示器25台，乙型显示器25台．
35．如图，在△ABC中，点D在BC边上，EF∥AD，分别交AB、BC于点E、F，DG平分∠ADC，交AC于点G，∠1+∠2＝180°.
（1）求证：DG∥AB
（2）若∠B＝32°，求∠ADC的度数.
【答案】（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠2+∠3=180°，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1=∠3，
∴DG∥AB；
（2）解：∵DG∥AB，
∴∠B＝∠4=32°，
又∵DG平分∠ADC，
∴∠1=∠4=32°，
∴∠ADC=∠1+∠4=64°
【解析】【分析】（1）通过平行线的性质及等式的性质得到∠1=∠3，再由平行线的判定即可得证；（2）由平行线的性质及角的平分线的定义即可得∠ADC的度数.
36．暑假临近，云云和南南约好去河南旅游，据悉，河南是一个有着悠久历史和丰富文化的省份，还有着许多美食和土特产：新郑大枣、道口烧鸡、灵宝苹果、信阳毛尖、铁棍山药等土特产都是河南的一张张名片．某土特产店销售着新郑大枣和信阳毛尖两种河南特产，若购买9盒信阳毛尖和6盒新郑大枣共需3900元；若购买5盒信阳毛尖和3盒新郑大枣共需2100元．
（1）求每盒信阳毛尖和新郑大枣各多少元？
（2）若某公司购买信阳毛尖和新郑大枣共计30盒，且信阳毛尖的数量至少比新郑大枣的数量多5盒，又不超过新郑大枣的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】（1）信阳毛尖每盒价格是300元，新郑大枣每盒价格是200元．
（2）所以购买信阳毛尖18盒，新郑大枣12盒才能使总费用最少，最少费用为7800元．
37．如图， 是等边三角形，点 在 上，点 在 的延长线上，且 ．
（1）如图甲，若点 是 的中点，求证：
（2）如图乙，若点 不 的中点， 是否成立 证明你的结论．
（3）如图丙，若点 在线段 的延长线上，试判断 与 的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）证明： 是等边三角形，
为 中点，
， ，
（2）解：成立，
如图乙，过 作 ，交 于 ，
则 是等边三角形，
，
，
， ，
在 和 中
，
即
（3）解：
如图3，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
是等边三角形， 也是等边三角形，
，
，
在 和 中，
【解析】【分析】（1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根据等腰三角形的性质求出AD=DC，即可得到答案；
（2）根据题意，证明得到△BFD≌△DCE，即可得到DF=CE，证明得到△ADF为等边三角形，推出AD=DF，得到答案即可；
（3）根据题意，证明得到△BPD≌△DCCE，即可得到PD=CE，即可得到AD=CE。
38．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中.
（1）把进行平移，得到，使点A与对应，请在网格中画出；
（2）线段与线段的关系是： ；
（3）求出△ABC的面积.
【答案】（1）所作图形如图所示：
（2）平行且相等
（3）解：.
【解析】【分析】（1）根据点A、A′的位置可得平移步骤为：先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，根据平移步骤找出点B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质进行解答；
（3）根据正方形、三角形的面积公式结合面积间的和差关系进行计算.
39．解方程
（1）
（2）
【答案】（1）
检验：当 时， ，
所以 是原分式方程的解．
（2）
检验：当 时， ，
所以 是原分式方程的解．
【解析】【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
40．随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.盐城高铁站候车厅的饮水机（图1）有温水、开水两个按钮，图2为其示意图，小明先接温水后再接开水，接满的水杯，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题：
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度.生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度比较接近人体体温.
（1）若先接温水10秒，求再接开水的时间.
（2）设接温水的时间为x秒，接到水杯中水的温度为．
①若，求x的值；
②求y关于x的函数关系式，并写出达到最佳水温时x的取值范围．
【答案】（1）再接开水的时间为秒；
（2）①；②，．
41．已知 和 是互为邻补角， ，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注： ， ）．
（1）如图 ，使三角板的短直角边 与射线 重合，则 ．
（2）将三角板 如图 放置，长直角边 恰好平分 ，请说明 所在射线是 的平分线．
（3）将三角板 如图 放置，使 时，求 的度数．
（4）拓展：将图 中的三角板绕点O以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时， 恰好与直线 重合，求t的值．（注：“旋转一周”是指三角板 在这个平面内绕着这个平面内的点O转动一周．)
【答案】（1）
（2）解： 平分 ，
，
，
， ，
，
所在射线是 的平分线；
（3）解：设 ，则 ，
， ，
，
，
即
（4）解：如图，分两种情况：
在一周之内，当 与射线 的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了 ，
，
；
当 与射线 重合时，三角板绕点O旋转了 ，
，
．
所以当 秒或 秒时， 与直线 重合．
综上所述，t的值为 或 ．
【解析】【解答】解：（1）由图可知，∠COE=∠DOE-∠COB=90°-50°=40°，故答案为40°；
【分析】本题考查了邻补角的概念，直角三角板的各个角的角度
【注意】
1.分类讨论的思想
2.角度转化过程中要仔细
42．如图，在 中， ， 为角平分线.
图1 图2
（1）如图1，已知 ， .求 的面积；
（2）在（1）的条件下， 垂直平分线与 交于点 ，画图并求 的长.
（3）如图2，若 为等边三角形， ， 分别为边 ， 上的动点，且满足 .设 ， ， ，请用等式表示 ， ， 之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解： ， 为角平分线，
，且 ，
由勾股定理得： ，
（2）解：画图如图所示，
垂直平分线与 交于点 ，
，
设 ，则 ，
在Rt△CDE中，CE2＝DE2＋CD2， ，
解得： ，
即AE= ；
（3）解：延长 至 ，使 ，连结 ， ，延长 ，过 作 于 ，
在△BDM和△CDG中， ，
∴△BDM≌△CDG（SAS），
∴CG＝BM＝a，∠BCD＝∠B＝60°，
∴∠GCH＝60°，
∴∠CGH＝30°，
∴CH＝ a，
由勾股定理得，GH＝ ＝ a，
∵MD＝DG，ND⊥MG，
∴GN＝MN＝c，
在Rt△NGH中，GN2＝GH2＋NH2，即c2＝（ a）2＋（b＋ a）2，
整理得，a2＋ab＋b2＝c2.
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出AD⊥AB，BD=5，利用勾股定理求出AD的长，即可求出△ABC的面积；
（2）作AC的垂直平分线交AD于点E，得出AE=EC，设AE=x，则DE=12-x，在Rt△CDE中，利用勾股定理lCE2＝DE2＋CD2，得出关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出AE的长；
（3）延长MD到G，使GD=MD，连接CG，NG，延长NC，过G作GH⊥NC于H，证出△BDM≌△CDG，
得出CG=BM=a，∠BCD＝∠B＝60°，从而得出∠CGH＝30°，CH＝a，利用勾股定理求出GH=a，根据线段垂直平分线的性质得出 GN=MN=c，再利用GN2＝GH2＋NH2， 得出 c2＝（ a）2＋（b＋ a）2， 化简得出 a2＋ab＋b2＝c2，即可求解.
43．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，OA＝12，OC＝9，连接AC．
（1）填空：点A的坐标： ；点B的坐标： ．
（2）若CD平分∠ACO，交x轴于D，求点D的坐标．
（3）在（2）的条件下，经过点D的直线交直线BC于E，当△CDE为以CD为底的等腰三角形时，求该直线的解析式．
【答案】（1）（12，0）；（12，9）
（2）解：如下图中，作DM⊥AC于M．
∵DC平分∠ACO，DO⊥CO，DM⊥AC，
∴DO＝DM，∠COD＝∠CMD＝90°，
∵CD＝CD，
∴Rt△CDO≌Rt△CDM（HL），
∴CM＝OC＝9，
∵AC＝ ＝15，
∴AM＝6，设OD＝DM＝m，
在Rt△ADM中，∵AD2＝DM2+AM2，
∴x2+62＝（12-x）2，
解得x＝ ，
∴D（ ，0）．
（3）解：如下图中，作线段CD的中垂线EF，垂足为F，交BC 于E，则EC＝ED，△ECD是以CD为底的等腰三角形．
∵C（0，9），D（ ，0），
∴直线CD的解析式为y＝-2x+9，
∴F（ ， ），
∴直线EF的解析式为y＝ x+ ．
【解析】【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝9，BC＝OA＝12，
∴A（12，0），B（12，9），
故答案为：（12，0），（12，9）；
【分析】（1）利用矩形的性质可求出AB，BC的长，由此可得到点A，B的坐标.
（2）过点D作DM⊥AC于M，利用角平分线的性质，可证得DO=DM，∠COD＝∠CMD＝90°，利用HL可证得Rt△CDO≌Rt△CDM，利用全等三角形的对应边相等，可求出CM的长；利用勾股定理求出AC的长，由此可求出AM的长，设OD＝DM＝m，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点D的坐标.
（3）作线段CD的中垂线EF，垂足为F，交BC 于E，则EC＝ED，△ECD是以CD为底的等腰三角形，利用待定系数法，由点C，D的坐标可求出直线CD的函数解析式，可得到点F的坐标，利用EF⊥CD，可求出直线EF的函数解析式.
44．如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着以每秒1个单位的速度向终点运动，点运动的时间为秒．
（1）的长为 ；
（2）连接，求当为何值时，；
（3）连接，求当为何值时，是直角三角形；
（4）直接写出当为何值时，是等腰三角形．
【答案】（1）5
（2）解：如图所示：当点P到如图所示位置时，，
∵，，
∴，仅有如图所示一种情况，
此时，，
∴，
∴秒时，；
（3）解：①当时，如图所示：
在中，
，
在中，
，
∴，
，，
∴，
解得：；
②当时，此时点P与点C重合，
∴，
∴；
综上可得：当秒或秒时，是直角三角形；
（4）解：若为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当时，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图所示：
，
∴；
③当时，如图所示：
，
∴，
在中，
，
即，
解得：，
，
∴；
综上可得：当秒或秒或秒时，为等腰三角形．
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为长方形，
∴，，
在中，
，
故答案为：5；
【分析】（1）由长方形的性质可得，，在中，利用勾股定理求出DE的长即可.
（2）由于AB=CD，∠B=∠C=90°，只有当BP=CP=3时，，据此求解即可；
（3）分两种情况：①当时②当时 ，据此分别解答即可；
（4） 分三种情况讨论①当时②当时③当时 ，据此分别解答即可.
45．某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800元
第二周 4台 10台 3100元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求、两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
由，题意得：，
整理，解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元.
（2）解：设采购A种型号电风扇为a台，则采购B种型号电风扇为（30-a）台，
由，题意得：200a+170（30-a）≤5400，
整理，解得：a≤10，
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元.
（3）解：由题意，得：（250-200）a+（210-170）（30-a）＝1400，
整理，解得：a＝20，
由（2）可知：a≤10，
∵20＞10，
∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．
【解析】【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，由近两周销售情况统计表可列关于x、y二元一次方程组为，解之即可求解；
（2）设采购A种型号电风扇为a台，则采购B种型号电风扇为（30-a）台，由超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，列不等式为200a+170（30-a）≤5400，解之即可求解；
（3）根据利润=单件利润×销售数量，可列关于a的方程为（250-200）a+（210-170）（30-a）＝1400，解得a=20，由（2）可知：a≤10，因此在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．
46．如图，在四边形 中， 和 分别平分四边形的外角 和 ， 与 相交于点 ，若 ．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图1，若 ，试猜想 所满足的数量关系式，并说明理由．
（3）如图2，若 ，判断 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NDC+∠ADC=180°
∴∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）
=360°-[360°-（α+β）]=α+β，
∵α+β=168°，
∴∠MBC+∠NDC=168°
（2）解：β-α=70°
理由：如图1，连接BD，
由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBG= ∠MBC，∠CDG= ∠NDC，
∴∠CBG+∠CDG= ∠MBC+ ∠NDC= （∠MBC+∠NDC）= （α+β），
在△BCD中，∠BDC+∠DBC=180°-∠BCD=180°-β，
在△BDG中，∠BGD=35°，
∴∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，
∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，
∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CDB）+∠BGD=180°，
∴ （α+β）+180°-β+35°=180°，
∴β-α=70°
（3）解：平行，
理由：如图2，延长BC交DF于H，
由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，
∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，
∴∠CBE= ∠MBC，∠CDH= ∠NDC，
∴∠CBE+∠CDH= ∠MBC+ ∠NDC= （∠MBC+∠NDC）= （α+β），
∵∠BCD=∠CDH+∠DHB，
∴∠CDH=∠BCD-∠DHB=β-∠DHB，
∴∠CBE+β-∠DHB= （α+β），
∵α=β，
∴∠CBE+β-∠DHB= （β+β）=β，
∴∠CBE=∠DHB，
∴BE∥DF．
【解析】【分析】（1）利用四边形内角和可求出∠ABC+∠ADC=360°-（α+β），利用邻补角及角的和差，可得出∠MBC+∠NDC=180°-∠ABC+180°-∠ADC=360°-（∠ABC+∠ADC）=α+β，据此求出结论；
（2）β-α=70°，理由：如图1，连接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β， 利用角平分线的定义得出∠CBG= ∠MBC，∠CDG= ∠NDC，从而求出∠CBG+∠CDG= ∠MBC+ ∠NDC=（α+β），在△BCD、△BDG中，利用三角形内角和得出（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CDB）+∠BGD=180°，据此即可得出结论；
（3）平行，理由：如图2，延长BC交DF于H，由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，利用角平分线的定义得出∠CBE= ∠MBC，∠CDH= ∠NDC，从而得出∠CBE+∠CDH= （α+β），根据三角形外角的性质得出∠CDH=∠BCD-∠DHB=β-∠DHB，继而可得∠CBE+β-∠DHB= （β+β）=β， 即得∠CBE=∠DHB，根据平行线的判定即证.
47．如图
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，
①请你猜想写出FE与FD之间的数量关系，不用说明理由；
②判断∠AFC与∠B的数量关系，请说明理由.
（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中其他条件不变，请问你在（1）中所得FE与FD之间的数量关系是否依然成立？请说明理由.
【答案】（1）解：
①如图1，过点F作FM⊥BC于M.作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC= ∠BAC=15°，
∴∠CDA=75°，
∵∠MFC=45°，∠MFN=120°，
∴∠NFE=15°，
∴∠NEF=75°=∠MDF，
在△DMF和△ENF中，
∠DMF＝∠ENF，∠MDF＝∠NEF，MF=NF，
∴△DMF≌△ENF(AAS)，
∴FE=FD；
②由①知∠BCE=45°，∠CDF=75°，所以∠AFC=120°，因为∠B=60°，所以∠AFC=2∠B.
（2）解：EF=FD仍然成立；
理由如下：
在AC上截取CG=CD，如图2所示，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠DCF=∠GCF，
在△CFG和△CFD（SAS），，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴FD=GF.
∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，且∠EAF=∠GAF，
∴∠FAC+∠FCA=(∠BAC+∠ACB)=(180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=120°，
∴∠CFD=60°=∠CFG，
∴∠AFG=60°，
又∵∠AFE=∠CFD=60°，
∴∠AFE=∠AFG，
在△AFG和△AFE中，，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF=GF，
∴EF=FD.
【解析】【分析】（1）①首先过点F作FM⊥BC于M.作FN⊥AB于N，连接BF，根据角平分线的性质，可得FM=FN，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，求得∠NEF=75°=∠MDF，又由∠DMF=∠ENF=90°，利用AAS，即可证得△DMF≌△ENF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE=FD；②由①知∠BCE=45°，∠CDF=75°，利用三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和，可求出.（2）在AC上截取CG=CD，由角平分线定义得出∠DCF=∠GCF，由SAS证得△CFG≌△CFD得出FD=GF，由角平分线的性质得出∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠ACB，∠EAF=∠GAF，推出∠FAC+∠FCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°-∠B）=60°，则∠AFC=120°，证出∠AFE=∠AFG，由ASA证得△AFG≌△AFE得出EF=GF，即可得到结果。
48．判定一个三角形是不是等腰三角形，我们经常利用以下的判定方法：“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，请你利用以上判定方法解决下列问题
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为β
（0°＜β＜180°），得到△A′B′C
（1）设A′B′与CB相交于点D，
①当旋转角为β=25°，∠B′DB= °；
（2）如图2，E是AC边上的点，且 ，P是A′B′边上的点，且∠A′PC=60°，连接EP、CP，已知AC=10，①当β= °时，EP长度最大，最大值为 ；
②当β= °时，△ECP的面积最大，最大值为 。
【答案】（1）55°②当AB∥CB′ 时，求证：D是A′B′ 的中点；证明：∵AB∥CB′，∴∠DCB′=∠B=∠B′=30°，∴DC=DB′，又∠DCA′=∠A′C B′-∠DCB′=90°-30°=60°=∠A′，∴DC=DA′，∴DB′=DA′（等量代换）．即D是A′B′ 的中点
（2）120；16；30°；30
【解析】【解答】解：（1）①∵∠ACB=∠A′CB′=90°，∴∠ACA′=∠B′CB=25°，∵∠B′=∠B=30°，∴∠B′DB=∠B′+∠B′CB=30°+25°=55°；
（ 2 ）①∵AE= AC，AC=10，∴AE=4，EC=6．∵∠A′PC=60°，∠A'=∠A=60°，∴△A'CP是等边三角形，∴CP=CA'=10，∠A'CP=60°，∵当A、C、P在一条直线上时，EP的长度最大，即当β=180°﹣60°=120°时，EP长度最大，最大值为EC+AC=6+10=16．
②∵△A'CP是等边三角形，∴CP=CA'=10，∠A'CP=60°．∵PC=10是固定不变的，∴只要PC边上的高最大即可，当EC⊥PC时，PC边上的高的最大值为EC， 此时∠ECP=90°，∴β=90°-60°=30°，△ECP的面积= CE×PC= ×6×10=30．
【分析】根据旋转的性质，旋转前后两个图形全等，则∠B′DB=∠B′+∠B′CB，∠B′CB=β据此求解；∠A′PC=60°时易证△A'CP是等边三角形，当A、C、P在一条直线上时，EP的长度最大，据此即可求解.PC=10是固定不变的，∴只要PC边上的高最大，则△ECP的面积最大，当EC⊥PC时，PC边上的高的最大值为EC.
49．如图1所示，在 ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿射线AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s，同时，点Q从点C出发，沿射线CB方向匀速运动，速度为1cm/s，当△PNM停止平移时，点Q也停止运动，如图2所示，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）当t为何值时，PQ∥MN？
（2）设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得PQ=QM，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1，由题意得：CQ=AP=t，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC= = =4，
∴CP=4﹣t，
由平移的性质可得MN∥AB，
∵PQ∥MN，
∴PQ∥AB，
∴ ，即 ，
解得t= ，
则当t为何值时，PQ∥MN
（2）解：如图2，过点P作PF⊥BC于点F，过点A作AE⊥BC于点E，
由S△ABC= AB×AC= AE×BC，
×3×4= ×5AE，
可得：AE= ，
则由勾股定理易得：CE= = = ．
∵PD⊥BC，AE⊥BC，
∴AE∥PD，
∴△CPD∽△CAE，
∴ ，即
∴PD= ，CD= ，
∵PM∥BC，
∴点M到BC的距离h=PD= ，
∴△QCM的面积y= CQ×h= × =﹣ + （0＜t＜4）
（3）解：如图3，过点Q作QD⊥PM于点D，QD交AC于点H．
∵PQ=MQ，
∴PD=DM= ，且DQ⊥BC．
在Rt△ABC中，AC=4，AP=t，QC=t．
∵∠A=∠HQC，∠ACB=∠QCH，
∴△CQH∽△CAB，
∴ ，即 ，
∴CH= t，
∴PH=AC﹣AP﹣CH=4﹣t﹣ t=4﹣ t，
易证△PHD∽△CBA，
∴ ，
即 ，
解得t= ．
∴当t= 时，PQ=QM．
【解析】【分析】（1）如图1，先根据题意得：CQ=AP=t，利用勾股定理求AC的长，根据PQ∥AB，列比例式可求得t的值；（2）如图2，作辅助线，构建相似三角形，利用面积法得：S△ABC= AB×AC= AE×BC，可得：AE= ，由勾股定理易得：CE= ．证明△CPD∽△CAE，列比例式 ，求PD和CD的长，根据面积公式求△QCM的面积y；（3）如图3，作辅助线，构建相似三角形，证明△CQH∽△CAB，列比例式得： ，表示CH= t，则PH=AC﹣AP﹣CH=4﹣ t，易证△PHD∽△CBA，列式可求得t的值．
50．我市某中学计划购进若干个排球和足球如果购买20个排球和15个足球，一共需要花费2050元；如果购买10个排球和20个足球，一共需要花费1900元
（1）求每个排球和每个足球的价格分别是多少元
（2）如果学校要购买排球和足球共50个，并且预算总费用不超过3210元，那么该学校至多能购买多少个足球
【答案】（1）解：设每个排球的价格为x元，每个足球的价格为y元，
依题意，得：
解得：
答：每个排球的价格为50元，每个足球的价格为70元
（2）解：设学校购买m个足球，则购买 个排球，
依题意，得：
解得：
又m为整数，
的最大值为35.
答：该学校至多能购买35个足球
【解析】【分析】（1）抓住题中关键的已知条件：购买20个排球和15个足球，一共需要花费2050元；如果购买10个排球和20个足球，一共需要花费1900元，这就是题中的两个等量关系，再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解。
（2）此题的等量关系：购买排球的数量+购买足球的数量=50；不等关系为：预算总费用≤3210，设未知数，列不等式，再求出不等式的解集，就可求出结果。
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