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华东师大版2024—2025学年八年级下册期末模拟临考预测卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，正方形中，点为对角线的交点，直线过点分别交，于，两点（），若过点作直线与正方形的一组对边分别交于，两点，满足，则这样的直线（不同于直线）的条数共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．在一次统计调查中，小明得到以下一组数据：，若这组数据的众数是3，则这组数据中的的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．5
4．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，两张宽度为1的矩形纸片交叉叠放在一起，若∠ABC＝45°，则重合部分四边形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．8 C．4 D．4
6．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为．则关于的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝44°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于（ ）
A．112° B．114° C．116° D．118°
8．如果关于的分式方程有非负整数解，且一次函数不经过第四象限，则所有符合条件的的和是（ ）.
A．0 B．2 C．3 D．5
9．某服装销售商在进行市场占有率的调查时，他最应该关注的是（ ）
A．服装型号的平均数 B．服装型号的众数
C．服装型号的中位数 D．最小的服装型号
10．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点；④若线段上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的横坐标是．以上所有结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若直线l向右平移2个单位长度后对应直线的解析式为，则直线l的解析式为 ．
12．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为 ．
13．若关于x的分式方程 的解是非负数，则a的取值范围是 .
14．如图，函数和的图象交于点则不等式的解集为 ．
15．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是 ．
16．如图，已知菱形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，AF⊥AC交x轴于点F，反比例函数 的图象经过点A，与AF交于点E，且AE=EF，△ADF的面积为6，则k的值为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．为积极响应垃圾分类的号召，某街道决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱.已知购买3个垃圾箱和2个温馨提示牌需要280元，购买2个垃圾箱和3个温馨提示牌需要270元.
（1）每个垃圾箱和每个温馨提示牌各多少元？
（2）若购买垃圾箱和温馨提示牌共100个（两种都买），且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌个数的3倍，请写出总费用w（元）与垃圾箱个数m（个）之间的函数关系式，并说明当购买垃圾箱和温馨提示牌各多少个时，总费用最低，最低费用为多少元？
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A(a，3)，点B(2，4)在直线l2上.
（1）求a的值及直线l2的函数解析式；
（2）直接写出关于x的不等式kx+b＜3x的解集.
19．
（1）若关于的分式方程无解，求的值；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
20．如图，在平行四边形中，是直线上的两点，；
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是矩形，且，，，求的长.
21．滑车以1.5米/分钟的速度匀速地从轨道的一端滑向另一端，已知轨道的长为6米，滑车滑行分钟时离终点的路程为米.
（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）滑行多长时间时，滑车离终点1米
22．开学初，学校要补充部分体育器材，从超市购买了一些排球和篮球．其中购买排球的总价为1000元，购买篮球的总价为1600元，且购买篮球的数量是购买排球数量的2倍．已知购买一个排球比一个篮球贵20元．
种类 标价 优惠方案
A品牌足球 150元/个 八折
B品牌足球 100元/个 九折
（1）求购买排球和篮球的单价各是多少元；
（2）为响应“足球进校园”的号召，学校计划再购买50个足球．恰逢另一超市对A、B两种品牌的足球进行降价促销，销售方案如表所示．如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过5000元．那么最多可购买多少个A品牌足球？
23．如图，在 ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请证明你的结论
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
（1）若点M是直线上的一个动点，连接OM，当的面积是面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标；
（2）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，求出k的值．
25．在正方形中，点在边上运动，点在边或上运动．
（1）若点在边上，
如图1，已知，连结，求证：．
如图2，已知平分，求证：．
（2）若点在边上，如图，已知为的中点，且，求证：．
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华东师大版2024—2025学年八年级下册期末模拟临考预测卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，正方形中，点为对角线的交点，直线过点分别交，于，两点（），若过点作直线与正方形的一组对边分别交于，两点，满足，则这样的直线（不同于直线）的条数共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【答案】C
【解析】【解答】解：根据旋转变换的性质可知满足条件的线段有3条，如图所示；
故答案为：C．
【分析】根据图形的旋转及旋转的性质求解即可。
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：依题意，，
∵点
∴点的横坐标为
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理，可求得AB的长度，进而可求得AC的长度，结合点A的坐标，可求得点C的坐标．
3．在一次统计调查中，小明得到以下一组数据：，若这组数据的众数是3，则这组数据中的的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：∵3，4，x，5，6这组数据的众数是3，
∴x的值为：3.
故答案为：C。
【分析】根据众数的定义可知：当x=3时，3出现的次数最多，故而得出x的值为3.
4．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】根据题意得：a-1≥0，
∴a≥1.
故答案为：B。
【分析】根据二次根式有意义，直接列不等式，求出解集即可。
5．如图，两张宽度为1的矩形纸片交叉叠放在一起，若∠ABC＝45°，则重合部分四边形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．8 C．4 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得：AD||BC，AB||DC，则四边形ABCD为平行四边形
高都是1
四边形ABCD为菱形
夹角为
菱形边长为
重合部分四边形ABCD的周长为cm
故答案为A
【分析】两张宽度为1的矩形纸片交叉叠放在一起，则重叠部分为平行四边形，由于高都是1cm，所以这个平行四边形是菱形，即可得周长。
6．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为．则关于的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得：2（x+y）=10，
∴x+y=5，
∴y=5-x，
即 关于的函数解析式是y=5-x，
故答案为：y=5-x.
【分析】根据矩形的周长公式求出2（x+y）=10，再求出x+y=5，最后求函数解析式即可。
7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝44°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于（ ）
A．112° B．114° C．116° D．118°
【答案】B
【解析】【解答】解：连接BF，如图：
∵菱形ABCD，∠BAD=44°，
∴∠DAC=∠BAC=∠BAD=22°，∠ADC=180°-∠BAD=180°-44°=136°，
∵菱形ABCD，
∴AC垂直平分BD，
∴DF=BF，
∵EF垂直平分AB，
∴AF=BF，
∴DF=AF，
∴∠FDA=∠FAD=22°，
∴∠CDF=∠ADC-∠FDA=136°-22°=114°，
故答案为：B.
【分析】先利用菱形的性质求出∠DAC=∠BAC=∠BAD=22°，∠ADC=180°-∠BAD=180°-44°=136°，再利用垂直平分线的性质及等量代换求出DF=AF，可得∠FDA=∠FAD=22°，再利用角的运算求出∠CDF=∠ADC-∠FDA=136°-22°=114°即可.
8．如果关于的分式方程有非负整数解，且一次函数不经过第四象限，则所有符合条件的的和是（ ）.
A．0 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵一次函数 不经过第四象限，
∴m+2≥0，
解得：m≥-2，
根据，可得：
方程两边乘（x-2），可得：x-（m+1）=2×（x-2），
去括号可得：x-m-1=2x-4，
移项并合并同类项可得：-x=m-3，
系数化为“1”可得：x=3-m，
∵分式方程有非负整数解，
∴，即，
解得：m≤3且m≠1，
∵m为整数，
∴m的值可以为0，2，3，
∴符合条件的m的值由0，2，3，
∴所有符合条件的的和为0+2+3=5，
故答案为：D.
【分析】先求出分式方程的解，再根据题意求出m的取值范围，最后将符合要求的m的值相加即可.
9．某服装销售商在进行市场占有率的调查时，他最应该关注的是（ ）
A．服装型号的平均数 B．服装型号的众数
C．服装型号的中位数 D．最小的服装型号
【答案】B
【解析】【分析】天虹百货某服装销售商最感兴趣的是服装型号的销售量哪个最大．
【解答】由于众数是数据中出现最多的数，销售商最感兴趣的是服装型号的销售量哪个最大，所以他最应该关注的是众数．
故选B．
10．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点；④若线段上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的横坐标是．以上所有结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵直线分别与x轴、y轴交于点A、B，
∴
∴故①正确；
由折叠得：
∴在中：
即
解得：
∴
∴直线BC的解析式为，故②正确；
作DH⊥AC，如下图：
∴
∴故③正确；
∵若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC=CD
∴
∴点P纵坐标为：
∵
∴
∴点P的横坐标是：，故④正确，
综上所述，正确的有：①②③④，
故答案为：D.
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点的特征求出A，B的坐标，根据坐标平面内两点间的距离公式求出AB的长；由折叠得：在中利用勾股定理求出OC的长，进而得到C的坐标，即可求出直线BC的解析式；利用等面积法可求出D的坐标；根据菱形的性质得：进而得到P的纵坐标.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若直线l向右平移2个单位长度后对应直线的解析式为，则直线l的解析式为 ．
【答案】y=2x+7
【解析】【解答】 解：∵直线l向右平移2个单位长度后对应直线的解析式为，
∴直线l的解析式为.
故答案为：.
【分析】函数平移牢记：”上加下减，左加右减“.
12．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
∵AB//CD，AB⊥BD
∴CD⊥BD
∴∠ABD=∠CDB= 90°
延长CD至F，作AF⊥CF于F点
则∠BDF= 90° ，∠F= 90°
∴四边形ABDF是矩形
∴AF=BD=4，DF=AB=5
∵CD=3
∴CF=5+3=8
∵AC=
∵Rt△BCD中，CD=3，BD=4
∴BC=5
∴AB=BC
∵△ABC是等腰三角形
∵点E是AC的中点
∴ ，且BE⊥AC
∵ = =5
∵
故答案为：.
【分析】作AF⊥CD的延长线于F点，易得四边形ABDF是矩形，AF=BD=4，DF=AB=5，根据CF=CD+DF可得CF，利用勾股定理求出AC、BC，根据中点的概念可得AE，然后利用勾股定理计算即可.
13．若关于x的分式方程 的解是非负数，则a的取值范围是 .
【答案】 且
【解析】【解答】解： ，
去分母得2x=3a-2（2x-2）
移项、合并同类项，得6x=3a+4
系数化为1，得
∵分式方程 的解是非负数，且 ，
∴ ， ，
解得 ，且 ，
故答案为： 且 .
【分析】给方程两边同时乘以2x-2可得2x=3a-2(2x-2)，然后表示出x，根据方程的解为非负数可得x≥0且x≠1，求解可得a的范围.
14．如图，函数和的图象交于点则不等式的解集为 ．
【答案】x＜2
【解析】【解答】解： A（2，3），
观察函数图得到：当x＜2 时，
y=x的图象都在直线的下方，
不等式x＜ax+4的解集x＜2．
故答案为：x＜2．
【分析】求不等式x＜ax+4的解集，就是求正比例函数图象在一次函数图象下方部分自变量的取值范围，观察函数图象，可得到答案.
15．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，
∴EH=FE=GF=GH=
所以正方形EFGH的面积
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质可得∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，根据线段的和差关系可得AH=BE=CF=DG，证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得到EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，推出四边形EFGH是菱形，易得∠HEF=90°，则四边形EFGH是正方形，然后利用勾股定理计算即可.
16．如图，已知菱形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，AF⊥AC交x轴于点F，反比例函数 的图象经过点A，与AF交于点E，且AE=EF，△ADF的面积为6，则k的值为 ．
【答案】-4
【解析】【解答】解：连结BD，则BO⊥AC，又 AF⊥AC ，所以AF//BD，又点O在BD上，
所以S△AFO=S △ADF =6
过点E，点A分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
则EM//AN，又 AE=EF 所以FM=MN
根据题意设E（，a），则A（，2a），M（，0），N（，0）
S△AFO=FO×AN=FO×2a=6 ，得FO= 所以 F（-，0）
FM=-（-）=+，MN=-
所以+ =- 解得k=-4
故答案为：-4
【分析】连结BD，证明AF//BD即可得到S△AFO=S △ADF=6，过点E，点A分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，再结合题意即可得到FM=MN根据题意设E（，a），则A（，2a），M（，0），N（，0），再运用S△AFO=FO×AN即可求出F点坐标的表达式，再写出FM、MN的表达式即可求解.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．为积极响应垃圾分类的号召，某街道决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱.已知购买3个垃圾箱和2个温馨提示牌需要280元，购买2个垃圾箱和3个温馨提示牌需要270元.
（1）每个垃圾箱和每个温馨提示牌各多少元？
（2）若购买垃圾箱和温馨提示牌共100个（两种都买），且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌个数的3倍，请写出总费用w（元）与垃圾箱个数m（个）之间的函数关系式，并说明当购买垃圾箱和温馨提示牌各多少个时，总费用最低，最低费用为多少元？
【答案】（1）解：设每个垃圾箱和每个温馨提示牌分别为x元、y元，
由题意可得，，
解得，
答：每个垃圾箱和每个温馨提示牌分别为60元、50元；
（2）解：设购买垃圾箱m个，则购买温馨提示牌（100﹣m）个，
w＝60m+50（100﹣m）＝10m+5000，
的值随的增大而增大
∵垃圾箱的个数不少于温馨提示牌个数的3倍，
∴m≥3（100﹣m），
解得m≥75，
∴当m＝75时，w取得最小值，此时w＝5750，100﹣m＝25，
答：总费用w（元）与垃圾箱个数m（个）之间的函数关系式是w＝10m+5000，当购买垃圾箱和温馨提示牌分别为75个、25个时，总费用最低，最低费用为5750元.
【解析】【分析】] (1)根据”购买3个垃圾箱和2个温馨提示牌需要280元“，和”购买2个垃圾箱和3个温馨提示牌需要270元“，列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
(2) 设购买垃圾箱m个， 根据“总费用= 垃圾箱费用+提示牌的费用 ”，列出w与m的函数关系式，然后根据垃圾箱的个数不少于温馨提示牌个数的3倍建立不等式求出m的取值范围，再根据一次函数的性质求最小值即可.
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A(a，3)，点B(2，4)在直线l2上.
（1）求a的值及直线l2的函数解析式；
（2）直接写出关于x的不等式kx+b＜3x的解集.
【答案】（1）解：直线 l1：y＝3x 与直线 l2：y＝kx+b 交于点 A（a，3），所以3a＝3.
解得a＝1.
∴点 A（1，3），
直线 l2：y＝kx+b 过点 A（1，3），点 B （ 2，4 ），
所以，
解得，
所以直线 l2的解析式为 y＝x+2，
（2）解：不等式kx+b＜3x的解集为x＞1.
【解析】【分析】(1)把A (a， 3)代入y=3x可求出a的值，则可得出A点坐标；然后利用待定系数法求直线l的解析式即可；
(2) 观察函数图象，找出直线l2： y=kax+b在直线l： y= 3x下方所对应的x的范围即可.
19．
（1）若关于的分式方程无解，求的值；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：
去分母得
移项合并同类项得，
∴，
当，分母为0，此时方程无解，
当时
∵方程无解，则，
∴，
∴，
∴
综上所述；
（2）解：解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
解不等式①得，x≤1，
解不等式②得，x＞，
则不等式组无解；
在数轴上表示如下：
【解析】【分析】（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项表示出x，根据分式方程无解可得x=-1，据此求解；
（2）首先分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集，然后根据解集的表示方法表示出来即可.
20．如图，在平行四边形中，是直线上的两点，；
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是矩形，且，，，求的长.
【答案】（1）证明：连接交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
.
【解析】【分析】（1）连接AC交EF于点O，由平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO，BO=DO，由线段的构成可得OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形AFCE是平行四边形；
（2）由题意，在直角三角形ABD中，用勾股定理可求得BD的值，同理可求得AO的值，由矩形的性质可得AO=CO，EO=FO，AC=EF，然后由线段的构成DE=EO-OD可求解.
21．滑车以1.5米/分钟的速度匀速地从轨道的一端滑向另一端，已知轨道的长为6米，滑车滑行分钟时离终点的路程为米.
（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）滑行多长时间时，滑车离终点1米
【答案】（1）解：
由题意，得；
关于的函数关系式为
（2）解：当时，，
解得，
答：滑行分钟时，滑车离终点1米.
【解析】【分析】（1）根据“路程＝速度×时间”即可求出s关于t的函数关系式，并求出自变量t的取值范围；
（2）把s＝1代入（1）的函数关系式计算即可求解．
22．开学初，学校要补充部分体育器材，从超市购买了一些排球和篮球．其中购买排球的总价为1000元，购买篮球的总价为1600元，且购买篮球的数量是购买排球数量的2倍．已知购买一个排球比一个篮球贵20元．
种类 标价 优惠方案
A品牌足球 150元/个 八折
B品牌足球 100元/个 九折
（1）求购买排球和篮球的单价各是多少元；
（2）为响应“足球进校园”的号召，学校计划再购买50个足球．恰逢另一超市对A、B两种品牌的足球进行降价促销，销售方案如表所示．如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过5000元．那么最多可购买多少个A品牌足球？
【答案】（1）解：设购买一个蓝球x元，则购买一个排球（x＋20）元，
由题意得： ，
解得：x＝80，
经检验x＝80是方程的解，
答：购买一个篮球80元，购买一个排球100元；
（2）解：设可购买m个A品牌足球，
由题意得：150×0.8m＋100×0.9（50－m）≤5000，
解得：m≤ ，
∵m是整数，
∴m≤16，
∴5000元最多可购买A品牌足球16个．
答：最多可购买16个A品牌的足球．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再解方程，并检验求解即可；
（2）先求出 150×0.8m＋100×0.9（50－m）≤5000， 再解不等式求解即可。
23．如图，在 ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请证明你的结论
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C，AD=CB，AB=CD，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE= AB，CF= CD，
∴AE=CF．
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）解：四边形BEDF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE= AB，DF= CD．
∴BE=DF，BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵四边形AGBD是矩形，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，∵E为AB的中点，
∴AE=BE=DE，
∴平行四边形BEDF是菱形．
【解析】【分析】（1）先求出 AE= AB，CF= CD， 再求出AE=CF，最后利用SAS证明三角形全等即可；
（2）先求出 AB∥CD，AB=CD ，再求出四边形BEDF是平行四边形， 最后证明求解即可。
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．
（1）若点M是直线上的一个动点，连接OM，当的面积是面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标；
（2）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，求出k的值．
【答案】（1）解：如图
由，令，
解得，令，
解得∴A（10，0），B（0，5），∵C（2，4），
∴S△BOC=×5×2=5，
设S△AOM=2S△BOC=10，
∴S△AOM=×10×|-a+5|=10，
解得：a=6或14，
∴点M的坐标为（6，2）或（14，-2）；
（2）解：当l1∥l3或l2∥l3时，l1，l2，l3不能围成三角形，即k=-或k=2，
当l3过点C（2，4）时，将点C坐标代入y=kx+2并解得：k=1；
故当l3的表达式为：或或即或或
【解析】【分析】（1）先得出点A、B的坐标，设，S△AOM=2S△BOC=10，再根据三角形面积公式求解即可；
（2）当l1∥l3或l2∥l3时，l1，l2，l3不能围成三角形，即k=-或k=2，当l3过点C（2，4）时，将点C坐标代入y=kx+2解出k的值即可。
25．在正方形中，点在边上运动，点在边或上运动．
（1）若点在边上，
如图1，已知，连结，求证：．
如图2，已知平分，求证：．
（2）若点在边上，如图，已知为的中点，且，求证：．
【答案】（1）①证明：延长至，使，连接，
四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
②证明：如图2，延长到，使，连接，
四边形是正方形，
，，
在与中，
，
≌，
，，
平分，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：延长交的延长线于点，
为中点，
．
，，
≌，
，，
在上截取，则，
，，
≌，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）①延长CD至G，使DG=BE，连接AG，易得AB=AD=CB=CD，∠BAD=∠B=90°，证明△ADG≌△ABE，得AG=AE，∠DAG=∠BAE，易得∠GAF=∠EAF，证△GAF≌△EAF，得GF=EF，然后根据线段的和差关系进行证明；
②延长CB到G，使BG=DF，连接AG，根据正方形的性质可得∠D=∠ABC=∠ABG=90°，AD=AB，证明△ABG≌△ADF，得到∠GAB=∠DAF，AG=AF，根据角平分线的概念可得∠BAE=∠FAE，根据角的和差关系可得∠GAE=∠DAE，由平行线的性质得∠DAE=∠AEB，推出AG=GE，进而得到AF=GE，据此证明；
（2）延长AE交DC的延长线于点N，易得CE=BE，证明△ABE≌△NCE，得到AB=CN，∠BAE=∠N，在CD上截取DM=BF，则CF=CM，证明△ABF≌△ADM，得到AF=AM，∠AFB=∠AMD，由平行线的性质可得∠AFB=∠DAF，则∠DAF=∠AMD，由已知条件可知∠DAF=2∠BAE，由外角的性质可得∠AMD=∠N+∠MAN=∠BAE+∠MAN，则∠N=∠MAN，推出AM=AN，据此证明.
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