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【决战期末·50道综合题专练】华东师大版七年级下册期末数学试卷
1．在手工课上，老师组织七（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七（2）班共有44人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个．
（1）七（2）班有男生、女生各多少人？
（2）要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？
2．如图，点B、E、C、F在同一直线上，且AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE.
3．甲，乙两人分别从A，B两地同时出发，沿同一条路线匀速相向行驶，已知出发后4h两人相遇，甲的速度比乙快30km/h，相遇后甲再经1h到达B地．
（1）甲、乙两人的速度分别是多少？
（2）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发后，经过多长时间两人相距50km？
4．某网店“双”前准备从厂家选购甲、乙两种商品，乙种商品每件进价比甲种商品每件进价少元，若购进件甲种商品和件乙种商品共需要元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）若甲种商品的售价为每件元，乙种商品的售价为每件元，该网店准备购进甲、乙两种商品共件，且这两种商品全部售出后总利润不少于元，则乙种商品最多可购进多少件？
5．已知x，y满足方程组且x+y<0．
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；
（3）化简|m+|-|2-m|．
6．汽车专卖店销售 两种型号的新能源汽车．上周售出 辆A型车和 辆B型车，销售额为 万元；本周已售出 辆A型车和 辆B型车，销售额为 万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元
（2）出租公司拟向该店购买多辆A型车和 辆B型车，若公司计划用于购车的总费用不超过 万元，则A型车最多能购买多少辆
7．已知：，．
（1）证明：≌；
（2）若，，求的度数．
8．为举办校园文化艺术节，甲、乙两班准备给合唱同学购买演出服装(一人一套)，两班共92人(其中甲班比乙班人多，且甲班不到90人)，下面是供货商给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上
每套服装的价格 60元 50元 40元
如果两班单独给每位同学购买一套服装，那么一共应付5020元．
（1）甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省多少钱？
（2）甲、乙两班各有多少名同学？
9．如图，数轴上，两点所表示的数分别为和6．
解答下列各题：
（1）点A与点B的距离是 个单位长度；
（2）现有一个动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为秒．
①当个单位长度时，请直接写出的值；
②若点为的中点，点为的中点，则动点在运动过程中，线段的长度是否发生改变？若不变，求出线段的长度；若改变，说明理由．（不考虑点与点，点重合的情况）
10．小莹和小亮每人带了16元钱到学校附近的文具店购买中性笔和笔记本，他们要购买的中性笔每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.2元．小莹要买2支中性笔和3本笔记本共需花费14元；小亮要买8支中性笔和2本笔记本共需花费16元．
（1）单独购买一支中性笔多少元？每本笔记本的单价是多少元？
（2）小莹和小亮都还想再买一件单价为1.5元的小工艺品，他们利用所带的钱，能否做到既买全了想要的文具，又都能买到一件小工艺品？请通过运算说明．
11．将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC＝∠B1A1C＝30°）按图①的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O．
（1）求证：△BCE≌△B1CF.
（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．
12．桃花中学计划购买A，B两种型号的小黑板，经洽谈， 购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多20元，且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元.
（1）求购买一块A型小黑板和一块B型小黑板各需要多少元？
（2）根据学校的实际情况，需购买 两种型号的小黑板共 块，并且购买 型小黑板的数量不少于购买 型小黑板的数量，请问学校购买这批小黑板最少要多少元？
13．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝ ；
（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC＝ ∠AOM，求∠NOB的度数．
14．某商场销售A，B两种型号的红外测温仪，进价分别为160元/台和120元/台．近两周的销售情况如下表：
销售时段 销售数量 销售总额
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（1）求A，B两种型号的红外测温仪的销售单价分别为多少元/台；
（2）若进价不变，商场准备用至多7500元再采购这两种型号的红外测温仪50台，求A种型号的红外测温仪最多能采购多少台？
15．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE。
（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长。
16．科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹．
（1）求，两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹；
（2）快递公司计划再购进，两种机器人共200台．若要保证购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进种机器人的台数．
17．七年级某班开展劳动教育实践活动，植树节当日第一小组分配到的是植树任务，以下是该小组两位同学的对话，请根据对话内容计算第一小组有多少人和准备种多少棵树．
18．如图，在中，，点、分别在、上，，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
19．如图，∠BCA=90°，AC=BC，BE⊥CF于点E，AF⊥CF于点F，其中0＜∠ACF＜45°.
（1）求证：△BEC≌△CFA；
（2）若AF=5，EF=8，求BE的长.
20．“双11”期间，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少20元．若购进甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？
（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品各10件，均按每件160元进行销售，销售一段时间后，把剩下的商品按6折销售完，若总获利为1080元，求该商场打折销售的商品是多少件？
21．某天，一蔬菜经营户用234元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和茄子共50公斤到菜市场去卖，西红柿和茄子这天的批发价与零售价如下表所示：
品名 西红柿 茄子
批发价（单位：元 /公斤） 4.8 4.5
零售价（单位：元/公斤） 6 5.5
问：
（1）该经营户当天在蔬菜批发市场批了西红柿和茄子各多少公斤？
（2）他当天卖完这些西红柿和茄子能赚多少钱？
22．某学校举行知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣2分，不答得0分．若规定参赛者每道题都必须作答且总得分不低于84分才可以被评为“知识小达人”，则参赛者至少需答对多少题才能被评为“知识小达人”？
23．解不等式与不等式组：
（1）解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
（2）求不等式组的整数解．
（3）解不等式组．
24．某超市第一次用6500元购进甲、乙两种商品，其中甲商品件数比乙商品件数的2倍少60件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（利润售价进价）：
甲 乙
进价（元/件） 37 35
售价（元/件） 50 42
（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品的件数分别是多少？
（2）第一次甲、乙两种商品全部售完后，该超市第二次以同样的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲商品件数是第一次的2倍，乙商品的件数不变，甲商品打折销售，乙商品按原价销售，第二次甲、乙两种商品销售完以后获得的利润比第一次获得的利润多300元，求第二次甲商品是按原价打几折销售的？
25．某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件需440元．
（1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？
（2）商店准备用不超过1615元购进50件这两种商品，求购进A种商品最多是多少件？
26．如图，已知A，B分别为数轴上的两点，点A表示的数是 ，点B表示的数是50．
（1）请写出线段AB中点M表示的数是 ．
（2）现有一只蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设两只蚂蚁在数轴上的点C相遇，求点C对应的数是多少？
（3）若蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时另一只蚂蚁Q恰好从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，设两只蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点表示的数是多少？
27．一个两层书架，上层放的书比下层的3倍还多18本，如果把上层的书拿出101本放到下层，那么两层所放的书本数相等．原来上、下层各有书几本？（用方程解）
28．平高集团有限公司准备生产甲、乙两种开关，共8万件，销往东南亚国家和地区。已知2件甲种开关与3件乙种开关销售额相同；3件甲种开关比2件乙种开关的销售额多1500元。
（1）甲种开关与乙种开关的销售单价各为多少元
（2）若甲、乙两种开关的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种开关多少万件？
29．某同学在A、B大型服装超市发现他看中的衣服单价相同，鞋子单价也相同，衣服和鞋子单价之和是486元，且衣服单价是鞋子单价的2倍多6元.
（1）求该同学看中的衣服和鞋子单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八五折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返，购物券全场通用，但只能用于下一次消费时抵扣），他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的两样物品，你能说明他选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
30．新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同.
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元
（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂
31．暑假里某班同学相约一起去某公园划船，在售票处了解到该公园划船项目收费标准如下：
船型 两人船（仅限两人） 四人船（仅限四人） 六人船（仅限六人） 八人船（仅限八人）
每船租金（元/小时） 100 130
（1）其中，两人船项目和八人船项目单价模糊不清，通过询问，了解到以下信息：
①一只八人船每小时的租金比一只两人船每小时的租金的2倍少30元；
②租2只两人船，3只八人船，游玩一个小时，共需花费630元．
请根据以上信息，求出两人船项目和八人船项目每小时的租金；
（2）若该班本次共有18名同学一起来游玩，每人乘船的时间均为1小时，且每只船均坐满，试列举出可行的方案（至少四种），通过观察和比较，找到所有方案中最省钱的方案．
32．如图，网格中小正方形的边长均为1，是格点三角形（即三角形的顶点都在格点上），请仅用无刻度的直尺作图．
（1）在图（1）中作出的中线；
（2）请在图（2）中找一格点E，使得．
33．有6位同学帮助美术老师装裱美术作品，其中有部分同学装裱过，是熟手，部分同学是生手，每20分钟，熟手可装裱3件，生手可装裱2件，经过2个小时，6位同学共装裱作品84件.
（1）如果设熟手为x位，那么生手是 位（用x表示）
（2）2小时熟手共装裱 个，生手共装裱 个，（用含x的代数式表示）
（3）列方程，求出熟手和生手各几位？
34．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，．
（1）将绕点旋转，请画出旋转后对应的．
（2）将平移，使点的对应点的坐标为，点的对应点为，点的对应点为，请画出平移后对应的．
（3）与关于点 成中心对称．
35．在中，，．
（1）若平分，，垂足为E，的延长线交于点O，求证：；
（2）在（1）的条件下，若，求线段的长；
（3）当点D为线段上一点（不与B，C重合），，，垂足为E，与相交于点F，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
36．已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
37．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE．求证：
（1）△ABC≌△ADE；
（2）AB=AD．
38．在ΔABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACE的平分线相交于点D．
（1）若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠A和∠D的度数．
（2）由⑴小题的计算结果，猜想，∠A和∠D有什么数量关系，并加以证明．
39．列方程解决问题
某文具店出售的部分文具的单价如下表：
种类 单价
红黑双色中性笔 10元/支
黑色笔芯 6元/盒
红色笔芯 8元/盒
“双11”期间，因活动促销，黑色笔芯五折销售，红色笔芯七五折销售.小杰在此期间共购进红黑双色中性笔2支，红色笔芯与黑色笔芯共10盒，共花去74元.
（1）小杰黑色笔芯与红色笔芯各买多少盒？
（2）小杰此次购买比按原价购买共节约多少钱？
40．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．
（1）求证：AC＝BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长．
41．某商场计划经销A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示．
A型 B型
进价（元/盏） 40 65
售价（元/盏） 60 100
（1）若该商场购进这批台灯共用去2500元，问这两种台灯各购进多少盏？
（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？
（3）若该商场预计用不少于2500元且不多于2600元的资金购进这批台灯，为了打开B种台灯的销路，商场决定每售出一盏B种台灯，返还顾客现金a元（10＜a＜20），问该商场该如何进货，才能获得最大的利润？
42．已知直角三角板 和直角三角板 ， ， ， ．
（1）如图1，将顶点C和顶点D重合，保持三角板 不动，将三角板 绕点 旋转，当 平分 时，求 的度数；
（2）在（1）的条件下，继续旋转三角板 ，猜想 与 有怎样的数量关系？并利用图2所给的情形说明理由；
（3）如图3，将顶点C和顶点E重合，保持三角板 不动，将三角板 绕点C旋转．当 落在 内部时，直接写出 与 之间的数量关系．
43．如图，动点A从-2表示的点向数轴的正方向运动，同时，动点B也从点+4向数轴的负方向运动，2秒钟后相遇，已知动点A的速度为1单位长度/秒．
（1）求出动点B的速度；
（2）若A、B两点从开始位置上同时按照原速度向数轴负方向运动，几秒后，点D（-1）使得线段AD：BD=2：3：
（3）若A、B两点从原始点位置上同时按照原速度向数轴负方向运动，此时C点立即从+6点以3单位长度/秒的速度处追赶动点B，当C点追上B点时立即返回向数轴正方向运动，当点B追上A点时，C点立即停止，问：此时点C在什么位置？
44．已知，如图，把直角三角形 的直角顶点 放在直线 上，射线 平分 .
（1）如图，若 ，求 的度数.
（2）若 ，则 的度数为 .
（3）由（1）和（2），我们发现 和 之间有什么样的数量关系？
（4）若将三角形 绕点 旋转到如图所示的位置，试问 和 之间的数量关系是否发生变化？请说明理由.
45．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.
（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数是 ；
（2）数轴上存在点P到点A、点B的距离之和为10，则x＝ ；
（3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则﹣3表示的点与数 表示的点重合；
（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是：M： ，N： .
46．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于 ，求a的最大值．
47．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC，∠BOC的度数；
（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度数；
（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．
48．如图，已知CD∥EF，A，B分别是CD和EF上一点，BC平分∠ABE，BD平分∠ABF
（1）证明：BD⊥BC；
（2）如图，若G是BF上一点，且∠BAG=50°，作∠DAG的平分线交BD于点P，求∠APD的度数：
（3）如图，过A作AN⊥EF于点N，作AQ∥BC交EF于Q，AP平分∠BAN交EF于P，直接写出∠PAQ= .
49．已知线段AB＝30cm
（1）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段点B向点A以3cm/s的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？
（2）如图1，几秒后，点P、Q两点相距10cm？
（3）如图2，AO＝4cm，PO＝2cm，当点P在AB的上方，且∠POB＝60°时，点P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q的运动速度．
50．已知：在中，于点D，于点E，与交于点G．
（1）如图，求证：；
（2）如图，若，求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，连接，若，求四边形的面积．
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【决战期末·50道综合题专练】华东师大版七年级下册期末数学试卷
1．在手工课上，老师组织七（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七（2）班共有44人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个．
（1）七（2）班有男生、女生各多少人？
（2）要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？
【答案】（1）女23人，男21人
（2）24人
2．如图，点B、E、C、F在同一直线上，且AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE.
【答案】（1）解：证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF又∵AB=DE，AC=DF，
∴ .
（2）解：证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE.
【解析】【分析】（1）在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，AC=DF，由BE=CF可得BE+EC=CF+EC，从而BC=EF；依据“SSS”全等三角形的判定定理即可.（2）由三角形全等的性质，可得对应角相等，从而可得AB∥DE.
3．甲，乙两人分别从A，B两地同时出发，沿同一条路线匀速相向行驶，已知出发后4h两人相遇，甲的速度比乙快30km/h，相遇后甲再经1h到达B地．
（1）甲、乙两人的速度分别是多少？
（2）甲、乙两人分别从A，B两地同时出发后，经过多长时间两人相距50km？
【答案】（1）甲的速度为是，乙的速度是；
（2）经过3h或5h两人相距．
4．某网店“双”前准备从厂家选购甲、乙两种商品，乙种商品每件进价比甲种商品每件进价少元，若购进件甲种商品和件乙种商品共需要元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）若甲种商品的售价为每件元，乙种商品的售价为每件元，该网店准备购进甲、乙两种商品共件，且这两种商品全部售出后总利润不少于元，则乙种商品最多可购进多少件？
【答案】（1）甲、乙两种商品每件的进价分别是元、元
（2）乙种商品最多可购进件
5．已知x，y满足方程组且x+y<0．
（1）试用含m的式子表示方程组的解；
（2）求实数m的取值范围；
（3）化简|m+|-|2-m|．
【答案】（1）解：
由②得x=4m+1+y，③
把③代入①得2(4m+1+y)+3y=3m+7，
解得y=-m+1
把y=-m+1代入③得x=3m+2
∴方程组的解为
（2）解：∵x+y<0，
∴3m+2-m+1<0
∴解得m<-
（3）解：∵m<-，
∴|m+|-|2-m|
=-m--(2-m)
=-3．
【解析】【分析】（1）利用加减消元法求解二元一次方程组即可；
（2）根据x+y<0，列出不等式3m+2-m+1<0，求出m的取值范围即可；
（3）先利用绝对值的性质去掉绝对值，再合并同类项即可。
6．汽车专卖店销售 两种型号的新能源汽车．上周售出 辆A型车和 辆B型车，销售额为 万元；本周已售出 辆A型车和 辆B型车，销售额为 万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元
（2）出租公司拟向该店购买多辆A型车和 辆B型车，若公司计划用于购车的总费用不超过 万元，则A型车最多能购买多少辆
【答案】（1）解： 设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，
依题意，得： ，
解得： ，
答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元．
（2）解： 设购进A型车m辆，
依题意，得：18m+2×26≤150，
解得：m≤ ，
∵m为整数，
∴m的最大值是5．
答：A型车最多能购买5辆．
【解析】【分析】（1）设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，根据“上周售出 辆A型车和 辆B型车，销售额为 万元；本周已售出 辆A型车和 辆B型车，销售额为 万元．”列出方程组求解即可；
（2）设购进A型车m辆，根据总价=单价×数量结合购车费不超过150万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数得到答案。
7．已知：，．
（1）证明：≌；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：在和中，
，
≌；
（2）解：≌，
，
．
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠C=∠D，OC=OD，由图形可得∠O=∠O，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠C=∠D=20°，由外角的性质可得∠DAC=∠O+∠D，据此计算.
8．为举办校园文化艺术节，甲、乙两班准备给合唱同学购买演出服装(一人一套)，两班共92人(其中甲班比乙班人多，且甲班不到90人)，下面是供货商给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上
每套服装的价格 60元 50元 40元
如果两班单独给每位同学购买一套服装，那么一共应付5020元．
（1）甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省多少钱？
（2）甲、乙两班各有多少名同学？
【答案】（1）解： （元）
答：甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省1340元.
（2）解：设甲班有x名同学，根据题意可知 ，则乙班有 名同学，根据题意得
解得
答：甲班有50名同学，乙班有42名同学.
【解析】【分析】（1）若甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，则每套衣服40元，计算出总价，即可求比各自购买服装可以节省多少钱；（2）设甲班有x名同学，根据题意可知 ，根据购买服装共花5020元列出方程，解方程即可.
9．如图，数轴上，两点所表示的数分别为和6．
解答下列各题：
（1）点A与点B的距离是 个单位长度；
（2）现有一个动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为秒．
①当个单位长度时，请直接写出的值；
②若点为的中点，点为的中点，则动点在运动过程中，线段的长度是否发生改变？若不变，求出线段的长度；若改变，说明理由．（不考虑点与点，点重合的情况）
【答案】（1）8
（2）①或；②线段的长度不发生变化，的长度为4．
10．小莹和小亮每人带了16元钱到学校附近的文具店购买中性笔和笔记本，他们要购买的中性笔每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.2元．小莹要买2支中性笔和3本笔记本共需花费14元；小亮要买8支中性笔和2本笔记本共需花费16元．
（1）单独购买一支中性笔多少元？每本笔记本的单价是多少元？
（2）小莹和小亮都还想再买一件单价为1.5元的小工艺品，他们利用所带的钱，能否做到既买全了想要的文具，又都能买到一件小工艺品？请通过运算说明．
【答案】（1）解：设单独购买一支中性笔的价格是x元，笔记本的单价是y元，
依题意得： 解得，
答：单独购买一支中性笔的价格是1元，笔记本的单价是4元．
（2）解：若两人各自购买，则要买到想买的文具，小亮要花费16元，小莹花费14元，因每人有16元，所以，小亮将无法再买小工艺品：
若两人合在一起买文具，则买文具所需费用为：（元）
而两人共有32元，（元），（元），4＞3．
∴两人应该合在一起买文具，才能既买到要买的文具又都能买到小工艺品．
【解析】【分析】（1）设单独购买一支中性笔的价格是x元，笔记本的单价是y元，依题意列出方程组，求解即可；
（2）若两人各自购买，则要买到想买的文具，小亮要花费16元，小莹花费14元，因每人有16元，所以，小亮将无法再买小工艺品：若两人合在一起买文具，即可得出买文具所需的费用，再由（元），（元），即可得出结论。
11．将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC＝∠B1A1C＝30°）按图①的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O．
（1）求证：△BCE≌△B1CF.
（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．
【答案】（1）证明：两块大小相同的含30°角的直角三角板，所以∠BCA=∠B′CA′∵∠BCA-∠A1CA=∠B1CA1-∠A1CA
即∠BCE=∠B1CF
∵，
∴△BCE≌△B1CF（ASA）
（2）解：AB与A1B1垂直，理由如下：旋转角等于30°，即∠ECF=30°，所以∠FCB1=60°，
又∠B=∠B1=60°，
根据四边形的内角和可知∠BOB′的度数为360°-60°-60°-150°=90°，
所以AB与A1B1垂直
【解析】【分析】（1）由于∠BCA=∠B1CA1，利用等式的性质可得∠BCE=∠B1CF，根据“ASA”可证△BCE≌△B1CF.
（2）利用旋转角等于30°，可得∠FCB1=60°， 在 四边形BOB1C中，利用四边形内角和等于360°，求出∠BOB1的度数即可.
12．桃花中学计划购买A，B两种型号的小黑板，经洽谈， 购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多20元，且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元.
（1）求购买一块A型小黑板和一块B型小黑板各需要多少元？
（2）根据学校的实际情况，需购买 两种型号的小黑板共 块，并且购买 型小黑板的数量不少于购买 型小黑板的数量，请问学校购买这批小黑板最少要多少元？
【答案】（1）解：设购买一块A型小黑板需要x元，购买一块B型小黑板需要y元，根据题意有
解得
所以购买一块A型小黑板需要100元，购买一块B型小黑板需要80元；
（2）解：设购买A型小黑板a块，购买B型小黑板b块，根据题意有
且 ，
解得 .
经分析可知，B型小黑板的数量越多，所花的钱数就越少，
∴当 时，所花钱数最少，最少为： （元）.
【解析】【分析】（1）设购买一块A型小黑板需要x元，购买一块B型小黑板需要y元，根据题意列出方程组，解方程组即可得出答案；（2）设购买A型小黑板a块，购买B型小黑板b块，根据题意列出方程和不等式，确定出a，b的值，然后将a，b的值分别乘以各自的单价即可求出总价.
13．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝ ；
（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC＝ ∠AOM，求∠NOB的度数．
【答案】（1）25°
（2）解： ∠BOC=65°，OC平分∠MOB
∠MOB=2∠BOC=130°
∠BON=∠MOB-∠MON=130°-90°=40°
∠CON=∠COB-∠BON=65°-40°=25°
（3）解： ∠NOC= ∠AOM ∠AOM=4∠NOC ∠BOC=65°
∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-65°=115°
∠MON=90°
∠AOM+∠NOC=∠AOC-∠MON=115°-90°=25°
4∠NOC+∠NOC=25°
∠NOC=5°
∠NOB=∠NOC+∠BOC=70°
【解析】【解答】解：（1） ∠MON=90，∠BOC=65°
∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25°
【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MON的度数；（2）根据角平分线的性质，由∠BOC=65°，可以求得∠BOM的度数，然后由∠NOM-90°，可得∠BON的度数，从而得解；（3）由∠BOC=65°，∠NOM=90°，∠NOC= ∠AOM，从而可求得∠NOC的度数，然后由∠BOC=65°，从而得解.
14．某商场销售A，B两种型号的红外测温仪，进价分别为160元/台和120元/台．近两周的销售情况如下表：
销售时段 销售数量 销售总额
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（1）求A，B两种型号的红外测温仪的销售单价分别为多少元/台；
（2）若进价不变，商场准备用至多7500元再采购这两种型号的红外测温仪50台，求A种型号的红外测温仪最多能采购多少台？
【答案】（1）解：设A种型号的红外测温仪的销售单价为x元，B种型号的红外测温仪的销售单价为y元，
依题意，得： ，
解得： ．
答：A种型号的红外测温仪的销售单价为200元，B种型号的红外测温仪的销售单价为150元．
（2）解：设A种型号的红外测温仪采购了m台，则B种型号的红外测温仪采购了（50﹣m）台，
依题意，得：160m+120（50﹣m）≤7500，
解得：m≤ ．
∵m为正整数，
∴m可取得最大值为37．
答：A种型号的红外测温仪最多能采购37台．
【解析】【分析】（1） 设A种型号的红外测温仪的销售单价为x元，B种型号的红外测温仪的销售单价为y元， 根据近两周的销售情况数据表，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2） 设A种型号的红外测温仪采购了m台，则B种型号的红外测温仪采购了（50﹣m）台， 根据总价=单价×数量结合总价不超过7500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大值即可得出结论。
15．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE。
（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长。
【答案】（1）证明：如图1，在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF(SAS)，
∴CE=CF
（2）解：GE=BE+GD成立，理由如下：
由（1）知△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF(SAS)．
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD
即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG(SAS)，
∴GE=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD.
（3）解：过C作CH⊥AD的延长线于点H．则四边形ABCH是正方形．
AE=AB-BE=12-4=8，
设DH=x，则AD=12-x，
根据（2）可得：DE=BE+DH=4+x，
在直角△ADE中，AE2+AD2=DE2，则82+（12-x）2=（4+x）2，
解得：x=6．
则DE=4+6=10
【解析】【分析】此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用.
小题1：由四边形是ABCD正方形，易证得△CBE≌△CDF（SAS），即可得CE=CF； 小题2：由（1）知△CBE≌△CDF，易证得∠ECF=∠BCD=90°，又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可证得△ECG≌△FCG，继而可得GE=BE+GD； 小题3：补全图形，利用二中结论转化45°条件，设边长结合勾股定理，解方程即可求得DE的长.
16．科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用种机器人80台，种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用，两种机器人各50台，1小时共可以分拣4500件包裹．
（1）求，两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹；
（2）快递公司计划再购进，两种机器人共200台．若要保证购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于9000件，求最多应购进种机器人的台数．
【答案】（1）解：设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，
根据题意，得
解得，
答：A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹．
（2）解：设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台．
根据题意，得40m+50（200-m）≥9000，
解得m≤100．
答：最多应购进A种机器人100台．
【解析】【分析】（1）设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，根据题意列出不等式40m+50（200-m）≥9000求解即可。
17．七年级某班开展劳动教育实践活动，植树节当日第一小组分配到的是植树任务，以下是该小组两位同学的对话，请根据对话内容计算第一小组有多少人和准备种多少棵树．
【答案】第一小组有人和准备种棵树
18．如图，在中，，点、分别在、上，，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵将线段绕点按顺时针方向旋转后得，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴.
（2）解：由（1）可知，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明即可；
（2）先利用全等三角形的性质和角的运算求出∠DCE，再利用EF//CD可得，从而可得。
19．如图，∠BCA=90°，AC=BC，BE⊥CF于点E，AF⊥CF于点F，其中0＜∠ACF＜45°.
（1）求证：△BEC≌△CFA；
（2）若AF=5，EF=8，求BE的长.
【答案】（1）证明：∵BE⊥CF，∠BCA=90°，
∴∠B+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，
AF⊥CF，∠B=∠ACF，
∵BE⊥CF，AF⊥CF
∴∠BEC=∠AFC=90°
在△BEC和△CFA中
∴△BEC≌△CFA；
（2）解：∵△BEC≌△CFA
∴CE=AF=5，BE=CF，
∵FC=CE+EF=5+8=13
∴BE=13
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等，可得∠B=∠ACF，根据“AAS”可证△BEC≌△CFA；
（2） 根据全等三角形的对应边相等，可得CE=AF=5，BE=CF，由FC=CE+EF，求出CF的长即可.
20．“双11”期间，某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品的每件进价比乙种商品的每件进价少20元．若购进甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价分别是多少元？
（2）该商场从厂家购进了甲、乙两种商品各10件，均按每件160元进行销售，销售一段时间后，把剩下的商品按6折销售完，若总获利为1080元，求该商场打折销售的商品是多少件？
【答案】（1）解：设乙种商品每件进价为元，则甲种商品每件进价为元，
由题意得：，
解得，
则，
答：甲、乙两种商品的每件进价分别是80元，100元．
（2）解：设该商场打折销售的甲种商品是件，打折销售的乙种商品是b件，则
甲商品打折前后总利润
（10-a）(160-80)+160×0.6a-80a
=800-64a
乙商品打折前后总利润
（10-b）(160-100)+160×0.6b-100b
=600-64b
即800-64a+600-64b=1080
解得，，
答：该商场打折销售的商品是5件
【解析】【分析】（1）设乙种商品每件进价为元，则甲种商品每件进价为元，然后利用“甲种商品7件，乙种商品2件，需要760元”列方程解题即可；
（2）设该商场打折销售的甲种商品是件，打折销售的乙种商品是b件，然后求出打折前后的利润，根据“总获利为1080元”列方程解题即可．
（1）解：设乙种商品每件进价为元，则甲种商品每件进价为元，
由题意得：，
解得，
则，
答：甲、乙两种商品的每件进价分别是80元，100元．
（2）解：设该商场打折销售的甲种商品是件，打折销售的乙种商品是b件，则
，
整理得到，，
答：该商场打折销售的商品是5件．
21．某天，一蔬菜经营户用234元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和茄子共50公斤到菜市场去卖，西红柿和茄子这天的批发价与零售价如下表所示：
品名 西红柿 茄子
批发价（单位：元 /公斤） 4.8 4.5
零售价（单位：元/公斤） 6 5.5
问：
（1）该经营户当天在蔬菜批发市场批了西红柿和茄子各多少公斤？
（2）他当天卖完这些西红柿和茄子能赚多少钱？
【答案】（1）解：设西红柿x公斤，茄子（50-x）公斤，依题可得：
4.8x+4.5（50-x）=234，
解得：x=30，
∴50-30=20（公斤）．
答：西红柿30公斤，茄子20公斤.
（2）解：依题可得：
每公斤西红柿利润：6-4.8=1.2（元），
每公斤茄子利润：5.5-4.5=1（元），
∴当天的利润=30×1.2+20×1=56（元）．
答：他当天卖完这些西红柿和茄子能赚56元.
【解析】【分析】（1）设西红柿x公斤，茄子（50-x）公斤，根据等量关系式西红柿的总价+茄子的总价=234，列出一元一次方程，解之即可得出答案.
（2）由表格可知每公斤西红柿利润：6-4.8=1.2（元），每公斤茄子利润：5.5-4.5=1（元），再根据总利润=西红柿的数量×每公斤西红柿利润+茄子的数量×每公斤茄子利润即可得出答案.
22．某学校举行知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣2分，不答得0分．若规定参赛者每道题都必须作答且总得分不低于84分才可以被评为“知识小达人”，则参赛者至少需答对多少题才能被评为“知识小达人”？
【答案】至少需答对23道题
23．解不等式与不等式组：
（1）解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
（2）求不等式组的整数解．
（3）解不等式组．
【答案】（1）解： ，
，
，
，
则 ；
将解集表示在数轴上如下：
（2）解：由 得： ，
由 得： ，
则不等式组的解集为 ，
∴不等式组的整数解为 、 、 、 ；
（3）解：由 得： ，
由 得： ，
∴不等式组的解集为 ．
【解析】【分析】（1）先求出不等式的解集，再在数轴上表示即可；
（2）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再求出其整数解即可.
（3）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集即可.
24．某超市第一次用6500元购进甲、乙两种商品，其中甲商品件数比乙商品件数的2倍少60件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（利润售价进价）：
甲 乙
进价（元/件） 37 35
售价（元/件） 50 42
（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品的件数分别是多少？
（2）第一次甲、乙两种商品全部售完后，该超市第二次以同样的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲商品件数是第一次的2倍，乙商品的件数不变，甲商品打折销售，乙商品按原价销售，第二次甲、乙两种商品销售完以后获得的利润比第一次获得的利润多300元，求第二次甲商品是按原价打几折销售的？
【答案】（1）该超市第一次购进甲种商品100件，购进乙种商品80件；
（2）第二次甲商品是按原价打九折销售．
25．某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件需440元．
（1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？
（2）商店准备用不超过1615元购进50件这两种商品，求购进A种商品最多是多少件？
【答案】（1）解：设A种商品每件进价x元，B种商品每件进价y元
由题意得 解得
答：A种商品每件进价40元，B种商品每件进价25元．
（2）解：设购进A种商品的件数为m，则购进B种商品的件数为（50-m）
由题意得40m+25（50-m）≤1615
解得m≤
∵m为正整数，
∴m的最大值为24
答：最多购进A种商品24件
【解析】【分析】列方程组及列不等式解应用题的关键是准确找出相等或不等关系。
26．如图，已知A，B分别为数轴上的两点，点A表示的数是 ，点B表示的数是50．
（1）请写出线段AB中点M表示的数是 ．
（2）现有一只蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设两只蚂蚁在数轴上的点C相遇，求点C对应的数是多少？
（3）若蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时另一只蚂蚁Q恰好从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左运动，设两只蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点表示的数是多少？
【答案】（1）10
（2）解：∵A、B两点间的距离为：50-（-30）=80，
两只蚂蚁在数轴上的点C相遇时所用的时间为：80÷（3+2）=16（秒）；
∴点C对应的数是：50-16×3=2
（3）解：D点表示的数是：50-[50-（-30）]÷（3-2）×3=-190
【解析】【解答】解：（1）AB=50+（-30）=20，
∴AB中点M表示的数是10．
故答案为：10；
【分析】（1）算出AB的距离除2即可；（2）算出A、B两点间的距离，再求出点C相遇时所用的时间，从而可计算点C对应的数；（3）D点表示的数计算为：50-[50-（-30）]÷（3-2）×3=-190
27．一个两层书架，上层放的书比下层的3倍还多18本，如果把上层的书拿出101本放到下层，那么两层所放的书本数相等．原来上、下层各有书几本？（用方程解）
【答案】原来下层有92本书，则原来上层有294本书
28．平高集团有限公司准备生产甲、乙两种开关，共8万件，销往东南亚国家和地区。已知2件甲种开关与3件乙种开关销售额相同；3件甲种开关比2件乙种开关的销售额多1500元。
（1）甲种开关与乙种开关的销售单价各为多少元
（2）若甲、乙两种开关的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种开关多少万件？
【答案】（1）解：设甲种开关的销售单价x元，乙种开关的销售单价y元，依题意有：
，解得： ．
答：甲种开关的销售单价900元，乙种开关的销售单价600元
（2）解：设销售甲种开关a万件，依题意有：
900a+600（8﹣a）≥5400，解得a≥2．
答：至少销售甲种开关2万件
【解析】【分析】（1）设甲种开关的销售单价x元，乙种开关的销售单价y元，依题意有相等关系：2件甲种开关的销售额=3件乙种开关的销售额，3件甲种开关的销售额-2件乙种开关的销售额，=1500，根据这两个相等关系列出方程组即可求解；
（2）根据题意得不等关系：甲种开关的收入+乙种开关的收入≥5400，根据不等关系列出不等式即可求解。即设销售甲种开关a万件，依题意有：900a+600（8﹣a）≥5400，解得a≥2．
29．某同学在A、B大型服装超市发现他看中的衣服单价相同，鞋子单价也相同，衣服和鞋子单价之和是486元，且衣服单价是鞋子单价的2倍多6元.
（1）求该同学看中的衣服和鞋子单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八五折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返，购物券全场通用，但只能用于下一次消费时抵扣），他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的两样物品，你能说明他选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
【答案】（1）解：设该同学看中的衣服单价是x元，鞋子单价是y元，依题意得：
解得
答：该同学看中的衣服单价是326元，鞋子单价是160元。
（2）解：该同学在A超市购买看中的两样物品，需付款：486×0.8=388.8元，在超市B先购买衣服，付款326元，返90元购物券，再购买鞋子，需付款160-90=70元，则在超市B一共付款326+70=396元
因为388.8<396，所以在超市A购买更省钱。
【解析】【分析】（1） 设该同学看中的衣服单价是x元，鞋子单价是y元 ，根据衣服和鞋子单价之和是486元，且衣服单价是鞋子单价的2倍多6元列出方程组，求解即可；
（2）根据标价乘以折扣率等于售价即可算出该同学在A超市购买看中的两样物品需付款 的钱数；根据B超市的优惠方案，应该先在超市B先购买衣服，付款326元，返90元购物券，再购买鞋子，需付款160-90=70元，从而算出在超市B一共付款 的钱数，进行比较即可得出结论。
30．新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同.
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元
（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂
【答案】（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格是x元，则乙品牌消毒剂每瓶的价格是（3x-50）元，根据题意，得
去分母得300（3x-50）=400x
解得 x=30
经检验：x=30是所列方程的根，并且符合题意。
3x-50=40
答：甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是30元，40元；
（2）设购买了m瓶乙品牌消毒剂，则购买了（40-m）瓶甲品牌的消毒剂，根据题意，得
30（40-m）+40m=1400
解得 m=20
答：购买了20瓶乙品牌消毒剂。
【解析】【分析】（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格是x元，则乙品牌消毒剂每瓶的价格是（3x-50）元，利用总价除以单价分别表示出甲、乙的数量，然后利用“用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同”为相等关系列出方程求解即可；
（2）设购买了m瓶乙品牌消毒剂，则购买了（40-m）瓶甲品牌的消毒剂，利用购买总费用为1400元作为相等关系列出方程求解即可。
31．暑假里某班同学相约一起去某公园划船，在售票处了解到该公园划船项目收费标准如下：
船型 两人船（仅限两人） 四人船（仅限四人） 六人船（仅限六人） 八人船（仅限八人）
每船租金（元/小时） 100 130
（1）其中，两人船项目和八人船项目单价模糊不清，通过询问，了解到以下信息：
①一只八人船每小时的租金比一只两人船每小时的租金的2倍少30元；
②租2只两人船，3只八人船，游玩一个小时，共需花费630元．
请根据以上信息，求出两人船项目和八人船项目每小时的租金；
（2）若该班本次共有18名同学一起来游玩，每人乘船的时间均为1小时，且每只船均坐满，试列举出可行的方案（至少四种），通过观察和比较，找到所有方案中最省钱的方案．
【答案】（1）解：设两人船每艘x元/小时，则八人船每艘（2x﹣30）元/小时，
由题意，可列方程2x+3（2x﹣30）＝630，
解得：x＝90，
∴2x﹣30＝150，
答：两人船每艘90元，则八人船每艘150元；
（2）解：如下表所示：
两人船 四人船 六人船 八人船 共花费
方案一 9 810
方案二 3 390
方案三 1 4 490
方案四 1 2 390
…
两人船 四人船 六人船 八人船 共花费
最省钱方案 1 1 1 380
【解析】【分析】（1）设两人船每艘x元/小时，则八人船每艘（2x﹣30）元/小时，根据“租2只两人船，3只八人船，游玩一个小时，共需花费630元”列方程求解可得；（2）将18人按2人、4人、6人、8人或相互组合的方式，分别计算可得．
32．如图，网格中小正方形的边长均为1，是格点三角形（即三角形的顶点都在格点上），请仅用无刻度的直尺作图．
（1）在图（1）中作出的中线；
（2）请在图（2）中找一格点E，使得．
【答案】（1）解：如图，即为所求，
，
理由：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴是的中线；
（2）解：如图，即为所求，
，
理由：
连接，
，
根据勾股定理，可求，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴C，E到的距离相等，
∴．
【解析】【分析】根据要求作出图象即可。
33．有6位同学帮助美术老师装裱美术作品，其中有部分同学装裱过，是熟手，部分同学是生手，每20分钟，熟手可装裱3件，生手可装裱2件，经过2个小时，6位同学共装裱作品84件.
（1）如果设熟手为x位，那么生手是 位（用x表示）
（2）2小时熟手共装裱 个，生手共装裱 个，（用含x的代数式表示）
（3）列方程，求出熟手和生手各几位？
【答案】（1）6-x
（2）18x；72－6x
（3）解：由题意得:
18x+72－12x=84
解得:x=2
则6-x=4.
答:熟手2人,生手4人.
【解析】【解答】解：(1)一共6位同学,熟手为x位，那么生手6-x位.(2)2h=120min,120÷20=6,
熟手:6×3x=18x
生手:6×2(6-x)=72－12x
【分析】(1)根据题意用总人数减去熟手人数即可.(2)先算出两小时有多少个20分钟,再分别乘以装裱的数量.(3)根据题意可以得出熟手装裱总数加生手装裱总数共84件.
34．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，．
（1）将绕点旋转，请画出旋转后对应的．
（2）将平移，使点的对应点的坐标为，点的对应点为，点的对应点为，请画出平移后对应的．
（3）与关于点 成中心对称．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）D
【解析】【解答】解：（3）连接C1C2，B1B2，其交点为D，即点D为对称中心。坐标为（-1，-2）
【分析】（1）在坐标系作出A，B，C关于原点O的对称点，依次连接即可求出答案。
（2）由点A到点A2：先向左平移两个单位，再向下平移4个单位；根据词平移方法平移B，C，再依次连接即可求出答案。
（3）连接A1A2，B1B2，其交点为D，即点D为对称中心。
35．在中，，．
（1）若平分，，垂足为E，的延长线交于点O，求证：；
（2）在（1）的条件下，若，求线段的长；
（3）当点D为线段上一点（不与B，C重合），，，垂足为E，与相交于点F，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴.
（2）解：∵平分，
∴
∵，
∴
又∵
∴，
∴，即，
∵，
∴。
（3）解：，
理由如下：过点D作，交于点G，如图所示：
∴，
∴，
由（2）得，，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再结合AB=AC，利用“AAS”证出即可；
（2）先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得，即，再结合利用全等三角形的性质可得；
（3）过点D作，交于点G，先证出，再利用等角对等边的性质可得，，从而可证出．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴；
（2）∵平分，
∴
∵，
∴
又∵
∴，
∴，即，
∵，
∴；
（3），理由如下：
过点D作，交于点G，则，
∴
由（2）得，，
∴．
36．已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
【答案】证明：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，
∴CE＝CF，
∵∠B＋∠ADC＝180°．
∠ADC＋∠CDF＝180°（平角定义），
∴∠CDF＝∠B，
在△CDF和△CBE中，
，
∴△CDF≌△CBE（AAS），
∴DF＝BE，
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AE＝AF，
∵AF＝AD＋DF，
∴AE＝AD＋BE．
【解析】【分析】过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，利用“AAS”证明△CDF≌△CBE，得到AE=AF，再通过等量代换，即可证明出结论。
37．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE．求证：
（1）△ABC≌△ADE；
（2）AB=AD．
【答案】（1）证明：∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，
∴∠E=∠C．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）
（2）证明：∵△ABC≌△ADE，
∴AD=AE
【解析】【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可得∠E=∠C，再根据等式的性质可得∠BAC=∠DAE，然后再利用ASA定理证明△ABC≌△ADE；（2）利用全等三角形对应边相等可得AB=AD．
38．在ΔABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACE的平分线相交于点D．
（1）若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠A和∠D的度数．
（2）由⑴小题的计算结果，猜想，∠A和∠D有什么数量关系，并加以证明．
【答案】（1）解：在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，
∴∠A=180° ∠ABC ∠ACB=80°，
∵BD为∠ABC，CD为∠ACE的角平分线，
∴∠DBC= ∠ABC= ×60°=30°，
∠ACD= (180° ∠ACB)= ×140°=70°，
∴∠D=180° ∠DBC ∠ACB ∠ACD=180° 30° 40° 70°=40°，
∴∠A=80°，∠D=40°；
（2）解：通过第(1)的计算，得到∠A=2∠D，理由如下：
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE=∠D+∠DBC，
又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABD=∠DBE，∠ACD=∠ECD，
∴∠A=2(∠DCE ∠DBC)，∠D=∠DCE ∠DBC，
∴∠A=2∠D.
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，已知∠ABC=60°，∠ACB=40°，易求∠A，根据角平分线定义和外角的性质即可求得∠D度数.
（2）根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出∠D的等式，再与∠A比较即可解答．
39．列方程解决问题
某文具店出售的部分文具的单价如下表：
种类 单价
红黑双色中性笔 10元/支
黑色笔芯 6元/盒
红色笔芯 8元/盒
“双11”期间，因活动促销，黑色笔芯五折销售，红色笔芯七五折销售.小杰在此期间共购进红黑双色中性笔2支，红色笔芯与黑色笔芯共10盒，共花去74元.
（1）小杰黑色笔芯与红色笔芯各买多少盒？
（2）小杰此次购买比按原价购买共节约多少钱？
【答案】（1）解：促销后：黑笔芯：元/盒，红笔芯：，
设黑笔芯盒，红笔芯盒，
由②得③代入①，
，
，代入①中得，
∴，，
故，
答：黑笔芯2盒，红笔芯8盒；
（2）解：
（元），
（元），
答：共节约22元.
【解析】【分析】（1）先求出促销后：黑笔芯元/盒，红笔芯， 设黑笔芯盒，红笔芯盒， 根据“ 红色笔芯与黑色笔芯共10盒，共花去74元 ”列出方程组并解之即可；
（2）先求出原价，再减去74元即得结论.
40．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．
（1）求证：AC＝BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的长．
【答案】（1）证明：∵∠CAO＝90°﹣∠BDO，
∴∠CAO＝∠CBD．
在△ACD和△BCD中 ，
∴△ACD≌△BCD（AAS）．
∴AC＝BC；
（2）解：由（1）知∠CAD＝∠DEA＝∠DBO，
∴BD＝AD＝DE，过D作DN⊥AC于N点，如图所示：
∵∠ACD＝∠BCD，
∴DO＝DN，
在Rt△BDO和Rt△EDN中 ，
∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL），
∴BO＝EN．
在△DOC和△DNC中，
∴△DOC≌△DNC（AAS），
∴OC＝NC；
∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝8．
【解析】【分析】（1）由题意∠CAO＝90°﹣∠BDO，可知∠CAO＝∠CBD，CD平分∠ACB与y轴交于D点，所以可由AAS定理证明△ACD≌△BCD，由全等三角形的性质可得AC＝BC；（2）过D作DN⊥AC于N点，可证明Rt△BDO≌Rt△EDN、△DOC≌△DNC，因此，BO＝EN、OC＝NC，所以，BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC，即可得BC+EC的长．
41．某商场计划经销A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如下表所示．
A型 B型
进价（元/盏） 40 65
售价（元/盏） 60 100
（1）若该商场购进这批台灯共用去2500元，问这两种台灯各购进多少盏？
（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？
（3）若该商场预计用不少于2500元且不多于2600元的资金购进这批台灯，为了打开B种台灯的销路，商场决定每售出一盏B种台灯，返还顾客现金a元（10＜a＜20），问该商场该如何进货，才能获得最大的利润？
【答案】（1）解：设该商场购进A种台灯x盏，购进B种台灯（50﹣x）盏，由题意得：40x+65（50﹣x）=2500，解得：x=30，∴该商场购进A种台灯30盏，购进B种台灯20盏．
（2）解：设购进B种台灯y盏，由题意得：35y+20（50﹣y）≥1400，解得：y≥ ，∴y的最小整数解为27，∴至少需购进B种台灯27盏
（3）解：设该商场购进A种台灯m盏，由题意得：2500≤40m+65（50﹣m）≤2600，解得：26≤m≤30，设该商场获得的总利润为w元，则w=20m+（35﹣a）（50﹣m）=（a﹣15）m+1750﹣50a．∵10＜a＜20，∴当10＜a≤15时，m=26，即购进A种台灯26盏，购进B种台灯24盏，该商场获得的总利润最大；
当15＜a＜20时，m=30，即购进A种台灯30盏，购进B种台灯20盏，该商场获得的总利润最大．
【解析】【分析】（1）设出商场购入两种灯的数量，再结合表格中灯的价格，即可根据“共用去2500元”列出一元一次方程；（2）设出购进B种灯的数量，并表示出购进A种灯的数量，再根据“总利润不少于1400元”列出一元一次不等式组；（3）先根据购入的资金范围求得购入A种灯的数量m的范围，从而用m表示出商场获得的总利润w，再根据a的取值范围求得利润最大时两种灯购入的数量.
42．已知直角三角板 和直角三角板 ， ， ， ．
（1）如图1，将顶点C和顶点D重合，保持三角板 不动，将三角板 绕点 旋转，当 平分 时，求 的度数；
（2）在（1）的条件下，继续旋转三角板 ，猜想 与 有怎样的数量关系？并利用图2所给的情形说明理由；
（3）如图3，将顶点C和顶点E重合，保持三角板 不动，将三角板 绕点C旋转．当 落在 内部时，直接写出 与 之间的数量关系．
【答案】（1）解：∵ 平分
∴
∴
（2）解：猜想：
理由：∵
∴
（3）解：因为CA在∠DCF内侧，
所以∠DCA=∠DCF-∠ACF=45°-∠ACF，∠BCF=∠BCA-∠ACF=90°-∠ACF，
所以 或
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质求出∠FCA，即可求出∠ACE；（2）根据同角的余角相等即可求出；（3）∠ACD和∠BCF都和∠ACF关系紧密，分别表示它们与∠ACF的关系即可求解．
43．如图，动点A从-2表示的点向数轴的正方向运动，同时，动点B也从点+4向数轴的负方向运动，2秒钟后相遇，已知动点A的速度为1单位长度/秒．
（1）求出动点B的速度；
（2）若A、B两点从开始位置上同时按照原速度向数轴负方向运动，几秒后，点D（-1）使得线段AD：BD=2：3：
（3）若A、B两点从原始点位置上同时按照原速度向数轴负方向运动，此时C点立即从+6点以3单位长度/秒的速度处追赶动点B，当C点追上B点时立即返回向数轴正方向运动，当点B追上A点时，C点立即停止，问：此时点C在什么位置？
【答案】（1）解：设动点B的速度为x单位长度/秒，根据题意得：
2（1+x）=4-(-2)
解之：x=2
答：动点B的速度为2单位长度/秒.
（2）解：设t秒后，点D（-1）使得线段AD：BD=2：3：
①当点B在点D的右侧时
∵AD：BD=2：3
∴（1+t）：（5-2t）=2：3
解之：t=1；
②当点B在点D的左侧时，
（1+t）：（2t-5）=2：3
解之：t=13
答1秒或13秒后点D（-1）使得线段AD：BD=2：3.
（3）解：C追上B的时间：（6-4）÷（3-2）=2秒
此时C的位置：6-3×2=0
B追上A的时间：（4+2）÷（2-1）=6（秒）
此时C的位置：0+3×（6-2）=12
【解析】【分析】（1）动点B的速度为x单位长度/秒，根据相遇时两者的路程和为6，列方程求解即可。
（2）抓住已知点A、B是按原速度向数轴负方向运动，分两种情况讨论：①当点B在点D的右侧时；②当点B在点D的左侧时，分别用含t的代数式表示出AD、BD的长，根据AD：BD=2：3，建立关于t的方程，求解即可。
（3）分别求出C追上B的时间，就可的点C的位置；再求出B追上A的时间，就可得出此时C的位置。
44．已知，如图，把直角三角形 的直角顶点 放在直线 上，射线 平分 .
（1）如图，若 ，求 的度数.
（2）若 ，则 的度数为 .
（3）由（1）和（2），我们发现 和 之间有什么样的数量关系？
（4）若将三角形 绕点 旋转到如图所示的位置，试问 和 之间的数量关系是否发生变化？请说明理由.
【答案】（1）解： ，
.
又 ，
.
平分 ，
.
，
（2）
（3）解：
（4）解：不变.理由如下：
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
即
【解析】【解答】解：（2） ，
.
又 ，
.
平分 ，
.
，
.
故答案为 （若不带“度”不扣分）
【分析】（1）根据角平分线和互为余角的意义，可求出， 再根据互为补角求出 的度数即可；
（2）由（1）的计算过程，将 ，进行激素啊吧即可得出答案；
（3）根据（1）（2）的解题过程得出；
（4）根据角平分线和互为余角的意义可得，再根据互为补角的意义可得 ，即 。
45．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.
（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数是 ；
（2）数轴上存在点P到点A、点B的距离之和为10，则x＝ ；
（3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则﹣3表示的点与数 表示的点重合；
（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是：M： ，N： .
【答案】（1）1
（2）﹣4或6
（3）5
（4）﹣1009.5；1012.5
【解析】【解答】解：（1）∵点P到点A、点B的距离相等，
∴点P为线段AB的中点，
∴点P对应的数为1；
故答案为：1；
（2）∵点P到点A、点B的距离之和为10，
对点P的位置分情况讨论如下：
①点P在点A左边，
∵点P到点A、点B的距离之和为10，且线段AB的距离为4，
∴点P到点A的距离为3，
∴x＝﹣4；
②点P在线段AB上，不符合题意，舍去；
③点P在点B右边，
∵点P到点A、点B的距离之和为10，且线段AB的距离为4，
∴点P到点B的距离为3，
∴x＝6；
∴综上所述：x＝﹣4或6；
故答案为：﹣4或6；
（3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则对折点对应的数值为1，
∵﹣3到1的距离为4，
∴5到1的距离也为4，
∴则﹣3表示的点与数5表示的点重合；
故答案为：5；
（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M，N两点经过（3）折叠后互相重合，则对折点对应的数值为1，
∴点M到1的距离为1010.5，
∴M对应的数为﹣1009.5，
∵点N到1的距离为1010.5，
∴N点对应的数为1012.5.
故答案为：﹣1014.5，1016.5.
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）对点P的位置分情况讨论如下：①点P在点A左边，则有点P到点A的距离为3，进而求解即可；②点P在线段AB上，不符合题意，舍去；③点P在点B右边，则有点P到点B的距离为3，进而求解即可；
（3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则对折点对应的数值为1，然后根据题意进行求解即可；
（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M，N两点经过（3）折叠后互相重合，则对折点对应的数值为1，然后根据题意进行求解即可.
46．某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于 ，求a的最大值．
【答案】（1）解：由题意得
，
解得： ；
答：m、n的值分别为10和14；
（2）解：根据题意 ，
解得： ，
因为x是整数
所以x为58、59、60 ；
∴共3种方案，分别为：
方案一购甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；
方案二购甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；
方案三购甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；
（3）解：方案一的利润为： 元，
方案二的利润为： 元，
方案三的利润为： 元，
利润最大值为 元，甲售出 ，乙售出 ，
∴
解得：
答：a的最大值为1.8；
【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值；（2）根据题意，列出一元一次不等式组，解方程组即可得到购买方案；（3）分别求出三种方案的利润，然后列出不等式，即可求出答案．
47．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC，∠BOC的度数；
（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度数；
（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．
【答案】（1）解：∵∠AOC：∠BOC=1：2，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠AOB=×120°=40°，
∠BOC=∠AOB=×120°=80°；
（2）解：∵OM平分∠AOC，
∴∠COM=∠AOC=×40°=20°，
∵∠CON：∠BON=1：3，
∴∠CON=∠BOC=×80°=20°，
∴∠MON=∠COM+∠CON=20°+20°=40°；
（3）解：如图，当OD在∠AOB内部时，
设∠BOD=x°，
∵2∠AOD=3∠BOD，
∴∠AOD=，
∵∠AOB=120°，
∴x+=120，
解得：x=48，
∴∠BOD=48°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=80°-48°=32°，
如图，当OD在∠AOB外部时，
设∠BOD=y°，
∵2∠AOD=3∠BOD，
∴∠AOD=，
∵∠AOB=120°，
∴+y+120°=360°
解得：y=96°，
∴∠COD=∠BOD+∠BOC
=96°+80°
=176°，
综上所述，∠COD的度数为32°或176°．
【解析】【分析】（1） 由∠AOC：∠BOC=1：2 ，可得∠AOC=∠AOB，∠BOC=∠AOB ，据此计算即可
（2）由角平分线的定义可得∠COM=∠AOC=20°，由∠CON：∠BON=1：3，可得∠CON=∠BOC=20°， 根据∠MON=∠COM+∠CON计算即可；
（3） 分两种情况：当OD在∠AOB内部时和当OD在∠AOB外部时， 据此分别求解即可.
48．如图，已知CD∥EF，A，B分别是CD和EF上一点，BC平分∠ABE，BD平分∠ABF
（1）证明：BD⊥BC；
（2）如图，若G是BF上一点，且∠BAG=50°，作∠DAG的平分线交BD于点P，求∠APD的度数：
（3）如图，过A作AN⊥EF于点N，作AQ∥BC交EF于Q，AP平分∠BAN交EF于P，直接写出∠PAQ= .
【答案】（1）证明：∵BC平分∠ABE，BD平分∠ABF
∴∠ABC= ∠ABE，∠ABD= ∠ABF
∴∠ABC+∠ABD= （∠ABE+∠ABF）= ×180°=90°
∴BD⊥BC
（2）解：∵CD∥EF
BD平分∠ABF
∴∠ADP=∠DBF= ∠ABF，∠DAB+∠ABF=180°
又AP平分∠DAG，∠BAG=50°
∴∠DAP= ∠DAG
∴∠APD=180°－∠DAP－∠ADP
=180°－ ∠DAG－ ∠ABF
=180°－ (∠DAB－∠BAG)－ ∠ABF
=180°－ ∠DAB+ ×50°－ ∠ABF
=180°－ (∠DAB+∠ABF)+25°
=180°－ ×180°+25°
=115°
（3）45°
【解析】【解答】（3）解：如图，
∵AQ∥BC
∴∠1=∠4，∠2+∠3+∠4=180°，
∵BC平分∠ABE，
∴∠1=∠2=∠4，
∴ ∠3+∠4=90°，
又∵CD∥EF，AN⊥EF，AP平分∠BAN
∴∠PAN= （90°-∠3），∠NAQ=90°-∠4，
∴∠PAQ=∠PAN+∠NAQ= （90°-∠3）+（90°-∠4）
=45°- ∠3+90°-∠4
=135°-（ ∠3+∠4）
=135°-90°
=45°.
【分析】（1）根据角平分线和平角的定义可得∠CBD=90°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠ADP=∠DBF= ∠ABF，∠DAB+∠ABF=180°，∠DAP= ∠DAG，然后根据出三角形内角和即可求出∠APD的度数；（3）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠1=∠2=∠4，∠2+∠3+∠4=180°，即 ∠3+∠4=90°，根据垂直和平行线的性质以及角平分线的定义可得∠PAN= （90°-∠3），∠NAQ=90°-∠4，则∠PAQ=∠PAN+∠NAQ= （90°-∠3）+（90°-∠4），代入计算即可求解.
49．已知线段AB＝30cm
（1）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段点B向点A以3cm/s的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？
（2）如图1，几秒后，点P、Q两点相距10cm？
（3）如图2，AO＝4cm，PO＝2cm，当点P在AB的上方，且∠POB＝60°时，点P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q的运动速度．
【答案】（1）解：设经过ts后，点P、Q相遇．
依题意，有2t+3t=30，
解得：t=6．
答：经过6秒钟后，点P、Q相遇
（2）解：设经过xs，P、Q两点相距10cm，由题意得
2x+3x+10=30或2x+3x﹣10=30，
解得：x=4或x=8．
答：经过4秒钟或8秒钟后，P、Q两点相距10cm
（3）解：点P，Q只能在直线AB上相遇，
则点P旋转到直线AB上的时间为 = 4（s）或 =10（s）．
设点Q的速度为ycm/s，则有4y=30 - 2，解得 y=7；
或10y=30﹣6，解得y=2.4；
答：点P的速度为7cm/s或2.4cm/s
【解析】【分析】（1）根据相遇时，点P和点Q的运动的路程和等于AB的长列方程即可求解；（2）设经过xs，P、Q两点相距10cm，分相遇前和相遇后两种情况建立方程求出其解即可；（3）由于点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分2种情况，所以根据题意列出方程分别求解
50．已知：在中，于点D，于点E，与交于点G．
（1）如图，求证：；
（2）如图，若，求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，连接，若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴和是直角三角形．
在和中，
，，
∵，
∴；
（2）证明：∵，，
∴．
在和中，，
∴，
∴；
（3）解：过点D作交于点F，如图所示，
∵，，
∴．
由（2）可知：
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴ ，
∴．
【解析】【分析】（1）先求出 和是直角三角形，再计算求解即可；
（2）根据垂直先求出，再利用全等三角形的判定与性质证明即可；
（3）先求出 ，再求出 ， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
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