河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高一下学期第三次月考数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省南阳市第一中学校2024-2025学年高一下学期第三次月考数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 993.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-08 23:59:19 | ||
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文档简介
南阳一中高一年级第三次月考数学学科试题
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（ ）
A． B． C． D．
2．设是三条直线，是三个平面，若，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则异面
C．若，，，则 D．若，，则
3．若，则的值为（ ）
A． B．1
C． D．2
4．如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知锐角，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的对称中心为
B．若，则的最大值为
C．若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为
D．若，则
二、多选题（每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．已知复数，下列结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C． D．
10．如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形
B．的面积是的面积的2倍
C．是等腰直角三角形
D．的周长是
11．在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知i是虚数单位，是关于x的方程的一个根，则 ．
13．如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，
①平面；②平面；
③平面平面；④平面平面.
以上四个命题中，正确命题的序号是 .
14．在中，角，，所对的边分别为，，，已知的外接圆的半径为1，且，，则的面积为 .
四、解答题（共77分）
15．（13分）已知复数，．
(1)若z为纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
16．（15分）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证：
(1)四边形EFGH为梯形；
(2)直线EH，BD，FG相交于一点．
17．（15分）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，，求的周长.
18．（17分）记△ABC中三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c．如图所示，点M，N分别是函数与直线的两个交点，其中
（1）求边b及角B的值
（2）求 面积的最大值
（3）若为锐角三角形，求的取值范围为
19．（17分）已知几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角的对边分别为，现以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
南阳一中高一年级第三次月考数学 答案
1．A.的虚部为2，的实部为，所求复数为．故选：A
2．【答案】C 【详解】对于选项A，若，，则与平行、相交或异面，所以A错误；
对于选项B，若，，，则与可能相交，平行，异面，所以B错误；
对于选项C，因为，，，所以且，所以，所以C正确；
对于选项D，若，，则与可能相交，如三棱柱的三个侧面，所以D错误．
3．【答案】D 【详解】因为，所以，所以，所以，所以
，故选：D
4．【答案】A 【详解】将三棱锥的侧面沿着剪开，如图所示：
因为的周长的最小值为，所以当四点共线时，的周长最小，即，
又因为，所以，即，又因为三棱锥是正三棱锥，
所以，即侧棱SA，SC的夹角为.故选：A
5．【答案】A 【详解】易知，
又，当时，，显然；
若在区间上单调递增，可得，解得.故选：A
6．【答案】B 【详解】因为，则，
因为，则，两式相加可得，则，又，所以，即，
代入可得，，则，即，所以，则.故选：B
7．【答案】C 【详解】由，可得，即，
所以，则
，当且仅当时，即，即时，也就是时，等号成立.故选：C
8．【答案】D【详解】对A：.
由，，，所以函数的对称中心为，故A错误；
对B：.
设，则，且，所以，当时，.故B错误；
对C：.
因为且，所以.
所以.所以圆心角为，半径为3的扇形的面积为：，故C错误；
对D：由.
所以，故D正确.故选：D
9．【答案】AC 【详解】设，
则，，A正确；
当时，，因此B错误；，
，C正确；
时，，，D错．
【答案】CD 【详解】在原图形中，O为的中点，，因为，所以，,，则是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示：
所以的周长是，面积是4，故A错误，C，D正确.
在中，，过作轴垂线，垂足为，，
所以，所以的面积是，的面积是，
的面积是的面积的倍，故B错误.故选：CD
11．【答案】ABD 【详解】∵在中，内切圆半径为，，故，A项正确；又，由正弦定理得，整理得：，故B项正确；∴，即，
又，，故,
则，故，故，
又，故，，D项正确.因为，，由正弦定理的
故，故C项错误，.故选：ABD.
12．【答案】 【详解】因为是关于x的方程的一个根，
所以，即，则，解得，
所以.故答案为：.
13．【答案】①②③④【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示，
对于①，因为，平面，平面，所以平面，命题①正确；对于②，，平面，平面，所以平面，命题②正确；对于③，，面，面，，面，面，所以面，面，又，、平面，
所以平面平面，命题③正确；
对于④，，面，面，，面，面，
所以面，面，又，、平面，
所以平面平面，命题④正确.
14．【答案】 【详解】因为，由正弦定理可得，
整理可得，且，
即，由正弦定理可得，因为的外接圆的半径为1，由正弦定理可知，则，，又因为，由余弦定理可得，且，则，可得，，所以的面积为.
15．（13分）【详解】（1）因为z是纯虚数，所以，解得； ......................6分
（2）在复平面内z对应的点为， ..............................8分
由题意可得，..............................10分
解得，..............................12分
即m的取值范围是...............................13分
16．（15分）【详解】（1）由题意，作图如下：
连接、， .......................1 分
因为空间四边形中，分别是的中点，
所以，且，.......................3 分
又因为， 所以，且，.......................5 分
所以，且， 故四边形为梯形.......................7 分
（2）由（1）知四边形为梯形，且是梯形的两腰，
所以相交于一点，设交点为.......................9 分
因为平面，所以平面，.......................11 分
同理平面，而平面平面，所以，.......................13 分
故点是直线的公共点，即直线相交于一点........................15分
17．15分【详解】（1）在中，由正弦定理得.
因为，所以，.........................2分
化简得........................4分
在中，由余弦定理得.
又因为，所以.........................6分
（2）由，可得，
又，所以，得到，即，........................9分
所以，
，又，........................11分
由正弦定理得，得到，
解得，，........................13分
故的周长为.........................15分
18．17分【详解】（1）由图可得，而，故，.........................1 分
注意到或，.......................... 2分
由题可得，........................3分
所以 b= ........................4分
（2），
由余弦定理，，........................ 5分
由基本不等式，，当且仅当取等号.........................6分
则， .........................7分
所以 面积的最大值为.........................8分
（3）因是锐角三角形，，则.
.........................9分
，
,
其中，，因，，则...............11分
又.因，则，.........................12分
又， 则在上单调递增，在上单调递减，..........................14分
则，
因，则..........................16分
故.........................17分
19．17分【详解】（1）∵，∴，
∵，∴，.........................2分
∴，.........................3分
∴，故，.......................5分
∵，∴，∴，故，.........................6分
∵，∴..........................7分
（2）
如图，连接，，由正弦定理得，，，
∴， ...........................9分
∵等边的面积，
∴， ..........................11分
∵等边三角形的外心也是等边三角形的内心，∴
∵，∴， ..........................13分
在中，由余弦定理得，，
∴，即，
在中，由余弦定理得，，即，..........................15分
∴，，故，..........................16分
∴的周长为...........................17分
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（ ）
A． B． C． D．
2．设是三条直线，是三个平面，若，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则异面
C．若，，，则 D．若，，则
3．若，则的值为（ ）
A． B．1
C． D．2
4．如图，是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知锐角，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（ ）
A．函数的对称中心为
B．若，则的最大值为
C．若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为
D．若，则
二、多选题（每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．已知复数，下列结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C． D．
10．如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形
B．的面积是的面积的2倍
C．是等腰直角三角形
D．的周长是
11．在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知i是虚数单位，是关于x的方程的一个根，则 ．
13．如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，
①平面；②平面；
③平面平面；④平面平面.
以上四个命题中，正确命题的序号是 .
14．在中，角，，所对的边分别为，，，已知的外接圆的半径为1，且，，则的面积为 .
四、解答题（共77分）
15．（13分）已知复数，．
(1)若z为纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
16．（15分）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证：
(1)四边形EFGH为梯形；
(2)直线EH，BD，FG相交于一点．
17．（15分）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，，求的周长.
18．（17分）记△ABC中三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c．如图所示，点M，N分别是函数与直线的两个交点，其中
（1）求边b及角B的值
（2）求 面积的最大值
（3）若为锐角三角形，求的取值范围为
19．（17分）已知几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，内角的对边分别为，现以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，，且.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
南阳一中高一年级第三次月考数学 答案
1．A.的虚部为2，的实部为，所求复数为．故选：A
2．【答案】C 【详解】对于选项A，若，，则与平行、相交或异面，所以A错误；
对于选项B，若，，，则与可能相交，平行，异面，所以B错误；
对于选项C，因为，，，所以且，所以，所以C正确；
对于选项D，若，，则与可能相交，如三棱柱的三个侧面，所以D错误．
3．【答案】D 【详解】因为，所以，所以，所以，所以
，故选：D
4．【答案】A 【详解】将三棱锥的侧面沿着剪开，如图所示：
因为的周长的最小值为，所以当四点共线时，的周长最小，即，
又因为，所以，即，又因为三棱锥是正三棱锥，
所以，即侧棱SA，SC的夹角为.故选：A
5．【答案】A 【详解】易知，
又，当时，，显然；
若在区间上单调递增，可得，解得.故选：A
6．【答案】B 【详解】因为，则，
因为，则，两式相加可得，则，又，所以，即，
代入可得，，则，即，所以，则.故选：B
7．【答案】C 【详解】由，可得，即，
所以，则
，当且仅当时，即，即时，也就是时，等号成立.故选：C
8．【答案】D【详解】对A：.
由，，，所以函数的对称中心为，故A错误；
对B：.
设，则，且，所以，当时，.故B错误；
对C：.
因为且，所以.
所以.所以圆心角为，半径为3的扇形的面积为：，故C错误；
对D：由.
所以，故D正确.故选：D
9．【答案】AC 【详解】设，
则，，A正确；
当时，，因此B错误；，
，C正确；
时，，，D错．
【答案】CD 【详解】在原图形中，O为的中点，，因为，所以，,，则是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示：
所以的周长是，面积是4，故A错误，C，D正确.
在中，，过作轴垂线，垂足为，，
所以，所以的面积是，的面积是，
的面积是的面积的倍，故B错误.故选：CD
11．【答案】ABD 【详解】∵在中，内切圆半径为，，故，A项正确；又，由正弦定理得，整理得：，故B项正确；∴，即，
又，，故,
则，故，故，
又，故，，D项正确.因为，，由正弦定理的
故，故C项错误，.故选：ABD.
12．【答案】 【详解】因为是关于x的方程的一个根，
所以，即，则，解得，
所以.故答案为：.
13．【答案】①②③④【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示，
对于①，因为，平面，平面，所以平面，命题①正确；对于②，，平面，平面，所以平面，命题②正确；对于③，，面，面，，面，面，所以面，面，又，、平面，
所以平面平面，命题③正确；
对于④，，面，面，，面，面，
所以面，面，又，、平面，
所以平面平面，命题④正确.
14．【答案】 【详解】因为，由正弦定理可得，
整理可得，且，
即，由正弦定理可得，因为的外接圆的半径为1，由正弦定理可知，则，，又因为，由余弦定理可得，且，则，可得，，所以的面积为.
15．（13分）【详解】（1）因为z是纯虚数，所以，解得； ......................6分
（2）在复平面内z对应的点为， ..............................8分
由题意可得，..............................10分
解得，..............................12分
即m的取值范围是...............................13分
16．（15分）【详解】（1）由题意，作图如下：
连接、， .......................1 分
因为空间四边形中，分别是的中点，
所以，且，.......................3 分
又因为， 所以，且，.......................5 分
所以，且， 故四边形为梯形.......................7 分
（2）由（1）知四边形为梯形，且是梯形的两腰，
所以相交于一点，设交点为.......................9 分
因为平面，所以平面，.......................11 分
同理平面，而平面平面，所以，.......................13 分
故点是直线的公共点，即直线相交于一点........................15分
17．15分【详解】（1）在中，由正弦定理得.
因为，所以，.........................2分
化简得........................4分
在中，由余弦定理得.
又因为，所以.........................6分
（2）由，可得，
又，所以，得到，即，........................9分
所以，
，又，........................11分
由正弦定理得，得到，
解得，，........................13分
故的周长为.........................15分
18．17分【详解】（1）由图可得，而，故，.........................1 分
注意到或，.......................... 2分
由题可得，........................3分
所以 b= ........................4分
（2），
由余弦定理，，........................ 5分
由基本不等式，，当且仅当取等号.........................6分
则， .........................7分
所以 面积的最大值为.........................8分
（3）因是锐角三角形，，则.
.........................9分
，
,
其中，，因，，则...............11分
又.因，则，.........................12分
又， 则在上单调递增，在上单调递减，..........................14分
则，
因，则..........................16分
故.........................17分
19．17分【详解】（1）∵，∴，
∵，∴，.........................2分
∴，.........................3分
∴，故，.......................5分
∵，∴，∴，故，.........................6分
∵，∴..........................7分
（2）
如图，连接，，由正弦定理得，，，
∴， ...........................9分
∵等边的面积，
∴， ..........................11分
∵等边三角形的外心也是等边三角形的内心，∴
∵，∴， ..........................13分
在中，由余弦定理得，，
∴，即，
在中，由余弦定理得，，即，..........................15分
∴，，故，..........................16分
∴的周长为...........................17分
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