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【决战期末·50道综合题专练】苏科版八年级下册期末数学试卷
1．华联商厦进货员在广州发现一种饰品，预计能畅销市场，就用8000元购进所有饰品，每件按58元很快卖完．由于销路很好，又在上海用13200元购进，这次比在广州多进了100件，单价比广州贵了，但商厦仍按原售价销售，最后剩下的15件按八折销售，很快售完．
（1）求第一次购进饰品的单价
（2）求该商厦这两批饰品生意共赚了多少钱？（不考虑其他因素）
2．请根据下面对话，解答问题：
（1）设小明原来的速度为，则小明今天的速度为________；
（2）求小明今天的速度．
3．如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短多少．
4．如图，O在等边△ABC内，∠AOB＝100°，∠BOC＝x，将△BOC绕点C顺时针旋转60°，得△ADC，连接OD．
（1）△COD的形状是 ；
（2）当x＝150°时，求△AOD的形状；此时若OB＝3，OC＝5，求OA的长；
（3）当x为多少度时，△AOD为等腰三角形．
5．某校购进甲、乙两种笔记本用于奖励，已知一本甲笔记本的价格与一本乙笔记本的价格和为元，用元购进甲笔记本的数量与用元购进乙笔记本的数量相同．
（1）求每本甲、乙笔记本的价格分别是多少元？
（2）计划用元购买甲、乙两种笔记本，由于采购人员把甲、乙两种笔记本的数量互换了，结果需多付元，求原计划购进甲、乙两种笔记本各多少本？
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝ ．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）P是x轴上的点，且△PAC的面积与△BOC的面积相等，求P点的坐标．
7．某煤气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形煤气储存室，该储存室的底面积为，深度为．
（1）求S与d的函数关系式；
（2）公司决定把储存室的底面积定为，施工队施工时应该向地下报进多深？
8．如图所示，△ABC直角三角形，延长AB到D，使BD=BC，在BC上取BE=AB，连接DE.△ABC顺时针旋转后能与△EBD重合，那么：
（1）旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？
（2）AC与DE的关系怎样？请说明理由.
9．如图，A（4，3）是反比例函数y= 在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y= 的图象于点P.
（1）求反比例函数y= 的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAP的面积.
10．科学课中，同学们用如图电路做《探究电流与电压、电阻的关系》的实验，采用控制变量法，发现当U（V）一定时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数关系．小甬所在小组控制电压不变，测得当电阻时，电流．
（1）求I与R的函数关系式．
（2）调节变阻器，测得电流为，求此时电阻的值．
11．问题探究：因为，所以
因为，所以因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：
（1）；
（2）
12．某新能源汽车经销商分别花费60万元，32万元购进A，B两种型号的新能源汽车若干辆．已知A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价高4万元，且购进A型汽车的数量是B型汽车的数量的1.5倍．
（1）求A，B两种型号汽车的进货单价；
（2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备再次购进A，B两种型号的新能源汽车60辆，已知A型车的售价为25万元/辆，B型车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购进B型车的数量不少于A型车的2倍．如果设将这60辆汽车全部售完会获利w万元，那么该经销商应购进A型车多少辆，才能使w最大？w最大为多少万元？
13．如图，在 中，E是BC的中点，连结AE，并延长交DC的延长线于点F
（1）求证：AB=FC
（2）连结DE，若AD=2AB，试判断DE与AF存在怎样的特殊位置关系？并说明理由
14．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
15．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点 ，延长AB至点E，使 ，连结CE.
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数.
16．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF，
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形.
17．
（1）如图是某同学化简的过程：
第一步
第二步
第三步
第四步
则最开始出现错误的步骤是 ，这一步错误的原因是 ；请直接写出化简结果 ；
（2）计算：．
18．如图1是实验室中的一种摆动装置， 在地面上，支架 是底边为 的等腰直角三角形，摆动臂长 可绕点A旋转，摆动臂 可绕点D旋转， ， .
（1）在旋转过程中：
①当 三点在同一直线上时，求 的长；
②当 三点在同一直角三角形的顶点时，求 的长.
（2）若摆动臂 顺时针旋转 ，点 的位置由 外的点 转到其内的点 处，连结 ，如图2，此时 ， ，求 的长.
19．为了方便师生锻炼身体，某学校准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，乙工程队每天施工，甲工程队每天比乙工程队每天多施工，甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
（1）求的值；
（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于．求甲工程队至少单独施工多少天？
20．已知：一次函数 的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1.
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）将一次函数 的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标.
21．已知，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，折痕为EF．
（1）如图1，求证：BE＝GF；
（2）如图2，连接CF、DG，若CE＝2BE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形都为等腰三角形
22．阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用.其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式.比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如：比较 和 的大小.可以先将它们分子有理化.如下：
因为 ，所以
再例如：求 的最大值.做法如下：
解：由 ， 可知 ，而
当 时，分母 有最小值 ，所以y的最大值是 .
解决下述问题：
（1）比较 和 的大小；
（2）求 的最大值.
23．如图直线y1＝﹣x+4，y2＝ x+b都与双曲线y＝ 交于点A(1，3)，这两条直线分别与x轴交于B，C两点.
（1）求k的值；
（2）直接写出当x＞0时，不等式 x+b＞ 的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1：2两部分，则此时点P的坐标是 .
24．已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=4，
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x=6时，求y的值．
25．某学校为参加春运会的同学准备了钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔比笔记本每件多12元；学校计划用1200元购买钢笔，960元购买笔记本，购买笔记本的数量是钢笔数量的2倍．
（1）求钢笔和笔记本两种奖品的单价．
（2）购买当日，正逢商店周年庆典，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：
计划购买钢笔、笔记本两种奖品共200件，购买资金不少于1856元且不超过1880元，问购买钢笔、笔记本两种奖品有哪几种方案？
26．如图，A(8，6)是反比例函数y＝ (x＞0)在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，且AB＝OA(B在A右侧)，直线OB交反比例函数y＝ 的图象于点M
（1）求反比例函数y＝ 的表达式；
（2）求点M的坐标；
（3）设直线AM关系式为y＝nx+b，观察图象，请直接写出不等式nx+b﹣ ≤0的解集.
27．为了促进学生的体育锻炼，增强体质，某中学从去年开始，开展了“足球训练营”活动，学校在某体育用品店购买了A、B两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费3500元，B品牌共花费2000元，已知每个A品牌足球的销售单价比B品牌便宜10元，且购买A品牌足球的数量是B品牌数量的2倍.
（1）去年A，B品牌足球的销售单价各是多少元？
（2）由于今年参加“足球训练营”人数增加，需要从该店再购买A，B两种足球共37个，已知该店今年对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年提高了，B品牌比去年降低了，如果今年购买A，B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个A品牌足球？
28．某兴趣小组随机调查了某市50名教师某日行走的步数情况并进行了统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：
步数/步 频数 频率
8
15
12
3
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出，，，的值并补全频数分布直方图；
（2）该市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名
29．新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，甲品牌消毒剂每箱的价格比乙品牌消毒剂每箱价格的2倍少20元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用200元购买乙品牌消毒剂的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每箱的价格各是多少元？
（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40箱，且总费用为2000元，求购买了多少箱乙品牌消毒剂？
30．如图，△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称，且∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4．连接BC′，B'C．
（1）判定四边形B'CBC′的形状，并说明理由；
（2）求出四边形B'CBC'的面积．
31．已知
（1）化简A．
（2）若点在直线与反比例的图象的交点，求A值．
32．一粒木质中国象棋棋子“車”，它的正面雕刻一个“車”字，它的反面是平的，将棋子从一定高度下抛，落地反弹后可能是“車”字面朝上，也可能是“車”字朝下.由于棋子的两面不均匀，为了估计“車”字朝上的机会，某实验小组做了棋子下抛实验，并把实验数据整理如下：
（1）请将表中数据补充完整，并画出折线统计图中剩余部分.
（2）如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，请估计这个机会约是多少？
（3）在（2）的基础上，进一步估计：将该“車”字棋子，按照实验要求连续抛2次，则刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性为多少？
33．已知： ， 与 成正比例， 与 成反比例，且 时， ； 时 .
（1）求 关于 的函数关系式.
（2）求 时， 的值.
34．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）在格点上找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，请画出这个四边形ABCD．
35．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
36．如图，在四边形 中， ∥ ， ，对角线 ， 交于点 ， 平分 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求线段 的长．
37．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．共有几种购买方案？
38．如图所示，在正方形 中，点 在 边上，射线 交 于点 ，交 的延长线于点 ．求证：
（1） ：
（2）若点 是 上的中点，连接 和 ，求证： ．
39．
（1）先化简，再求值： ，其中 ．
（2）解不等式组 ．
40．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．
41．综合与探究
如图1，反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是－2，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线．
（1）判断点B是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
（2）如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；
（3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．
42．综合与探究
折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，八（4）班数学兴趣小组的同学们在活动课进行了折纸问题探究．
【方法提示】
数学折纸问题的解决通常结合轴对称和全等的相关知识性质，要关注折叠前后对应的边和对应的角等一些不变的关系．
【动手操作】
如图，将一张矩形纸片沿长边进行折叠（已知），使点C落在边上，折痕为（点E在边上，点F在边上），折叠后点C，D的对应点分别为点G，H．
【问题探究】
（1）判断图中四边形的形状，并证明你的结论．
（2）随着点C落在不同的位置，折痕位置也在变化，若矩形纸片中，，求线段长度的取值范围．
43．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按照如图①的方式叠放在一起（∠A = 30°，∠ABC = 60°，∠E = ∠EDC = 45°），且三角板ACB的位置保持不动.
（1）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转至图②，若∠ACE = 60°，求∠DCB的度数.
（2）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转，当旋转到ED∥AB时，求∠BCE的度数（请先在备用图上补全相应的图形）.
（3）当0° < ∠BCE < 180°且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行 若存在，请直接写出∠BCE所有可能的值；若不存在，请说明理由.
44．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像都经过点A（2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B在 轴的上，且OA=BA，反比例函数图象上有一点C，且∠ABC=90°，求点C坐标．
45．如图，已知点A（6，0），B（8，5），将线段OA平移至CB，点D（x，0）在x轴正半轴上（不与点A重合），连接OC，AB，CD，BD.
（1）求对角线AC的长；
（2）△ODC与△ABD的面积分别记为S1，S2，设S＝S1﹣S2，求S关于x的函数解析式，并探究是否存在点D使S与△DBC的面积相等，如果存在，请求出x的值（或取值范围）；如果不存在，请说明理由.
46．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： ，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如： ， 像这样的分式是假分式；像 ， 这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如： ； ，解决下列问题：
（1）将分式 化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可）
（2）如果分式 的值为整数，求 的整数值
47．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（），连接BE，DE．
（1）求证：；
（2）过点E作交BC于点F，延长BC至点G，使得，连接DG．
①依题意补全图形；
②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．
48．已知如图1，四边形 是正方形， .
（1）如图1，若点 分别在边 上，延长线段 至 ，使得 ，若 求 的长；
（2）如图2，若点 分别在边 延长线上时，求证：
（3）如图3，如果四边形 不是正方形，但满足 且 ，请你直接写出 的长.
49． 在 中， ， 点 分别为边 上异于端点的动点，且 ， 连结 ， 将四边形 沿着 折叠得到四边形 .
（1） 如图 1， 边 交于点 ， 若 ， 求证： 四边形 为平行四边形；
（2） 如图 2， 当点 落在点 处时， 求折痕 的长；
（3） 当点 落在 的边上时， 求点 之间的距离.
50．如图在中，，是边上的高，且的面积为24．动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、向终点B、D运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）求的长；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）当四边形是矩形时，求t的值；
（4）当以点A、B、C、D、P、Q中的四个点为顶点的四边形是菱形时，直接写出t的值．
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【决战期末·50道综合题专练】苏科版八年级下册期末数学试卷
1．华联商厦进货员在广州发现一种饰品，预计能畅销市场，就用8000元购进所有饰品，每件按58元很快卖完．由于销路很好，又在上海用13200元购进，这次比在广州多进了100件，单价比广州贵了，但商厦仍按原售价销售，最后剩下的15件按八折销售，很快售完．
（1）求第一次购进饰品的单价
（2）求该商厦这两批饰品生意共赚了多少钱？（不考虑其他因素）
【答案】（1）元
（2）元
2．请根据下面对话，解答问题：
（1）设小明原来的速度为，则小明今天的速度为________；
（2）求小明今天的速度．
【答案】（1）；
（2）小明今天的速度为．
3．如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短多少．
【答案】的长需要缩短
4．如图，O在等边△ABC内，∠AOB＝100°，∠BOC＝x，将△BOC绕点C顺时针旋转60°，得△ADC，连接OD．
（1）△COD的形状是 ；
（2）当x＝150°时，求△AOD的形状；此时若OB＝3，OC＝5，求OA的长；
（3）当x为多少度时，△AOD为等腰三角形．
【答案】（1）等边三角形
（2）当α＝150°时，△AOD是直角三角形． ∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC ∴△BOC≌△ADC， ∴∠BOC＝∠ADC＝150° 由（1）△COD是等边三角形 ∴∠ODC＝60° ∴∠ADO＝150°﹣60°＝90° 当α＝150°时，△AOD是直角三角形． 由旋转知，AD＝OB＝3， ∵△COD是等边三角形， ∴OD＝OC＝3， 在Rt△AOD中，根据勾股定理得，OA＝ ＝ ；
（3）解：∵∠AOB＝100°，∠BOC＝x，
∴∠AOC＝260°﹣x．
∵△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝x﹣60°，∠AOD＝200°﹣x，
①当∠DAO＝∠DOA时，
2（200°﹣x）+x﹣60°＝180°，
解得：x＝160°
②当∠AOD＝ADO时，
200°﹣x＝x﹣60°，
解得：x＝130°，
③当∠OAD＝∠ODA时，
200°﹣x+2（x﹣60°）＝180°，
解得：x＝100°
∴x＝100°，x＝130°，x＝160°△AOD为等腰三角形．
【解析】【解答】解：（1）△COD是等边三角形，
∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°
∴CO＝CD
∴△COD是等边三角形．
故答案为：等边三角形；
【分析】（1）利用等边三角形的性质及旋转的性质，可证得△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，利用全等三角形的性质，可证得CO=CD，然后根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，就可证得结论。
（2）利用旋转的性质， 易证△BOC≌△ADC，就可求出∠ADC的度数，再利用等边三角形的性质，可得到∠ODC的度数，即可求出∠ADO的度数，利用旋转的性质和等边三角形的性质可得到AD、OD的长，然后利用勾股定理求出OA的长。
（3）根据∠AOB＝100°，∠BOC＝x，用含x的代数式表示出∠AOC，利用等边三角形的性质，表示出∠ADO，∠AOD，再分情况讨论：①当∠DAO＝∠DOA时；②当∠AOD＝ADO时；③当∠OAD＝∠ODA时，分别建立关于x的方程，解方程求出x的值即可。
5．某校购进甲、乙两种笔记本用于奖励，已知一本甲笔记本的价格与一本乙笔记本的价格和为元，用元购进甲笔记本的数量与用元购进乙笔记本的数量相同．
（1）求每本甲、乙笔记本的价格分别是多少元？
（2）计划用元购买甲、乙两种笔记本，由于采购人员把甲、乙两种笔记本的数量互换了，结果需多付元，求原计划购进甲、乙两种笔记本各多少本？
【答案】（1）甲笔记本每本元，乙笔记本每本元
（2）原计划购买甲笔记本本，乙笔记本本
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝ ．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）P是x轴上的点，且△PAC的面积与△BOC的面积相等，求P点的坐标．
【答案】（1）解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵点B（n，-2），
BD=|-2|=2.
在Rt△OBD中， tan∠BOC＝ ．
∴
解之：n=-4
∴点B（-4，-2）
∴k=-4×（-2）=8；
∴反比例函数解析式为
∴2m=8
解之：m=4.
∴点A（2，4）
∴
解之：
∴一次函数解析式为y=x+2.
（2）解：如图，
∵直线y=x+2与x轴交于点C，
∴当y=0时，x=-2
设点P（c，0）
∵S△PAC=S△BOC，
∴
解之：c=-3或-1.
∴点P(-3，0)或（-1，0）.
【解析】【分析】（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由点B的坐标可得到BD的长，在Rt△OBD中，利用解直角三角形求出n的值，可得到点B的坐标；利用待定系数法求出反比例函数解析式及点A的坐标；然后将点A，B的坐标分别代入函数解析式，建立关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到一次函数解析式.
（2）由一次函数解析式中y=0求出对应的x的值，可得到点C的坐标；设点P（c，0）利用S△PAC=S△BOC，建立关于c的方程，解方程求出c的值，即可得到点P的坐标.
7．某煤气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形煤气储存室，该储存室的底面积为，深度为．
（1）求S与d的函数关系式；
（2）公司决定把储存室的底面积定为，施工队施工时应该向地下报进多深？
【答案】（1）
（2）
8．如图所示，△ABC直角三角形，延长AB到D，使BD=BC，在BC上取BE=AB，连接DE.△ABC顺时针旋转后能与△EBD重合，那么：
（1）旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？
（2）AC与DE的关系怎样？请说明理由.
【答案】（1）B点|90度
（2）解：AC=DE，AC⊥DE.理由如下：
延长DE交AC于F.
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°后能与△EBD重合，∴DE=AC，∠C=∠D.
∵∠A+∠C=90°，∴∠A+∠D=90°，∴∠AFD=90°，∴AC⊥DE.
【解析】【分析】（1）由条件易得BC和BD，BA和BE为对应边，而△ABC旋转后能与△EBD重合，于是可判断旋转中心为点B；根据旋转的性质得∠ABE等于旋转角，从而得到旋转角度；（2）根据旋转的性质和三角形内角和定理即可判断AC=DE，AC⊥DE.
9．如图，A（4，3）是反比例函数y= 在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y= 的图象于点P.
（1）求反比例函数y= 的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）求△OAP的面积.
【答案】（1）解：将点A（4，3）代入y= ，得：k=12，
则反比例函数解析式为y= ；
（2）解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，
则OC=4、AC=3，
∴OA= =5，
∵AB∥x轴，且AB=OA=5，
∴点B的坐标为（9，3）；
（3）解：∵点B坐标为（9，3），
∴OB所在直线解析式为y= x，
由 可得点P坐标为（6，2），（负值舍去），
过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，
则点E坐标为（6，3），
∴AE=2、PE=1、PD=2，
则△OAP的面积= ×（2+6）×3﹣ ×6×2﹣ ×2×1=5.
【解析】【分析】（1）根据A点坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2）根据勾股定理先求出OA，结合AB ∥x轴和AB=OA即可求出B点坐标；
（3）设直线OB的函数式为y=kx，代入B点坐标即可直线OB的函数式，然后和反比例函数式联立即可求出P点坐标，过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E， 然后求出AE、PE、PD的长度，最后根据△OAP的面积=S梯形AODE-S△POD-S△APE计算即可.
10．科学课中，同学们用如图电路做《探究电流与电压、电阻的关系》的实验，采用控制变量法，发现当U（V）一定时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数关系．小甬所在小组控制电压不变，测得当电阻时，电流．
（1）求I与R的函数关系式．
（2）调节变阻器，测得电流为，求此时电阻的值．
【答案】（1）解：设，
将，，代入得，
，
解得，，
∴与的函数关系式为．
（2）解：由（1）得：，
∴当时，，
解得：，
∴电阻的值为．
【解析】 【分析】（1）设，将，，代入可得关于U的方程，解这个方程即可求解；
（2）由题意，把代入（1）中的解析式可得关于R的方程，解方程即可求解.
（1）解：设，
将，，代入得，，
解得，，
∴与的函数关系式为．
（2）解：当时，，
解得，，
∴电阻的值为．
11．问题探究：因为，所以
因为，所以因为，所以请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
＝
＝
＝
＝.
（2）解：
＝
＝
＝
＝
=.
【解析】【分析】根据完全平方公式“”和二次根式的性质“”并结合已知的材料可求解.
12．某新能源汽车经销商分别花费60万元，32万元购进A，B两种型号的新能源汽车若干辆．已知A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价高4万元，且购进A型汽车的数量是B型汽车的数量的1.5倍．
（1）求A，B两种型号汽车的进货单价；
（2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备再次购进A，B两种型号的新能源汽车60辆，已知A型车的售价为25万元/辆，B型车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购进B型车的数量不少于A型车的2倍．如果设将这60辆汽车全部售完会获利w万元，那么该经销商应购进A型车多少辆，才能使w最大？w最大为多少万元？
【答案】（1）解：设B型汽车的进货单价价为x万元，则A型汽车进货单价为（x+4）万元，由题意可得：，解得：，经检验，是所列方程的根，且符合题意，∴x+4=20，答：A，B两型号汽车的进货单价分别为20万元和16万元；
（2）解：设A型汽车a辆，则B型汽车（60-a）辆，由题意可得：，解得：，由题意：，∵，∴w随a的增大而增大，∴当，时，w取最大值，此时，答：当购进A型汽车20辆时，w取得最大值，w的最大值为260万元．
【解析】【分析】（1）设B型汽车的进货单价价为x万元，则A型汽车进货单价为（x+4）万元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设A型汽车a辆，则B型汽车（60-a）辆，根据题意列出不等式，再求解即可。
13．如图，在 中，E是BC的中点，连结AE，并延长交DC的延长线于点F
（1）求证：AB=FC
（2）连结DE，若AD=2AB，试判断DE与AF存在怎样的特殊位置关系？并说明理由
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠ABE=∠FCE，
∵E为BC中点，
∴BE=CE，
在△ABE与△FCE中，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB=FC；
（2）解：DE⊥AF，理由是：
∵AD=2AB，AB=FC=CD，
∴AD=DF，
∵△ABE≌△FCE，
∴AE=EF，
∴DE⊥AF.
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，可证得AB∥DF，利用平行线的性质可得到∠ABE=∠FCE，利用线段中点的定义可证得BE=CE；再利用ASA可证得△ABE≌△FCE，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）利用AD=2AB，AB=CF=CD，可证得AD=DF，可得到△ADF是等腰三角形；再利用全等三角形的性质，可得AE=EF，然后利用等腰三角形三线合一的性质，可推出DE与AF的位置关系.
14．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）解：设每个足球x元，每个篮球（2x-30）元，
根据题意得：，
解得x=60，
经检验x=60是方程的根且符合题意，
2x-30=90，
答：每个足球60元，每个篮球90元．
（2）解：设设买篮球m个，则买足球（200-m）个，
由题意得：，
解得．
∵ m为正整数，∴ 最多购进篮球116个．
【解析】【分析】（1）设每个足球x元，每个篮球（2x-30）元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2 ）设设买篮球m个，则买足球（200-m）个，根据题意列出不等式，再求解即可。
15．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点 ，延长AB至点E，使 ，连结CE.
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴ ，DC=AB
∵BE=AB
∴ ，DC=BE
∴四边形BDCE为平行四边形
∴BD=EC；
（2）解：∵四边形BDCE为平行四边形，
∴
∴
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD
∴
∴ .
【解析】【分析】（1） 根据菱形的性质及已知很容易得到DC∥BE，DC=BE，从而利用一组对边平行且相等的平行四边形是平行四边形证明四边形BDCE为平行四边形 ，可得BD=EC；
（2）由平行四边形的性质可得，可得，由菱形的性质可得AC⊥BD，∠BAD =2∠BAO，利用直角三角形的性质可求出∠BAO的度数，即得结论.
16．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF，
（1）求证：AE＝CF；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD.
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）.
∴AE=CF.
（2）证明：∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，由平行线的性质可得∠ABE=∠CDF，利用SAS证明△ABE≌△DCF，据此可得结论；
（2）根据全等三角形的性质得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等得∠AEF=∠CFE，推出AE∥CF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行证明.
17．
（1）如图是某同学化简的过程：
第一步
第二步
第三步
第四步
则最开始出现错误的步骤是 ，这一步错误的原因是 ；请直接写出化简结果 ；
（2）计算：．
【答案】（1）第三步；分子分母乘的数不一样；
（2）解：
．
【解析】【解答】解：(1)
．
最开始出现错误的步骤是第三步，原因是：分子分母乘的数不一样，化简结果为，
故答案为：第三步，分子分母乘的数不一样，．
【分析】（1）利用二次根式分母有理化的计算方法求解即可；
（2）利用二次根式的加减法计算即可。
18．如图1是实验室中的一种摆动装置， 在地面上，支架 是底边为 的等腰直角三角形，摆动臂长 可绕点A旋转，摆动臂 可绕点D旋转， ， .
（1）在旋转过程中：
①当 三点在同一直线上时，求 的长；
②当 三点在同一直角三角形的顶点时，求 的长.
（2）若摆动臂 顺时针旋转 ，点 的位置由 外的点 转到其内的点 处，连结 ，如图2，此时 ， ，求 的长.
【答案】（1）解：① ，或 .
②显然 不能为直角，
当 为直角时，
，∴ .
当 为直角时，
，∴ .
（2）解：连结 ，
由题意得 ， ，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
即 .
又∵ ， ，∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2=AD2-DM2，计算即可，当∠ADM=90°时，根据AM2=AD2+DM2，计算即可．（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2=CD1即可．
19．为了方便师生锻炼身体，某学校准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，乙工程队每天施工，甲工程队每天比乙工程队每天多施工，甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
（1）求的值；
（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于．求甲工程队至少单独施工多少天？
【答案】（1）300
（2）5天
20．已知：一次函数 的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1.
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）将一次函数 的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标.
【答案】（1）解：把 代入 ，得 ，
设反比例函数的解析式为 ，
把 ， 代入得， ，
∴该反比例函数的解析式为
（2）解：平移后的图象对应的解析式为 ，
解方程组 ，得 或 .
∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为 和 .
【解析】【分析】（1）将x=1代入y=3x-2中求出y的值，设反比例函数的解析式为y=，将x=1、y=1代入求出k的值，进而可得反比例函数的解析式；
（2）根据一次函数图象的几何变换可得平移后的解析式为y=3x+2，联立反比例函数解析式求出x、y，据此可得交点坐标.
21．已知，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，折痕为EF．
（1）如图1，求证：BE＝GF；
（2）如图2，连接CF、DG，若CE＝2BE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形，使写出的每个三角形都为等腰三角形
【答案】（1）证明∵矩形ABCD
∴
由折叠可知：
∴
∴ ，且
∴
∴
（2）证明：∵将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处
∴
∴ 是等腰三角形
∵
∴
∴
∴
∴ 是等腰三角形
∵
∴ ，且
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴ 是等腰三角形
综上所述： 是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）根据题意，通过证明 即可得到 ；（2）根据题意将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，通过等腰三角形的判定及性质即可得到 是等腰三角形.
22．阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用.其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式.比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如：比较 和 的大小.可以先将它们分子有理化.如下：
因为 ，所以
再例如：求 的最大值.做法如下：
解：由 ， 可知 ，而
当 时，分母 有最小值 ，所以y的最大值是 .
解决下述问题：
（1）比较 和 的大小；
（2）求 的最大值.
【答案】（1）解： ，
，
而 ， ，
，
；
（2）解：由 ， ，可知x≥0，
，
当 时， 有最小值1，则 有最大值 ，
所以y的最大值为 .
【解析】【分析】（1）根据分母有理化的逆用可把两个无理数化为同分子分数，比较分母大小即可；
（2）根据二次根式有意义可得x的取值范围，进而根据分子有理化把分子化为常数1，可得当x=0时，y有最大值.
23．如图直线y1＝﹣x+4，y2＝ x+b都与双曲线y＝ 交于点A(1，3)，这两条直线分别与x轴交于B，C两点.
（1）求k的值；
（2）直接写出当x＞0时，不等式 x+b＞ 的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1：2两部分，则此时点P的坐标是 .
【答案】（1）解：将点A的坐标代入 得： ；
（2）解：从图象看， 时，不等式 的解集为：
（3） 或
【解析】【解答】解：（3）将点A的坐标代入 得， ，解得： ，
，令 ，则 ，即点 ，
，令 ，则 ，即点 ，则 ，
把 的面积分成 两部分则点 把 分成 两部分
即 或 ，即 或 ，
设点 的横坐标为 ，则 或
解得： 或
故点P的坐标为： 或 ；
故答案为： 或
【分析】（1）将点A的坐标代入 ，即可求解；（2）观察图象即可求解；（3） 把 的面积分成 两部分，则点 把 分成 两部分，即可求解
24．已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=4，
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当x=6时，求y的值．
【答案】（1）解：∵y是x的反比例函数，
∴设 ，
∵当 时， ，
∴ ，
解得 ，
故y关于x的函数解析式为 ；
（2）解：将 代入 得： ，
即 的值为 ．
【解析】【分析】（1）设出反比例函数的解析式，将点的坐标代入，即可得到反比例函数的解析式；
（2）将x=6代入求出的反比例函数的解析式，即可得到y的值。
25．某学校为参加春运会的同学准备了钢笔和笔记本两种奖品，已知钢笔比笔记本每件多12元；学校计划用1200元购买钢笔，960元购买笔记本，购买笔记本的数量是钢笔数量的2倍．
（1）求钢笔和笔记本两种奖品的单价．
（2）购买当日，正逢商店周年庆典，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：
计划购买钢笔、笔记本两种奖品共200件，购买资金不少于1856元且不超过1880元，问购买钢笔、笔记本两种奖品有哪几种方案？
【答案】（1）钢笔的单价为20元，笔记本的单价为8元
（2）有3种方案，①购买钢笔60件，则购买购买笔记本140件；②购买钢笔61件，则购买购买笔记本139件；③购买钢笔62件，则购买购买笔记本138件
26．如图，A(8，6)是反比例函数y＝ (x＞0)在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，且AB＝OA(B在A右侧)，直线OB交反比例函数y＝ 的图象于点M
（1）求反比例函数y＝ 的表达式；
（2）求点M的坐标；
（3）设直线AM关系式为y＝nx+b，观察图象，请直接写出不等式nx+b﹣ ≤0的解集.
【答案】（1）解：∵A(8，6)在反比例函数图象上
∴6＝ ，即m＝48，
∴反比例函数y＝的表达式为y＝ ；
（2）解：∵A(8，6)，作AC⊥x轴，由勾股定理得OA＝10，
∵AB＝OA，
∴AB＝10，
∴B(18，6)，
设直线OB的关系式为y＝kx，
∴6＝18k，
∴k＝ ，
∴直线OB的关系式为y＝ x，
由 ，解得x＝±12
又∵在第一象限
∴x＝12
故M(12，4)；
（3）解：∵A(8，6)，M(12，4)，
观察图象，不等式nx+b﹣ ≤0的解集为：0＜x≤8或x≥12.
【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求得；(2)利用勾股定理求得AB＝OA＝10，由AB∥x轴即可得点B的坐标，即可求得直线OB的解析式，然后联立方程求得点M的坐标；(3)根据A、M点的坐标，结合图象即可求得.
27．为了促进学生的体育锻炼，增强体质，某中学从去年开始，开展了“足球训练营”活动，学校在某体育用品店购买了A、B两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费3500元，B品牌共花费2000元，已知每个A品牌足球的销售单价比B品牌便宜10元，且购买A品牌足球的数量是B品牌数量的2倍.
（1）去年A，B品牌足球的销售单价各是多少元？
（2）由于今年参加“足球训练营”人数增加，需要从该店再购买A，B两种足球共37个，已知该店今年对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年提高了，B品牌比去年降低了，如果今年购买A，B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个A品牌足球？
【答案】（1）解：设去年A品牌足球的销售单价是x元，则B品牌足球的销售单价是（x+10）元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
.
答：去年A品牌足球的销售单价是70元，B品牌足球的销售单价是80元
（2）解：设学校购买m个A品牌足球，则购买（37-m）个B品牌足球，
依题意得：，
解得：.
又为整数，
的最大值为17.
答：学校最多可购买17个A品牌足球.
【解析】【分析】（1）设去年A品牌足球的销售单价是x元，由每个A品牌足球的销售单价比B品牌便宜10元可得B品牌足球的销售单价是（x+10）元，再根据购买A品牌足球的数量是B品牌数量的2倍列出分式方程求解；
（2）设学校购买m个A品牌足球，由购买A，B两种足球共37个可得购买B品牌足球（37-m）个，根据今年购买A，B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半列出不等式求得m的取值范围，进而求得m的最大值即可.
28．某兴趣小组随机调查了某市50名教师某日行走的步数情况并进行了统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：
步数/步 频数 频率
8
15
12
3
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出，，，的值并补全频数分布直方图；
（2）该市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名
【答案】（1）解： ， ， ， ，
补全图形如下：
（2）解： （名），
答：用调查的样本数据估计日行走步数超过12000（包含12000）的教师有11340名．
【解析】【分析】（1）根据统计图表中的数据求出a，b，c和d的值，再补全频数分布直方图即可；
（2）根据该市约有37800名教师，求解即可。
29．新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，甲品牌消毒剂每箱的价格比乙品牌消毒剂每箱价格的2倍少20元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用200元购买乙品牌消毒剂的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每箱的价格各是多少元？
（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40箱，且总费用为2000元，求购买了多少箱乙品牌消毒剂？
【答案】（1）解：设乙品牌每箱x元，则甲品牌每箱元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则，
答：甲品牌消毒剂每箱的价格为60元，乙品牌消毒剂每箱的价格为40元；
（2）解：设购买了乙品牌a箱，则购买了甲品牌箱，
根据题意得：，
解得：，
答：购买了20箱乙品牌消毒剂．
【解析】【分析】（1）设乙品牌每箱x元，则甲品牌每箱元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设购买了乙品牌a箱，则购买了甲品牌箱，根据题意列出方程，再求解即可。
30．如图，△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称，且∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4．连接BC′，B'C．
（1）判定四边形B'CBC′的形状，并说明理由；
（2）求出四边形B'CBC'的面积．
【答案】（1）解：四边形B′CBC′是菱形，理由如下：
∵△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称，
∴AB′＝AB，AC ′＝AC，
∵∠BAC＝90°，
∴BB′与CC′互相垂直平分，
∴四边形B′CBC′是菱形
（2）解：∵AB＝2，AC＝4，四边形B′CBC′是菱形
∴BB′＝4，CC′＝8，
∴菱形B'CBC'的面积为： ×4×8＝16
【解析】【分析】（1）根据△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称，可得BB′与CC′互相垂直平分，进而可判断出
四边形B′CBC′是菱形；
（2）根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可求出菱形B'CBC'的面积。
31．已知
（1）化简A．
（2）若点在直线与反比例的图象的交点，求A值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：∵点是直线与反比例的图象的交点，
∴将点分别代入得：，
∴，，
∴
【解析】【分析】（1）对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母利用平方差公式进行分解，然后将除法化为乘法，再约分即可；
（2）将P（a，b）分别代入直线与反比例函数解析式中可得a-b=3，ab=2，然后代入（1）化简后的式子中进行计算.
32．一粒木质中国象棋棋子“車”，它的正面雕刻一个“車”字，它的反面是平的，将棋子从一定高度下抛，落地反弹后可能是“車”字面朝上，也可能是“車”字朝下.由于棋子的两面不均匀，为了估计“車”字朝上的机会，某实验小组做了棋子下抛实验，并把实验数据整理如下：
（1）请将表中数据补充完整，并画出折线统计图中剩余部分.
（2）如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，请估计这个机会约是多少？
（3）在（2）的基础上，进一步估计：将该“車”字棋子，按照实验要求连续抛2次，则刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性为多少？
【答案】（1）解：所填数字为：120×0.55=66，88÷160=0.55；
补充表格如下：
折线图：
（2）解：如果实验继续进行下去，根据上表数据，这个实验的频率将接近于该事件发生的机会，请估计这个机会约是0.5
（3）解：根据（2）的结果估计连续抛2次，则刚好使“車”字一次字面朝上，一次朝下的可能性为0.5.
【解析】【分析】（1）根据图中信息，用频数除以实验次数，得到频率，用实验次数乘以频率即可得出频数，由于试验次数较多，可以用频率估计概率；描点连线，可得折线图；
（2）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，即可估计概率的大小；
（3）列举出抛掷两次可能会出现的情况，用概率公式求解即可．
33．已知： ， 与 成正比例， 与 成反比例，且 时， ； 时 .
（1）求 关于 的函数关系式.
（2）求 时， 的值.
【答案】（1）解：设 ， ，
，
，
把 ， 代入 得： ①，
把 代入 得： ②，
①，②联立，解得： ， ，
即 关于 的函数关系式为
（2）解：把 代入 ，
解得
【解析】【分析】（1）由于 与 成正比例， 与 成反比例 ，故可设 设 ， ， 并代入 得 ， 然后将 ， 与 ，分别代入即可得出关于k1，k2的方程组，求解得出k1，k2的值，从而求出y与x的函数关系式；
（2）将 代入（1）所求的函数关系式即可算出对应的函数y的值。
34．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）在格点上找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，请画出这个四边形ABCD．
【答案】（1）解：由图形知：，，，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形，
∴；
（2）解：如图所示，四边形ABCD就是所求作的平行四边形．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用平行四边形的性质作图即可。
35．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
【答案】（1）解：BG＝AE，
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD＝DA，
又∵正方形DEFG中：GD＝DE，∠GDB＝∠EDA；
∴△BDG≌△ADE；
∴BG＝AE；
（2）成立：
证明：连接AD，
∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB＝90°，
∵EFGD为正方形，
∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，
∴∠ADG+∠ADE＝90°，
∴∠BDG＝∠ADE，
在△BDG和△ADE中，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG＝AE；
（3）解：由（2）可得BG＝AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值；
当 三点共线时，取得最大值，此时旋转角度为270°时，
BG＝AE最大值为1+2＝3，
此时如图：
AF＝ ．
【解析】【分析】（1）先求出 BD＝DA， 再证明 △BDG≌△ADE ，最后证明求解即可；
（2）根据题意求出 ∠BDG＝∠ADE， 再利用SAS证明 △BDG≌△ADE ，最后求解即可；
（3）先求出当 三点共线时，取得最大值，此时旋转角度为270°时，
BG＝AE最大值为1+2＝3，再利用勾股定理计算求解即可。
36．如图，在四边形 中， ∥ ， ，对角线 ， 交于点 ， 平分 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求线段 的长．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 为 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ 是菱形；
（2）解：如图
∵四边形 是菱形
∴
∵
∴
∴
在 中，
【解析】【分析】（1）线判断出，进而判断出，得出CD=AD=AB，即可得出结论；
（2）由直角三角形的性质可得AC=2OE=6，由勾股定理可求CE的长。
37．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．共有几种购买方案？
【答案】（1）A型充电桩的单价为万元，则B型充电桩的单价为万元
（2）该停车场有3种购买方案
38．如图所示，在正方形 中，点 在 边上，射线 交 于点 ，交 的延长线于点 ．求证：
（1） ：
（2）若点 是 上的中点，连接 和 ，求证： ．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS）
（2）证明：∵△ADE≌△CDE，
∴∠1＝∠2，
∵在Rt△FCG中，点H是FG上的中点，
∴CH＝ FG＝GH，
∴∠4＝∠G，
∵AD BG，
∴∠1＝∠G，
∴∠4＝∠1，
∵∠2＝∠1，
∴∠4＝∠2，
∵∠4＋∠3＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∴EC⊥CH．
【解析】【分析】（1）先求出 AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°， 再证明 △ADE≌△CDE 即可作答；
（2）先求出 ∠1＝∠2， 再求出 ∠4＝∠2， 最后证明求解即可。
39．
（1）先化简，再求值： ，其中 ．
（2）解不等式组 ．
【答案】（1）解：
=
=
=
当 时，原式=
（2）解：
解不等式①得，x<2；
解不等式②得，x> ；
∴不等式组的解集为：
【解析】【分析】（1）先化简分式求出
，再将
代入计算求解即可；
（2）利用不等式的性质解不等式组计算求解即可。
40．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．
（2）解：∵点E为AD的中点，AD=10，
∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中， ．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE= AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
故答案为：OE=5，BG=2．
【解析】【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE= AB= AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．
41．综合与探究
如图1，反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是－2，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线．
（1）判断点B是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
（2）如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；
（3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．
【答案】（1）解：结论：点B在反比例函数的图象上，
理由如下：∵反比例函数的图象经过点A，点A的横坐标是－2，
∴把代入中，得，
∴点A的坐标是，
∵点A关于坐标原点O的对称点为点B，
∴点B的坐标是，
把代入中，得，
∴点B在反比例函数的图象上；
（2）证明：在反比例函数中令x=4则y=-2，
∵过坐标原点O作直线交反比例函数的图象于点C和点D，
∴C，D关于原点对称，
∴C（4，-2），D（-4，2），OC=OD，
∵A，B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD=，AB=，
∴AB=CD，
∴四边形ACBD是矩形；
（3），和
【解析】【解答】解：（3）设点P的坐标为（m，0），如图，
当四边形OBP1Q1是菱形时，可得OB=OP1，
∴，解得，
∴P1（4，0）；
当四边形OBQ2P2是菱形时，可得OB=OP2，
∴，
∴P2；
当四边形OP3BQ3是菱形时，可得BP3=OP3，
∴，
解得，
∴P3（5，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标分别为（4，0），和（5，0）．
【分析】（1）利用点A在反比例函数图象上，将点A的横坐标代入函数解析式，可求出对应的y的值，可得到点A的坐标，利用关于原点对称点的坐标特点（横纵坐标都互为相反数），可得到点B的坐标，再将点B的横坐标代入函数解析式，求出对应的y的值，由此作出判断；
（2）将x=4代入反比例函数解析式求出对应的y的值，可得到点C的坐标，再利用点C，D关于原点对称，可得到点D的坐标，同时可证得OC=OD，OA=OB，利用对角线互相平方的四边形是平行四边形，可证得四边形ACBD是平行四边形；再利用勾股定理求出CD，AB的长，可证得CD=AB，利用对角线相等的平行四边形是矩形，可证得四边形ACBD是矩形；
（3）设点P的坐标为（m，0）分情况讨论：当四边形OBP1Q1是菱形时，OB=OP1，利用菱形的对角线互相垂直平分，可知此时对角线的中点坐标为（2，0），利用中点坐标可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点P的坐标；当四边形OBQ2P2是菱形时，可知OB=OP2，利用勾股定理可求出OP2的长，由此可得点P的坐标；当四边形OP3BQ3是菱形时可知OP3=BP3，利用点的坐标的距离公式求出m的值，可得到点P的坐标.
42．综合与探究
折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，八（4）班数学兴趣小组的同学们在活动课进行了折纸问题探究．
【方法提示】
数学折纸问题的解决通常结合轴对称和全等的相关知识性质，要关注折叠前后对应的边和对应的角等一些不变的关系．
【动手操作】
如图，将一张矩形纸片沿长边进行折叠（已知），使点C落在边上，折痕为（点E在边上，点F在边上），折叠后点C，D的对应点分别为点G，H．
【问题探究】
（1）判断图中四边形的形状，并证明你的结论．
（2）随着点C落在不同的位置，折痕位置也在变化，若矩形纸片中，，求线段长度的取值范围．
【答案】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
图形翻折后点G与点C重合， 为折线，
，
，
，
图形翻折后 与 完全重合，
，
，
四边形 为平行四边形，
四边形 为菱形；
（2）解：
如图 ，当F与D重合时， 取最小值，
由折叠的性质得 ， ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
；
如图 ，当G与A重合时， 取最大值，
由折叠的性质得 ，
，
，即 ，
，
线段 的取值范围 ．
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质求出AD//BC，再求出GF=GE，最后利用菱形的判定方法证明即可；
（2）分类讨论，利用折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等计算求解即可。
43．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按照如图①的方式叠放在一起（∠A = 30°，∠ABC = 60°，∠E = ∠EDC = 45°），且三角板ACB的位置保持不动.
（1）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转至图②，若∠ACE = 60°，求∠DCB的度数.
（2）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转，当旋转到ED∥AB时，求∠BCE的度数（请先在备用图上补全相应的图形）.
（3）当0° < ∠BCE < 180°且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行 若存在，请直接写出∠BCE所有可能的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：如图2中，
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ECB＝∠ACD，
∵∠ACE＝60°，
∴∠ECB＝∠ACD＝30°，
∴∠BCD＝∠ECB+∠ECD＝30°+90°＝120°；
（2）解：如图3中，
当DE∥AB时，延长BC交DE于M，
∴∠B＝∠DMC＝60°，
∵∠DMC＝∠E+∠MCE，∠E=45°，
∴∠MCE＝15°，
∴∠BCE＝165°，
当D′E′∥AB时，∠E′CB＝∠MCE＝15°，
∴当ED∥AB时，∠BCE的度数为165°或15°；
（3）解：∠BCE=30°或45°或120°或135°或165°
【解析】【解答】解：（3）存在．
①CD∥AB时，∠BCE＝30°，
②DE∥BC时，∠BCE＝45°，
③CE∥AB时，∠BCE＝120°，
④当AC∥DE时，∠BCE＝135°，
⑤DE∥AB时，∠BCE＝165°，
综上所述，当∠BCE＜180°且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺存在一组边互相平行，∠BCE 的值为30°或45°或120°或135°或165°．
【分析】（1）先由角的互余关系得∠ECB＝∠ACD，从而求得∠ACE＝60°，∠ECB＝30°，进而可求得∠BCD＝120°；
（2）有两种情形，画出图形：①当DE∥AB时，延长BC交DE于M，②当D′E′∥AB时，∠E′CB＝∠MCE＝15°，利用平行线的性质，外角定理及对顶角的关系即可求得∠BCE的度数；
（3）有五种情形，画出图形：①CD∥AB时，②DE∥BC时，③CE∥AB时，④当AC∥DE时，⑤DE∥AB时，再利用平行线的性质，外角定理及对顶角的关系分别求得∠BCE，即可解决问题．
44．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数 的图像与反比例函数 的图像都经过点A（2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B在 轴的上，且OA=BA，反比例函数图象上有一点C，且∠ABC=90°，求点C坐标．
【答案】（1）解：将点A（2，m）代入 ，得： ，
∴A（2， ），
将点A（2， ）代入 得： ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为： ；
（2）解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
设点C的坐标为（x，），
∵AO=AB， AD⊥x轴，
∴OD=DB=2，AD=，
∴AB==4，
∴∠DAB=30°，
∴∠ABD=60°，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBE=30°，
∴CE=BC，
由勾股定理得，BE=CE，
∴，
解得，x1=-2 (舍去)，x2=6，
则点C的坐标为(（6，）.
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入正比例函数解析式求出m，可得点A的完整坐标，再将点A代入反比例函数的解析式求出k即可；
（2）根据等腰三角形的性质分别求出OD、BD、AD，证明△ADB∽△BEC，根据相似三角形的性质列式计算求出x，得到答案.
45．如图，已知点A（6，0），B（8，5），将线段OA平移至CB，点D（x，0）在x轴正半轴上（不与点A重合），连接OC，AB，CD，BD.
（1）求对角线AC的长；
（2）△ODC与△ABD的面积分别记为S1，S2，设S＝S1﹣S2，求S关于x的函数解析式，并探究是否存在点D使S与△DBC的面积相等，如果存在，请求出x的值（或取值范围）；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意知，将线段OA平移至CB，
∴四边形OABC为平行四边形.
又∵A（6，0），B（8，5），∴点C（2，5）.
过点C作CE⊥OA于E，连接AC，在Rt△CEA中，
AC= = = .
（2）解：∵点D的坐标为（x，0），
若点D在线段OA上，即当0＜x＜6时，
， ，
∴ ＝5x－15.
若点D在OA的延长线上，即当x＞6时，
， ，
∴ ＝15.
由上可得，
∵ ，
当0＜x＜6时， 时，x=6（与A重合，不合题意，舍去）；
当x＞6时， ，点D在OA延长线上的任意一点处都可满足条件，
∴点D所在位置为D（x，0）（x＞6）.
【解析】【分析】（1）根据平移的性质可以求得点C的坐标，然后根据两点间的距离公式即可求得AC的长；（2）根据题意，可以分别表示出S1，S2，从而可以得到S关于x的函数解析式，由图和题目中的条件可以求得△CDB的面积，从而可以求得满足条件的点D的坐标，本题得以解决.
46．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： ，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如： ， 像这样的分式是假分式；像 ， 这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如： ； ，解决下列问题：
（1）将分式 化为整式与真分式的和的形式为： （直接写出结果即可）
（2）如果分式 的值为整数，求 的整数值
【答案】（1）
（2）解：原式
因为 的值是整数，分式的值也是整数，
所以 或 ，
所以 、 、0、 ．
所以分式的值为整数， 的值可以是： 、 、0、 ．
【解析】【解答】解：（1）
故答案为： ；
【分析】（1）根据“真分式”定义，仿照例题解答即可；
（2）先把分式化为真分式为，由于x的值是整数，分式的值也是整数，可得 或
47．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（），连接BE，DE．
（1）求证：；
（2）过点E作交BC于点F，延长BC至点G，使得，连接DG．
①依题意补全图形；
②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵AC是正方形的对角线，
∴∠
在△和△中，
∴△
∴
（2）解：①补全图形如下：
②连接GE，如图，
∵
∴∠
∴∠
∴，，
又
∴△
∴
∴，
由（1）知：△，
∴∠
∴∠即∠，
∴∠
由勾股定理得，，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）正方形的对角线平分一组对角，可证三角形ABE与三角形ADE全等；
（2）由于CG＝FB，可连接EG，构造全等三角形，从而把DE、GE转化到同一三角形内。
48．已知如图1，四边形 是正方形， .
（1）如图1，若点 分别在边 上，延长线段 至 ，使得 ，若 求 的长；
（2）如图2，若点 分别在边 延长线上时，求证：
（3）如图3，如果四边形 不是正方形，但满足 且 ，请你直接写出 的长.
【答案】（1）解：如图1所示，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
在 ABG和 ADF中，
∴ ABG≌ ADF（SAS），
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
又∵∠DAF+∠FAB=∠FAB+∠BAG=90°，且∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠FAG-∠EAF=45°=∠EAF，
在 GAE和 FAE中，
∴ GAE≌ FAE（SAS），
∴EF=GE=GB+BE=2+3=5；
（2）解：如下图所示，在DF上取一点G，使得DG=BE， 连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，故AB=AD，∠ABE=∠ADG=90°，
在 ABE和 ADG中，
∴ ABE≌ ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAG+∠DAG=90°，故∠BAG+∠BAE=90°，
∵∠EAF=45°，故∠GAF=45°，∠EAF=∠GAF=45°，
在 AEF和 AGF中，
∴ AEF≌ AGF（SAS），
∴EF=GF，且DG=BE，
∴EF=DF-DG=DF-BE；
（3）解：BE=5，
如下图所示，在线段DF上取BE=DG，连接AG，
∵∠BAD=∠BCD=90°，故∠ABC+∠ADC=180°，且∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ABE=∠ADC，
在 ABE和 ADG中，
∴ ABE≌ ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAG+∠DAG=90°，故∠BAG+∠BAE=90°，
∵∠EAF=45°，故∠GAF=45°，∠EAF=∠GAF=45°，
在 AEF和 AGF中，
∴ AEF≌ AGF（SAS），
∴EF=GF，
设BE=x，则CE=BC+BE =7+x，EF=GF=DC+CF-DG= DC+CF-BE=18-x，
在直角三角形ECF中，根据勾股定理： ，
即： ，解得x=5，
∴BE=x=5.
【解析】【分析】（1）先用SAS证 ABG≌ ADF，可得AG=AF，∠BAG=∠DAF，又可证∠EAG=∠EAF，故可用SAS证 GAE≌ FAE，EF=GE，即EF长度可求；（2）在DF上取一点G，使得DG=BE， 连接AG，先用SAS证 ABE≌ ADG，可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，又可证∠EAF=∠GAF，故可用SAS证 AEF≌ AGF，可得EF=GF，且DG=BE，故EF=DF-DG=DF-BE；（3）在线段DF上取BE=DG，连接AG，求证∠ABE=∠ADC，即可用SAS证 ABE≌ ADG，可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，又可证∠EAF=∠GAF，故可用SAS证 AEF≌ AGF，可得EF=GF，设BE=x，则CE= 7+x，EF=18-x，根据勾股定理： ，即可求得BE的长度
49． 在 中， ， 点 分别为边 上异于端点的动点，且 ， 连结 ， 将四边形 沿着 折叠得到四边形 .
（1） 如图 1， 边 交于点 ， 若 ， 求证： 四边形 为平行四边形；
（2） 如图 2， 当点 落在点 处时， 求折痕 的长；
（3） 当点 落在 的边上时， 求点 之间的距离.
【答案】（1）证明：∵DE=BF，AQ=BF，∴AQ=DE，
在平行四边形ABCD中，DC∥AB，
∴四边形AQED为平行四边形
（2）解：如图1，过点A作CD的垂线，交CD延长线于点H，
连结AC，交EF于点O，
由轴对称性可知EF垂直平分AC，
在Rt△AHD中，∵∠HAD=90°-∠DAB=30°，∴HD=AD=2，
由勾股定理，得AH==，
在Rt△AHE中，由勾股定理，得AH2+HE2=AE2，
即12+(8-AE)2=AE2，解得AE=，
在Rt△AHC中，由勾股定理，得AC==，
在Rt△AEO中，由勾股定理，得EO==，
由平行四边形的中心对称性，得EF=2EO=
（3）解：当点G落在AB边上时，如图2，
由折叠可知FG=FB，HE=CE，∠EFG=90°，
∵DE=BF，∴FG=DE，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴四边形DEFG是平行四边形，∴∠DGA=∠EFG=90°，
在Rt△ADG中，∠ADG=30°，∴AG=AD=2，
∴BG=AB-AG=4
当点G落在AD边上时，如图3，连结BD交EF于点O，
由平行四边形的中心对称性，得DO=BO，
由翻折，得GO=BO=DO，∴∠DGO=∠GDO，∠OGB=∠OBG，
∴∠DGB=90°，∠AGB=180°-∠DGB=90°，
在Rt△AGB中，∠GBA=90°-∠A=30°，∴AG=AB=3，
由勾股定理，得BG==.
当点G落在DC边上时，如图4，连结BG交EF于点O，
由折叠可知FG=FB=DE，则BG垂直平分EF，
由轴对称性可知EF垂直平分BG，
∴点G与点D重合.
过点D作AB的垂线交于点M，
在Rt△BGM中，BM=4，GM=，
由勾股定理，得BG==.
综上所述，点B，G之间的距离为4或或.
【解析】【分析】（1）先证明，再根据平行四边形的性质与判定即可得到答案；
（2）过点作的垂线，交延长线于点，连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，根据勾股定理计算求解即可；
（3）分情况讨论：当点落在边上时，当点落在边上时，连结交于点；当点落在边上时，连结交于点，根据勾股定理、折叠的性质，分别求解即可．
50．如图在中，，是边上的高，且的面积为24．动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、向终点B、D运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）求的长；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）当四边形是矩形时，求t的值；
（4）当以点A、B、C、D、P、Q中的四个点为顶点的四边形是菱形时，直接写出t的值．
【答案】（1）解：∵在 中， ， 是边 上的高，且 的面积为24，
∴ ，
∴
（2）证明：∵在 中，动点P、Q分别从点A、C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿 、 向终点B、D运动，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形
（3）解：当 ，即点 与点 重合时，平行四边形 为矩形，如图：
由（1）知： ，
∴ ，
∴ ；
（4）解：
【解析】【解答】（4）解：当DP=PB=BQ=DQ时，四边形DPBQ为菱形，
由题意可得，DP=PB=6-AP，PE=AE-AP=3-AP，
在Rt△DEP中，利用勾股定理可得，即，
可解得AP=，
所以t=。
故答案为：。
【分析】（1）由题意可知，DE是边AB上的高，根据平行四边形的面积公式，可求得DE的长度。
（2）由题意可知，AB∥CD，AB=CD，且AP=CQ，所以BP=QD，且BP∥QD，根据平行四边形的判定法则（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形），可知四边形DPBQ为平行四边形。
（3）当四边形DPBQ为矩形时，点P运动到点E，使得DP（E）⊥AB，由（1）可知DE=4，在Rt△DAE中，利用勾股定理可得，进而可求得运动的时间。
（4）可先猜测四边形DPBQ为菱形，由题意可知DP=PB=6-AP，PE=AE-AP=3-AP，利用勾股定理可知，可解得AP=，从而求得时间tDE值。若假设APCQ为菱形，经计算，得不到符合题意的结果。
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