浙江省舟山市金衢山五校联考2025年初中学业水平考试第二次质量监测数学试卷
1．（2025·舟山模拟）2025的相反数是（ ）
A． B． C．2025 D．-2025
【答案】D
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：2025的相反数为-2025；
故答案为：D.
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案.
2．（2025·舟山模拟）如图所示的正三棱柱，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，是一行两个相邻的矩形，故只有A符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据主视图的概念：从物体正面所看到的图形，即可得出答案.
3．（2025·舟山模拟）据某新闻报道，温州三澳核电项目6台机组建成后，预计年发电量可达52500000000千瓦时，将为服务国家“双碳”战略作出贡献．数据52500000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 52500000000 =5.25×1010；
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的表示形式即可得出答案.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1 ≤ | a| < 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．（2025·舟山模拟）已知，，则的值为（ ）．
A． B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
则 =
将ab=1代入上式得：
原式=====-23；
故答案为：C.
【分析】根据题意判定a，b的符号，再将待求代数式化简，代入计算即可得出答案.
5．（2025·舟山模拟）在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由数轴可知，a＜0，b＞0，
所以-a＞0，-b＜0，
所以-b＜0＜-a，
故答案为：C.
【分析】根据数轴可判定a，b的符号，再根据相反数的定义即可判定-a，-b的符号，再根据数轴上的右边的数总比左边的数大，即可比较大小，得出答案.
6．（2025·舟山模拟）“五铢钱”（如图所示）是我国古代的一种铜制货币，某古币爱好者收藏了7枚“五铢钱”，测得它们的质量（单位：g）分别为．这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．3.3，3.5 B．3.4，3.5 C．3.4，3.4 D．3.5，3.4
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排序为：3.3，3.3，3.4，3.4，3.5，3.5，3.5，
则中位数为：3.4；
则众数为：3.5；
故答案为：B.
【分析】根据中位数、众数的定义即可得出答案.
中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，处于中间位置的数是中位数；
众数：一组数据出现次数最多的数据即为众数.
7．（2025·舟山模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ，
∴AB=CD=4，
故点D的坐标为：（4，2）
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质是两组对边分别平行且相等，即可得出答案.
8．（2025·舟山模拟）如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，设题中的正八边形为正八边形AFHIJKLG，过点C作MC垂直KL于点C
∵八边形AFHIJKLG为正八边形，
∴正八边形AFHIJKLG的每个内角为，
∵∠ABC =65°
∴在五边形ABCLG中∠BCL=180°×(5-2)-3×135°-65°=70°，
由入射角等于反射角得：∠DCM=∠BCM，
∴90-∠DCM=90°-∠BCM，
即∠DCK=∠BCL=70°，
∴在五边形CDIJK中，
∠CDI=180°×(5-2)-3 ×135°-70°= 65°，
同理可得：∠EDH=∠CDI=65°，
∴在五边形AFHDE中，
∠AED=180°×(5-2)-3×135°-65°= 70°；
故答案为：A.
【分析】设题中的正八边形为正八边形AFHIJKLG，过点C作MC⊥KL于点C，先求出正八边形的每个内角的度数，再根据五边形的内角和可得∠BCL的度数，从而可得∠DCK的度数，同理可得∠EDH，∠CDI的度数，最后根据五边形的内角和求解即可得.
9．（2025·舟山模拟）如图，将直角梯形沿方向向下平移2个单位得到直角梯形，已知，，，则阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：取BC、HG的交点为P，过点P作PQ⊥FG于点Q，
由平移的性质可知：
BF=PQ=2，
FG=BC =6，
S梯形ABCD=S梯形EFGH，
∠G =∠C = 45°，
∴S梯形ABCD-S梯形EBPH=S梯形EFGH-S梯形EBPH，
∴S阴影部分 = S梯形BFGP，
在Rt△PQG中，PQ=2，∠G=45°，
∴QG=PQ=2，
∴BP=FQ=6-2=4，
∴S阴影部分=S梯形BFGP==10；
故答案为：B.
【分析】根据平移的性质和梯形面积公式即可求解阴影部分的面积.
10．（2025·舟山模拟）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：①如图所示：
线段MN与二次函数y=x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，
所以当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3；
②如图所示：
线段MN与二次函数y=x2+4x+n相关函数的图象恰有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得：n=-1，
∴当-3③如图所示：
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点（0，1），
∴n=1；
④如图所示：
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点（，1），
∴+2-n=1，
解得：n=，
∴时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
综上所述，n的取值范围是或；
故答案为：A.
【分析】首先确定出二次函数y= -x2+ 4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、 3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围.
11．（2025·舟山模拟）分解因式： ．
【答案】 。
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 。
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，先提取公因式 后继续应用平方差公式分解即可。
12．（2025·舟山模拟）如果： = ， 那么： = ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】设a=3k，b=2k，代入 ，得
= .
故答案为： .
【分析】设a=3k，b=2k，代入 化简即可.
13．（2025·舟山模拟）2025年春节联欢晚会的主题是“巳巳如意，生生不息”，把这八个字分别写在八张不透明卡片的正面，这些卡片除了字不同处完全相同．将这八张卡片反面朝上洗匀，从中随机抽取一张，然后放回，再重新抽一张，则两次抽取的卡片上的字恰好都是“巳”的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，列表如下：
巳 巳 如 意 生 生 不 息
巳 巳，巳 巳，巳 如，巳 意，巳 生，巳 生，巳 不，巳 息，巳
巳 巳，巳 巳，巳 如，巳 意，巳 生，巳 生，巳 不，巳 息，巳
如 巳，如 巳，如 如，如 意，如 生，如 生，如 不，如 息，如
意 巳，意 巳，意 如，意 意，意 生，意 生，意 不，意 息，意
生 巳，生 巳，生 如，生 意，生 生，生 生，生 不，生 息，生
生 巳，生 巳，生 如，生 意，生 生，生 生，生 不，生 息，生
不 巳，不 巳，不 如，不 意，不 生，不 生，不 不，不 息，不
息 巳，息 巳，息 如，息 意，息 生，息 生，息 不，息 息，息
由表可知，共有64种可能的结果，其中两次抽取的卡片上的字恰好都是“巳”的概率为；
故答案为：.
【分析】利用列表法求概率，根据题意列出表格，再根据概率公式（概率=所求情况数与总情况之比）求解即可.
14．（2025·舟山模拟）如图，在扇形中，，点为的三等分点，为．上一动点，连接．当的值最小时，图中阴影部分的面积为 （结果保留）
【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点B关于OA的对称点E，连接EC交OA于点D，
则点E在上OB=OE=OA=2，则DE=DB，此时当DC+DB的值最小，
∵∠AOB=90°，点C为的三等分点，
∴∠BOC=60°，
∴∠BED=30°，
∴，
作CF⊥OB于F，
∴，
∴，
∵，
，
∴
=
=；
故答案为：.
【分析】作点B关于OA的对称点E，连接EC交OA于点D，则DE=DB，此时当DC+DB的值最小，根据等边三角形的性质以及直角三角形的边角关系求出CF，OD，再由扇形面积、三角形面积的计算方法以及图形各个部分面积之间的和差关系进行计算即可.
15．（2025·舟山模拟）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，先水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着先水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着先水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着先水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点；…按此作法进行下去，则点的坐标为 ．
【答案】(-1013，-1013)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意得，偶数点在第一象限，
P1(-1，-1)水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2，
∴P2 (1，1)，
∴接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3，
∴P3 (-2，-2)，
同理可得，P5 (-3，-3)
∴P2n+1(-n，-n)，
∴P2025(-1013，-1013)；
故答案为：(-1013，-1013).
【分析】观察图象可知，奇数点在第三象限，由题意得P1(-1，-1)，P3(-2，-2)，P5(-3，-3)，...，可得P2n+1(-n，-n)，即可求解.
16．（2025·舟山模拟）如图，菱形中，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，连接，当与第一次垂直时，的度数为 ．
【答案】
【知识点】角的运算；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，ABIICD，∠ABC=∠ADC=120°，
∴∠BCD=60°，
由旋转可得：
AB=AB'，∠BCD=∠B'C'D'=60°，∠ABC=∠AB'C'=∠ADC，
∴AB'=B'C'=AD=CD，
如图所示，连接BD，设B'C'与CD交于点E，
∵AB'= AD，
∴∠AB'D= ∠ADB'，
∴∠AB'C'-∠AB'D=∠ADC-∠ADB'，即
∠EB'D=∠EDB'，
∴EB'=ED，
∴B'C'-EB'=CD-ED，即EC'=EC，
∴∠EC'C=∠ECC'，
∵B'C'⊥CD，即∠CEC'=90°，
∴∠EC'C=∠ECC'==45°，
∴∠D'C'C=∠D'C'B'+∠EC'C=60°+45°=105°；
故答案为：105°.
【分析】根据菱形的性质及旋转的性质可得AB'=B'C'=AD=CD，如图所示，连接B'D，设B'C'与CD交于点E，可证EC'=EC，∠EC'C=∠ECC'，由此得到∠EC'C=∠ECC=45°，由∠D'C'C=∠D'C'B+∠EC'C=60°+45°=105，即可求解.
17．（2025·舟山模拟） 计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据完全平方公式、立方根的定义、零指数幂的性质计算，再根据实数的加减运算计算即可得出答案.
18．（2025·舟山模拟）解方程组：
【答案】解：，
由得：，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
∴方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
19．（2025·舟山模拟）关山草原位于陕西省境内，是中国西北内陆地区唯一的以高山草甸为主体的具有欧式风情的省级风景名胜区，享有“小天山”之美誉．该景区某民族服饰租赁店的小海想了解游客在景区的停留时长，某天随机调查了部分游客，将他们在该景区的停留时长（单位：）统计如下：
【数据收集与描述】
【数据分析与应用】
（1）请补全条形统计图，并填空：所调查游客在该景区停留时长的众数为 ，中位数为 ；
（2）请计算所调查游客在该景区停留时长的平均数；
（3）若该景区这天共有6000名游客，请你估计这天在景区停留时长为的游客有多少名？
【答案】（1）；
（2）解：，
所调查游客在该景区停留时长的平均数为．
（3）解：（名），
估计这天在景区停留时长为的游客有1680名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）停留的有，占，
∴抽样人数为（人），
∴停留的人数为（人），
∴补全条形统计图如下，
∵停留时长为的人数最多，
∴停留时长的众数为，
根据停留时长人数的情况可得，中位数在25，26位游客的停留时长，
∴，
故答案为：，.
【分析】(1)根据停留4.5h的人数和所占的百分比求出总人数，再计算出3h的人数即可补全条形统计图，根据众数和中位数的定义可求出众数和中位数；
(2)根据加权平均数计算即可；
(3)利用样本估计总体即可.
20．（2025·舟山模拟）如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接．
（1）求证：．
（2）当时，求与的度数和．
【答案】（1）证明：∵旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由旋转可得出CD=CE，再根据题意通过SAS即可判定三角形全等；
（2）由（1）可得出全等三角形的对应角相等，进而可得出与的度数和为的度数，即可得解.
21．（2025·舟山模拟）利用以下素材解决问题．
莲藕定价问题
素材 年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达米、节孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食．某餐饮店主打莲藕汤，其成本为元份，当售价为元份时，平均每天可以卖出份．
素材 经市场调研发现：售价每上涨元份，每天要少卖出份；售价每下降元份，每天可多卖出份．
任务 若涨价元份，则平均每天的销售量为 ▲ 份；若设降价元份，则平均每天的销售量为 ▲ 份（用含的代数式表示）．
任务 若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润达到元？
任务 “元旦”假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高？
【答案】解：[任务]，；
[任务]由题意得，设涨价元份，
∴，
整理得：，
解得：，，
答：该餐饮店将售价上涨元份或元份时，才能使每天的利润达到元；
[任务]∵尽快减少库存，
∴采取降价销售，
∴每天的利润为，
∵，
∴当时，每天的利润有最大值为元，
答：售价下降元份，能使每天的利润最高，最高为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：[任务]若涨价元份，则平均每天的销售量为（份），
若设降价元份，则平均每天的销售量为（份），
故答案为：，；
【分析】[任务1]根据题意列出代数式即可；
[任务2]根据“利润=（售价-进价）×销售量”列方程计算即可得出答案；
[任务3]根据“利润=（售价-进价）×销售量”可列出利润的关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可得出答案.
22．（2025·舟山模拟）某校初三实践小组为探究某款台灯如何放置光线效果最佳做了以下探究：
Ⅰ．了解台灯的构成，将实物图转化为数学图形
台灯由四部分构成：底座，长度为定值的底柄，可以通过调整，的大小来调整台灯的高度；
且于点A，．
Ⅱ．多次实验测量数据，选取最佳效果
选取身高相同的同学多次实验，并获取最终数据：
人的眼睛距离桌面的最佳距离为到；距离台灯D的最佳距离为到；与台灯D的仰角为
Ⅲ．问题解决：
（1）如图1，若与水平桌面的夹角为，且时，点D到桌面的距离为，求长；（参考数据：，，）
（2）如图2，在（1）结论的基础上，若在人的眼睛O处测得B处的俯角为，台灯D处的仰角为，人的眼睛距离桌面和台灯D的距离都为，与水平桌面的夹角为，则此时与水平面的夹角的余弦值为 ▲ ．（用含有，的式子表示）
【答案】（1）解：如图所示，过点D作直线的垂线，垂足为G，过点C作于H，过点B分别作的垂线，垂足分别为M、N，则四边形和四边形都是矩形，
∴，
∵与水平桌面的夹角为，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，；
（2）
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（2）如图所示，过点O作，分别过点B、D作的垂线，垂足分别为G、H过点C作交延长线于M，交于N，则四边形是平行四边形，
∴；
同理可得，
∴；
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴与水平面的夹角的余弦值为．
【分析】(1)过点D作直线EF的垂线，垂足为G，过点C作CH⊥DG于H，过点B分别作DG，CH的垂线，垂足分别为M、N，则四边形BNHM和四边形ABMG都是矩形，根据矩形的性质可得HM=BN，MG=AB=2cm，根据三角函数可求出BN的长，进而求出DH的长，再根据三角函数即可得出CD的长度；
(2)过点O作OG∥EF，分别过点B、D作OG的垂线，垂足分别为G、H，过点C作CM⊥DH交DH延长线于M，交BG于N，则四边形MNGH是平行四边形，先解直角三角形求出CN，OH，OG的长度，再求出GH的长，进而求出CM，最后解Rt△CDM即可得到答案.
23．（2025·舟山模拟）小海陪弟弟玩积木时，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆O和边长为的正方形，P，Q分别为半圆O上的点．如图1所示，此时半圆O与水平面恰好切于点P，，延长与半圆O分别交于点E，F．将半圆O向右无滑动滚动，使点D落在半圆O上，此时半圆O与水平面恰好切于点Q，如图2所示．
（1）在图1中，求弦的长；
（2）在图2中，求的长；
（3）在图2中，过点D作半圆O的切线与直线交于点H，求的值．
【答案】（1）解：如图，连接，，与交于点，
∵半圆与水平面相切于点，为半圆的半径，四边形为正方形，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴；
（2）解：如图，连接，，延长交于点，
∵四边形为正方形，半圆与水平面相切于点，为半圆的半径，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴的长为，
（3）解：如图，连接，由切线长定理可得，
设，则，由（）得，则，
∴在中，，
即，
解得，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；垂径定理；切线长定理
【解析】【分析】(1)连接OE，OP，OP与EF交于点T，利用正方形的性质，圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和勾股定理求得ET，再利用垂径定理即求得BF；
(2)连接OQ，OD，延长CD交OQ于点G，利用(1)的方法求得DG，利用矩形的判定与性质得到AQ的长度，则的长度可求；
(3)连接OH，由切线长定理可得：HQ=HD，设HD=t，则HQ=t，利用勾股定理列出方程求出t的值，进而可得AH的长度，即可求出tan∠ADH的值.
24．（2025·舟山模拟）
（1）【思考尝试】
如图1，在矩形中，是边上一点，于点，，，，求证：四边形是正方形；
（2）【实践探究】
如图2，在正方形中，是边上一点，于点，于点，交HA的延长线于点，求线段的数量关系；
（3）【拓展迁移】
如图3，在正方形中，是边上一点，于点，点在线段上，且，连接，，．
①求证：；
②直接写出线段，的数量关系．
【答案】（1）证明：，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
（2）解：，理由如下：
，，，
，
四边形是矩形，
，
同理（1）可得，
四边形是正方形，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
；
（3）解：①证明：，四边形是正方形，
，
，
，
，
，
又，
，
；
②解：，理由如下：
四边形是正方形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
【知识点】四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得到∠ADC =90°，进而可得∠ADG=∠CDF，利用AAS证得△ADG≌△CDF，再根据全等三角形的性质得到AD=CD，于是得到四边形ABCD是正方形；
(2)根据矩形的判定定理得到四边形HFDG是矩形，即可得∠G =∠DFC-90°，根据正方形的性质得到AD=CD，∠ADC =90，求得∠ADG=∠CDF，利用AAS证得△ADG≌△CDF，根据全等三角形的性质得到AG=CF，DG=DF，根据正方形的判定定理得到矩形HFDG是正方形，于是得到HF=AH+CF；
(3)①根据正方形的性质可得∠AHE=∠ABC，再利用AA证得△HEB∽△AEC，通过相似三角形对应角相等即可得证；
②根据正方形的性质得到∠BAC=45°，根据等腰直角三角形的性质得到∠HAM=45°，再根据相似三角形的性质即可得到结论.
1 / 1浙江省舟山市金衢山五校联考2025年初中学业水平考试第二次质量监测数学试卷
1．（2025·舟山模拟）2025的相反数是（ ）
A． B． C．2025 D．-2025
2．（2025·舟山模拟）如图所示的正三棱柱，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·舟山模拟）据某新闻报道，温州三澳核电项目6台机组建成后，预计年发电量可达52500000000千瓦时，将为服务国家“双碳”战略作出贡献．数据52500000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·舟山模拟）已知，，则的值为（ ）．
A． B．5 C． D．
5．（2025·舟山模拟）在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·舟山模拟）“五铢钱”（如图所示）是我国古代的一种铜制货币，某古币爱好者收藏了7枚“五铢钱”，测得它们的质量（单位：g）分别为．这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．3.3，3.5 B．3.4，3.5 C．3.4，3.4 D．3.5，3.4
7．（2025·舟山模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·舟山模拟）如图，点B是正八边形的边上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边上一点E，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·舟山模拟）如图，将直角梯形沿方向向下平移2个单位得到直角梯形，已知，，，则阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．
10．（2025·舟山模拟）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
11．（2025·舟山模拟）分解因式： ．
12．（2025·舟山模拟）如果： = ， 那么： = ．
13．（2025·舟山模拟）2025年春节联欢晚会的主题是“巳巳如意，生生不息”，把这八个字分别写在八张不透明卡片的正面，这些卡片除了字不同处完全相同．将这八张卡片反面朝上洗匀，从中随机抽取一张，然后放回，再重新抽一张，则两次抽取的卡片上的字恰好都是“巳”的概率为 ．
14．（2025·舟山模拟）如图，在扇形中，，点为的三等分点，为．上一动点，连接．当的值最小时，图中阴影部分的面积为 （结果保留）
15．（2025·舟山模拟）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，先水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着先水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着先水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着先水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点；…按此作法进行下去，则点的坐标为 ．
16．（2025·舟山模拟）如图，菱形中，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，连接，当与第一次垂直时，的度数为 ．
17．（2025·舟山模拟） 计算：．
18．（2025·舟山模拟）解方程组：
19．（2025·舟山模拟）关山草原位于陕西省境内，是中国西北内陆地区唯一的以高山草甸为主体的具有欧式风情的省级风景名胜区，享有“小天山”之美誉．该景区某民族服饰租赁店的小海想了解游客在景区的停留时长，某天随机调查了部分游客，将他们在该景区的停留时长（单位：）统计如下：
【数据收集与描述】
【数据分析与应用】
（1）请补全条形统计图，并填空：所调查游客在该景区停留时长的众数为 ，中位数为 ；
（2）请计算所调查游客在该景区停留时长的平均数；
（3）若该景区这天共有6000名游客，请你估计这天在景区停留时长为的游客有多少名？
20．（2025·舟山模拟）如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接．
（1）求证：．
（2）当时，求与的度数和．
21．（2025·舟山模拟）利用以下素材解决问题．
莲藕定价问题
素材 年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达米、节孔的“藕王”惊艳亮相，瞬间吸引了全网目光每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食．某餐饮店主打莲藕汤，其成本为元份，当售价为元份时，平均每天可以卖出份．
素材 经市场调研发现：售价每上涨元份，每天要少卖出份；售价每下降元份，每天可多卖出份．
任务 若涨价元份，则平均每天的销售量为 ▲ 份；若设降价元份，则平均每天的销售量为 ▲ 份（用含的代数式表示）．
任务 若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润达到元？
任务 “元旦”假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才能使每天的利润最高？
22．（2025·舟山模拟）某校初三实践小组为探究某款台灯如何放置光线效果最佳做了以下探究：
Ⅰ．了解台灯的构成，将实物图转化为数学图形
台灯由四部分构成：底座，长度为定值的底柄，可以通过调整，的大小来调整台灯的高度；
且于点A，．
Ⅱ．多次实验测量数据，选取最佳效果
选取身高相同的同学多次实验，并获取最终数据：
人的眼睛距离桌面的最佳距离为到；距离台灯D的最佳距离为到；与台灯D的仰角为
Ⅲ．问题解决：
（1）如图1，若与水平桌面的夹角为，且时，点D到桌面的距离为，求长；（参考数据：，，）
（2）如图2，在（1）结论的基础上，若在人的眼睛O处测得B处的俯角为，台灯D处的仰角为，人的眼睛距离桌面和台灯D的距离都为，与水平桌面的夹角为，则此时与水平面的夹角的余弦值为 ▲ ．（用含有，的式子表示）
23．（2025·舟山模拟）小海陪弟弟玩积木时，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以为直径的半圆O和边长为的正方形，P，Q分别为半圆O上的点．如图1所示，此时半圆O与水平面恰好切于点P，，延长与半圆O分别交于点E，F．将半圆O向右无滑动滚动，使点D落在半圆O上，此时半圆O与水平面恰好切于点Q，如图2所示．
（1）在图1中，求弦的长；
（2）在图2中，求的长；
（3）在图2中，过点D作半圆O的切线与直线交于点H，求的值．
24．（2025·舟山模拟）
（1）【思考尝试】
如图1，在矩形中，是边上一点，于点，，，，求证：四边形是正方形；
（2）【实践探究】
如图2，在正方形中，是边上一点，于点，于点，交HA的延长线于点，求线段的数量关系；
（3）【拓展迁移】
如图3，在正方形中，是边上一点，于点，点在线段上，且，连接，，．
①求证：；
②直接写出线段，的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：2025的相反数为-2025；
故答案为：D.
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，是一行两个相邻的矩形，故只有A符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据主视图的概念：从物体正面所看到的图形，即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 52500000000 =5.25×1010；
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的表示形式即可得出答案.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1 ≤ | a| < 10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
则 =
将ab=1代入上式得：
原式=====-23；
故答案为：C.
【分析】根据题意判定a，b的符号，再将待求代数式化简，代入计算即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由数轴可知，a＜0，b＞0，
所以-a＞0，-b＜0，
所以-b＜0＜-a，
故答案为：C.
【分析】根据数轴可判定a，b的符号，再根据相反数的定义即可判定-a，-b的符号，再根据数轴上的右边的数总比左边的数大，即可比较大小，得出答案.
6．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排序为：3.3，3.3，3.4，3.4，3.5，3.5，3.5，
则中位数为：3.4；
则众数为：3.5；
故答案为：B.
【分析】根据中位数、众数的定义即可得出答案.
中位数：将一组数据从小到大（或从大到小）排序后，处于中间位置的数是中位数；
众数：一组数据出现次数最多的数据即为众数.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ，
∴AB=CD=4，
故点D的坐标为：（4，2）
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质是两组对边分别平行且相等，即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：如图，设题中的正八边形为正八边形AFHIJKLG，过点C作MC垂直KL于点C
∵八边形AFHIJKLG为正八边形，
∴正八边形AFHIJKLG的每个内角为，
∵∠ABC =65°
∴在五边形ABCLG中∠BCL=180°×(5-2)-3×135°-65°=70°，
由入射角等于反射角得：∠DCM=∠BCM，
∴90-∠DCM=90°-∠BCM，
即∠DCK=∠BCL=70°，
∴在五边形CDIJK中，
∠CDI=180°×(5-2)-3 ×135°-70°= 65°，
同理可得：∠EDH=∠CDI=65°，
∴在五边形AFHDE中，
∠AED=180°×(5-2)-3×135°-65°= 70°；
故答案为：A.
【分析】设题中的正八边形为正八边形AFHIJKLG，过点C作MC⊥KL于点C，先求出正八边形的每个内角的度数，再根据五边形的内角和可得∠BCL的度数，从而可得∠DCK的度数，同理可得∠EDH，∠CDI的度数，最后根据五边形的内角和求解即可得.
9．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：取BC、HG的交点为P，过点P作PQ⊥FG于点Q，
由平移的性质可知：
BF=PQ=2，
FG=BC =6，
S梯形ABCD=S梯形EFGH，
∠G =∠C = 45°，
∴S梯形ABCD-S梯形EBPH=S梯形EFGH-S梯形EBPH，
∴S阴影部分 = S梯形BFGP，
在Rt△PQG中，PQ=2，∠G=45°，
∴QG=PQ=2，
∴BP=FQ=6-2=4，
∴S阴影部分=S梯形BFGP==10；
故答案为：B.
【分析】根据平移的性质和梯形面积公式即可求解阴影部分的面积.
10．【答案】A
【知识点】二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：①如图所示：
线段MN与二次函数y=x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，
所以当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3；
②如图所示：
线段MN与二次函数y=x2+4x+n相关函数的图象恰有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得：n=-1，
∴当-3③如图所示：
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点（0，1），
∴n=1；
④如图所示：
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点（，1），
∴+2-n=1，
解得：n=，
∴时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
综上所述，n的取值范围是或；
故答案为：A.
【分析】首先确定出二次函数y= -x2+ 4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、 3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围.
11．【答案】 。
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 。
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，先提取公因式 后继续应用平方差公式分解即可。
12．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】设a=3k，b=2k，代入 ，得
= .
故答案为： .
【分析】设a=3k，b=2k，代入 化简即可.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，列表如下：
巳 巳 如 意 生 生 不 息
巳 巳，巳 巳，巳 如，巳 意，巳 生，巳 生，巳 不，巳 息，巳
巳 巳，巳 巳，巳 如，巳 意，巳 生，巳 生，巳 不，巳 息，巳
如 巳，如 巳，如 如，如 意，如 生，如 生，如 不，如 息，如
意 巳，意 巳，意 如，意 意，意 生，意 生，意 不，意 息，意
生 巳，生 巳，生 如，生 意，生 生，生 生，生 不，生 息，生
生 巳，生 巳，生 如，生 意，生 生，生 生，生 不，生 息，生
不 巳，不 巳，不 如，不 意，不 生，不 生，不 不，不 息，不
息 巳，息 巳，息 如，息 意，息 生，息 生，息 不，息 息，息
由表可知，共有64种可能的结果，其中两次抽取的卡片上的字恰好都是“巳”的概率为；
故答案为：.
【分析】利用列表法求概率，根据题意列出表格，再根据概率公式（概率=所求情况数与总情况之比）求解即可.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点B关于OA的对称点E，连接EC交OA于点D，
则点E在上OB=OE=OA=2，则DE=DB，此时当DC+DB的值最小，
∵∠AOB=90°，点C为的三等分点，
∴∠BOC=60°，
∴∠BED=30°，
∴，
作CF⊥OB于F，
∴，
∴，
∵，
，
∴
=
=；
故答案为：.
【分析】作点B关于OA的对称点E，连接EC交OA于点D，则DE=DB，此时当DC+DB的值最小，根据等边三角形的性质以及直角三角形的边角关系求出CF，OD，再由扇形面积、三角形面积的计算方法以及图形各个部分面积之间的和差关系进行计算即可.
15．【答案】(-1013，-1013)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意得，偶数点在第一象限，
P1(-1，-1)水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2，
∴P2 (1，1)，
∴接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3，
∴P3 (-2，-2)，
同理可得，P5 (-3，-3)
∴P2n+1(-n，-n)，
∴P2025(-1013，-1013)；
故答案为：(-1013，-1013).
【分析】观察图象可知，奇数点在第三象限，由题意得P1(-1，-1)，P3(-2，-2)，P5(-3，-3)，...，可得P2n+1(-n，-n)，即可求解.
16．【答案】
【知识点】角的运算；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，ABIICD，∠ABC=∠ADC=120°，
∴∠BCD=60°，
由旋转可得：
AB=AB'，∠BCD=∠B'C'D'=60°，∠ABC=∠AB'C'=∠ADC，
∴AB'=B'C'=AD=CD，
如图所示，连接BD，设B'C'与CD交于点E，
∵AB'= AD，
∴∠AB'D= ∠ADB'，
∴∠AB'C'-∠AB'D=∠ADC-∠ADB'，即
∠EB'D=∠EDB'，
∴EB'=ED，
∴B'C'-EB'=CD-ED，即EC'=EC，
∴∠EC'C=∠ECC'，
∵B'C'⊥CD，即∠CEC'=90°，
∴∠EC'C=∠ECC'==45°，
∴∠D'C'C=∠D'C'B'+∠EC'C=60°+45°=105°；
故答案为：105°.
【分析】根据菱形的性质及旋转的性质可得AB'=B'C'=AD=CD，如图所示，连接B'D，设B'C'与CD交于点E，可证EC'=EC，∠EC'C=∠ECC'，由此得到∠EC'C=∠ECC=45°，由∠D'C'C=∠D'C'B+∠EC'C=60°+45°=105，即可求解.
17．【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据完全平方公式、立方根的定义、零指数幂的性质计算，再根据实数的加减运算计算即可得出答案.
18．【答案】解：，
由得：，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
∴方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
19．【答案】（1）；
（2）解：，
所调查游客在该景区停留时长的平均数为．
（3）解：（名），
估计这天在景区停留时长为的游客有1680名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）停留的有，占，
∴抽样人数为（人），
∴停留的人数为（人），
∴补全条形统计图如下，
∵停留时长为的人数最多，
∴停留时长的众数为，
根据停留时长人数的情况可得，中位数在25，26位游客的停留时长，
∴，
故答案为：，.
【分析】(1)根据停留4.5h的人数和所占的百分比求出总人数，再计算出3h的人数即可补全条形统计图，根据众数和中位数的定义可求出众数和中位数；
(2)根据加权平均数计算即可；
(3)利用样本估计总体即可.
20．【答案】（1）证明：∵旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由旋转可得出CD=CE，再根据题意通过SAS即可判定三角形全等；
（2）由（1）可得出全等三角形的对应角相等，进而可得出与的度数和为的度数，即可得解.
21．【答案】解：[任务]，；
[任务]由题意得，设涨价元份，
∴，
整理得：，
解得：，，
答：该餐饮店将售价上涨元份或元份时，才能使每天的利润达到元；
[任务]∵尽快减少库存，
∴采取降价销售，
∴每天的利润为，
∵，
∴当时，每天的利润有最大值为元，
答：售价下降元份，能使每天的利润最高，最高为元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：[任务]若涨价元份，则平均每天的销售量为（份），
若设降价元份，则平均每天的销售量为（份），
故答案为：，；
【分析】[任务1]根据题意列出代数式即可；
[任务2]根据“利润=（售价-进价）×销售量”列方程计算即可得出答案；
[任务3]根据“利润=（售价-进价）×销售量”可列出利润的关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可得出答案.
22．【答案】（1）解：如图所示，过点D作直线的垂线，垂足为G，过点C作于H，过点B分别作的垂线，垂足分别为M、N，则四边形和四边形都是矩形，
∴，
∵与水平桌面的夹角为，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，；
（2）
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（2）如图所示，过点O作，分别过点B、D作的垂线，垂足分别为G、H过点C作交延长线于M，交于N，则四边形是平行四边形，
∴；
同理可得，
∴；
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴与水平面的夹角的余弦值为．
【分析】(1)过点D作直线EF的垂线，垂足为G，过点C作CH⊥DG于H，过点B分别作DG，CH的垂线，垂足分别为M、N，则四边形BNHM和四边形ABMG都是矩形，根据矩形的性质可得HM=BN，MG=AB=2cm，根据三角函数可求出BN的长，进而求出DH的长，再根据三角函数即可得出CD的长度；
(2)过点O作OG∥EF，分别过点B、D作OG的垂线，垂足分别为G、H，过点C作CM⊥DH交DH延长线于M，交BG于N，则四边形MNGH是平行四边形，先解直角三角形求出CN，OH，OG的长度，再求出GH的长，进而求出CM，最后解Rt△CDM即可得到答案.
23．【答案】（1）解：如图，连接，，与交于点，
∵半圆与水平面相切于点，为半圆的半径，四边形为正方形，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴；
（2）解：如图，连接，，延长交于点，
∵四边形为正方形，半圆与水平面相切于点，为半圆的半径，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∵，
∴的长为，
（3）解：如图，连接，由切线长定理可得，
设，则，由（）得，则，
∴在中，，
即，
解得，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；垂径定理；切线长定理
【解析】【分析】(1)连接OE，OP，OP与EF交于点T，利用正方形的性质，圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和勾股定理求得ET，再利用垂径定理即求得BF；
(2)连接OQ，OD，延长CD交OQ于点G，利用(1)的方法求得DG，利用矩形的判定与性质得到AQ的长度，则的长度可求；
(3)连接OH，由切线长定理可得：HQ=HD，设HD=t，则HQ=t，利用勾股定理列出方程求出t的值，进而可得AH的长度，即可求出tan∠ADH的值.
24．【答案】（1）证明：，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
（2）解：，理由如下：
，，，
，
四边形是矩形，
，
同理（1）可得，
四边形是正方形，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
；
（3）解：①证明：，四边形是正方形，
，
，
，
，
，
又，
，
；
②解：，理由如下：
四边形是正方形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
【知识点】四边形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得到∠ADC =90°，进而可得∠ADG=∠CDF，利用AAS证得△ADG≌△CDF，再根据全等三角形的性质得到AD=CD，于是得到四边形ABCD是正方形；
(2)根据矩形的判定定理得到四边形HFDG是矩形，即可得∠G =∠DFC-90°，根据正方形的性质得到AD=CD，∠ADC =90，求得∠ADG=∠CDF，利用AAS证得△ADG≌△CDF，根据全等三角形的性质得到AG=CF，DG=DF，根据正方形的判定定理得到矩形HFDG是正方形，于是得到HF=AH+CF；
(3)①根据正方形的性质可得∠AHE=∠ABC，再利用AA证得△HEB∽△AEC，通过相似三角形对应角相等即可得证；
②根据正方形的性质得到∠BAC=45°，根据等腰直角三角形的性质得到∠HAM=45°，再根据相似三角形的性质即可得到结论.
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