浙江省金华市婺城区2025年第二学期九年级调研测试数学试题卷（二模）
1．（2025·婺城模拟）四个数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，为原点，其中是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知：点d在原点的左侧，另外三个在原点的右侧，因此在这四个数中，负数的是d.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上原点左边的点为负数进行解答即可.
2．（2025·婺城模拟）在下列四个几何体中，三视图都是圆的是（ ）
A．立方体 B．球 C．圆柱 D．圆锥
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据几何体的空间结构特点可知，三视图都是圆的是球，
故答案为：B.
【分析】根据几何体的三视图进行判断即可.
3．（2025·婺城模拟）国家统计局2025年4月16日发布数据，今年一季度，我国国内生产总值（GDP）突破31870000000000元，将数31870000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：31870000000000=3.187×1013
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．（2025·婺城模拟）2025年1月1日金华市四个景点的最高气温与最低气温如下表，该天温差最大的景点是（ ）
景点 诸葛八卦村 永康方岩 金华双龙洞 磐安百丈潭
最高气温
最低气温
A．诸葛八卦村 B．永康方岩 C．金华双龙洞 D．磐安百丈潭
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：诸葛八卦村的温差为13-(-2)=15℃，
永康方岩的温差为16-2=14℃，
金华双龙洞的温差为14-0=14℃，
磐安百丈潭的温差为12-(-1)=13℃，
∵13<14<15，
∴该天温差最大的景点是诸葛八卦村，
故答案为：A.
【分析】先利用有理数的减法求出四个景点的温差，再比较即可判断求解.
5．（2025·婺城模拟）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意得，抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得点数为偶数的概率为：
故答案为：D.
【分析】一枚质地均匀的骰子有6个面，点数为偶数的面有3个，据此即可求解.
6．（2025·婺城模拟）如图，AB切于点B，OA交于点，点在上，连结，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
由圆周角定理得：∠AOB=2∠D=2×25°=50°，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥LAB，
∴∠ABO =90°，
∴∠A=90°-∠AOB=90°-50°=40°，
故答案为：C.
【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到∠ABO=90°，再根据直角三角形的性质计算即可.
7．（2025·婺城模拟）在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点分别为，平移线段AB，点，的对应点分别为，已知，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵A(2，4)平移后得到A'的坐标为(0，5)，
∴向左平移了2个单位，向上平移了1个单位，
∴B(8，8)平移后的点的坐标为(8-2，8+1)，即点B'的坐标为(6，9)，
故答案为：A.
【分析】根据A点的坐标及其对应点A'的坐标可得线段AB向左平移了2个单位，向上平移了1个单位，即可得到点B的坐标.
8．（2025·婺城模拟）如图，面积为的正方形ABCD是由正方形EFGH和四个形状、大小一样的直角三角形组成，其中，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：设AE=x，由BE=2AE=2x，
∵AB=BC=CD，∠AEB=90°，CG=DH，∠BCG=∠CDH.
∴△AEB △CGD(SAS)
∴由勾股定理可得：AB2=AE2+BE2=5x2=S，
∵△BCG △CDH(SAS)，.
∴，
∴阴影部分面积为
故答案为：B.
【分析】设AE=x，由BE=2AE=2x，由勾股定理可得：AB2=AE2+BE2=5x2=S，进而即可求出答案.
9．（2025·婺城模拟）已知点在反比例函数为常数，的图象上，，则以下说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、当A(x1，y1)，B(x2，y2)两点都在第四象限时，满足x1+x2>0，此时y1<0，y2<0，不满足y1+ y2>0，原说法错误，不符合题意；
B、当A(x1，y1)，B(x2，y2)两点不在同一象限时，若x1+x2>0，则y1+y2<0不一定成立，例如x1=-1，x2=2时，则有y1=-k，，则y1+y2>0，原说法错误，不符合题意；
C、若x1·x2>0，那么A(x1，y1)，B(x2，y2)在同一象限，而x1< x2，故y1< y2，原说法错误，不符合题意；
D、若x1·x2<0，那么A(x1，y1)，B(x2，y2)不在同一象限，而x10>y2，原说法正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】当两个点都在第四象限时，两个点纵坐标都是负数，不管横坐标的大小如何，纵坐标的和都小于0，当x1=-1上，则x2=2时，则有y1=-k，，则y1+y2>0，据此可判断A、B；根据增减性和函数图象所在的象限可判断C、D.
10．（2025·婺城模拟）如图，在中，对角线AC，BD交于点，点为BC中点，于点，已知.当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
由条件可知AB=CD=5，，AO=CO，AD=BC=y，AD//BC，，
∵E为BC的中点，O为BD的中点，
∴OE//CD，，
∴△OPE∽△CPD，
∴
∴，，
∵DE⊥AC，
∴∠OPE=∠EPC=∠CPD=∠OPD=90°，
根据勾股定理得：，
PC2+PD2=52，，
∴，PC2+PD2=25，，
∴，，
∴，
∴x2+y2=5PC2+5PD2=5×25=125，
∴x2+y2为定值.
故答案为：C.
【分析】连接OE，根据平行四边形的性质得出AB=CD=5，，AO=CO，AD=BC=y，AD//BC，根据中位线性质得出OE//CD，，证明△OPE∽△CPD，得出，根据勾股定理，即可得出答案.
11．（2025·婺城模拟）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=（a+3）（a-3）。
故答案为：（a+3）（a-3）。
【分析】由平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）可得。
12．（2025·婺城模拟）若，则 ．
【答案】3
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，
故答案为：3.
【分析】先将化为，再代入求值即可.
13．（2025·婺城模拟）如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），若甲、乙5次成绩的方差分别为，则 （填＂>＂=＂或＂<“）
【答案】＜
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：甲的平均成绩为，
，
乙的平均成绩为，
∴
故答案为：＜.
【分析】先分别求出甲、乙的平均数和方差，进行比较即可得到结论.
14．（2025·婺城模拟）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．锂是新能源时代的核心战略金属，锂和水反应的化学方程式为，其中x，y为常数，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：根据在化学反应中，氢原子的个数相等得到2y=x+2，再由锂原子的个数相等得到x=y可列方程组为：，
解得，
∴x+y=2+2=4，
故答案为：4.
【分析】利用化学反应中原子守恒的原理，通过待定系数法建立方程求解x和y的值.
15．（2025·婺城模拟）如图，在半径为4的扇形AOB中，，点为OB中点，作交OA于点，则围成的图形（阴影部分）的周长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：由条件可知OA=OB=4，
∵∠AOB=45°
∴
∵点P为OB中点，
∴，
由条件可得△OPQ为等腰直角三角形，
∴QP=OP=2，
∴，
∴，
∴阴影部分的周长
故答案为：.
【分析】利用弧长公式可得，又由△OPQ为等腰直角三角形可得，即得，进而求出周长即可.
16．（2025·婺城模拟）如图，在矩形ABCD中，，将矩形ABCD绕点顺时针旋转，旋转得矩形，继续旋转使得点的对应点落在上，连结，则 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；旋转的性质；四点共圆模型
【解析】【解答】解：由题意可得：BC=AD，∠BAD=90°，
∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，旋转90°得矩形A1B1C1D1，继续旋转使得点B的对应点B2落在B1D1上，
∴AB=AB1=AB2，∠B1AD1=90°，AD1=AD，
∴点B、B1、B2在以点A为圆心，AB为半径的圆上，
∴，
∵AB=AB1=AB2，
∴，
∠ABB2=∠AB2A，
∵∠B1AD1+∠BAD=180°，
∴B、A、D1在同一直线上，
∵∠B2BD1+∠B2D1B=∠B1B2B=45°，
∠B1BB2+∠B2BA=∠B2BA=45°，
∴∠B1BB2=∠B2D1B，
∵AB：BC=3：4，
∴设AB1=AB=3x，则AD=AD1=BC=4x，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质得出BC=AD，∠BAD=90°，根据旋转的性质得出AB=AB1=AB2，∠B1AD1= 90°，AD1=AD，证明点B、B1、B2在以点A为圆心，AB为半径的圆上，根据圆周角定理得出，证明，设AB1=AB=3x，则AD=AD1=BC=4x，根据勾股定理得出，根据三角函数定义即可求出答案.
17．（2025·婺城模拟）计算：
【答案】解：原式=
=1
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先判断绝对值内部的值是否为正，若为负则取相反数；将负指数转化为对应的倒数；将根号内数分解质因数，提取完全平方数；最后将化简后的各项合并计算.
18．（2025·婺城模拟）下面是小亮解不等式的过程：
解：去分母，得①
移项，得②
合并同类项，得③
系数化为1，得④
小亮的解答过程从哪一步开始错误？请写出正确的解答过程．
【答案】解：∵4x从不等号的右边移到不等号的左边需要变号，小明没有变号，
∴小明的解答过程从第②步开始出现错误，
3x+12-x+2>4+2
3x-x-4x>2-2-12，
-2x>-12，
x<6.
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】解一元一次不等式的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，系数化为1需要注意不等号的方向是否需要改变.
19．（2025·婺城模拟）如图，在中，，点是BC的中点，点在BD上，连结.
（1）若，求的度数.
（2）若，求的度数.
【答案】（1）解：由条件可知∠C=∠B=40°，
∴∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∵点D是BC的中点，
∴，
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=40°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=10°
（2）解：由条件可知∠CAE=∠CEA，
根据解析(1)可知：∠B=∠BAE，∠B=∠C，
∴∠CAE=∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，
∴∠BAC+∠B+∠C
=∠BAE+∠CAE+∠B+∠C
=5∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
解得：∠B=36°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质得出∠C=∠B=40°，根据三线合一求出，根据AE=BE，求出∠BAE=∠B=40°，即可得出答案；
(2)根据CA=CE，得出∠CAE=∠CEA，根据解析(1)可知：∠B=∠BAE，∠B=∠C，根据三角形内角和得出5∠B=180°，即可求出结果.
20．（2025·婺城模拟）国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度，计算公式为（表示体重，单位：千克；表示身高，单位：米）．其中BMI与胖瘦程度见下表．
BMI的范围 BMI BMI
健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖
某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动.
（1）【设计调查方式】
有下列选取样本的方式：①随机调查全校的60名同学的身高体重；②随机调查该校60名九年级女同学的身高体重；③随机调查该校60名九年级同学的身高体重．其中最合理的方式是 （填写序号）．
（2）【数据收集与整理】
该小组同学计算并整理了60名同学的BMI值，制作了相应的频率表如下：
BMI的范围
人数 3 6 9
频率 0.05 0.15
求表中的值.
（3）【数据应用】
若该校九年级共有500名同学，根据（2）中的数据估算该校九年级健康类型为正常的人数.
【答案】（1）③
（2）解：a=60-3-6-9=42(人)
（3）解：500×0.7=350名
【知识点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；频数与频率
【解析】【解答】解：(1)解：①随机调查全校的60名同学的身高体重，包含全校学生，可能包含非九年级学生代表性不足，不符合题意；
②随机调查该校60名九年级女同学的身高体重，仅调查女生，忽略男生，样本不全面，不符合题意；
③随机调查该校60名九年级同学的身高体重，调查九年级学生，覆盖全体，且有随机性，最合理，符合题意；
故答案选：③.
【分析】(1)根据调查方式的特征逐一判断即可；
(2)根据60减去其他频数求出九年级健康类型人数，然后除以60即可求解；
(3)通过500乘以九年级健康类型频率即可求解.
21．（2025·婺城模拟）已知BD是菱形ABCD的对角线.
（1）如图1，以为圆心，适当长度为半径作弧，交BD于点E，F，连结AE，AF，CE，CF.求证：四边形AECF是菱形.
（2）尺规作图：在图2中作正方形AMCN，其中M，N在BD上（保留作图痕迹，不写作法）.
【答案】（1）证明：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，
根据作图可知：AE=AF
∴OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形
（2）解：连接AC，交BD于点O，以点O为圆心，OA为半径画弧，交BD于点M、N，连接AM、CM、AN、CN，则四边形AMCN即为所求作的正方形.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，
根据作图可知：OM=ON=OA=OC，
∴MN=AC，
∴AC、MN互相垂直平分，且相等，
∴四边形AMCN为正方形
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)连接AC，根据萎形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，根据等腰三角形的性质得出OE=OF，证明四边形AECF为平行四边形，再证明四边形AECF为菱形即可；
(2)连接AC，交BD于点0，以点O为圆心，OA为半径画弧，交BD于点M、N，连接AM、CN、AN、CM，则四边形AMCN即为所求.
22．（2025·婺城模拟）如图1，三个城市A，B，C在同一直线上，，甲车从出发经过到达，乙车从出发经过到达．已知甲，乙两车同时出发，行驶时间为（时），两车与城市的距离为（千米），关于的函数图象如图2所示.
（1）填空： 千米； 千米.
（2）当乙车在城市行驶城市过程中，求乙车与城市的距离关于的函数表达式.
（3）求甲，乙两车相遇的时间.
【答案】（1）100；60
（2）解：设y=kx+b，把(1.5，0)，(4，100)代入得，解得
∴y=40x－60
（3）解：由图可知，甲2小时到达B城市，之前在AB段；乙1.5小时到达B城市，之后在
AB段，因此，甲乙在AB段相遇，时间介于1.5小时~2小时之间。
甲行驶在AB段时，设y=k'x+100，
把(2，0)，代入得，解得k=－50
∴y=－50x＋100
由方程组得，解得
答：甲乙相遇的时间为时.
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)∵三个城市A，B，C在同一直线l上，AB>BC，且甲，乙两车同时出发，行驶时间为x(时)，两车与B城市的距离为y(千米)，
∴AB=100千米；BC=60千米.
故答案为：100，60.
【分析】(1)理解题意，且结合函数图象，即可作答；
(2)观察函数图象以及结合(1)的结论，则设AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，把(4，100)，(1.5，0)代入y=kx+b，即可作答.
(3)先理解甲，乙两车相遇，即两车与B城市的距离是相等的，且在乙车经过B城市后，甲车未经过B城市，再求出甲车与B城市的距离y关于x的函数表达式y=-50x+100(0≤x≤2)，则16-50x+100=40x-60，即可作答.
23．（2025·婺城模拟）已知点在抛物线（为常数且）上，点在直线上.
（1）求证：抛物线与轴必有交点.
（2）当时，求满足的整数的值.
（3）若仅存在一个整数，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）证明：∵ =（6a＋1)2－4×2a×3=36a2－12a＋1=(6a－1)2≥0
∴抛物线与x轴必有交点
（2）解：当a=1时，y1=2x2＋7x＋3，y2=2x－1
∴m=2t2＋7t＋3，n=2t－1
由得，m－n－2≤0，
令y'=m－n－2，则y'=2t2+5t+2≤0
当y'=0时，2t2+5t+2=0，解得
如图
∴
∴整数t的值为－2，－1.
（3）解：由题意：m=2at2＋(6a+1)t＋2，n=(a+1)t－1
由得，m－n－2≤0
令y'=m－n－2，则y'=2at2+5at+2≤0，对称轴为
∵仅存在一个整数t的值，使得y'=2at2+5at+2≤0成立
∴当t=－1时y'=2a－5at+2≤0，
当t=－2时y'=8a－10at+2＞0，a＜1
∴a的取值范围为：
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)求出 =b2-4ac的值即可求证；
(2)当a=1时，m=2t2+7t+3，n=2t-1，那么m≤n+2成立时，可通过画图方法，求得t的值；
(3)由题意可知，m=2at2＋(6a+1)t＋2，n=(a+1)t-1，那么m≤n+2成立时，令y'=m-n-2，那么其对称轴为，仅存在一个整数t，使得y'=2at2+5at+2≤0成立，从而求得a的取值范围.
24．（2025·婺城模拟）如图1，点是以AB为直径的上的动点，的平分线交于点，弦于点，连结DE交AB于点，连结CF交BD于点.
（1）求证：.
（2）当点平分OA时（如图2），求DG：BG的值.
（3）若，求直径AB的长.
【答案】（1）证明：∵点C是以AB为直径的⊙O上的动点，∠CBA的平分线交⊙O于点D，
∴，
∵∠DEC=∠CBD
∴∠DBA=∠DEC
∵弦CE⊥BD于点P，
∴∠D+∠DBA=∠D+∠DEC=90°，
∴∠DFB=90°，
∴DE⊥AB；
（2）解：由(1)知DE⊥AB，如图2，CE为⊙O的直径，连接CD，则OE=OC，
∴EF=DF，
∴OF为△EDC的中位线，
∴OF//CD，，
∴CD=2OF，
∴△CDG∽△FBG
∴，
∵点F平分OA，
∴，
∴BF=3OF，
∴，
即DG：BG的值为.
（3）解：连接OD、AC，设OD与CF的交点为M，
则∠AOD=2∠DBA=∠ABC，
∴OD//BC，
∴△DMG∽△BCG，
∴
∵BC=2，BG=2DG，
∴；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠DFO=90°，
又∵∠FOD=∠ABC，
∴△DFO∽△ACB，
∴
∴，
设⊙O的半径为r，则OM=r-1，BF=r+1，
∵OM//BC，
∴△FOM∽△FBC，
∴，即，
解得(负值已舍去)，且满足所列方程，
∴直径AB的长为.
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)先根据角平分线定义和圆周角定义证明∠DBA=∠DEC，再根据垂直定义得到∠DFB=90°，进而可得结论；
(2)由图2知，CE为⊙O的直径，连接CD，根据垂径定理和三角形的中位线性质可得OF//CD，，证明△CDG∽△FBG，得到，结合已知可求解；
(3)如图1，连接OD、AC，设OD与CF的交点为M，利用圆周角定理和平行线的判定证明OD//BC，分别证明△DMG∽△BCG和△DFO∽△ACB，求得OM=1，，设⊙O的半径为r，则OM=r-1，BF=r+1，证明△FOM∽△FBC，求得，进而可得答案.
1 / 1浙江省金华市婺城区2025年第二学期九年级调研测试数学试题卷（二模）
1．（2025·婺城模拟）四个数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，为原点，其中是负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·婺城模拟）在下列四个几何体中，三视图都是圆的是（ ）
A．立方体 B．球 C．圆柱 D．圆锥
3．（2025·婺城模拟）国家统计局2025年4月16日发布数据，今年一季度，我国国内生产总值（GDP）突破31870000000000元，将数31870000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·婺城模拟）2025年1月1日金华市四个景点的最高气温与最低气温如下表，该天温差最大的景点是（ ）
景点 诸葛八卦村 永康方岩 金华双龙洞 磐安百丈潭
最高气温
最低气温
A．诸葛八卦村 B．永康方岩 C．金华双龙洞 D．磐安百丈潭
5．（2025·婺城模拟）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·婺城模拟）如图，AB切于点B，OA交于点，点在上，连结，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·婺城模拟）在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点分别为，平移线段AB，点，的对应点分别为，已知，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·婺城模拟）如图，面积为的正方形ABCD是由正方形EFGH和四个形状、大小一样的直角三角形组成，其中，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·婺城模拟）已知点在反比例函数为常数，的图象上，，则以下说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025·婺城模拟）如图，在中，对角线AC，BD交于点，点为BC中点，于点，已知.当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·婺城模拟）因式分解： ．
12．（2025·婺城模拟）若，则 ．
13．（2025·婺城模拟）如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），若甲、乙5次成绩的方差分别为，则 （填＂>＂=＂或＂<“）
14．（2025·婺城模拟）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．锂是新能源时代的核心战略金属，锂和水反应的化学方程式为，其中x，y为常数，则的值为 ．
15．（2025·婺城模拟）如图，在半径为4的扇形AOB中，，点为OB中点，作交OA于点，则围成的图形（阴影部分）的周长为 ．
16．（2025·婺城模拟）如图，在矩形ABCD中，，将矩形ABCD绕点顺时针旋转，旋转得矩形，继续旋转使得点的对应点落在上，连结，则 .
17．（2025·婺城模拟）计算：
18．（2025·婺城模拟）下面是小亮解不等式的过程：
解：去分母，得①
移项，得②
合并同类项，得③
系数化为1，得④
小亮的解答过程从哪一步开始错误？请写出正确的解答过程．
19．（2025·婺城模拟）如图，在中，，点是BC的中点，点在BD上，连结.
（1）若，求的度数.
（2）若，求的度数.
20．（2025·婺城模拟）国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度，计算公式为（表示体重，单位：千克；表示身高，单位：米）．其中BMI与胖瘦程度见下表．
BMI的范围 BMI BMI
健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖
某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动.
（1）【设计调查方式】
有下列选取样本的方式：①随机调查全校的60名同学的身高体重；②随机调查该校60名九年级女同学的身高体重；③随机调查该校60名九年级同学的身高体重．其中最合理的方式是 （填写序号）．
（2）【数据收集与整理】
该小组同学计算并整理了60名同学的BMI值，制作了相应的频率表如下：
BMI的范围
人数 3 6 9
频率 0.05 0.15
求表中的值.
（3）【数据应用】
若该校九年级共有500名同学，根据（2）中的数据估算该校九年级健康类型为正常的人数.
21．（2025·婺城模拟）已知BD是菱形ABCD的对角线.
（1）如图1，以为圆心，适当长度为半径作弧，交BD于点E，F，连结AE，AF，CE，CF.求证：四边形AECF是菱形.
（2）尺规作图：在图2中作正方形AMCN，其中M，N在BD上（保留作图痕迹，不写作法）.
22．（2025·婺城模拟）如图1，三个城市A，B，C在同一直线上，，甲车从出发经过到达，乙车从出发经过到达．已知甲，乙两车同时出发，行驶时间为（时），两车与城市的距离为（千米），关于的函数图象如图2所示.
（1）填空： 千米； 千米.
（2）当乙车在城市行驶城市过程中，求乙车与城市的距离关于的函数表达式.
（3）求甲，乙两车相遇的时间.
23．（2025·婺城模拟）已知点在抛物线（为常数且）上，点在直线上.
（1）求证：抛物线与轴必有交点.
（2）当时，求满足的整数的值.
（3）若仅存在一个整数，使得成立，求的取值范围.
24．（2025·婺城模拟）如图1，点是以AB为直径的上的动点，的平分线交于点，弦于点，连结DE交AB于点，连结CF交BD于点.
（1）求证：.
（2）当点平分OA时（如图2），求DG：BG的值.
（3）若，求直径AB的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知：点d在原点的左侧，另外三个在原点的右侧，因此在这四个数中，负数的是d.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上原点左边的点为负数进行解答即可.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据几何体的空间结构特点可知，三视图都是圆的是球，
故答案为：B.
【分析】根据几何体的三视图进行判断即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：31870000000000=3.187×1013
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：诸葛八卦村的温差为13-(-2)=15℃，
永康方岩的温差为16-2=14℃，
金华双龙洞的温差为14-0=14℃，
磐安百丈潭的温差为12-(-1)=13℃，
∵13<14<15，
∴该天温差最大的景点是诸葛八卦村，
故答案为：A.
【分析】先利用有理数的减法求出四个景点的温差，再比较即可判断求解.
5．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意得，抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得点数为偶数的概率为：
故答案为：D.
【分析】一枚质地均匀的骰子有6个面，点数为偶数的面有3个，据此即可求解.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
由圆周角定理得：∠AOB=2∠D=2×25°=50°，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥LAB，
∴∠ABO =90°，
∴∠A=90°-∠AOB=90°-50°=40°，
故答案为：C.
【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到∠ABO=90°，再根据直角三角形的性质计算即可.
7．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵A(2，4)平移后得到A'的坐标为(0，5)，
∴向左平移了2个单位，向上平移了1个单位，
∴B(8，8)平移后的点的坐标为(8-2，8+1)，即点B'的坐标为(6，9)，
故答案为：A.
【分析】根据A点的坐标及其对应点A'的坐标可得线段AB向左平移了2个单位，向上平移了1个单位，即可得到点B的坐标.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：设AE=x，由BE=2AE=2x，
∵AB=BC=CD，∠AEB=90°，CG=DH，∠BCG=∠CDH.
∴△AEB △CGD(SAS)
∴由勾股定理可得：AB2=AE2+BE2=5x2=S，
∵△BCG △CDH(SAS)，.
∴，
∴阴影部分面积为
故答案为：B.
【分析】设AE=x，由BE=2AE=2x，由勾股定理可得：AB2=AE2+BE2=5x2=S，进而即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、当A(x1，y1)，B(x2，y2)两点都在第四象限时，满足x1+x2>0，此时y1<0，y2<0，不满足y1+ y2>0，原说法错误，不符合题意；
B、当A(x1，y1)，B(x2，y2)两点不在同一象限时，若x1+x2>0，则y1+y2<0不一定成立，例如x1=-1，x2=2时，则有y1=-k，，则y1+y2>0，原说法错误，不符合题意；
C、若x1·x2>0，那么A(x1，y1)，B(x2，y2)在同一象限，而x1< x2，故y1< y2，原说法错误，不符合题意；
D、若x1·x2<0，那么A(x1，y1)，B(x2，y2)不在同一象限，而x10>y2，原说法正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】当两个点都在第四象限时，两个点纵坐标都是负数，不管横坐标的大小如何，纵坐标的和都小于0，当x1=-1上，则x2=2时，则有y1=-k，，则y1+y2>0，据此可判断A、B；根据增减性和函数图象所在的象限可判断C、D.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
由条件可知AB=CD=5，，AO=CO，AD=BC=y，AD//BC，，
∵E为BC的中点，O为BD的中点，
∴OE//CD，，
∴△OPE∽△CPD，
∴
∴，，
∵DE⊥AC，
∴∠OPE=∠EPC=∠CPD=∠OPD=90°，
根据勾股定理得：，
PC2+PD2=52，，
∴，PC2+PD2=25，，
∴，，
∴，
∴x2+y2=5PC2+5PD2=5×25=125，
∴x2+y2为定值.
故答案为：C.
【分析】连接OE，根据平行四边形的性质得出AB=CD=5，，AO=CO，AD=BC=y，AD//BC，根据中位线性质得出OE//CD，，证明△OPE∽△CPD，得出，根据勾股定理，即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=（a+3）（a-3）。
故答案为：（a+3）（a-3）。
【分析】由平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）可得。
12．【答案】3
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，
故答案为：3.
【分析】先将化为，再代入求值即可.
13．【答案】＜
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：甲的平均成绩为，
，
乙的平均成绩为，
∴
故答案为：＜.
【分析】先分别求出甲、乙的平均数和方差，进行比较即可得到结论.
14．【答案】4
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：根据在化学反应中，氢原子的个数相等得到2y=x+2，再由锂原子的个数相等得到x=y可列方程组为：，
解得，
∴x+y=2+2=4，
故答案为：4.
【分析】利用化学反应中原子守恒的原理，通过待定系数法建立方程求解x和y的值.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：由条件可知OA=OB=4，
∵∠AOB=45°
∴
∵点P为OB中点，
∴，
由条件可得△OPQ为等腰直角三角形，
∴QP=OP=2，
∴，
∴，
∴阴影部分的周长
故答案为：.
【分析】利用弧长公式可得，又由△OPQ为等腰直角三角形可得，即得，进而求出周长即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；旋转的性质；四点共圆模型
【解析】【解答】解：由题意可得：BC=AD，∠BAD=90°，
∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，旋转90°得矩形A1B1C1D1，继续旋转使得点B的对应点B2落在B1D1上，
∴AB=AB1=AB2，∠B1AD1=90°，AD1=AD，
∴点B、B1、B2在以点A为圆心，AB为半径的圆上，
∴，
∵AB=AB1=AB2，
∴，
∠ABB2=∠AB2A，
∵∠B1AD1+∠BAD=180°，
∴B、A、D1在同一直线上，
∵∠B2BD1+∠B2D1B=∠B1B2B=45°，
∠B1BB2+∠B2BA=∠B2BA=45°，
∴∠B1BB2=∠B2D1B，
∵AB：BC=3：4，
∴设AB1=AB=3x，则AD=AD1=BC=4x，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质得出BC=AD，∠BAD=90°，根据旋转的性质得出AB=AB1=AB2，∠B1AD1= 90°，AD1=AD，证明点B、B1、B2在以点A为圆心，AB为半径的圆上，根据圆周角定理得出，证明，设AB1=AB=3x，则AD=AD1=BC=4x，根据勾股定理得出，根据三角函数定义即可求出答案.
17．【答案】解：原式=
=1
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先判断绝对值内部的值是否为正，若为负则取相反数；将负指数转化为对应的倒数；将根号内数分解质因数，提取完全平方数；最后将化简后的各项合并计算.
18．【答案】解：∵4x从不等号的右边移到不等号的左边需要变号，小明没有变号，
∴小明的解答过程从第②步开始出现错误，
3x+12-x+2>4+2
3x-x-4x>2-2-12，
-2x>-12，
x<6.
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】解一元一次不等式的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，系数化为1需要注意不等号的方向是否需要改变.
19．【答案】（1）解：由条件可知∠C=∠B=40°，
∴∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∵点D是BC的中点，
∴，
∵AE=BE，
∴∠BAE=∠B=40°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=10°
（2）解：由条件可知∠CAE=∠CEA，
根据解析(1)可知：∠B=∠BAE，∠B=∠C，
∴∠CAE=∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，
∴∠BAC+∠B+∠C
=∠BAE+∠CAE+∠B+∠C
=5∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
解得：∠B=36°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质得出∠C=∠B=40°，根据三线合一求出，根据AE=BE，求出∠BAE=∠B=40°，即可得出答案；
(2)根据CA=CE，得出∠CAE=∠CEA，根据解析(1)可知：∠B=∠BAE，∠B=∠C，根据三角形内角和得出5∠B=180°，即可求出结果.
20．【答案】（1）③
（2）解：a=60-3-6-9=42(人)
（3）解：500×0.7=350名
【知识点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；频数与频率
【解析】【解答】解：(1)解：①随机调查全校的60名同学的身高体重，包含全校学生，可能包含非九年级学生代表性不足，不符合题意；
②随机调查该校60名九年级女同学的身高体重，仅调查女生，忽略男生，样本不全面，不符合题意；
③随机调查该校60名九年级同学的身高体重，调查九年级学生，覆盖全体，且有随机性，最合理，符合题意；
故答案选：③.
【分析】(1)根据调查方式的特征逐一判断即可；
(2)根据60减去其他频数求出九年级健康类型人数，然后除以60即可求解；
(3)通过500乘以九年级健康类型频率即可求解.
21．【答案】（1）证明：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，
根据作图可知：AE=AF
∴OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形
（2）解：连接AC，交BD于点O，以点O为圆心，OA为半径画弧，交BD于点M、N，连接AM、CM、AN、CN，则四边形AMCN即为所求作的正方形.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，
根据作图可知：OM=ON=OA=OC，
∴MN=AC，
∴AC、MN互相垂直平分，且相等，
∴四边形AMCN为正方形
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)连接AC，根据萎形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，根据等腰三角形的性质得出OE=OF，证明四边形AECF为平行四边形，再证明四边形AECF为菱形即可；
(2)连接AC，交BD于点0，以点O为圆心，OA为半径画弧，交BD于点M、N，连接AM、CN、AN、CM，则四边形AMCN即为所求.
22．【答案】（1）100；60
（2）解：设y=kx+b，把(1.5，0)，(4，100)代入得，解得
∴y=40x－60
（3）解：由图可知，甲2小时到达B城市，之前在AB段；乙1.5小时到达B城市，之后在
AB段，因此，甲乙在AB段相遇，时间介于1.5小时~2小时之间。
甲行驶在AB段时，设y=k'x+100，
把(2，0)，代入得，解得k=－50
∴y=－50x＋100
由方程组得，解得
答：甲乙相遇的时间为时.
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)∵三个城市A，B，C在同一直线l上，AB>BC，且甲，乙两车同时出发，行驶时间为x(时)，两车与B城市的距离为y(千米)，
∴AB=100千米；BC=60千米.
故答案为：100，60.
【分析】(1)理解题意，且结合函数图象，即可作答；
(2)观察函数图象以及结合(1)的结论，则设AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，把(4，100)，(1.5，0)代入y=kx+b，即可作答.
(3)先理解甲，乙两车相遇，即两车与B城市的距离是相等的，且在乙车经过B城市后，甲车未经过B城市，再求出甲车与B城市的距离y关于x的函数表达式y=-50x+100(0≤x≤2)，则16-50x+100=40x-60，即可作答.
23．【答案】（1）证明：∵ =（6a＋1)2－4×2a×3=36a2－12a＋1=(6a－1)2≥0
∴抛物线与x轴必有交点
（2）解：当a=1时，y1=2x2＋7x＋3，y2=2x－1
∴m=2t2＋7t＋3，n=2t－1
由得，m－n－2≤0，
令y'=m－n－2，则y'=2t2+5t+2≤0
当y'=0时，2t2+5t+2=0，解得
如图
∴
∴整数t的值为－2，－1.
（3）解：由题意：m=2at2＋(6a+1)t＋2，n=(a+1)t－1
由得，m－n－2≤0
令y'=m－n－2，则y'=2at2+5at+2≤0，对称轴为
∵仅存在一个整数t的值，使得y'=2at2+5at+2≤0成立
∴当t=－1时y'=2a－5at+2≤0，
当t=－2时y'=8a－10at+2＞0，a＜1
∴a的取值范围为：
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)求出 =b2-4ac的值即可求证；
(2)当a=1时，m=2t2+7t+3，n=2t-1，那么m≤n+2成立时，可通过画图方法，求得t的值；
(3)由题意可知，m=2at2＋(6a+1)t＋2，n=(a+1)t-1，那么m≤n+2成立时，令y'=m-n-2，那么其对称轴为，仅存在一个整数t，使得y'=2at2+5at+2≤0成立，从而求得a的取值范围.
24．【答案】（1）证明：∵点C是以AB为直径的⊙O上的动点，∠CBA的平分线交⊙O于点D，
∴，
∵∠DEC=∠CBD
∴∠DBA=∠DEC
∵弦CE⊥BD于点P，
∴∠D+∠DBA=∠D+∠DEC=90°，
∴∠DFB=90°，
∴DE⊥AB；
（2）解：由(1)知DE⊥AB，如图2，CE为⊙O的直径，连接CD，则OE=OC，
∴EF=DF，
∴OF为△EDC的中位线，
∴OF//CD，，
∴CD=2OF，
∴△CDG∽△FBG
∴，
∵点F平分OA，
∴，
∴BF=3OF，
∴，
即DG：BG的值为.
（3）解：连接OD、AC，设OD与CF的交点为M，
则∠AOD=2∠DBA=∠ABC，
∴OD//BC，
∴△DMG∽△BCG，
∴
∵BC=2，BG=2DG，
∴；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠DFO=90°，
又∵∠FOD=∠ABC，
∴△DFO∽△ACB，
∴
∴，
设⊙O的半径为r，则OM=r-1，BF=r+1，
∵OM//BC，
∴△FOM∽△FBC，
∴，即，
解得(负值已舍去)，且满足所列方程，
∴直径AB的长为.
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)先根据角平分线定义和圆周角定义证明∠DBA=∠DEC，再根据垂直定义得到∠DFB=90°，进而可得结论；
(2)由图2知，CE为⊙O的直径，连接CD，根据垂径定理和三角形的中位线性质可得OF//CD，，证明△CDG∽△FBG，得到，结合已知可求解；
(3)如图1，连接OD、AC，设OD与CF的交点为M，利用圆周角定理和平行线的判定证明OD//BC，分别证明△DMG∽△BCG和△DFO∽△ACB，求得OM=1，，设⊙O的半径为r，则OM=r-1，BF=r+1，证明△FOM∽△FBC，求得，进而可得答案.
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