山东省实验中学2024-2025学年下学期高二期末适应卷（3）（含答案）

山东省实验中学2024-2025学年下学期高二期末适应卷（3）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知等比数列，是其前项和，，则( )
A. B. C. D.
3.已知两个变是和之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组样本数据，利用最小二乘法求得的回归方程是，其相关系数是由于某种原因，其中一个数据丢失，将其记为，具体数据如下表所示：
若去掉数据后，剩下的数据也成线性相关关系，其相关系数是，则( )
A. B.
C. D. 的大小关系无法确定
4.已知服从正态分布的随机变量在区间和内取值的概率约为，和若某校高一年级名学生的某次考试成绩服从正态分布，则此次考试成绩在区间内的学生大约有
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
5.已知，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.如图所示，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则( )
A. B. C. D.
7.若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有个纸箱，其中箱英语书、箱数学书、箱语文书到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱现从剩下箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 不存在常数项 B. 二项式系数和为
C. 第项和第项二项式系数最大 D. 所有项的系数和为
10.如图，我国传统珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任选颗，记上珠的个数为，下珠的个数比上珠的个数多，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则( )
A. 的极大值点为
B. 的极大值为
C. 有两个零点
D. 直线是曲线的一条切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.由数据可得关于的经验回归方程为，若，则 ．
13.某城区交通要道有积雪堵塞，现场有名男志愿者和名女志愿者，交警拟安排其中名女志愿者和名男志愿者参与扫雪工作其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有 种用数字作答
14.已知点为椭圆上两点，且点在第一象限，点在第二象限，，射线的斜率分别为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知甲乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有道题，抢到并回答正确者得分，答错则对方得分，当其中一人得分领先另一人分或道题全部答完时比赛结束甲乙两人抢到每道题的概率都是，甲正确回答每道题的概率均为，乙正确回答每道题的概率均为，且两人每道题是否回答正确均相互独立．
求答完前两道题后两人各得分的概率；
设随机变量为比赛结束时两人的答题总个数，求的分布列和数学期望．
16.本小题分
已知抛物线的焦点在直线上．
求的方程
过点的直线交于，两点，有点在线段上，且，证明：点在定直线上．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，且．
证明：平面平面；
求平面与平面夹角的正弦值．
18.本小题分
若数列满足，，且，则称数列为“正余弦错位数列”已知数列为“正余弦错位数列”．
若，求，，
证明：数列为等差数列．
19.本小题分
已知函数，的导函数为．
当时，求函数的最小值
若，
证明：恰有个零点
证明：的所有零点之和为定值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
，
复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限．
故选D．
2.【答案】
【解析】
设等比数列的公比为，
因为，可得，即，所以，
所以．
故选：．
3.【答案】
【解析】
由表中数据可得，
由样本中心点在回归直线上，
得，解得，
故去掉的一组数据恰为样本中心点，
故新样本数据的平均值没有变化，即仍然成立，
由相关系数公式可知，
则
．
故选：．
4.【答案】
【解析】
依题意可知，，
，
所以，
故，
，故大约有学生人．
故选C．
5.【答案】
【解析】【
定义域为，
，
所以函数为偶函数，又因为，
时，，
时，，
故，
所以在上单调递增，
则不等式，
即解得：．
所以不等式的解集为．
故选：．
6.【答案】
【解析】
如图所示，以为原点， 所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
则 ，
可得 ，
设 是平面 的法向量，则 ，
令 ，则 ，即 ，
由 ，且 ，可得 ，
又因为 ，则 ，
由 平面 ，可得 ，
解得 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】
圆：的圆心，半径，
双曲线：，则，，，
设左焦点为，则，即，
所以，
当且仅当、为线段与双曲线右支、圆的交点时取等号．
故选：．
8.【答案】
【解析】
用表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用表示丢失的一箱为，，，分别表示英语书、数学书、语文书．
由全概率公式得．
．
故选B．
9.【答案】
【解析】
因为展开式的通项公式为，
对，由，得舍去，所以展开式不存在常数项，故A正确；
对，二项式系数和为，故B错误；
对，展开式共有项，所以第项和第项二项式系数最大，故C正确；
对，令，得所有项的系数和为，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】
由题意知， ，
则，
则，故 A错误，B正确；
由题意知，．
，
，故 C，D正确．
故选BCD．
11.【答案】
【解析】
选项，的定义域为，，
令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值点为，极大值为， AB正确；
选项，由于极大值为，当时，恒成立，
趋向于时，趋向于，
故在上存在一个零点，在上无零点，
综上，函数只有个零点，C错误；
选项，设切点，，，
故，显然，故为方程的一个根，
故切点为，
故切线方程为，故 D正确．
故选：
12.【答案】
【解析】依题意，，由，得，解得，
所以．
故答案为．
13.【答案】
【解析】先选名女志愿者有种选法，再选名男志愿者有种选法，
最后余下的铲雪，有种选法，所以共种安排方法．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】设，
设直线，直线，
由所以，同理得，显然判别式大于零，
点到直线的距离，
所以，
平方得，所以，
因为点在第一象限，点在第二象限，所以，，所以，
当且仅当时取等号．
故答案为：．
15.【解析】由题意可知，每道题都要抢题与答题，每人得分有两种情况，“本人抢到且答对”与“对方抢到且答错”．
设“第道题甲得分”，
“第道题乙得分”，
“答完前两道题后两人各得分”，则，
则事件与为对立事件，与相互独立，与与互斥，
所以，
，
．
随机变量的取值为．
，
，
．
所以随机变量的分布列为
所以．
16.【解析】
解：由题意可得，所以，
解得，所以抛物线的方程为；
证明：设直线的方程为：，设，，，
不妨设，联立直线与抛物线的方程
可得，
由，得，
又，所以且，
，，
因为，
则有，
整理可得，
即，
所以，
又点在直线上，
所以，消得，
由且得且，
所以点在定直线：上且
17.【解析】证明：由题意可知，则，
因为，，所以，，
因为平面平面，平面平面，且，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
且，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
如图，以为原点，，分别为轴，轴正方向，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量，
则
令，得，
设平面的法向量，
则
令，得，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的正弦值为．
18.【解析】
当时，由，知．
又由，知，所以，
又，符合题意．
同理，由，，
得或．
又，所以．
由，，得，
又，符合题意．
证明：由，得，
所以或，
即或．
因为，
所以，，
所以，，
所以或或．
又，所以，
，
所以，
所以数列是公差为的等差数列．
19.【解析】
由题意，；
令，
当时，，在上为增函数
当时，，在上为减函数，
．
由题，
令，令；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以，又，
所以，且当时，时，；
所以在与上各有一个零点，不妨分别记为，
所以时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增；
且，所以；
则，又当时，时，；
所以在与上各有一个零点，且，所以有且仅有三个零点．
设的三个零点分别为，不妨设，则；
则，
同乘，即，
再同乘，得．
则，
又，，，所以，
即，得，因此该函数所有零点之和为．

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