山东省实验中学2024-2025学年下学期高二期末适应卷（2）（含答案）

山东省实验中学2024-2025学年下学期高二期末适应卷（2）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.若某地未来连续天每天下雨的概率均为，则这天中只有天下雨的概率为( )
A. B. C. D.
3.已知，，不共面，若，，且三点共线，则( )
A. B. C. D.
4.在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则( )
A. B. C. D.
5.随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为万条时，平台软件收入为元已知每收集万条数据，公司需要花费成本元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为( )
A. 万条 B. 万条 C. 万条 D. 万条
6.展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
7.设函数，若恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知圆和点，若过点的条弦的长度构成一个递增的等比数列，则该数列公比的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下关于杨辉三角的猜想中，正确的有( )
A. 第行中，从左到右看第个数最大 B. 第行的所有数的和为
C. D.
10.暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是( )
A. 甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件
B. 甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立
C. 甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于
D. 若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为
11.如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则( )
A.
B. 与平面所成角的余弦值为
C. 三棱柱的外接球的表面积为
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则 ．
13.曲线与的公切线方程为 ．
14.只灯泡中含有只不合格品，若从中一次任取只，记“恰好含有只不合格品”的概率为，当取得最大值时， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
高二班的个男生，个女生含学生甲、乙在寒假期间参加社会实践活动用数字作答下列问题
社会实践活动有项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数；
活动后人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数．
16.本小题分
某人工智能公司从至年的利润情况如下表所示：
年份
年份代码
利润单位：亿元
根据表中的数据，推断变量与之间是否线性相关．计算与之间的相关系数精确到，并推断它们的相关程度；
求出关于的经验回归方程，并预测该人工智能公司年的利润；
参考数据：
参考公式：对于一组数据，相关系数为：
经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别，
17.本小题分
已知椭圆的焦距为，且椭圆过点．
求椭圆的方程
直线与椭圆交于不同的，两点，与轴交于点，证明：为定值．
18.本小题分
已知函数
当时，求曲线在点处的切线的方程；
探究的最小值；
当时，求的最小值的极值．
19.本小题分
一只猫和一只老鼠在两个房间内游走每经过分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动猫从当前房间移动到另一房间的概率为，留在该房间的概率为若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为已知在第分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间设在第分钟时，猫和老鼠在号房间的概率分别为，．
求第分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为的概率
求证：，均为等比数列
在第几分钟时，老鼠在号房间的概率最大
答案和解析
1.【答案】
【解析】由得：，
故选：
2.【答案】
【解析】由未来连续天每天下雨的概率均为，
可知这天中只有天下雨的概率为：．
故选：．
3.【答案】
【解析】因为三点共线，
所以，
即，
所以，解得
所以．
故选：．
4.【答案】
【解析】由已知样本数据所对应的点均在直线上，
则，又，所以满足负相关，即．
故选：．
5.【答案】
【解析】设收益为元，则，
则，当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
即当收集的数据量为万条时，该软件能获得最高收益．
故选：．
6.【答案】
【解析】的展开式通项为，
因为，
在中，令，系数为，
在，令可得，系数为，
综上所述，展开式中的系数为．
故选：．
7.【答案】
【解析】要使得在上恒成立，则，且无变号零点，
分析与的符号情况如下：
当时，，当时，，令，即，
当时，，所以且，又，所以，
所以，满足题意；
当时，，所以且，又，所以，
所以，满足题意；
当时，，所以且，又，所以，
所以，满足题意；
综上：当时，在上恒成立，
所以，令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，即．
故选：．
8.【答案】
【解析】过圆：内点 作该圆的条弦，
其中最大弦长为直径，
最小弦长，
所以，
所以当，时，公比取得最大值，
此时，即，
因为过点的条弦的长度构成一个递增的等比数列，
所以，
所以该数列公比的取值范围是
9.【答案】
【解析】对于选项，由二项式系数的增减性可知，第行中共有个数，
从左到右看第个数最大，故A正确；
对于选项，第行的所有数的和为，故B错误；
对于选项，由组合数的性质可得，故C正确；
对于选项，
，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】设“甲同学今天早上骑共享自行车出行”为事件，“甲同学今天早上乘公交车出行”为事件，
“甲同学今天早上乘地铁出行”为事件，“甲同学到达图书馆能立即找到空座位”的事件为，
对于，与不能同时发生，故A正确；
对于，因为，，但，故，故B错误；
对于，由，，，，，，
由全概率公式得：
，故C正确；
对于，由题意可知所求概率为，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】
对于，连接，，因为，，
所以为等边三角形，则，所以，故A正确；
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
对于，平面的一个法向量为，
，设与平面所成角为，
则，所以与平面所成角的余弦值为，
故B错误；
对于，的外接圆半径，三棱柱的外接球半径，
所以三棱柱的外接球的表面积为，故C正确；
对于，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，则，
点到平面的距离，
故D正确．
12.【答案】
【解析】因为的分布列服从两点分布，所以，
因为，
所以．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】设曲线上的切点为，
曲线上的切点为，
因为，，
则公切线的斜率，所以，
因为公切线的方程为，即，
将代入公切线方程得
，
由，得，
令，，则，
当时，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以，，
故公切线方程为，即．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】由题意，，
由，，
可得，，
．
故答案为：．
15.【解析】个人做项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案总数为种；
方法一：甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类：
甲在排头，其他人随机排，则有种排法；
甲不在排头也不在中间，甲有个位置可以选择，乙不在排头，有个位置可以选择，其他人随机排，则有种排法；
综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种；
方法二：人随机排有种排法，
其中甲在中间，其他人随机排，有种排法，
乙在排头，其他人随机排，有种排法，
甲在中间，乙在排头，其他人随机排，有种排法．
综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种
16.【解析】由题设，易知与线性相关，且，
，
由于，可以推断变量与成正线性相关且相关程度很强；
由题设，，
，
所以，
因此关于的回归方程为，
当时，，即预测该人工智能公司的利润为亿元．
17.【解析】因为椭圆过点，所以，焦距，则．
所以，
所以椭圆的方程为
设，，则，
直线与椭圆联立方程组，得，消去得，
由，得，
所以，．
，，
所以．
所以为定值．
18.【答案】当时，，，
则，，
所以切线的方程为；
定义域为，，
当时，，则在上单调递增，故没有最小值；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
综上所述：当时，没有最小值；当时，最小值为；
由可得，
设，则，
令，得，所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的极大值为，无极小值．
19.【解析】第分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间，
设为第分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间的概率，则，，
，，
设第分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则，
所以第分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为的概率为；
证明：易知，，且由得，，
当时，猫在第分钟时位于号房间包含种情形：
上一分钟仍在号房间，继续保持在号房间的概率为；
上一分钟在号房间，转移到号房间的概率为，
则由全概率公式，，进而，
结合，故是首项为，公比为的等比数列，
即，注意到当时也满足题意，
因此，
老鼠第分钟在号房间包含种情形：
上一分钟描和老鼠都在号房间，老鼠转移到号房间的概率为；
上一分钟猫在号房间，老鼠在号房间，老鼠转移到号房间的概率为；
上一分钟猫在号房间，老鼠在号房间，老鼠转移到号房间的概率为，
故由全概率公式，，
即，
要证为等比数列，即证为等比数列，
而，
故，结合，
故为首项，公比为的等比数列，
即，注意到时也满足题意，
因此；
由，，
显然不是其最大值，设，
当为奇数时，，当且仅当时取等，故的最大值为；
当为偶数且时，；当时，，故最大值为，
因此的最大值为，即在第分钟时，老鼠在号房间概率最大．
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