安徽省定远县育才学校2024-2025学年下学期高二期末模拟卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 安徽省定远县育才学校2024-2025学年下学期高二期末模拟卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 168.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-09 13:39:20 | ||
图片预览
文档简介
安徽省定远县育才学校2024-2025学年下学期高二期末模拟卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.质点按规律做直线运动位移单位：，时间单位：，则质点在时的瞬时速度是其在时的瞬时速度的( )
A. B. C. D.
2.已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的个爻组成，其中爻分为阳爻“”和阴爻“”在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有个阳爻”，则( )
A. B. C. D.
4.设，化简( )
A. B. C. D.
5.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如下表所示．
零件数个
加工时间
由上表数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为( )
A. B. C. D.
6.年月日至月日腊月廿三至腊月廿九我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数单位：万近似服从正态分布，则估计在此天中，至少有天该车站日接送旅客超过万人次的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则( )
A. B. C. D.
8.将编号为的小球放入编号为的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于二项式，下列说法正确的是( )
A. 展开式中各项的二项式系数之和为
B. 展开式中第项与第项的二项式系数相等
C. 二项式系数最大的项是第和第项
D. 若，则
10.已知点在抛物线上，过的焦点的直线与相交于，两点，在，两点处的切线相交于点，的中点是，若，则( )
A. B. 的准线方程是
C. 点在抛物线上 D. 点在的准线上
11.已知数列的前项和为，满足，，，则( )
A. 存在，，满足
B.
C. 构成公差为的等差数列
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.现从环保公益演讲团的名教师中选出名，分别到三所学校参加公益演讲活动，则甲、乙名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的概率为 ．
13.已知线段的长度为，动点满足，则的最大值为 ．
14.已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组在本校某年级学生中随机抽取了名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计的部分数据如下表：
数学成绩总评优秀的人数 数学成绩总评非优秀的人数 合计
每天都整理数学错题的人数
不是每天都整理数学错题的人数
合计
完成上述样本数据的列联表，并判断是否有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关；
按照比例采用分层随机抽样的方法从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取名学生，再从这名学生中选名做进一步访谈，设这人中数学成绩总评非优秀的人数为，求的分布列和期望．
附：，其中．
16.本小题分
已知函数，为的导函数．
求函数的单调性；
求函数在上的最大值和最小值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，．
若为线段中点，求证：平面．
若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展．学年全国青少年航天创新大赛设航天创意设计、太空探测、航天科学探究与创新三个竞赛单元及载人航天主题专项赛．某校为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，举行了一次航天创新知识竞赛选拔赛，从中抽取了名学生的竞赛成绩，得到如下表格：
序号
成绩分
记这名学生竞赛成绩的平均分与方差分别为，经计算，．
求与；
规定竞赛成绩不低于分为优秀，从这名学生中任取名，记竞赛成绩优秀的人数为，求的分布列；
经统计，航天创新知识选拔赛成绩服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若科创中心计划从全市抽查名学生进行测试，记这名学生的测试成绩恰好落在区间的人数为，求的均值．
附：若，则，，．
19.本小题分
已知双曲线 的一个顶点为，直线过点且交双曲线右支于两点，记的面积分别为当与轴垂直时，．
求双曲线的标准方程；
若交轴于点，，．
求证：为定值；
若，当时，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由题意，函数，可得，则，，
所以，即质点在时的瞬时速度是其在时的瞬时速度的．
故选：．
2.【答案】
【解析】由离散型随机变量的性质可得，解得，
则，，
所以，．
故选：．
3.【答案】
【解析】由题可知，事件“取出的重卦中有阳阴或阳阴”，
则，则．
故选：．
4.【答案】
【解析】
．
故选：．
5.【答案】
【解析】因为，，
所以样本中心为，因此由得，所以经验回归方程为．
因为当时，，所以样本点处的残差为．
故选：．
6.【答案】
【解析】因为，得，
故天中至少有天该车站日接送旅客超过万人次的概率为：
．
故选：．
7.【答案】
【解析】由，，解得，，
所以，
则，
当为偶数时，，，
随着的增大，减小，减小，当时，，
当为奇数时，，，
随着的增大，减小，增大，当时，，
所以，，
故．
故选：．
8.【答案】
【解析】根据题意，有且只有个盒子的编号与放入的小球编号相同，
在六个盒子中任选个，放入与其编号相同的小球，有种选法，
剩下的个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这个盒子的编号为，、、，
则号小球可以放进、、号盒子，有种选法，
剩下的个小球放进剩下的个盒子，有种选法，
则每个盒内放一个球，恰好有个小球的标号与盒子的编号相同，
则不同的放法种数为：种放法．
故选B．
9.【答案】
【解析】对于，二项式系数之和为，故A正确；
对于，因为第项二项式系数为，第项的二项式系数为，
，故 B正确；
对于，由于为奇数，中间两项即第项与第项的二项式系数最大，故C正确；
对于，令，可得，
令，可得，
两式相减可得，
所以，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】焦点的坐标为，
由，在抛物线上，
根据抛物线的定义知，，所以抛物线的方程是，
于是，，故A错误
由的方程知的准线方程是，故B正确
设直线的方程是，代入消去并整理得，
设，，则，，
的中点的横坐标，纵坐标，即，
因为点的坐标适合方程，故C正确
对于，由，得，所以抛物线在，两点处的切线方程分别是与，
联立解得其交点的坐标为，
点恒在的准线上，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】对于，易得，，，故，所以存在，，满足，A正确；
对于，令，则，取，得，B错误；
对于，令，则，故，即，
故构成公差为的等差数列，C正确；
对于，当时，，当时，，
由代入，得，
即，也就是，D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】根据题意，名教师选出人分别到三所学校参加公益演讲活动，
共有种不同的安排方法，
因为甲、乙名教师不能到学校，且丙教师不能到学校，
可分为两种情况讨论：
第一种情况：若丙去学校，则有中安排方法；
第二种情况：若丙不去学校，则学校有种选法，学校有种选法，
学校有种选法，有种不同的安排方法，
综上可得，共有种不同的安排方法，
由古典概型的概率计算，可得概率为．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】由题意可设，，
因为，即，
所以，即，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当最大时，与圆相切，
则，
所以的最大值为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】因为，所以，
令函数，则在上单调递减，
所以在上恒成立，所以，
即．
令函数，则，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
当时，，
当时，，
且由题干可知，，即，
若，则恒成立，
当时，恒成立，等价于当时，，
故时，恒成立，故．
令函数，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值，所以；
综上所述，正实数的取值范围为．
故答案为：．
15.【答案】完善列联表，如下：
数学成绩总评优秀的人数 数学成绩总评非优秀的人数 合计
每天都整理数学错题的人数
不是每天都整理数学错题的人数
合计
零假设为：：学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题相互独立，
即学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关联，
根据列联表数据计算可得，
根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，
所以有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关．
由分层随机抽样可知，其中优秀人，非优秀人，
抽取的名学生中有名数学成绩总评非优秀，
所有可能的取值为，，，
可知，，，
所以的分布列为：
故．
16.【答案】，
则，
令，解得，
由得或，此时单调递增，
由得，此时单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数与的变化如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知：当时，函数取得极大值，，
当时，函数取得极小值，，
又，
可知函数的最大值为，最小值为．
17.【答案】取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面．
因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18.【答案】由题意得，，
；
竞赛成绩“优秀”的学生有人，则的可能取值为，，，，
则，，
，，
则的分布列为：
由题意，，，记抽查学生的测试成绩为，
则，
这名学生的测试成绩恰好落在区间的人数为，
．
19.【答案】由题意得，，
当与轴垂直时，不妨设，
由，得，
将代入方程，得，解得，
所以双曲线的标准方程为．
证明：设，，，
由与，得，
即，，将代入的方程得，
整理得，
同理由可得
由知，，是方程的两个不等实根．
由根与系数的关系知，所以为定值．
，即，
整理得，
又，不妨设，则，
整理得，又，故，
而由知，，故，
故，
令，得，
由对勾函数的性质知在上单调递增，得
所以的取值范围为．
第13页，共13页
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.质点按规律做直线运动位移单位：，时间单位：，则质点在时的瞬时速度是其在时的瞬时速度的( )
A. B. C. D.
2.已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的个爻组成，其中爻分为阳爻“”和阴爻“”在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有个阳爻”，则( )
A. B. C. D.
4.设，化简( )
A. B. C. D.
5.一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如下表所示．
零件数个
加工时间
由上表数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为( )
A. B. C. D.
6.年月日至月日腊月廿三至腊月廿九我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数单位：万近似服从正态分布，则估计在此天中，至少有天该车站日接送旅客超过万人次的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则( )
A. B. C. D.
8.将编号为的小球放入编号为的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于二项式，下列说法正确的是( )
A. 展开式中各项的二项式系数之和为
B. 展开式中第项与第项的二项式系数相等
C. 二项式系数最大的项是第和第项
D. 若，则
10.已知点在抛物线上，过的焦点的直线与相交于，两点，在，两点处的切线相交于点，的中点是，若，则( )
A. B. 的准线方程是
C. 点在抛物线上 D. 点在的准线上
11.已知数列的前项和为，满足，，，则( )
A. 存在，，满足
B.
C. 构成公差为的等差数列
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.现从环保公益演讲团的名教师中选出名，分别到三所学校参加公益演讲活动，则甲、乙名教师不能到学校，且丙教师不能到学校的概率为 ．
13.已知线段的长度为，动点满足，则的最大值为 ．
14.已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组在本校某年级学生中随机抽取了名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计的部分数据如下表：
数学成绩总评优秀的人数 数学成绩总评非优秀的人数 合计
每天都整理数学错题的人数
不是每天都整理数学错题的人数
合计
完成上述样本数据的列联表，并判断是否有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关；
按照比例采用分层随机抽样的方法从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取名学生，再从这名学生中选名做进一步访谈，设这人中数学成绩总评非优秀的人数为，求的分布列和期望．
附：，其中．
16.本小题分
已知函数，为的导函数．
求函数的单调性；
求函数在上的最大值和最小值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，．
若为线段中点，求证：平面．
若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展．学年全国青少年航天创新大赛设航天创意设计、太空探测、航天科学探究与创新三个竞赛单元及载人航天主题专项赛．某校为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，举行了一次航天创新知识竞赛选拔赛，从中抽取了名学生的竞赛成绩，得到如下表格：
序号
成绩分
记这名学生竞赛成绩的平均分与方差分别为，经计算，．
求与；
规定竞赛成绩不低于分为优秀，从这名学生中任取名，记竞赛成绩优秀的人数为，求的分布列；
经统计，航天创新知识选拔赛成绩服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若科创中心计划从全市抽查名学生进行测试，记这名学生的测试成绩恰好落在区间的人数为，求的均值．
附：若，则，，．
19.本小题分
已知双曲线 的一个顶点为，直线过点且交双曲线右支于两点，记的面积分别为当与轴垂直时，．
求双曲线的标准方程；
若交轴于点，，．
求证：为定值；
若，当时，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由题意，函数，可得，则，，
所以，即质点在时的瞬时速度是其在时的瞬时速度的．
故选：．
2.【答案】
【解析】由离散型随机变量的性质可得，解得，
则，，
所以，．
故选：．
3.【答案】
【解析】由题可知，事件“取出的重卦中有阳阴或阳阴”，
则，则．
故选：．
4.【答案】
【解析】
．
故选：．
5.【答案】
【解析】因为，，
所以样本中心为，因此由得，所以经验回归方程为．
因为当时，，所以样本点处的残差为．
故选：．
6.【答案】
【解析】因为，得，
故天中至少有天该车站日接送旅客超过万人次的概率为：
．
故选：．
7.【答案】
【解析】由，，解得，，
所以，
则，
当为偶数时，，，
随着的增大，减小，减小，当时，，
当为奇数时，，，
随着的增大，减小，增大，当时，，
所以，，
故．
故选：．
8.【答案】
【解析】根据题意，有且只有个盒子的编号与放入的小球编号相同，
在六个盒子中任选个，放入与其编号相同的小球，有种选法，
剩下的个盒子的编号与放入的小球编号不相同，假设这个盒子的编号为，、、，
则号小球可以放进、、号盒子，有种选法，
剩下的个小球放进剩下的个盒子，有种选法，
则每个盒内放一个球，恰好有个小球的标号与盒子的编号相同，
则不同的放法种数为：种放法．
故选B．
9.【答案】
【解析】对于，二项式系数之和为，故A正确；
对于，因为第项二项式系数为，第项的二项式系数为，
，故 B正确；
对于，由于为奇数，中间两项即第项与第项的二项式系数最大，故C正确；
对于，令，可得，
令，可得，
两式相减可得，
所以，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】焦点的坐标为，
由，在抛物线上，
根据抛物线的定义知，，所以抛物线的方程是，
于是，，故A错误
由的方程知的准线方程是，故B正确
设直线的方程是，代入消去并整理得，
设，，则，，
的中点的横坐标，纵坐标，即，
因为点的坐标适合方程，故C正确
对于，由，得，所以抛物线在，两点处的切线方程分别是与，
联立解得其交点的坐标为，
点恒在的准线上，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】对于，易得，，，故，所以存在，，满足，A正确；
对于，令，则，取，得，B错误；
对于，令，则，故，即，
故构成公差为的等差数列，C正确；
对于，当时，，当时，，
由代入，得，
即，也就是，D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】根据题意，名教师选出人分别到三所学校参加公益演讲活动，
共有种不同的安排方法，
因为甲、乙名教师不能到学校，且丙教师不能到学校，
可分为两种情况讨论：
第一种情况：若丙去学校，则有中安排方法；
第二种情况：若丙不去学校，则学校有种选法，学校有种选法，
学校有种选法，有种不同的安排方法，
综上可得，共有种不同的安排方法，
由古典概型的概率计算，可得概率为．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】由题意可设，，
因为，即，
所以，即，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当最大时，与圆相切，
则，
所以的最大值为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】因为，所以，
令函数，则在上单调递减，
所以在上恒成立，所以，
即．
令函数，则，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
当时，，
当时，，
且由题干可知，，即，
若，则恒成立，
当时，恒成立，等价于当时，，
故时，恒成立，故．
令函数，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值，所以；
综上所述，正实数的取值范围为．
故答案为：．
15.【答案】完善列联表，如下：
数学成绩总评优秀的人数 数学成绩总评非优秀的人数 合计
每天都整理数学错题的人数
不是每天都整理数学错题的人数
合计
零假设为：：学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题相互独立，
即学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关联，
根据列联表数据计算可得，
根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，
所以有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关．
由分层随机抽样可知，其中优秀人，非优秀人，
抽取的名学生中有名数学成绩总评非优秀，
所有可能的取值为，，，
可知，，，
所以的分布列为：
故．
16.【答案】，
则，
令，解得，
由得或，此时单调递增，
由得，此时单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数与的变化如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知：当时，函数取得极大值，，
当时，函数取得极小值，，
又，
可知函数的最大值为，最小值为．
17.【答案】取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面．
因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18.【答案】由题意得，，
；
竞赛成绩“优秀”的学生有人，则的可能取值为，，，，
则，，
，，
则的分布列为：
由题意，，，记抽查学生的测试成绩为，
则，
这名学生的测试成绩恰好落在区间的人数为，
．
19.【答案】由题意得，，
当与轴垂直时，不妨设，
由，得，
将代入方程，得，解得，
所以双曲线的标准方程为．
证明：设，，，
由与，得，
即，，将代入的方程得，
整理得，
同理由可得
由知，，是方程的两个不等实根．
由根与系数的关系知，所以为定值．
，即，
整理得，
又，不妨设，则，
整理得，又，故，
而由知，，故，
故，
令，得，
由对勾函数的性质知在上单调递增，得
所以的取值范围为．
第13页，共13页
同课章节目录