专题12 二次函数的图象与性质（50 题）【最新中考模拟题】-2025学年中考数学满分冲刺（全国通用）（含答案+解析）

2025学年中考数学满分冲刺（全国通用）【最新中考模拟题】
专题12 二次函数的图象与性质（50 题）
一、选择题
1．（2025·邛崃模拟）某同学用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格，请你根据获得的信息分析下列四个结论，其中正确的是（　　）
A．对称轴为
B．关于的一元二次方程只有一个根
C．当时，随的减小而减小
D．二次函数图象的顶点坐标为
2．（2025·旌阳模拟）如图，二次函数（为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，下面说法正确的个数是（　　）
（1）；
（2）；
（3）（为任意实数）；
（4）若点和点都在抛物线上，则；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2025·连州模拟）抛物线与轴相交的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·新兴模拟）二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·株洲模拟）对于二次函数的图像性质，下列说法不正确的是（　　）
A．开口向上 B．过定点
C．有最小值 D．与轴一定有交点
6．（2025·梓潼模拟）如图，二次函数的图象经过点和点．给出下列结论：①；②；③当时，的值小于0．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．（2025·平武模拟）如果将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·凉州模拟）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·增城模拟）二次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·黄埔模拟）抛物线中的的部分对应值如下表：
x … 0 1 3 4 …
y … 7 0 0 …
关于它的图象和性质，下列说法正确的是（　　）
A．图象开口向下
B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴的交点坐标为和
11．（2025·宁海模拟）二次函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
12．（2025·浙江模拟） 已知二次函数 ，当 时，函数的最大值与最小值的和为 2，则 n 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·浙江二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．若当时，都有，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．或
14．（2025·浙江模拟） 关于 x 的函数 ，，，当 时，，若 ，则
A． B． C． D．
15．（2025·金东二模） 将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
16．（2025·邻水模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④5a＜b．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．（2025·广汉模拟）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
18．（2025·凉州模拟）如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．（2025·青白江模拟）二次函数的图象与x轴交于M，N两点，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．M，N两点之间的距离为7
D．当时，y的值随x值的增大而增大
20．（2025·连州模拟）抛物线如图所示，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，下列结论：①；②；③对于任意实数，都有；④当时，．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
21．（2025·祁阳模拟）已知抛物线，下列结论错误的是（　　）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
22．（2025·湖南模拟）在平面直角坐标系中，抛物线 (t为常数)与直线有两个不同的交点，且交点的横坐标都满足，则t的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
23．（2025·萧山模拟）已知二次函数的图象经过点，，若，则下列可能成立的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
24．（2025·凉州模拟）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
25．（2025·白云模拟）已知二次函数（）与轴交于、两点，与轴交点的纵坐标是，且，则以下结论中不正确的是（　　）
A．
B．
C．抛物线的顶点坐标为
D．若，则或
26．（2025·萧山模拟）已知二次函数的图象经过点，若，则下列可能成立的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
27．（2025·雅安模拟）如图，抛物线，与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
①； ②；
③； ④对于任意实数．
其中正确的结论有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
28．（2025·平武模拟）已知二次函数（a ，b，c为常数）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数 在同一平面直角坐标系内的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
29．（2025·苍溪模拟）如图，已知顶点为的抛物线过点，给出下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③；④若，则；⑤；⑥已知点均在抛物线上，若，，则．其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
30．（2025·广东模拟）已知抛物线与轴有两个交点为，下列命题错误的个数有（　　）
①②③④
A． B． C． D．
31．（2025·隆昌模拟）在直角坐标系中，点在二次函数的图象上，对于，当，，时，依次对应的函数值，，中最大的是（　　）
A． B．
C． D．或（）
32．（2024九下·沛县模拟）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
33．（2025·杭州模拟） 已知二次函数 (a，c 是常数，) 的图象经过点 ， ， （　　）
A．若 ， ， 则 B．若 ， ， 则
C．若 ， ， 则 D．若 ， ， 则
34．（2025·锦江模拟）已知抛物线的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
35．（2025·西湖模拟）已知二次函数（是常数，）的图象经过点，，下列说法正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
36．（2025·仁寿模拟）如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点的横坐标位于0和之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，，则；④若关于x的一元二次方程有实数根，则．其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
37．（2025·祁阳模拟）对于平面直角坐标系 中的抛物线G 和抛物线G 外的点P ，给出如下定义：在抛物线G 上若存在两点M，N，使为等腰直角三角形且， 则称抛物线G为点P的T型线，点P为抛物线G的T型点．若 是抛物线的T型点，则n的取值范围是（　　）
A． B． C． D．n ≥
38．（2025·长宁模拟）定义：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标相等的点称为“完美点”．设抛物线与y轴相交于点M，将抛物线L关于y轴对称，且向上平移1个单位后得到抛物线．若抛物线L上的完美点也在抛物线上，则下列结论中：①抛物线L上的完美点是或；②a的值是或；③存在某条定直线l，与抛物线交于点A，使得平行于x轴．正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
39．（2025·叙州模拟）如图，抛物线的图像交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，点为抛物线的顶点，连结、、，且．以下结论：①点坐标为；②；③；④在内存在唯一一点，使得的值最小，若的最小值为，则．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
40．（2025·北川模拟）如图，抛物线与x轴交于两点，且给出下列结论：①；②；③当时，y 随x 的增大而减小；④的值是一个定值；⑤b的取值范围是．其中正确的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
41．（2025·冷水滩模拟）我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为　 　．
42．（2025·武冈模拟）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，的半径为1，G为上一动点，P为的中点，则的最大值为 　 　．
43．（2025·陇南模拟）将抛物线先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是　 　．
44．（2025·普陀二模）已知点（m，n）在直线y=x+b（b为常数）上，若mn的最小值为-1，则b=　 　。
45．（2025·高坪模拟）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是1和－3，若二次函数与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是　 　．
46．（2025·高坪模拟）已知关于的二次函数的图象经过点，，，且，对于以下结论：①；②；③对于自变量的任意一个取值，都有；④在中存在一个实数，使得，其中结论正确的是　 　．（只填写序号）
47．（2025·眉山模拟）将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图所示．
（1）当直线过点时，则的值为　 　；
（2）当直线与新图象有四个公共点时，则的取值范围是　 　．
48．（2025·濠江模拟）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是　 　．
49．（2025·椒江二模） 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是斜边AB上一个动点.过点E作EF⊥AB，垂足为E，交边AC（或边CB）于点F，连接CE，设AE=x，△CEF的面积为y，则y与x之间的函数图象如图2，已知，则tanA=　 　.
50．（2025·香洲模拟）抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为　 　．
答案解析部分
1．D
2．B
3．B
4．D
5．D
6．D
7．A
8．C
9．C
10．C
11．C
12．C
13．C
解：由条件可知：开口向上，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵点A(-2，y1)，B(2，y2)，C(m，y3)在抛物线
y=ax2+bx+3(a>0)上，且y1>y3>y2，
∴|h+2|>|m-h|>|h-2|，
由条件可得1<|m-h|<2，
∴
解得：1≤h≤3；
故答案为：C.
根据“开口向上，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小”可知：|h+2|>|m-h|>|h-2|，然后可得，进而问题可求解.
14．C
15．D
解：将y=-x2的图象先向下平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，则所得二次函数的表达式为：y=-(x-2)2-2.
故答案为：D.
根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.
16．B
17．B
18．C
19．B
20．C
21．D
解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意.
故答案为：D.
根据抛物线解析式可得a=1>0，据此判断A；根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1），据此判断B、C；根据开口方向以及对称轴可判断D.
22．D
23．B
解：、∵二次函数的图象经过点，，
∴，，
∵，
∴，
∴，原选项错误，不符合题意；
、∵，
∴，
∴当时，可能成立，原选项正确，符合题意；
、∵，
∴，即，
若若时，则，原选项可能不成立，不符合题意；
、∵，
∴，
∴，
若时，则，原选项可能不成立，不符合题意；
故选：．
由二次函数图象上点的坐标特征可把点的坐标分别代入解析式得到，，再根据，依次对各选项进行判断即可.
24．B
25．D
26．B
解：
把A（-2，m），B（5，n）代入y=ax2+bx+c中得m=4a-2b+c，n=25a+5b+c，
∵m＜n，
∴4a-2b+c＜25a+5b+c，
∴3a+b＞0，
∴A选项不符合题意；
当a＜0时，b-a＞-4a＞0，a+b＞-2a＞0，
∴C、D选项不符合题意；
当a＞0时，2a+b＞-a，
又∵-a＜0，
∴2a+b=0是可能的．
∴B选项符合题意．
故答案为：B.
先把点A、B的坐标分别代入解析式得到m=4a-2b+c，n=25a+5b+c，然后利用m＜n得到4a-2b+c＜25a+5b+c，则3a+b＞0，然后依次对各选项进行判断．
27．C
解： ∵对称轴为，
∴，即，
∴；
故①错误，
由图象可知当时，，
∴，
故②正确；
∵抛物线，与轴交于点，其对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴当时，，
故选项③正确；
∵抛物线抛物线开口向上，其对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值，
∴对于任意实数．
∴对于任意实数n，
故选项④正确，
综上所述正确的有：②③④．
故选：C．
观察图象二次函数的对称轴可得到a、b的关系式，可对①作出判断；利用x=-2时y＜0，可对②作出判断；利用二次函数的对称性，可知当x=1时y=0，可对③作出判断；利用二次函数的最值，可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
28．B
29．B
30．B
31．A
32．B
解：将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为y=(x+1-2)2+3-1，即y=(x-1)2+2.
故答案为：B.
根据“左加右减，上加下减”的平移规则进行解答.
33．A
解：二次函数 化为顶点式为
∴该二次函数的对称轴为直线x =1，
当a>0时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
若t > 2， 则点( 和 都在对称轴x=1右侧， 且t若t<1时， t+1<2， 则点( 和 都在对称轴x =1左侧，y随x的增大而小，t当1≤t≤2时， 点( 在对称轴左侧，点(t+1，y2)在对称轴右侧，此时无法直接比较y1与y2大小. 当a<0时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
若t>2， 则点( 和 都在对称轴x=1右侧，且t1> y2，
若t<1时， t+1<2， 则点( 和 都在对称轴x =1左侧，y随x的增大而增大， t当1≤t≤2时， 点( )在对称轴左侧，点(t+1，y2)在对称轴右侧，此时无法直接比较y1与y2大小. 综上， 当a>0， t>2时，
故答案为：A .
先将二次函数化为顶点式来确定对称轴，再根据a的政府判断函数的开口向上，然后结合点(t，y1)与 的大小关系.
34．C
35．A
解：∵二次函数的图象经过点，，
∴
，
A、若，，
∴，，
∴此选项符合题意；
B、若，，则，正负无法确定，
∴不一定成立，
∴此选项不符合题意；
C、若，，则，
∴，
∴此选项不符合题意；
D、若，，则，正负无法确定，
∴ 不一定成立，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
根据二次函数图象上点的坐标特征，可求得，再结合各选项即可判断求解．
36．C
37．C
38．D
39．D
40．B
解：①∵抛物线与x轴交于两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故①错误；
②由函数图象可知抛物线与y轴交于点，代入解析式得，
把代入解析式，得，
∴，
∴，故②正确；
③∵抛物线的开口向下，
∴当时，y随x 的增大而减小，
又∵，
∴当时，y 随x 的增大而减小，故③正确；
④把代入，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的值是一个定值，故④正确；
⑤∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，故⑤正确；
综上所述，正确个数有4个，
故答案为：B．
根据抛物线的对称轴可求出，即可判断①；根据抛物线与y轴的交点求出，与x轴的交点求出，利用完全平方公式可判断②；由抛物线的对称轴，利用二次函数的增减性可判断③；把代入解析式，得，再根据，得，由，得，，于是求得，可判断④；由以及得到关于b的不等式组，解不等式组求得b的取值范围可判断⑤．
41．
42．3
43．
44．±2
解：将点（m，n）代入y=x+b中得，
n=m+b，
则mn=m(m+b)=m2+mb，
∵ mn的最小值为-1，
∴m＞0，且当时，mn取最小值，
则，
解得：b=±2；
故答案为：±2.
将点（m，n）代入y=x+b中得关于m，n的等式，再根据二次函数的性质，抛物线开口向上，存在最小值，利用二次函数顶点公式求最小值，即可得出关于b的方程，求解即可.
45．（ 6，0）
46．①③④
47．；
48．
49．
解：过点C作CD⊥AB于点D，如图，
观察图象可发现：当点E运动到点D时，C，F两点重合，△CEF不存在，当点E运动到点B时，E，F两点重合，△CEF不存在，
则对应函数图象上第二个和第三个零点，
设m=3k，n=7k(k>0)，
由函数图象对称的性质可得第二个和第三个零点的值分别为6k，8k，
则AD=6k，BD=2k，
∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
即CD2=12k2，
∴，
∴
故答案为：.
过点C作CD⊥AB于点D，观察图象可发现：①当点E运动到点D时，C，F两点重合，②当点E运动到点B时，E，F两点重合，△CEF不存在；设m=3k，n=7k(k>0)，由函数图象对称的性质，证明△ACD∽△CBD，从而推出正确答案.
50．或