专题31 函数综合压轴题 （50 题）【最新中考模拟题】-2025学年中考数学满分冲刺（全国通用）（含答案+解析）

2025学年中考数学满分冲刺（全国通用）【最新中考模拟题】
专题31 函数综合压轴题 （50 题）
一、解答题
1．（2025·广安模拟）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式：
（2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围；
（3）连接、．若点P为图中双曲线上的一点，且，请直接写出点P的坐标．
2．（2025·邛崃模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且．
（1）求抛物线（）的表达式；
（2）点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
（3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
3．（2025·仁寿模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，点Q为抛物线上的点且在第三象限，当时，请求出点Q的坐标；
（3）如图2，在（2）问的条件下，过点C作直线l平行于x轴，动点M在直线l上，轴交x轴于点N，点P是抛物线的顶点，连接，请求出的最小值及此时点M的坐标．
4．（2025·广汉模拟）【实践探究】
数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：
（1）实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；
（2）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于D，求的最大值．
②如图3，G为直线上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2025·顺庆模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴相交于，且顶点，是抛物线上一动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，连接，若，求的坐标；
（3）如图2，过作交抛物线于，以、、为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在，求出的坐标；若不存在，通过计算说明．
6．（2025·连州模拟）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点，连接，已知．
（1）求的长．
（2）求的面积．
（3）抛物线对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2025·义乌模拟）已知抛物线.
（1）若点在抛物线上，
①求此抛物线的解析式及顶点坐标.
②已知点M，N的坐标分别为，连结MN，若线段MN与抛物线只有一个公共点，求的取值范围.
（2）已知点是抛物线上的两点，若对于都有，求的取值范围.
8．（2025·东辽模拟）如图，抛物线与x轴交于，B两点．点C，D在该抛物线上，其横坐标分别为k，．分别过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为P，Q，以为边构造矩形．设L被该矩形截得的部分图象（包括边界）记为G．
（1）求b的值和L的对称轴；
（2）当点P在L上时，求的长；
（3）当L的顶点在矩形的边上时，求k的值；
（4）若图象G只呈上升趋势或下降趋势，结合图象直接写出k的取值范围．
9．（2025·岳塘模拟）如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
（2）如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标；
（3）当时，y的取值范围是，且，求a的值．
10．（2025·湖南模拟）已知抛物线 (a为常数)，该函数图象的顶点为 M．
（1）若 求顶点M的坐标；
（2）将抛物线L先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后得到抛物线，其顶点为 与x轴交于点A 和点B(点A在点B的左侧)，且点 在直线 上，若 求a的值；
（3）在（2）的条件下，点P为直线l下方抛物线上一动点，抛物线与直线l交于点C和点D(点C在点 D 的左侧)，当 面积最大时，求点 P 的坐标和 面积的最大值．
11．（2025·内江模拟）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标．
（3）点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．
12．（2025·河源模拟）已知点是抛物线上的两个不同点．
（1）当m为何值时，；
（2）直线l经过A，B两点，且与y轴交于点，试问b是否存在最小值，若存在，请求出b的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）点D是抛物线的顶点，点O是坐标原点，连接，当m为何值时，．
13．（2025·通川模拟）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；
（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
14．（2025·广东模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于点O，A．
（1）线段OA的长度为 ▲ ；
（2）将函数的图象沿轴正方向平移个单位得到函数的图象，平移后点O，A的对应点为B，C．当点在点的左边时，函数的图象交于点，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，过的图象顶点作轴的平行线，将直线向下平移，当直线与函数的图象有四个不同的交点时，假设这四个交点的横坐标从左往右依次为，请判断是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
15．（2025·福田模拟）如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动。轨道初段AC绝对光滑；除AC段外，剩下轨道粗糙。小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止。小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（PQ段是抛物线的一部分）。
（1）轨道初段AC的总长为 ▲ cm；并求出小球在粗糙轨道（图中射线CB上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）。
（2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为140cm，求抛物线的函数关系式。
②延长线段OP，如果直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与抛物线对称轴平行，则称线段OP与抛物线光滑连接。请你通过计算和推理判断线段OP与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线CB上，是否存在一节长为9cm的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s。若存在，请求出这节轨道的起点与点之间的距离；若不存在，请说明理由。
16．（2025·白云模拟）已知二次函数（、为常数）．该函数图象经过点，与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
（1）试用关于的代数式表示；
（2）用关于的代数式表示的面积，并描述随着的变化，的值如何变化？
（3）若二次函数图象对称轴为直线，过点平行于轴的直线交抛物线于点（不同于点），交对称轴于点，过点的直线（直线不过，两点）与二次函数图象交于，两点，直线与直线相交于点．若，请求出满足条件的直线的解析式．
17．（2025·温江模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段的长；
（2）当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标；
（3）延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
18．（2025·罗湖模拟）如图1，与轴交于点，与轴交于点
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是拋物线上的一个动点．
①如图1，若点在第一象限内，连接PA交直线BC于点，设的面积为面积为，若，求点P坐标
②如图2，拋物线的对称轴与轴交于点，过点作点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由．
19．（2025·龙马潭模拟）如图，抛物线经过、两点，为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当的面积最大时，求点的坐标；
（3）过点作，垂足为点，是否存在点，使，若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2025·锦江模拟）在平面直角坐标系中，已知顶点为的抛物线经过点，点为轴上一动点，过点的直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，当，时，在轴上有一点，连接，，若面积为，求的值；
（3）如图2，当，时，过点作直线与轴、轴分别交于，两点，且直线与抛物线有且仅有一个公共点，连接，过点作交轴于点．若与的面积之比等于，求点的坐标．
21．（2025·白银模拟）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+x+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，当△BCE面积最大时，求出点M的坐标；
（3）在（2）的结论下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由．
22．（2025·武侯模拟）如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点．
（1）求点的坐标及抛物线的顶点坐标；
（2）在抛物线上取一点，连接，且满足．
当时，求点的坐标；
定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值．
23．（2025·武侯模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）过点作直线，交轴正半轴于点，连接，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在第三象限的反比例函数图象上取一点（点不与点重合），在轴上取一点，连接，，，当时，求此时的面积．
24．（2025·江门模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．
（1）求三角形的面积；
（2）点P为直线上方的抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交线段于H，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）把抛物线向右平移三个单位得到新抛物线，若点N为新抛物线对称轴上一点，点M为平面内任意一点，请直接写出当以B，C，M，为顶点的四边形是菱形时点的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
25．（2025·海珠模拟）直线交轴于点，抛物线交轴于点和点，．
（1）求点的坐标；
（2）如果，，且抛物线始终在直线下方，求的取值范围；
（3）过点作的平行线，在第一象限内交抛物线于另外一点，如果点的横坐标是，且的面积是32，、、、四点共圆．当时，探究有没有最值（最大值或最小值）？如果有，请求出最值，如果没有，请说明理由．
26．（2025·柳河模拟）抛物线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线顶点的横坐标加1，纵坐标不变，得到抛物线．
①请直接写出______________，______________．
②若点，为抛物线上的点，横坐标分别为，，点，之间(包括端点)的函数图象称为图象，设图象的最高点与最低点的纵坐标分别为，，当时，求的值；
③点为抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设以，，，为顶点的图形面积为且当点在的上方，以，，，为顶点的图形是四边形时，请直接写出此时的取值范围_____________．
27．（2025·番禺模拟）在平面直角坐标系中，将函数（为常数）的图象记为，点的坐标为．
（1）当点在图象上时，试解答以下问题：
①求函数的解析式；
②将抛物线在的那部分函数图象沿直线翻折得到新的函数图象，翻折前后的两部分合记为图象，若函数与图象至少有三个交点，求的取值范围；
（2）当时，将点向左平移2个单位长度得到点，连结，以为边向上方作矩形，使．当图象与矩形只有两个公共点时，求的取值范围．
28．（2025·吉林模拟）如图，抛物线（c是常数）经过点．点P在x轴上，其横坐标为m（）．点O为坐标原点，以为一组邻边作矩形，将矩形绕点P顺时针旋转得到矩形．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）①当时，点的坐标为______；当时，点的坐标为______．
②当点落在抛物线上时，求m的值．
（3）当线段与抛物线有公共点时，直接写出m的取值范围．
（4）当抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为时，直接写出m的值．
29．（2025·吉林模拟）【问题背景】古法造纸术是中国古代四大发明之一，其核心工艺含有两个环节，一是蒸煮脱胶，二是自然干燥．
【实验操作】某文化遗产保护小组在研究古法造纸工艺时，记录关键环节数据，旨在通过数学建模揭示温度与时间、湿度与时间的内在联系．
环节一：蒸煮脱胶
将树皮等原料在溶液中蒸煮，记录蒸煮过程中温度与时间的部分数据如下：
时间 0 1 2 3 4
温度 20 30 40 50 60
环节二：自然干燥
纸张成型后需自然干燥，记录干燥过程中湿度与时间的部分数据如下：
时间 0 2 4 6 8
湿度 80 70 60 50 40
【分析数据】
如图1，根据表中T与t的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
如图2，根据表中H与t的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
观察上述各点的分布规律，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映温度T与时间t及湿度H与时间t的函数关系，并求出这两个函数的解析式（不要求写出t的取值范围）．
【问题解决】
古法造纸术的核心工艺要求：
①蒸煮脱胶温度需在以上（包含）至少持续．
②自然干燥环节必须在蒸煮脱胶环节完成后开始，蒸煮脱胶和自然干燥总时间为．
③自然干燥后的纸张湿度需低于．
根据核心工艺要求，求蒸煮脱胶环节的最短时间，并验证自然干燥环节是否满足湿度要求．
30．（2025·吉林模拟）如图，是等腰直角三角形，，，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒2个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度．过点P作于点D，以为边向右侧作矩形，且．设点P的运动时间为t秒，矩形和重叠部分图形的面积为S．
（1）当点F在上时， ______．
（2）当矩形和重叠部分的图形为四边形时，求S关于t的函数解析式，并写出t的取值范围．
31．（2025·江安模拟）如图1，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）如图2，点是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值；
（3）如图3，已知直线与，轴分别相交于点，，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
32．（2025·黄埔模拟）平面直角坐标系中，抛物线（为实数）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围；
（3）当时（其中为实数且），抛物线的图象总在直线的下方，求的最大值．
33．（2025·怀化模拟）我们约定：在平面直角坐标系中，关于的两条不同的抛物线与，若它们都经过轴上的不同两点，，则称这两条抛物线互为“共截距抛物线”．根据该约定，解答下列问题：
（1）若抛物线与互为“共截距抛物线”，且经过点，求的函数解析式；
（2）若抛物线的“共截距抛物线”总不经过点，请求出符合条件的点坐标；
（3）设抛物线与它的“共截距抛物线”的图象顶点分别为点，，若抛物线与抛物线的形状相同，且以，，，为顶点的四边形有一个内角为120°，求该四边形的面积．
34．（2025·贵港模拟）如图，抛物线：，抛物线交轴于点、（点在点的右侧），交轴于点，抛物线与抛物线关于原点成中心对称．
（1）求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式：
（2）点是第一象限内抛物线的一个动点，连接、，与相交于点．
①作轴，垂足为，当时，求点的的横坐标；
②请求出的最大值．
35．（2025·深圳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C______（填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为______；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小．
36．（2025·东莞模拟）如图1，抛物线经过点，点．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点作y轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，当点P运动时，的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；
（3）如图3，长度为的线段（点C在点D的左边）在射线上移动（点C在线段上），连接，过点C作CEOD交抛物线于点E，线段在移动的过程中，直线经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．
37．（2025·东莞模拟）如图1，矩形的两个顶点，分别落在，轴上，顶点，位于第一象限，对角线，交于点，，，若双曲线经过点，．
（1）求的值；
（2）点，分别在射线、射线上，满足，，求的度数；
（3）如图2，若抛物线的顶点是线段上一动点，与轴交于点，，过点作轴于点，当取得最大值时，求此时的面积．
38．（2025·中山模拟）如图，抛物线与轴交于A，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段的长度最大时，求的值：
（3）点是抛物线对称轴上的一点，点是坐标平面内的一点，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
39．（2025·岳阳模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，求线段的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，过平面上一点作任意一条直线交抛物线于两点，过点作直线，分别交轴于两点，试探究与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
40．（2025·祁阳模拟）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴交x轴于点D．过点B作直线轴，连接，过点D作，交直线l于点E，作直线．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出直线的函数表达式；
（2）如图，点P为抛物线上第二象限内的点，设点P的横坐标为m，连接与交于点Q，当点Q为线段的中点时，求m；
（3）若点M为x轴上一个动点，点N为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
41．（2024九下·克拉玛依模拟）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
42．（2025·祁阳模拟）在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d．
（1）已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______；
（2）如图1，线段在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______；
（3）如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围．
43．（2025·西昌模拟）已知：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求出P点坐标及的周长；
（3）如图2，连接，E为线段上一动点，求的最小值．
44．（2025·西昌模拟）如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点E，边在x轴上，，，点C在反比例函数的图象上．
（1）直接写出C，D，E的坐标及k的值；
（2）将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边与反比例函数图象交于点F，求点F到x轴的距离．
45．（2025·成华模拟）如图，将抛物线平移，得到的新抛物线经过点和．在第三象限内新抛物线上取点，设点在原抛物线上的对应点为．
（1）求新抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）若点在第三象限内新抛物线上移动，试探究四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值．
46．（2025·成华模拟）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．
（1）求直线和反比例函数的解析式；
（2）将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式；
（3）对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上 若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
47．（2025·凉州模拟）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标．
（3）如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值．
48．（2025·四川模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D在直线下方的抛物线上；
①连接、、，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标；
②如图2，设所在直线绕点A逆时针旋转后与射线相交于点E，与抛物线交于另一点F，当时，求点D的横坐标．
49．（2025·四川模拟）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B；与y轴交于点C，点A的横坐标为．
（1）求k的值；
（2）连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标；
（3）设点N在第二象限的反比例函数图象上，点P在x轴上，设点，连接，，，，，若，求点N的坐标．
50．（2025·双流模拟）如图1，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象分别交于点，，且．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若将直线向上平移个单位，使平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求的值；
（3）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”．例如：如图2，直线是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”．如图3，正方形的一边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是图1中反比例函数的图象与正方形的“楚河汉界线”，求的取值范围．
答案解析部分
1．（1），
（2）或
（3）或或或
2．（1）
（2）
（3）点T的坐标为或
3．（1）
（2）
（3）最小值为，点
4．（1）
（2）①最大值为；②G点坐标为或或或
5．（1）
（2）
（3）或
6．（1）4
（2）7
（3）或或或或
7．（1）解：①有条件可得：
0=a×(-2)2-2a×(-2)+8，
解得：a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+8，
将其化为顶点式为：y=-(x-1)2+9，
∴顶点坐标为(1，9)；
②当x=-1时，代入y=-x2+2x+8得：
y=-(-1)2+2×(-1)+8=-1-2+8=5，
当x=3时，
y=-32+2×3+8=-9+6+8=5，
∵线段MN与抛物线只有一个公共点，
当n=9时，线段MN过顶点(1，9)，此时只有一个公共点；
当n<5时，线段MN与抛物线也只有一个公共点，
∴或
（2）解：抛物线y=ax2-2ax+8=a(x-1)2-a+8，对称轴为直线x=1.
当x1=2a时，y1=a(2a-1)2-a+8.
∵对于3≤x2≤a+4都有y1>y2，
当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
要满足条件，则2a>a+4，
解得：a>4，
当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
此时需满足2a<3，且a+4≤1(等号不同时成立)，
由a+4≤1得a≤-3，又2a<3即.
∴，
综上，a的取值范围是或.
(1)①将点A(-2，0)代入抛物线方程，求出a的值，进而得到解析式；通过配方法将抛物线化为顶点式，确定顶点坐标；
②先求出抛物线在x=-1和x=3处的函数值，明确抛物线过的点；再结合抛物线开口向下、顶点坐标，分n=9(线段过顶点)和n<5(线段与抛物线只有一个交点)两种情况，确定几的取值范围；
(2)先确定P点坐标，再根据a的正负性结合对称轴与给定区间分析函数单调性，从而确定a的取值范围.
8．（1），对称轴是
（2）9
（3）或
（4）或
9．（1），；
（2）
（3）或
10．（1）
（2）
（3）面积的最大值，此时
11．（1）
（2）
（3）或或或或
12．（1）
（2）存在，
（3）或
13．（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为 ：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.
14．（1）4
（2）解：，当时，
解得
平移后函数为
解得
（3）解：存在，最大值为12．
当直线位于点上方时，
根据平移的性质可得．
，
，
．
．
当直线位于点下方时，
根据平移的性质可得．
．
综上．
所以存在最大值12．
解：（1）当y=0时，则
解得：x=0或x=4
∴A(0，4)
∴OA=4
故答案为：4
（1）根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入解析式可得点A坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得，根据函数图象平移性质可得平移后函数为，联立两解析式，解方程组即可求出答案.
（3）分情况讨论：当直线位于点上方时，当直线位于点下方时，根据图象平移性质，结合函数图象即可求出答案.
15．（1）轨道初段AC的总长为40cm；
设，则解得
故
（2）解：①由题意，为顶点，设，则
代入，有
解得（舍去）
故
②设直线OP表达式：，代入，有
即，
联立
得
直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与拋物线对称轴平行
故线段OP与抛物线光滑连接
（3）解：假设存在这节轨道，且小球第秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点
由题意
解得，
当时，
故轨道起点与点之间的距离为
（1）由图3可得AC长，设，根据待定系数法带点计算即可求出答案.
（2）①由题意，为顶点，设，则，根据待定系数法将点P坐标代入解析式即可求出答案.
②设直线OP表达式：，根据待定系数法将点P坐标代入解析式可得即，联立二次函数解析式，根据二次方程判别式，可知直线OP与抛物线有且只有一个交点.
（3）：假设存在这节轨道，且小球第秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，根据题意建立方程，解方程可得，再将m值代入二次函数解析式即可求出答案.
16．（1）
（2）；当时，随着增大而减少；当时，随着增大而增大；当时，随着增大而减少；当时，随着增大而增大
（3）或
17．（1）
（2）
（3）直线恒过定点
18．（1）解：由题意可设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)
将点C坐标代入表达式可得：3=a(0+1)(0-3)
解得：a=-1
∴抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3
（2）解：①设P点坐标为(t，-t2+2t+3)，作PM∥y轴交BC于点M，作AM∥y轴交BC于点N
易得BC的表达式为y=-x+3
∴M(t，-t+3)，N(-1，4)
∴PM=-t2+3t，AN=4
∵PM∥AN
∴
∴t2-3t+2=0，解得：t=1或t=2
∴P点坐标为(1，4)或(2，3)
②点Q的坐标为(1，2)或(1，4)或(1，-2)
解：（2）②存在，理由如下
过点F作FG⊥OB于点G
∵y==-x2+2x+3的对称轴为x=1
∴OE=1
∵，
∴OC=OB=3
∵∠COB=90°
∴△OCB是等腰直角三角形
∵∠EFB=90°，BE=OB-OE=2
∴△EFB为等腰直角三角形
∴FG=GB=EG=1
∴点F的坐标为(2，1)
当EF为边时
∵四边形EFPQ为平行四边形
∴QE=PF，QE∥PF∥y轴
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2
当x=2时，y=-22+2×2+3=3
∴点P的坐标为(2，3)
∴QE=PF=2
∴点Q的坐标为(1，2)
根据对称性，当P(0，3)，Q(1，4)时，四边形EFQP也为平行四边形
当EF为对角线时
∵四边形PEQF为平行四边形
∴QE=PF，QE∥PF∥y轴
同理可得，点P的坐标为(2，3)
∴QE=PF=2
点Q的坐标为(1，-2)
综上所述，点Q的坐标为(1，2)或(1，4)或(1，-2)
（1）设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)，根据待定系数法将点C坐标代入表达式即可求出答案.
（2）①设P点坐标为(t，-t2+2t+3)，作PM∥y轴交BC于点M，作AM∥y轴交BC于点N，求出BC的表达式，则M(t，-t+3)，N(-1，4)，根据两点间距离可得PM=-t2+3t，AN=4，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
②过点F作FG⊥OB于点G，由题意可得OE=1，OC=OB=3，根据等腰直角三角形判定定理可得△OCB是等腰直角三角形，△EFB为等腰直角三角形，则FG=GB=EG=1，即点F的坐标为(2，1)，分情况讨论：当EF为边时，根据平行四边形性质可得QE=PF，QE∥PF∥y轴，则点P的横坐标与点F的横坐标同为2，即点P的坐标为(2，3)，可得点Q坐标，根据对称性，当P(0，3)，Q(1，4)时，四边形EFQP也为平行四边形；当EF为对角线时，根据平行四边形性质可得QE=PF，QE∥PF∥y轴，同理可得，点P的坐标为(2，3)，可得点Q坐标.
19．（1）；
（2）；
（3）存在，．
20．（1）
（2）
（3）
21．（1）；
（2）M（2，）；
（3）P（5，-）或（-3，-）或（-1，）．
22．（1）；
（2）或或
23．（1）反比例函数的表达式为，点的坐标为；
（2）点的坐标为；
（3）的面积为或．
24．（1）三角形的面积为4
（2）的最大值为，此时点P的坐标
（3）N的坐标为或或
25．（1）
（2）
（3）有，最大值为8，最小值为0
26．（1）
（2）①，；②或或或；③或
27．（1）①；②
（2）
28．（1）；
（2）①；；②；
（3）或；
（4）m的值为或或或．
29．建立模型：都是， ，
问题解决：蒸煮脱胶环节的最短时间，自然干燥环节满足湿度要求
30．（1）
（2）
31．（1）
（2）
（3）存在，
32．（1）
（2）或
（3）9
33．（1）
（2）或
（3）或
34．（1）抛物线为：，直线的解析式为
（2）①的横坐标为；②的最大值为
35．（1）
（2）①，81；②，方案二的矩形面积更小
36．（1）
（2）不变，10
（3）F（－2，1），的最小值是
37．（1）14
（2）
（3）2
38．（1）；
（2）；
（3）点坐标：或或或或
39．（1）
（2）最大值为，此时
（3）与的积为定值，定值为2
40．（1）抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为；
（2）；
（3）点的坐标为或或或．
41．（1）
（2）
（3）存在，或或
42．（1）
（2）
（3）
43．（1），
（2），
（3）8
44．（1），，，
（2）
45．（1）解：抛物线平移得到新抛物线，
设新抛物线的表达式为，
把和代入可得：
，
解得：，
新抛物线的表达式为；

（2）解：新抛物线的表达式为，
抛物线的顶点平移到抛物线的顶点，
抛物线平移得抛物线的平移方式为：向右平移2个单位，向下平移4个单位，
设，则，
设的解析式为，它过和，
则，
解得：，
设解析式为，它过和，
则，
解得：，
，
，
，
经检验：是原方程的根，
当时，，，
；
（3）解：连接，，，设和交于点，和的交点为E，
设的解析式为，它过，
则，
解得，
∴的解析式为；
设的解析式为，它过和，
则，
解得，
∴设的解析式为，
联立方程组，
解得，，
∴，
∴，，，
∵，
是直角三角形，
，
平移过程中，点的对应点为点，点的对应点为，
，，
，
四边形的面积是定值，这个定值为15．
四边形的面积是定值，这个定值为15
（1）由题意，设平移后的新抛物线的表达式为，然后把和代入解析式可得关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出的值即可；
（2）根据（1）中求得的新抛物线的解析式，将新的解析式配成顶点式可得抛物线的顶点平移到抛物线的顶点，由这两个顶点坐标可得平移方式，设，根据平移方式可得，运用待定系数法求出和的解析式，根据并结合两直线平行其k值相等可得，解方程求出的值即可；
（3）连接，，，设和交于点，和的交点为E，用待定系数法求出直线AB的解析式，将直线AB和y=-2x联立解方程组可求得两直线的交点E的坐标，用两点间的距离公式求出OE、BE的长，根据勾股定理的逆定理可得△OEB是直角三角形，即，由平移的性质可得MM ⊥AB，根据四边形AMBM 的面积的构可求解．
（1）解：抛物线平移得到新抛物线，
设新抛物线的表达式为，
把和代入可得：，
解得，
新抛物线的表达式为；
（2）解：新抛物线的表达式为，
抛物线的顶点平移到抛物线的顶点，
抛物线平移得抛物线的平移方式为：向右平移2个单位，向下平移4个单位，
设，则，
设的解析式为，它过和，
则，
解得，
设解析式为，它过和，
则，
解得，
，
，
，
经检验：是原方程的根，
当时，，，
；
（3）解：连接，，，设和交于点，和的交点为E，
设的解析式为，它过，
则，
解得，
∴的解析式为；
设的解析式为，它过和，
则，
解得，
∴设的解析式为，
联立方程组，
解得，，
∴，
∴，，，
∵，
是直角三角形，
，
平移过程中，点的对应点为点，点的对应点为，
，，
，
四边形的面积是定值，这个定值为15．
46．（1）解：把代入，
可得：，
，
反比例函数的解析式为，
把代入，
可得：，
，
直线的解析式为；
（2）解：，
点的坐标是，
，
如下图所示，
将直线沿轴方向向上平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
将直线沿轴方向向下平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或；
（3）存在 ，理由如下：
解：点的坐标为或，
点在图象上，点在直线上，
设点，点，
点是点的等和点，
，
，
，
，，
经检验，，均是原分式方程的根，
当时，，此时点的坐标为，
当时，，此时点的坐标为，
综上可得，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或．
根据反比例函数图象上点的坐标特征可把代入，求出值，即可求得反比例函数的解析式；把代入，求出值，即可求得一次函数的解析式；
由题意分两种情况求解：①将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；
②将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数；
根据等和点的定义和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标．
（1）解：把代入，
可得：，
，
反比例函数的解析式为，
把代入，
可得：，
，
直线的解析式为；
（2）解：，
点的坐标是，
，
如下图所示，
将直线沿轴方向向上平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
将直线沿轴方向向下平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或；
（3）解：点的坐标为或，
点在图象上，点在直线上，
设点，点，
点是点的等和点，
，
，
，
，，
经检验，，均是原分式方程的根，
当时，，此时点的坐标为，
当时，，此时点的坐标为，
综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或．
47．（1）
（2）或
（3）最大值为4
48．（1）
（2）①；②
49．（1）
（2）
（3）
50．（1）；
（2）
（3）或