江苏省盐城市射阳中学2025届高三下学期全真模拟4 数学试题（含答案）

江苏省射阳中学2025届高三下学期全真模拟4数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
3．已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双曲线的实轴长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A B C三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点O外）的不同游览线路有（ ）
A．6种 B．8种 C．12种 D．48种
7．记为数列的前项之积，已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，且，则（ ）
A． B．
C．无最小值，只有最大值为4 D．的最小值为12
10．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．圆锥外接球体积为
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．的对称中心为
C．过原点有两条直线与的图象相切
D．若有两个极值点，，则
三、填空题
12．的展开式中的系数为 （用数字作答）.
13．设函数在上的值域为，则的取值范围是 .
14．已知函数，数列是公差为2的等差数列，若，则 .
四、解答题
15．已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求的周长.
16．佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：
日销售量/件 0 1 2 3
天数 5 10 25 10
假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．
(1)求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；
(2)已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．
17．如图，在空间几何体中，已知均为边长为2的等边三角形，平面和平面都与平面垂直，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18．已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”.
(1)判断是否为“超导函数”，并说明理由；
(2)若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”；
(3)已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围.
19．已知椭圆的左，右焦点分别为，，短轴长为，离心率为.
(1)求的方程；
(2)记的左顶点为，直线与交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为.
（i）证明：直线过定点；
（ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方.是否存在点，使得与的面积之比为3：5？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1．C
2．C
3．D
4．D
5．B
6．D
7．C
8．B
9．ACD
10．BCD
11．BCD
12．-28
13．
14．
15．（1）因为，
所以，
，
，
，
因为，所以，
即，所以，
因为，所以，所以有，所以.
（2）因为，且的面积为，
所以有，
所以，即，所以周长为.
16．（1）由题设，能卖出3件水牛奶的概率为，3件以下的概率为，
所以三天中卖出3件水牛奶的天数，
则.
（2）由（1）及题意知：第一天营业结束后不补货的情况为A={销售0件}或B={销售1件}，
所以，，
令C={第二天货架上有1件存货}，则，，
所以.
第一天营业结束后补货的情况为D={销售3件}或E={销售2件}，
所以，，
令F={第二天货架上有1件存货}，则，，
所以.
综上，第二天营业结束后货架上有1件存货的概率.
17．（1）证明：分别取的中点，连接，
因为，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
同理平面，所以，
又因为是全等的正三角形，所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）连接，则易知平面，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
所以所以
则，取，则，
所以，
设直线与平面所成的角为，则．
18．（1）函数，求导得，则，
所以是“超导函数”.
（2）函数，求导得，
则，
由函数与都是“超导函数”，得，
由对任意，都有，，得，
因此，即，
所以函数是“超导函数”.
（3）由函数是“超导函数”，得对任意，，
令，求导得，函数在上单调递增，且，
由，得，即，
因此，即，令，
由有且仅有一个实数满足，得直线与函数的图象有且只有1个交点，
，当时，；当时，，
函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为，
因此当或时，直线与函数的图象有且只有1个交点，
所以的取值范围或.
19．（1）由题意得，，故，，
又，解得，
所以椭圆方程为；
（2）（i），
当直线的斜率不存在时，此时直线与交于关于轴对称的两点，
设，
则，即，
又因为，所以，
所以，解得或，
当时，，此时与重合，
直线AP或直线AQ的斜率不存在，不合要求，
当时，直线方程为，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立得，
，解得，
设，则，
所以，
由得
，化简得，
，解得或，
当时，，过定点，
直线AP或直线AQ的斜率不存在，不合要求，
当时，，过定点，
显然此时满足，
其中也过点，
综上，直线过定点；
（ii）存在点，使得与的面积之比为3：5，理由如下：
在轴上方，故在轴下方，即，，
由椭圆定义可知，，
又的圆心为，半径为4，
故，所以，
由于，，
所以，
令，
当直线斜率不存在时，，此时，
解得，令中得，
又在轴上方，故，满足要求，
当直线斜率存在时，设，
在中，，，，
由余弦定理得，
即，解得，
同理可得，
由可得，
解得或，均不合要求，舍去，
综上，存在点，使得与的面积之比为3：5.