北师大版八年级数学下册 第4章《因式分解》期末知识点复习题（含解析）

第4章《因式分解》期末知识点复习题
【题型1 利用整体思想分解因式】
1.[阅读材料]
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“A”还原，原式．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
[问题解决]
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方．
2.（1）； （2）．
3.(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)求证：多项式的值一定是非负数．
4.整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下：
解：设，则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
问题：
(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；
②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；
(2)请你模仿以上方法尝试计算：
．
【题型2 利用拆项法分解因式】
1.观察下面因式分解的过程：
上面因式分解过程的第一步把拆成了，这种因式分解的方法称为拆项法．请用上面的方法完成下列题目：
(1)；
(2)．
2.(1)分解因式：； (2)分解因式：．
3.（1）分解因式：x2﹣6x﹣7； （2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2
4.把多项式分解因式．
【题型3 利用添项法分解因式】
1.阅读与思考
在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果添加某项，可以达到因式分解的效果，此类因式分解的方法称之为“添项法”． 例如：． 参照上述方法，我们可以对因式分解，下面是因式分解的部分解答过程．
任务：
(1)请根据以上阅读材料补充完整对因式分解的过程．
(2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求的值．
2.将下列式子因式分解：
3.分解因式：．
4.分解多项式的结果是 ．
【题型4 利用因式分解的结果求参数】
1.因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．
利用上述阅读材料求解：
(1)若是多项式的一个因式，求的值；
(2)若和是多项式的两个因式，试求，的值．
(3)在（2）的条件下，把多项式因式分解．
2.已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ．
3.已知多项式能分解为，则 ， ．
4.已知多项式能分解为两个整系数一次式的乘积，则k的值有（ ）个．
A．10 B．8 C．5 D．4
【题型5 利用因式分解进行有理数的简算】
1.用简便方法计算：．
2.简便计算：
(1)； (2)．
3.下列算式不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.已知，，那么、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
【题型6 利用因式分解探究三角形形状】
1.已知为三角形三边，且满足.试说明该三角形是等边三角形．
2.已知的三边a，b，c满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
3.若a、b、c是的三边，且满足，，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
4.已知三边长满足，试判定的形状．
【题型7 与因式分解有关的探究题】
1.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．
例如，因为，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2022个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究．
小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：，，，，
小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：
设两个数分别为，，其中，且为整数．
则．
(1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有都 是智慧数，并请直接写出11，15的智慧分解；
(2)继续探究，他们发现，，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：，且为整数）均为智慧数请证明他们的猜想；
(3)根据以上所有探究，请直接写出第2023个智慧数，以及它的智慧分解．
2.探究题:
(1)问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：
__________；________；________；
(2)探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：；；；
归纳猜想：若多项式是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为_____________________．
(3)验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论．
(4)解决问题：若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．
3.阅读理解并填空：
(1)为了求代数式的值，我们必须知道x的值．
若，则这个代数式的值为________﹔若，则这个代数式的值为_______；……
可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围．
(2)把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题．
例如：，因为是非负数，所以这个代数式的最小值是______，此时相应的x的值是______．
(3)求代数式的最大值，并写出相应的x的值．
(4)试探究关于x、y的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，请说明理由．
4.在学习《因式分解》）时，邹老师给同学们发了很多硬纸片的正方形A，的正方形B，的长方形C．

(1)在探究中，小明用1张A和1张C组成如图1所示的长方形可以说明可以分解为______；

(2)继续探究中，小明用1张A，2张和3张C再次拼得一个长方形，请在框1中画出示意图，并将长方形面积表达式的因式分解结果写在横线上
(3)尝试应用：请你仿照小明同学的探究方法，尝试用1张A，4张B和若干张C拼成一个长方形或者正方形，请你设计两种不同的拼法，在框2和框3中分别画出示意图，并在相应的横线上写出所拼长方形的面积表达式及因式分解的结果．

【题型8 因式分解的应用】
1.在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．528024 B．522824 C．248052 D．522480
2.如图，某养鸡场老板准备用20米的篱笆围成一个边长为、的长方形场地，已知，则这个长方形场地的面积为（ ）平方米．
A．32 B．24 C．16 D．12
3.如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块长是，宽为的相同的小长方形，且
(1)观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ；
(2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为．
①求的值；
②求图中空白部分的面积．
4.【实践探究】
小青同学在学习“因式分解”时，用如图所示编号为的四种长方体各若干块，进行实践探究：
(1)现取其中两个拼成如图所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：　　　　　　　　　　；
(2)【问题解决】
若要用这四种长方体拼成一个棱长为的正方体，其中号长方体和号长方体各需要多少个 试通过计算说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知与分别是两个大小不同正方体的棱长，且，当为整数时，求的值．
参考答案
【题型1 利用整体思想分解因式】
1.（1）解：令，
原式
；
（2）令，
则
；
（3）
，
∵n为正整数，
∴正整数．
∴，
即代数式的值一定是某个整数的平方．
2.解：（1）设，
则原式，
将换回去得：原式，
，
；
（2）设，
则原式，
，
，
将换回去得：原式．
3.（1）解：解法一：设，
则原式
；
方法二：设，
则原式
；
（2）解：设，
则原式
；
（3）解：
，
设，
则原式
，
∵，
∴，
∴多项式的值一定是非负数．
4.（1）①该同学没有完成因式分解；
设，则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
．
∴最后的结果为．
②设，
原式
．
；
（2）设，，
则，
，
原式
．
【题型2 利用拆项法分解因式】
1.（1）解：
；
（2）解：
．
2.（1）原式
（2）原式
3.解：（1）x2﹣6x﹣7
= x2﹣6x+9－16
=（x－3）2－42
=（x－3+4）(x－3－4)
=(x+1)(x－7)；
（2）a2＋4ab﹣5b2
= a2＋4ab+4b2﹣9b2
=（a+2b）2－(3b)2
=（a+2b +3b）(a+2b－3b)
=(a+5b)( a－b)．
4.解：
．
【题型3 利用添项法分解因式】
1.（1）
．
；
（2）∵
∴．
2.解：x4+4y4＝x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，
＝（x2+2y2）2﹣4x2y2，
＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；
3.解：
．
4.
【分析】直接根据添项方法进行因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：
【题型4 利用因式分解的结果求参数】
1.（1）解： 是多项式的一个因式，
当时，，解得；
（2） 和是多项式的两个因式，
，解得．
，．
（3）解：由（2）得即为，
．
2.9
【分析】把展开，求出、的值，计算即可．
【详解】解：，
，
，，
，
故答案为：9．
3. ； ．
【分析】把展开，找到所有和的项的系数，令它们的系数分别为，列式求解即可．
【详解】解：∵
．
∴展开式乘积中不含、项，
∴，解得：．
故答案为：，．
4.A
【分析】设能分解成，根据整式的乘法化简，得到，根据为整数求解即可．
【详解】设 ，
则
共10个
故选A
【题型5 利用因式分解进行有理数的简算】
1.解：设，
则原式，
，
，
∴原式．
2.（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
3.D
【分析】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题额关键．
【详解】解：A、，选项正确，不符合题意；
B、，选项正确，不符合题意；
C、，选项正确，不符合题意；
D、，选项错误，符合题意．
故选：D．
4.B
【分析】本题考查了因式分解的应用，以及积的乘方逆用，根据作差法比较两个数的大小即可．
【详解】解：
，
．
故选：B．
【题型6 利用因式分解探究三角形形状】
1.解：，
，
，
，
，，，
，
为等边三角形．
2.B
【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解．先提取公因式，得到，进而得出或，即可判断的形状．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴或，
的形状为等腰三角形，
故选：B．
3.D
【分析】根据，，分别提取公因式即可得到，，再根据，，得到，，据此即可判定该三角形的形状．
【详解】解：，，
，，
又、b、c是的三边，
，，
，，
，，
，
∴该三角形是等边三角形，
故选：D．
4.解：∵，
∴，
∴，
∴
∵a，b，c是的三边长，
∴，
∴
∴
∴为等腰三角形．
【题型7 与因式分解有关的探究题】
1.（1）解：，且为整数），
智慧数是除1外所有的奇数，
，
，
故答案为：奇数，11的智慧分解：5、6，15的智慧分解：7、8；
（2）证明：设，且为整数，
，，
，
除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
且为整数）均为智慧数；
（3）解：据探究得，智慧数是奇数时，且为整数，智慧数是4的倍数时，且为整数，
正整数中前四个正整数只有3为智慧数，此后每连续四个数中有三个智慧数，
，
，
第2023个智慧数是2700，
能被4整除，
．
2.（1）解：；
；
．
故答案为：；；．
（2）由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：．
故答案为：．
（3）验证结论：可用x2＋4x＋4，
验证：∵b2＝42＝16，4ac＝4×1×4＝16，
∴．
（4）根据题意可得：
3.（1）解：把代入中，得：；
若，则这个代数式的值为；
故答案为：6，11；
（2）解：根据题意可得：
，
是非负数，
∴这个代数式的最小值是2，相应的x的值是；
故答案为：2，；
（3）解：根据题意得：
，
∴代数式的最大值是，相应的x的值是；
（4）解：代数式有最小值是16，相应的，，理由如下：
，
及都是非负数，
当，时，代数式有最小值是16，
相应的，．
4.（1）由图知长方形的面积还可表示为，因此可以分解为．
故答案为：
（2）如图1张A，2张B和3张C可拼成一个长方形，

由此得．
故答案为：．
（3）如图，用1张A，4张B，5张C可拼成一个长方形，

由此可得．
如图，用1张A，4张B，4张C可拼成一个正方形，

由此可得．
故答案为：或．
【题型8 因式分解的应用】
1.B
【分析】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，进而代入字母的值即可求解．
【详解】解：∵
，
∵，，则各个因式的值为，，，
∴产生的密码不可能是522824，
故选：B．
2.B
【分析】本题考查了因式分解的应用．由题意得，再由已知变形得到，即可求解．
【详解】解：由题意得（米），，
∴，
解得，
∴个长方形场地的面积为24平方米．
故选：B．
3.（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：，
长方形的长是，宽是，
由此可得：，
故答案为：；
（2）解：①根据长方形的周长为，可得：
，
，
，
．
答：的值为5．
②空白部分的面积为，
根据②得：，
∵阴影部分的面积为，
且阴影部分的面积表示为，
故，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：空白部分的面积为．
4.（1）根据题意可知：，
故答案为：；
（2）号长方体需要个，号长方体需要个，
；
（3）由题意得：，
由上可知：，
∴，整理得：，
∵且与两个大小不同正方体的棱长，
∴，
∴，则，
∵为整数，则为平方数，
∴，
∴．