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沪科版2024—2025学年八年级下册期末模拟冲刺满分卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且垂直的四边形是正方形
B．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
3．如图，正方形的边长为3，以为一边作等边三角形，点在正方形内部，则点到的距离是（ ）
A．3 B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，若的面积为，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
7．在下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A． B．
C．， D．
8． 体育委员小聪要帮体育老师分析本班的跳远成绩，将各统计量计算好后却发现由于场地布置失误，导致每位同学的成绩都少记录了，则实际成绩与记录成绩相比（ ）
A．众数改变，方差改变 B．众数不变，平均数改变
C．中位数改变，方差不变 D．中位数不变，平均数不变
9．如图，若将上图正方形剪成四块，恰能拼成下图的矩形，设，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知正方形，E为边上的一点，连接，过点E作且，连接，以为边作正方形，设正方形的面积为S，则S的最小值为（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．综合实践活动课上，小亮将一张面积为6cm2，其中一边BC为4cm的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE（如图2），则矩形的周长为 ．
12．最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ．
13．如图所示，数轴上点A所表示的数是a，化简的结果为 ．
14．“方胜”是以两个菱形压角相叠而构成的几何图形或纹样，既寓意“双合同心”，又暗含“优胜、佳美”之意．如图是铜胎画珐琅山水图方胜盖盒，它由两个全等的正方形重叠而成，其中重叠部分也是正方形．已知该盖盒的长为（点A、B之间的距离），宽为（点C、D之间的距离），则重叠部分的正方形面积为 ．
15．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为，，于点B，且．连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是 ．
16．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当 时，以点为顶点的四边形为平行四边形．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在正方形ABCD纸片上有一点P，PA＝1，PD＝2，PC＝3．现将△PCD剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G重合，D与D重合）．求：
（1）线段PG的长；
（2）∠APD的度数．
18．2022年5月10日是中国共青团建团100周年的日子，习近平总书记勉励广大青年要用青春的能动力和创造力激荡起民族复兴的澎湃春潮，用青春的智慧和汗水打拼出一个更加美好的中国．为了让学生了解更多的共青团知识，某中学八年级举行了一次“团建知识竞赛”，为了了解本次竞赛情况，从中抽取了八年级一部分学生，对他们此次竞赛的成绩（得分取正整数，满分为100分）整理并绘制了统计图表，根据所给信息，回答下列问题：
所抽取的学生竞赛成绩分布表
成绩分组/分 频数 频率
5 0.125
12 0.30
m 0.40
7 n
（1）抽取的学生共有 人，并补全频数分布直方图 ；
（2）已知该校八年级有学生400人，若竞赛成绩不低于80分即可获奖，估计该校八年级学生本次竞赛获奖的人数．
19．圆圆想买一个蓝牙耳机，家边上数码城售卖的某款蓝牙耳机，原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价256元.
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）某电商平台“618”搞活动，同款蓝牙耳机原价是300元，现在7折优惠，包邮到家.同时，数码城按照前两次的平均降价率进行第三次降价.请问：圆圆选择哪种方式购买比较合算？请通过计算说明.
20．苏州某工厂生产一批小家电，2019年的出厂价是144元，2020年、2021年连续两年改进技术降低成本，2021年出厂价调整为100元.
（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降的百分率（精确到0.01%）.
（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，销售单价应为多少元？
21．如图，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，两条直线交于点 ，且分别与 轴交于点 、点 ．
（1）求 的面积；
（2）点 为线段 上一点，连接 ，若 ，求点 的坐标．
22．如图，是一个6×10的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）过A作AD//BC（D为格点），连接BD；求证：四边形ADBC是矩形；
（2）在图中画出AB的中点E，并求CE的长．
23．如图，在△ABC中， BC=a，AC=b，AB=c，若∠C为直角，如图1，则有结论： ；当∠C为锐角（如图2）或钝角（如图3）时，请你完成下列探究：
（1）分别猜想∠C为锐角或钝角这两种情况下与的大小关系；
（2）任选（1）中的一个猜想进行证明．
24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．
25．观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式：，验证：；
第2个等式：，验证：；
第3个等式：，验证：．
（1）请写出第4个等式，并验证；
（2）按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想．
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沪科版2024—2025学年八年级下册期末模拟冲刺满分卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率是，由题意得，
故答案为：A
【分析】设平均每次降价的百分率是，根据“某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元”即可列出一元二次方程，进而即可求解。
2．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等且垂直的四边形是正方形
B．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵“对角线相等且垂直的平行四边形是正方形”，∴A不正确，不符合题意；
B、∵“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，∴B不正确，不符合题意；
C、∵“一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形”，∴C不正确，不符合题意；、
D、∵“对角线相等的平行四边形是矩形”，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用正方形、菱形、矩形和平行四边形的判定方法逐项判断即可.
3．如图，正方形的边长为3，以为一边作等边三角形，点在正方形内部，则点到的距离是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】过点E作CD的垂线，垂足为F，如图：
∵正方形ABCD的边长为3，△DCE是等边三角形，
∴DE=CD=3，DF=CF=CD=，
在Rt△DEF中，由勾股定理可得：
EF=，
故答案为：.
【分析】先利用等边三角形的性质求出DE=CD=3，DF=CF=CD=，再利用勾股定理求出EF的长即可.
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】A、∵不是同类二次根式，∴A不正确；
B、∵，∴B正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：B.
【分析】利用同类二次根式的加减法及乘除法逐项判断即可.
5．如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，若的面积为，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 在 中， 为边上的中线，
∴AC=2BD=10，
由面积公式可得：，
故答案为：D.
【分析】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，结合三角形的面积公式求解。
6．函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． 且
C． 且 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意知： ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0，且分母不为0即可求解．
7．在下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A． B．
C．， D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
A、根据利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以推出四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、根据不能推出四边形是平行四边形，故B符合题意；
C、根据，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以推出四边形是平行四边形，故C不符合题意；
D、
∵，
又∵，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形.
8． 体育委员小聪要帮体育老师分析本班的跳远成绩，将各统计量计算好后却发现由于场地布置失误，导致每位同学的成绩都少记录了，则实际成绩与记录成绩相比（ ）
A．众数改变，方差改变 B．众数不变，平均数改变
C．中位数改变，方差不变 D．中位数不变，平均数不变
【答案】C
【解析】【解答】解：∵每位同学的成绩都少记录了，
∴实际成绩与记录成绩相比，众数增加，方差不变，平均数增加，中位数增加，
故答案为：C．
【分析】根据众数，方差，中位数和平均数所表示的意义进行判断即可．
9．如图，若将上图正方形剪成四块，恰能拼成下图的矩形，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得：正方形的边长为a+b，长方形的长为a+b+b，宽为b，
则（a+b）2=b(a+b+b)，即a2-b2+ab=0，
∴，
解得：，
∵＞0，
∴，
∴当a=1时，，
故答案为：B．
【分析】根据题意得：正方形的边长为a+b，长方形的长为a+b+b，宽为b，则（a+b）2=b(a+b+b)，即a2-b2+ab=0，可得出，根据＞0，得出，当a=1时，将其代入计算即可。
10．如图，已知正方形，E为边上的一点，连接，过点E作且，连接，以为边作正方形，设正方形的面积为S，则S的最小值为（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
【答案】B
【解析】【解答】解：过点F作交的延长线于点H，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
当时，最小，即最小，
此时，
∴，
∴最小值．
故答案为：B．
【分析】过点F作交的延长线于点H，根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，当时，最小，即最小，根据勾股定理可得DF，即可求出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．综合实践活动课上，小亮将一张面积为6cm2，其中一边BC为4cm的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE（如图2），则矩形的周长为 ．
【答案】11cm
【解析】【解答】解：延长AH交BC于点F，则AH⊥ED，AF⊥BC，
∵四边形BCDE是矩形，
∴CD=BE=FH=AH，
∵△ABC的面积=BC·AF=×4×AF=6，
∴AF=3，
∴FH=AH=CD=，
∴ 矩形的周长为 2（BC+CD）=2×（4+）=11cm，
故答案为：11cm.
【分析】延长AH交BC于点F，则AH⊥ED，AF⊥BC，由矩形的性质可得CD=BE=FH=AH，根据
△ABC的面积=BC·AF=×4×AF=6，可求出AF的长，从而得出CD的长，根据矩形的周长为 2（BC+CD）进行计算即可.
12．最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵二次根式与是同类二次根式，.
∴.
即x-1=2.
解得x=3.
故答案为：3.
【分析】二次根式与是同类二次根式，需要将 进行化简，化简以后，就能求出与他相同的一项.
13．如图所示，数轴上点A所表示的数是a，化简的结果为 ．
【答案】 a+1
【解析】【解答】解：由数轴得：a＜1，
∴a-1＜0，
∴a＜1，
∴
故答案为：-a+1.
【分析】利用数轴比较有理数大小得出a＜1，根据二次根式的性质根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0得绝对值等于0
14．“方胜”是以两个菱形压角相叠而构成的几何图形或纹样，既寓意“双合同心”，又暗含“优胜、佳美”之意．如图是铜胎画珐琅山水图方胜盖盒，它由两个全等的正方形重叠而成，其中重叠部分也是正方形．已知该盖盒的长为（点A、B之间的距离），宽为（点C、D之间的距离），则重叠部分的正方形面积为 ．
【答案】2.88
【解析】【解答】解：∵该盖盒的长为（点A、B之间的距离），宽为（点C、D之间的距离） ，设重叠正方形的对角线为x，
∴10+10-x=17.6，
∴x=2.4cm，
∴重叠正方形的面积为
故答案为：2.88.
【分析】根据正方形的性质知道正方形对角线相等，从而知道重叠正方的对角线，进而求出重叠正方形面积.
15．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为，，于点B，且．连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得CD=CB=1，AD=AE，
∵点A，B表示的数分别为0，2，
∴AB=2，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴，
∴，
∴E表示的数为：
，
故答案为：
.
【分析】先求出AB=2，再利用勾股定理求出AC的长，再利用线段的和差可得
，即可得到E表示的数为：
。
16．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当 时，以点为顶点的四边形为平行四边形．
【答案】或或
【解析】【解答】解：∵A（4，0），B（-3，2），C（0，2），
∴OA=4，BC=3，BC//x轴，
∵PC//AQ
∴当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，
①若时，BP=2t，
PC=3-2t，AQ=t，此时3-2t=t，解得t=1；
②若时，BP=2t，
PC=2t-3，AQ=t，此时2t-3=t，解得t=3；
③若时，BP=2t，
PC=2t-3，OQ=3(t-4)，AQ=4-3(t-4)，此时2t-3=4-3(t-4)，解得t=(舍去)；
④若t，BP＝2t，PC=2t-3， OQ=3(t-4)，AQ=3(t-4)-4，此时2t-3=3(t-4)-4，解得t=13；
综上所述，当t为1或3或13时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形；
故答案为：1或3或13.
【分析】
利用A、B、C的坐标可得到OA，BC，的长度，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断以点A，Q， C，P为顶点的四边形为平行四边形，分情况讨论：①若时，；②若；③若时；④若，然后分别解方程即可确定满足条件的t的值．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在正方形ABCD纸片上有一点P，PA＝1，PD＝2，PC＝3．现将△PCD剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G重合，D与D重合）．求：
（1）线段PG的长；
（2）∠APD的度数．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵PA＝1，PD＝2，PC＝3，
将△PCD剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G重合，D与D重合），
∴PD＝GD＝2，∠CDP＝∠ADG，AG＝PC＝3，
∴∠PDG＝∠ADC＝90°，
∴△PDG是等腰直角三角形，
∴∠GPD＝45°，PG＝PD＝2；
（2）解：由（1）知∠GPD＝45°，PG＝PD＝2，
∵AG＝PC＝3，AP＝1，
∴12+（2）2＝32，
∴AP2+PG2＝AG2，
∴∠GPA＝90°，
∴∠APD＝90°+45°＝135°．
【解析】【分析】（1）先求出 AD＝CD，∠ADC＝90°， 再求出 △PDG是等腰直角三角形， 最后求解即可；
（2）利用勾股定理计算求解即可。
18．2022年5月10日是中国共青团建团100周年的日子，习近平总书记勉励广大青年要用青春的能动力和创造力激荡起民族复兴的澎湃春潮，用青春的智慧和汗水打拼出一个更加美好的中国．为了让学生了解更多的共青团知识，某中学八年级举行了一次“团建知识竞赛”，为了了解本次竞赛情况，从中抽取了八年级一部分学生，对他们此次竞赛的成绩（得分取正整数，满分为100分）整理并绘制了统计图表，根据所给信息，回答下列问题：
所抽取的学生竞赛成绩分布表
成绩分组/分 频数 频率
5 0.125
12 0.30
m 0.40
7 n
（1）抽取的学生共有 人，并补全频数分布直方图 ；
（2）已知该校八年级有学生400人，若竞赛成绩不低于80分即可获奖，估计该校八年级学生本次竞赛获奖的人数．
【答案】（1）40；补全频数分布直方图如下：
（2）解：，
则（人），
答：估计该校八年级学生本次竞赛获奖的人数为230人．
【解析】【解答】解：(1)抽取的学生总人数为（人），
则，
【分析】（1）先求出，再求出即可作答；
（2）根据 该校八年级有学生400人， 计算求解即可。
19．圆圆想买一个蓝牙耳机，家边上数码城售卖的某款蓝牙耳机，原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价256元.
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）某电商平台“618”搞活动，同款蓝牙耳机原价是300元，现在7折优惠，包邮到家.同时，数码城按照前两次的平均降价率进行第三次降价.请问：圆圆选择哪种方式购买比较合算？请通过计算说明.
【答案】（1）解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：400（1-x）2=256，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）.
答：平均每次降价的百分率为20%.
（2）解：选择在数码城购买比较合算，理由如下：
在电商平台购买所需费用为300×0.7=210（元），
在数码城购买所需费用为256×（1-20%）=204.8（元）.
∵210＞204.8，
∴选择在数码城购买比较合算.
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：原来每只售价×（1-降低率）2=现在每只售价，设未知数，列方程求解即可.
（2）分别求出在电商平台购买所需费用和在数码城购买所需费用，再比较大小即可作出判断.
20．苏州某工厂生产一批小家电，2019年的出厂价是144元，2020年、2021年连续两年改进技术降低成本，2021年出厂价调整为100元.
（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降的百分率（精确到0.01%）.
（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，销售单价应为多少元？
【答案】（1）解：设平均下降的百分率为x，
依题意得：144（1-x）2=100，
解得：x1= ≈16.67%，x2= （不合题意，舍去）.
答：平均下降的百分率约为16.67%.
（2）解：设销售单价应为y元，
则每台的销售利润为（y-100）元，每天的销售量为20+ =（300-2y）台，
依题意得：（y-100）（300-2y）=1250，
整理得：y2-250y+15625=0，
解得：y1=y2=125.
答：销售单价应为125元.
【解析】【分析】（1）此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可；
（2） 设销售单价应为y元，根据每天的利润=每件小家电的利润×每天的销售数量列出方程，解方程求出y的值，即可求解.
21．如图，直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，两条直线交于点 ，且分别与 轴交于点 、点 ．
（1）求 的面积；
（2）点 为线段 上一点，连接 ，若 ，求点 的坐标．
【答案】（1）解：过点A作 轴于点 ，
由题意联立方程组 ，
解得： ，
∴ ，
∴ .
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点 作 轴于点 ，
设点 的横坐标为 ，
∵点D在直线AC上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
根据勾股定理 ，
∴ ，
整理得 ，
解得： ， （不合题意，舍去），
∴ ．
【解析】【分析】（1）过点A作 轴于点 ，由题意联立方程组，解之得出A的坐标，得出AE的值，即得出x的值，由此得出 的面积；
（2）过点 作 轴于点 ，设点 的横坐标为 ，在 中， ，根据勾股定理得出m的值，即可得出D的坐标。
22．如图，是一个6×10的正方形网格（每个小正方形的边长均为1），点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）过A作AD//BC（D为格点），连接BD；求证：四边形ADBC是矩形；
（2）在图中画出AB的中点E，并求CE的长．
【答案】（1）如图所示，过A作AD∥BC（D为格点），连接BD，
证明：由题可得，BC＝ ，AC＝2 ，AB＝ ＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠C＝90°，即BC⊥AC．
又∵AD＝ ，AD∥BC，
∴四边形ADBC是平行四边形，
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形ADBC是矩形；
（2）如图，点E即为所求；
∵E是AB的中点，∠C＝90°，
∴CE＝ AB＝ ．
【解析】【分析】（1）依据有一个角为直角的平行四边形是矩形，进行判断即可；
（2）依据E是AB的中点，∠C＝90°，即可得出CE＝ AB＝ 。
23．如图，在△ABC中， BC=a，AC=b，AB=c，若∠C为直角，如图1，则有结论： ；当∠C为锐角（如图2）或钝角（如图3）时，请你完成下列探究：
（1）分别猜想∠C为锐角或钝角这两种情况下与的大小关系；
（2）任选（1）中的一个猜想进行证明．
【答案】（1）解：猜想：若∠C为锐角时，>
若∠C为钝角时，．
（2）解：当∠C为锐角时，；证明如下：
如图，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x，则BD=，
在直角三角形ACD中，，
在直角三角形ABD中，，
∴，即．
∵>0，x>0，
∴
当∠C为钝角（如图）时，，证明如下：
如图，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点M，设，则，
在直角三角形ACM中，，
在直角三角形ABM中，，
∴，即．
∵>0，>0，
∴<．
【解析】【分析】（1）根据题意直接猜想：若∠C为锐角时，> ； 若∠C为钝角时，；
（2）分两种情况：当∠C为锐角时，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x，则BD=，根据勾股定理可得，，所以，再化简可得；当∠C为钝角时，根据勾股定理可得，，所以，再化简可得<。
24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△DFO和△BEO中，，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE=OF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，
∵EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵△BEC的周长是10，
∴BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，
∴平行四边形ABCD的周长=2（BC+AB）=20．
【解析】【分析】（1）先利用“ASA”证明△DFO≌△BEO可得OE=OF；
（2）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，OA=OC，再结合△BEC的周长是10，可得BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10，最后利用平行四边形的性质可得平行四边形ABCD的周长=2（BC+AB）=20。
25．观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式：，验证：；
第2个等式：，验证：；
第3个等式：，验证：．
（1）请写出第4个等式，并验证；
（2）按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想．
【答案】（1）解：第4个等式：
验证：
（2）第个等式：
验证：
【解析】【分析】（1）根据已知等式找出规律直接写出等式并验证即可；
（2）根据已知等式找出规律：第个等式：，再验证即可.
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