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【决战期末·50道综合题专练】沪科版七年级下册期末数学试卷
1．【问题背景】
嘉洪所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．
素材2 若该商店开展甲、乙两种促销方案：甲方案：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知嘉淇在此之前不是该商店的会员）；乙方案：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
【问题解决】
（1）该商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？
（2）嘉淇计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个，求m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？
2．为全面落实乡村振兴总要求，吉首市某乡计划试种植猕猴桃树和蓝莓树共100棵．若种植40棵猕猴桃树，60棵蓝莓树共需投入成本9600元；若种植40棵蓝莓树，60棵猕猴桃树共需投入成本10400元．
（1）求猕猴桃和蓝莓树每棵各需投入成本多少元？
（2）若猕猴桃的种植棵数不少于蓝莓树的，且总成本投入不超过9710元，问：共有几种种植方案？
3．中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市场之一．而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展．其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1800里远的城市，所需时间比规定时间多3天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．
4．《成都市新能源和智能网联汽车产业发展规划（2023﹣2030年）》于2023年6月25日印发实行，“规划”中提到要积极开展新能源物流车、网约车推广，逐步完成公务车、公交车、出租车等领域的全面电动化转型．青白江区内的国际铁路港综合保税区某汽车品牌店积极实施该规划，销售A，B两种型号的新能源汽车，第一周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；第二周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价；
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？
5．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？
6．
（1）解方程：；
（2）已知≠0，求代数式 （a﹣2b）的值．
7．我们要学会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界．例如生活经验：
（1）往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．这一生活经验可以转译成数学问题：a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（b＞a＞0），再往杯中加入m（m＞0）克糖，此时糖水的含糖量变大了，
①用数学关系式可以表示为 ▲ ；
A． B． C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．
（2）再如：矩形的面积为S（S为定值），设矩形的长为x，则宽为，周长为2，当矩形为正方形时，周长为，“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，
①用数学关系式可以表示为 ▲ ；
A． B． C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．（友情提示：，）
8．已知．
（1）求的值；
（2）化简并求值：．
9．如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点.
（1）如图1，若∠BAE＝30°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
如图1，若∠BAE＝α，∠DCE＝β，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由.
10．甲、乙两同学从家到学校的距离之比是 ，甲同学的家与学校的距离为 米，甲同学乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知公交车速度是乙同学骑自行车速度的 倍，甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到 分钟．
（1）求乙同学的家与学校的距离为多少米？
（2）求公交车的速度．
11．如图，沿直线l向右平移3 cm，得到，且 cm，．
（1）求BE的长．
（2）求的度数．
12．图①所示是边长为 的大正方形中有一个边长为 的小正方形.图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形.
（1）设图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，请用含 的式子表示： ， ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 ；
（3）利用（2）中得到的公式，计算： .
13．已知： ，
求：
（1）
（2）
14．[学习材料]拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法。如：
例1、分解因式：x4+4y4
解：原式=x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2
=(x2+2y2)2-4x2y2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy)
例2、分解因式：x3+5x-6
解：原式=x3-x+6x-6=x(x2-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+x+6)
我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如
例3、把多项式a2+b2+4a-6b+13写成A2+B2的形式．
解：原式=a2+4a+4+b2-6b+9=(a+2)2+(b-3)2
[知识应用]请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：x2+2x-8=
（2）分解因式：x4+4=
（3）关于x的二次三项式x2-20x+111在x= 时，有最小值；
（4）已知M=x2+6x+4y2-12y+m(x-y均为整数，m是常数)，若M恰能表示成A2+B2的形式，求m的值．
15．六一儿童节来临之际，某商店用3000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．
（1）求第一次每件的进价为多少元？
（2）若两次购进的玩具售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？
16．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1： ；
方法2： ．
（2）从中你能发现什么结论，请用等式表示出来： ；
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：若，，求的值．
17．据中国汽车工业协会统计分析，近年来中国新能源汽车产业发展迅猛，因其节能环保、经济实用，市场占有率持续提升，为了节省运营成本，某出租汽车公司近期计划将一批燃油车更换为新能源汽车，据了解，甲型新能源汽车比乙型新能源汽车的单价高1万元，购买2辆甲型新能源汽车和3辆乙型新能源汽车共需47万元．
（1）求甲型、乙型两种新能源汽车的单价．
（2）该公司决定本次购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过960万元，那么该公司最多购买甲型新能源汽车多少辆？
18．随着国民经济的持续发展，高铁以高效便捷、安全可靠的优势逐渐成为支撑我国运输事业发展的关键，也给市民出行带来了很大的便利．现有一项高铁工程，其中某段计划由甲、乙两个工程队共同承担完成，其中甲工程队单独完成这项工作需120天．若甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合作，两队又共同工作了36天才完成任务．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）由于某种原因，甲工程队先单独用60天完成了工程的一部分，剩下的部分由乙工程队完成，那么乙工程队又干了多少天？
19．某校为落实《青少年体育活动促进计划》，为学生“每天体育锻炼1小时”创造更好的条件，计划从体育用品店购进一批足球、篮球和排球．已知同一种球单价相同，一个排球单价为80元，若购买3个足球和2个排球共需400元，购买2个足球和3个篮球共需610元．
（1）求购买一个足球、一个篮球和一个排球共需多少元？
（2）学校根据需求计划从体育用品店一次性购买三种球共100个，且购买的三种球的费用不超过12000元，求该学校最多可以购买多少个篮球？
20．
（1）如图甲，，与的关系是什么？并写出推理过程；
（2）如图乙，，直接写出与的数量关系 ；
（3）如图丙，，直接写出与的数量关系 ．
21．某校准备卫生室物资时需购买A、B两种抑菌免洗洗手液，若购买A种免洗液2瓶和B种免洗液3瓶，共需90元；若购买A种免洗液3瓶和B种免洗液5瓶，共需145元．
（1）求A、B两种免洗液每瓶各是多少元？
（2）学校计划购买A、B两种免洗液共1000瓶，则至少购买多少瓶A种免洗液，购买费用不超过17000元？
22．为迎接省“义务教育均衡发展验收”，某广告公司承担了制作宣传牌任务，安排甲、乙两名工人制作，由于乙工人采用了新式工具，其工作效率比甲工人提高了20％，同样制作30个宣传牌，乙工人比甲工人节省了一天时间：
（1）求甲乙两名工人每天各制作多少个宣传牌
（2）现在需要这两名工人合作完成44个宣传牌制作任务，应如何分配，才能让两名工人同时完成任务
23．解不等式组：
请结合题意填空，完成本题的解题.
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 .
24．滨湖路是运城盐湖生态文化旅游南山片区串联滨湖各个功能的景观大道，是市民游憩、健身、出行的绿色廊道，可承担国家级马拉松、竞走、自行车等体育赛事，某绿化公司对其中一段长2400米的路边进行绿化，绿化800米后，为了尽快完成任务，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用26天完成绿化任务．
（1）求原计划每天绿化多少米？
（2）该绿化公司原来每天支付给工人的工资总额为1500元，为了完成整个工程后总共支付工人工资总额不超过43800元，求提高工作效率后每天支付给工人的工资总额最多可增长多少元？
25．某书店购进，两种文件夹共350个，合计4800元，已知种文件夹的进价为12元/个，种文件夹的进价为15元/个．
（1）请问购进了，两种文件夹各多少个？
（2）在销售过程中，，两种文件夹的标价分别为20元/个，25元/个．受市场的影响，两种文件夹按标价各卖出个以后，该店进行促销活动，剩余的种文件夹按标价的七折全部售出，剩余的种文件夹按成本价清货，若销售两种文件夹的总利润不少于2348元，请求出的最小值．
26．如图所示，已知射线，，、在上，且满足，平分，根据上述条件，解答下列问题：
（1）证明：；
（2）求的度数；
（3）若平行移动，那么的值是否随之变化？若不变，求出这个比值；若变化，请说明理由．
27．如图，AD是△ABC的角平分线，M是BC的中点，FM∥AD交BA的延长线于点F，交AC于点E．求证：
（1）CE=BF．
（2）AB+AC=2CE．
28．如图1是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边，两个小正方形的边长分别是a、b．
（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图2）．用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：
方法一： ；
方法二： ；（直接把答案填写在答题卡的横线上）
（2）观察图2，试写出，，，这四个代数式之间的等量关系： ．（直接把答案填写在答题卡的横线上）
（3）请利用（2）中等量关系解决问题：若图1中一个三角形面积是6，图2的大正方形面积是64，求的值．
29．在抗击疫情期间，某社区准备购买酒精和消毒液两种消毒物资供居民使用．第一次购买酒精20瓶，消毒液20瓶，共花费300元；第二次购买酒精15瓶，消毒液40瓶，共花费350元．
（1）分别求出每瓶酒精和消毒液的价格；
（2）若要购买60瓶这两种消毒物资，设购买酒精x瓶，这两种消毒物资的总费用为y元，求y与x的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，若要求购买酒精的数量不少于消毒液数量的2倍，求总费用y的最小值．
30．为鼓励学生参加体育锻炼，学校体育组准备购买一批篮球和排球．已知篮球的单价比排球的单价多15元/个，买2个排球和3个篮球一共需要220元．
（1）篮球和排球的单价分别是多少元？
（2）体育组购买的篮球和排球总数量是36个，其中篮球的数量比排球的2倍还多，购买总资金不超过1700元，有几种购买方案？
31．如图①，数轴上的点A、B分别表示数a、b，则点A、B（点B在点A的右侧）之间的距离表示为AB＝b﹣a，若点C对应的数为c，满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．
（1）写出AC的值 ．
（2）如图②，点D在点C的右侧且距离m（m＞0）个单位，点B在线段AC上，满足AB+AC＝BD，求AB的值（用含有m的代数式表示）．
（3）如图③，若点D在点C的右侧6个单位处，点P从点A出发以2个单位/秒的速度向右运动，同时点M从点C出发以1个单位/秒的速度也向右运动，当到达D点后以原来的速度向相反的方向运动．求经过多长时间，点P和点M之间的距离是2个单位？
32．已知，，试求：
（1）；
（2）
33．数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思想解决下面问题：
图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完成相同的小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式，，ab写出这个等式 ．
（2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值．
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
34．洪崖洞是重庆的网红打卡地，在该景点有一旅游纪念品专卖店，最近一款印有洪崖洞3D图案的书签销售火爆，该专卖店第一次用800元购进这款书签，很快售完，又花1400元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了0.5元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．
（1）求该商店两次购进这款书签各多少个？
（2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于季节的影响，游客量减少，专卖店决定将剩下的书签打八折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于2472元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？
35．如图所示：已知，，在数轴上的位置．
（1）化简代数式：；
（2）若的绝对值的相反数是，的倒数是它本身，，求（1）中代数式的值．
36．如图，大小两个正方形边长分别为a、b．
（1）用含a、b的代数式阴影部分的面积S；
（2）如果a+b=7，ab=5，求阴影部分的面积．
37．体育锻炼有利于青少年的生长发育，提高免疫力．某学校为了鼓励学生多锻炼，准备购买足球和排球两种体育器材，已知1个排球的价格是1个足球价格的2倍，用2600元单独购买排球的数量比用1222元单独购买足球的数量要多3个．
（1）排球和足球每个的价格各是多少元？
（2）如果该学校计划购买足球的个数比购买排球的个数的2倍多20个，且用于购买排球和足球的总经费不超过5720元，那么该学校最多可以购买多少个足球？
38．解不等式（组）：
（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
39．根据如表素材，探索完成任务．
背景 为了迎接年五一劳动节，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品．
素材1 若买杯A款咖啡，杯B款咖啡需元；若买杯A型咖啡，8杯B型咖啡需元．
素材2 为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华怡好用了元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的．
问题解决
任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡共杯（两种都要），总费用不超过元，最多可以买多少杯B款咖啡？
任务3 求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯？
40．“江畔”礼品店在十一月份从厂家购进甲、乙两种不同礼品．购进甲种礼品共花费1500元，购进乙种礼品共花费1050元，购进甲种礼品数量是购进乙种礼品数量的2倍，且购进一件乙种礼品比购进一件甲种礼品多花20元．
（1）求购进一件甲种礼品、一件乙种礼品各需多少元；
（2）元旦前夕，礼品店决定再次购进甲、乙两种礼品共50个．恰逢该厂家对两种礼品的价格进行调整，一件甲种礼品价格比第一次购进时提高了20%，一件乙种礼品价格比第一次购进时降低了5元．如果此次购进甲、乙两种礼品的总费用不超过3100元，那么这家礼品店最少可购进多少件甲种礼品？
41．如图，点 A，C 是数轴上的点，点 A 在原点，AC＝8．动点 P，Q 分别从 A，C 出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度．
设运动时间为t秒（t＞0），解答下列问题：
（1）点C表示的数是 ；点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ．（点P，点 Q 表示的数用含 t 的式子表示）
（2）若点 M 是 AP 的中点，点 N 是 CQ 的中点，求 MN 的长．
（3）直接写出t为何值时，点P与点Q相距4个单位长度．
42．好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： x 2x 3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为 ．
（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为 ．
（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020= ．
43．
（1）若规定一种运算：a*b=ab+b2÷a，求3xy*x3y2的值．
（2）计算（3+1）（32+1）（34+1）...（316+1）．
44．如图， ， .点 是射线 上一动点（与点 不重合）， 平分 交 于点 ， 平分 交 于点 .
（1）求 的度数.
（2）求 的度数.
（3）当点 运动时， 与 之间的数量关系是否随之发生变化？若变化，请写出变化规律；若不变化，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.
45．先阅读下面的解题过程，再解答问题：
如图①，已知ABCD，∠B＝40°，∠D＝30°，求∠BED的度数．
解：过点E作EFAB，则ABCDEF．
因为EFAB，所以∠1＝∠B＝40°
又因为CDEF，所以∠2＝∠D＝30°
所以∠BED＝∠1+∠2＝40°+30°＝70°．
如图②是小军设计的智力拼图玩具的一部分，现在小军遇到两个问题，请你帮他解决：
（1）如图②∠B＝45°，∠BED＝75°，为了保证ABCD，∠D必须是多少度？请写出理由．
（2）如图②，当∠G、∠GFP、∠P满足什么关系时，GHPQ，请写出满足关系的式子，并说明理由．
46．某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元.
（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？
（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？
47．如图1，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线于点M，且．
（1）求证：；
（2）点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设．
①如图2，当点G在点F的右侧时，若，求的值；
②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．
48．已知 ，其中a，b，c是常数，且 .
（1）当 时，求a的范围.
（2）当 时，比较b和c的大小.
（3）若当 时， 成立，则 的值是多少？
49．某公路自行车世界巡回赛开赛，有来自世界各地的多支顶级车队参赛，在本次赛事上，组委会把若干翻译志愿者分配给各车队.若每支车队分配3人，则剩余12人，若每支车队分配4人，则还缺8人.
（1）请问一共有几支车队参赛？
（2）若每支参赛车队均有a名选手参赛（a≥5）；组委会给每位参赛车手提供两张号码布和一个电子计时芯片，现有两家供应商提供了如下报价：
号码布设计费 号码布制作费 电子计时芯片费用
甲供应商 200元 2.5元/张 45元/个
乙供应商 免费设计 3元/张 50元/个（购买数量超过100个时，超出部分打八折
①请用含a的式子分别表示甲、乙两家供应商所需的费用；
②请你说明组委会选择哪个供应商比较省钱.
50．
（1）如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠EPF＝55°，求∠PFC的度数；
（2）如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，那么∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由：
（3）【联想拓展】
如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝60°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．
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【决战期末·50道综合题专练】沪科版七年级下册期末数学试卷
1．【问题背景】
嘉洪所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．
素材2 若该商店开展甲、乙两种促销方案：甲方案：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知嘉淇在此之前不是该商店的会员）；乙方案：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
【问题解决】
（1）该商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？
（2）嘉淇计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个，求m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？
【答案】（1）A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元；
（2）购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，甲方案购买更合算．
2．为全面落实乡村振兴总要求，吉首市某乡计划试种植猕猴桃树和蓝莓树共100棵．若种植40棵猕猴桃树，60棵蓝莓树共需投入成本9600元；若种植40棵蓝莓树，60棵猕猴桃树共需投入成本10400元．
（1）求猕猴桃和蓝莓树每棵各需投入成本多少元？
（2）若猕猴桃的种植棵数不少于蓝莓树的，且总成本投入不超过9710元，问：共有几种种植方案？
【答案】（1）猕猴桃每棵需投入成本120元，蓝莓树每棵需投入成本80元
（2）共有5种种植方案
3．中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市场之一．而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展．其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到1800里远的城市，所需时间比规定时间多3天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．
【答案】9天
4．《成都市新能源和智能网联汽车产业发展规划（2023﹣2030年）》于2023年6月25日印发实行，“规划”中提到要积极开展新能源物流车、网约车推广，逐步完成公务车、公交车、出租车等领域的全面电动化转型．青白江区内的国际铁路港综合保税区某汽车品牌店积极实施该规划，销售A，B两种型号的新能源汽车，第一周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；第二周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价；
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？
【答案】（1）每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；
（2）共有2种购车方案．方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；方案二：购买3辆A型车和3辆B型车
5．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？
【答案】（1）解：设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．
（2）解：设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的最大值为87；
答：最多购进87个甲种粽子．
【解析】【分析】（1） 设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元 ，根据“ 购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”列出方程并解之即可；
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个， 根据总金额不超过1150元， 列出不等式，求出其最大整数解即可.
6．
（1）解方程：；
（2）已知≠0，求代数式 （a﹣2b）的值．
【答案】（1）解：∵，
∴2x=3x-9，
∴x=9，
经检验，x=9是原方程的解．
（2）解：∵≠0，
设a=2x，b=3x，
原式=
=
=
=
【解析】【分析】（1）利用分式方程的解法求解并检验即可；
（2）先设a=2x，b=3x，再利用分式的混合运算化简，最后将a、b的值代入计算即可。
7．我们要学会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界．例如生活经验：
（1）往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．这一生活经验可以转译成数学问题：a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（b＞a＞0），再往杯中加入m（m＞0）克糖，此时糖水的含糖量变大了，
①用数学关系式可以表示为 ▲ ；
A． B． C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．
（2）再如：矩形的面积为S（S为定值），设矩形的长为x，则宽为，周长为2，当矩形为正方形时，周长为，“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，
①用数学关系式可以表示为 ▲ ；
A． B． C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．（友情提示：，）
【答案】（1）解：①A；
②证明：＝＝＝，
∵m＞0，b＞a＞0，
∴b﹣a＞0，
∴＞0，
∴成立．
（2）解：①A；
②证明：＝＝
＝＝，
∵≥0，
∴≥，
∴成立
【解析】【解答】解：（1）①由题意可知用数学关系式可以表示为：.
故答案为：A.
【分析】（1）①根据含糖量=结合含糖量变大了进行解答；
②＝，根据m＞0，b＞a＞0可得b-a＞0，据此证明；
（2）①根据矩形的周长≥正方形的周长进行解答；
②＝＝=，然后结合偶次幂的非负性进行解答.
8．已知．
（1）求的值；
（2）化简并求值：．
【答案】（1）解：，
；
（2）解：，
，
，
，
，
将代入得：原式
．
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式可得a2-4a+4=(a-2)2，然后将a的值代入计算即可；
（2）根据平方差公式、二次根式的性质对代数式进行化简可得a-1+，然后将a的值代入计算即可.
9．如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点.
（1）如图1，若∠BAE＝30°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；
如图1，若∠BAE＝α，∠DCE＝β，则∠AEC＝ ；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）50°；α+β
（2）解：如图2，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）解：2∠AFC+∠AEC＝360°，
理由如下：
由（1）可得∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，
由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°.
【解析】【解答】解：（1）如图1，过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠AEM＝∠BAE，∠CEM＝∠DCE，
∵∠AEC＝∠AEM+∠CEM，
当∠BAE＝30°，∠DCE＝20°时，
∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE＝30°+20°＝50°；
当∠BAE＝α，∠DCE＝β时，
∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE＝α+β.
故答案为：50°，α+β；
【分析】（1）过点E作EM∥AB，则MN∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM＝∠BAE，∠CEM＝∠DCE，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE，据此解答；
（2）过点E作EG∥AB，则AB∥CD∥EG，根据平行线的性质可得∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，据此解答；
（3）由（1）可得∠AFC＝∠BAF+∠DCF，根据角平分线的概念可得∠BAE=2∠BAF，∠DCE=2∠DCF，则∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，由（2）可知∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，据此解答.
10．甲、乙两同学从家到学校的距离之比是 ，甲同学的家与学校的距离为 米，甲同学乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知公交车速度是乙同学骑自行车速度的 倍，甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到 分钟．
（1）求乙同学的家与学校的距离为多少米？
（2）求公交车的速度．
【答案】（1） 甲、乙两同学从家到学校的距离之比是 ，甲同学的家与学校的距离为 米，
乙同学的家与学校的距离 （米），
答：乙同学的家与学校的距离为 米；
（2）设乙同学骑自行车的速度为 米/分，则公交车的速度为 米/分．
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是方程的根．
，
答：公交车的速度为 米/分．
【解析】【分析】（1）根据题意列出乙同学的家与学校的距离的算式，进行计算即可；
（2） 设乙同学骑自行车的速度为x米/分，得出公交车的速度为2x米/分，根据题意列出分式方程，求出分式方程的解，即可求解.
11．如图，沿直线l向右平移3 cm，得到，且 cm，．
（1）求BE的长．
（2）求的度数．
【答案】（1）解：由平移知， ．
∵ ，
∴ （cm）
（2）解：由平移知， ，
∴
【解析】【分析】（1）根据平移的性质：平移前后的两个图形的对应线段平行且相等，即可得到结论；
（2）根据平移的性质：对应角相等得到答案即可．
12．图①所示是边长为 的大正方形中有一个边长为 的小正方形.图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形.
（1）设图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ，请用含 的式子表示： ， ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 ；
（3）利用（2）中得到的公式，计算： .
【答案】（1）；
（2）
（3）解：
．
【解析】【解答】解：（1）大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，
故图1阴影部分的面积值为a2-b2；
图2长方形的长和宽分别为（a+b）、（a-b），
故图2重拼的长方形的面积为（a+b）（a-b）；
故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b）；
（2）比较上面的结果，都表示同一阴影的面积，它们相等，
即（a+b）（a-b）=a2-b2，可以验证平方差公式，这也是平方差公式的几何意义；
故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；
【分析】（1）图1阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，图2长方形的面积=长×宽，据此解答即可；
（2）根据阴影部分的面积相等即得结论；
（3）将原式变形为，然后利用平方差公式计算即可.
13．已知： ，
求：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ =xy（x+y）=18．
（2）解：∵ ， ，
∴ = =9-24=-15．
【解析】【分析】（1）先提取公因式xy，然后把 ， 代入计算即可；（2）根据完全平方公式把 变形为 ，然后把 ， 代入计算即可．
14．[学习材料]拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样的分解因式的方法称为拆项添项法。如：
例1、分解因式：x4+4y4
解：原式=x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2
=(x2+2y2)2-4x2y2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy)
例2、分解因式：x3+5x-6
解：原式=x3-x+6x-6=x(x2-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+x+6)
我们还可以通过拆项对多项式进行变形，如
例3、把多项式a2+b2+4a-6b+13写成A2+B2的形式．
解：原式=a2+4a+4+b2-6b+9=(a+2)2+(b-3)2
[知识应用]请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：x2+2x-8=
（2）分解因式：x4+4=
（3）关于x的二次三项式x2-20x+111在x= 时，有最小值；
（4）已知M=x2+6x+4y2-12y+m(x-y均为整数，m是常数)，若M恰能表示成A2+B2的形式，求m的值．
【答案】（1）（x+4）（x-2）
（2）（x2+2+2x）（x2+2-2x）
（3）10
（4）解：
∵若M恰能表示成 A2+B2的形式，∴m-18＝0，∴m＝18。
【解析】【解答】解：（1） x2+2x-8
=x2+2x+1-1-8
= (x+1)2-9
= (x+1+3) (x+1-3 )
=(x+4)(x-2).
故答案为：（x+4）（x-2） .
（2）x4+4
=x4+4+4x2-4x2
= ( x2+2）2-4x2
= (x2+2+2x) (x2+2-2x) .
故答案为： (x2+2+2x) (x2+2-2x) .
（3） ∵x2- 20x+111
.=x2- 20x+ 100- 100+111
= (x-10) 2+11，
∴当x=10时，有最小值.
故答案为： 10.
【分析】（1）原式可变形为x2+2x+1-9，利用完全平方公式对前三项进行分解，然后再利用平方差公式进行分解；
（2）原式可变形为(x2+2)2-4x2，然后利用平方差公式进行分解；
（3）原式可化为(x-10)2+11，据此解答；
（4）同理可得M=(x+3)2+(2y-3)2+m-18，由M恰能表示成A2+B2的形式可得m-18=0，求解可得m的值.
15．六一儿童节来临之际，某商店用3000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件．
（1）求第一次每件的进价为多少元？
（2）若两次购进的玩具售价均为70元，且全部售完，求两次的总利润为多少元？
【答案】（1）第一次每件的进价为50元；（2）两次的总利润为1700元．
16．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．
方法1： ；
方法2： ．
（2）从中你能发现什么结论，请用等式表示出来： ；
（3）利用（2）中结论解决下面的问题：若，，求的值．
【答案】（1）a2+b2；（a+b）2-2ab
（2）a2+b2=（a+b）2-2ab
（3）解：由（2）可得a2+b2=（a+b）2-2ab=4 -2×2=12
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：方法1：a2+b2 ；方法2：（a+b）2-2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2-2ab；
（2）a2+b2=（a+b）2-2ab，
故答案为：a2+b2=（a+b）2-2ab；
【分析】（1）利用正方形的面积公式求解和割补法求解即可；
（2）根据（1）即可得到等式a2+b2=（a+b）2-2ab ；
（3）将
，代入
计算即可。
17．据中国汽车工业协会统计分析，近年来中国新能源汽车产业发展迅猛，因其节能环保、经济实用，市场占有率持续提升，为了节省运营成本，某出租汽车公司近期计划将一批燃油车更换为新能源汽车，据了解，甲型新能源汽车比乙型新能源汽车的单价高1万元，购买2辆甲型新能源汽车和3辆乙型新能源汽车共需47万元．
（1）求甲型、乙型两种新能源汽车的单价．
（2）该公司决定本次购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过960万元，那么该公司最多购买甲型新能源汽车多少辆？
【答案】（1）甲型新能源汽车的单价为10万元，乙型新能源汽车的单价为9万元
（2）该公司最多购买甲型新能源汽车60辆
18．随着国民经济的持续发展，高铁以高效便捷、安全可靠的优势逐渐成为支撑我国运输事业发展的关键，也给市民出行带来了很大的便利．现有一项高铁工程，其中某段计划由甲、乙两个工程队共同承担完成，其中甲工程队单独完成这项工作需120天．若甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合作，两队又共同工作了36天才完成任务．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）由于某种原因，甲工程队先单独用60天完成了工程的一部分，剩下的部分由乙工程队完成，那么乙工程队又干了多少天？
【答案】（1）乙工程队单独完成这项工作需要80天完成
（2）乙工程队又干了40天
19．某校为落实《青少年体育活动促进计划》，为学生“每天体育锻炼1小时”创造更好的条件，计划从体育用品店购进一批足球、篮球和排球．已知同一种球单价相同，一个排球单价为80元，若购买3个足球和2个排球共需400元，购买2个足球和3个篮球共需610元．
（1）求购买一个足球、一个篮球和一个排球共需多少元？
（2）学校根据需求计划从体育用品店一次性购买三种球共100个，且购买的三种球的费用不超过12000元，求该学校最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）解：∵一个排球单价为80元， 3个足球和2个排球共需400元，
设一个足球x元，列出方程：，解得，
∵购买2个足球和3个篮球共需610元，
设一个篮球y元，列出方程：，解得，
元，
答：购买一个足球、一个篮球和一个排球共需310元．
（2）解：设学校最多可以购买z个篮球，足球和排球共（100－z）个
根据题意列出不等式：，
解得，
∵z为整数，
∴z取满足条件的最大整数57；
答：该学校最多可以购买57个篮球．
【解析】【分析】（1）设一个足球x元，列出方程：，解得，设一个篮球y元，列出方程：，解得，再计算即可；
（2）设学校最多可以购买z个篮球，足球和排球共（100－z）个，根据题意列出不等式求解即可。
20．
（1）如图甲，，与的关系是什么？并写出推理过程；
（2）如图乙，，直接写出与的数量关系 ；
（3）如图丙，，直接写出与的数量关系 ．
【答案】（1）解：∠BEC＝∠1+∠3．
理由如下：过点E作EF∥AB，如图甲，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝∠1，∠CEF＝∠3，
∴∠BEC＝∠BEF+∠CEF＝∠1+∠3；
（2）∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5
（3）∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7
【解析】【解答】（2）如图：
分别过点E，G，M，作EF//AB，GH//AB，MN//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EF//GH//MN，
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5，
∴∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5，
（3）如图：
分别过点E、G、M、K、P作EF//AB，GH//AB，MN//AB，KL//AB，PQ//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EF//GH//MN//KL//PQ，
∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7，
∴∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7，
故答案为：∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7.
【分析】利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得答案。
21．某校准备卫生室物资时需购买A、B两种抑菌免洗洗手液，若购买A种免洗液2瓶和B种免洗液3瓶，共需90元；若购买A种免洗液3瓶和B种免洗液5瓶，共需145元．
（1）求A、B两种免洗液每瓶各是多少元？
（2）学校计划购买A、B两种免洗液共1000瓶，则至少购买多少瓶A种免洗液，购买费用不超过17000元？
【答案】（1）A、B两种免洗液每瓶各是15元，20元
（2）600瓶
22．为迎接省“义务教育均衡发展验收”，某广告公司承担了制作宣传牌任务，安排甲、乙两名工人制作，由于乙工人采用了新式工具，其工作效率比甲工人提高了20％，同样制作30个宣传牌，乙工人比甲工人节省了一天时间：
（1）求甲乙两名工人每天各制作多少个宣传牌
（2）现在需要这两名工人合作完成44个宣传牌制作任务，应如何分配，才能让两名工人同时完成任务
【答案】（1）解：设甲工人每天制作x个宣传牌，则乙工人每天制(1+20%)x=1.2x个，由题意得
解得x=5
经检验x=5是原方程的解且符合题意
∴1.2x=6
答：甲工人每天制作5个宣传牌，乙工人每天制作6个.
（2）解：设甲完成a个宣传牌，则乙完成（44-a）个宣传牌，
由题意得： ，
解得：a=20，
44-a=24，
答：给甲分配制作20个，乙制作24个 ，才能让两名工人同时完成任务.
故答案为：(1)甲工人每天制作5个宣传牌，乙工人每天制作6个；(2)给甲分配制作20个，乙制作24个.
【解析】【分析】（1）设甲工人每天完成x个宣传牌，则乙工人每天完成1.2x个宣传牌，根据完成30个宣传牌工作，乙工人比甲工人节省了一天时间列出方程解答即可；
（2）根据（1）中求得的数据，设甲完成a个宣传牌，则乙完成（44-a）个宣传牌，根据所用时间相等列出方程解答即可.
23．解不等式组：
请结合题意填空，完成本题的解题.
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 .
【答案】（1）x≥-2
（2）x＜3
（3）解：根据不等式的解集在数轴上的表示方法，数轴表示如下：
（4）-2≤x＜3
【解析】【解答】解：（1）解不等式①：
去括号得：
移项，合并同类项：x≥-2
所以：x≥-2
（2）解不等式②：
两边同时乘2：
移项，合并同类项：x＜3
所以：x＜3
（4）因此得到不等式的解集为-2≤x＜3
【分析】（1）去括号，然后合并同类项，求解不等式①即可；（2）不等式两边同时乘2，然后合并同类项，求解不等式②即可；（3）根据不等式的解集在数轴上的表示方法，在数轴上表示出不等式①和②的解集即可；（4）根据所表示的数轴，得到不等式的解集.
24．滨湖路是运城盐湖生态文化旅游南山片区串联滨湖各个功能的景观大道，是市民游憩、健身、出行的绿色廊道，可承担国家级马拉松、竞走、自行车等体育赛事，某绿化公司对其中一段长2400米的路边进行绿化，绿化800米后，为了尽快完成任务，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用26天完成绿化任务．
（1）求原计划每天绿化多少米？
（2）该绿化公司原来每天支付给工人的工资总额为1500元，为了完成整个工程后总共支付工人工资总额不超过43800元，求提高工作效率后每天支付给工人的工资总额最多可增长多少元？
【答案】（1）解：设原计划每天植树造林x米，则提速后每天植树造林米，
依题意得：
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天绿化80米．
（2）解：设提高工作效率后每天支付给工人的工资可增长y元，
依题意得：
解得：
答：提高工作效率后每天支付给工人的工资总额最多可增长300元．
【解析】【分析】（1）设原计划每天植树造林x米，则提速后每天植树造林米，根据题意列出方程求解即可；
（2）设提高工作效率后每天支付给工人的工资可增长y元，根据题意列出不等式求解即可。
25．某书店购进，两种文件夹共350个，合计4800元，已知种文件夹的进价为12元/个，种文件夹的进价为15元/个．
（1）请问购进了，两种文件夹各多少个？
（2）在销售过程中，，两种文件夹的标价分别为20元/个，25元/个．受市场的影响，两种文件夹按标价各卖出个以后，该店进行促销活动，剩余的种文件夹按标价的七折全部售出，剩余的种文件夹按成本价清货，若销售两种文件夹的总利润不少于2348元，请求出的最小值．
【答案】（1）购进了种文件夹150个，则购进了种文件夹200个
（2）128
26．如图所示，已知射线，，、在上，且满足，平分，根据上述条件，解答下列问题：
（1）证明：；
（2）求的度数；
（3）若平行移动，那么的值是否随之变化？若不变，求出这个比值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵，，∴，∴，∴；
（2）解：∵，∴平分，又平分，∴；
（3）解：不变．∵，∴，，∴，又∵，∴．
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得，从而得到；
（2）利用角平分线的定义及角的运算可得；
（3）先求出，再求出即可。
27．如图，AD是△ABC的角平分线，M是BC的中点，FM∥AD交BA的延长线于点F，交AC于点E．求证：
（1）CE=BF．
（2）AB+AC=2CE．
【答案】（1）证明：延长CA交FM的平行线BG于G点，
则∠G=∠CAD，∠GBA=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AG=AB，
∵FM∥AD
∴∠F=∠BAD、∠FEA=∠DAC
∵∠BAD=∠DAC，
∴∠F=∠FEA，
∴EA=FA，
∴GE=BF，
∴M为BC边的中点，
∴BM=CM，
∵EM∥GB，
∴CE=GE，
∴CE=BF；
（2）证明：∵EA=FA、CE=BF，
∴AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．
【解析】【分析】（1）延长CA交FM的平行线BG于G点，利用平行线的性质得到BM=CM、CE=GE，从而证得CE=BF；（2）利用上题证得的EA=FA、CE=BF，进一步得到AB+AC=AB+AE+EC=AB+AF+EC=BF+EC=2EC．
28．如图1是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边，两个小正方形的边长分别是a、b．
（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图2）．用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：
方法一： ；
方法二： ；（直接把答案填写在答题卡的横线上）
（2）观察图2，试写出，，，这四个代数式之间的等量关系： ．（直接把答案填写在答题卡的横线上）
（3）请利用（2）中等量关系解决问题：若图1中一个三角形面积是6，图2的大正方形面积是64，求的值．
【答案】（1）；
（2）
（3）解： ∵，，
∴，
∴．
【解析】【解答】解：（1）方法一：；
方法二：；
故答案为：（a+b）2；a2+2ab+b2；
（2）
【分析】（1）根据所给的图形求解即可；
（2）根据图形求解即可；
（3）根据题意先求出2ab=24， 再求解即可。
29．在抗击疫情期间，某社区准备购买酒精和消毒液两种消毒物资供居民使用．第一次购买酒精20瓶，消毒液20瓶，共花费300元；第二次购买酒精15瓶，消毒液40瓶，共花费350元．
（1）分别求出每瓶酒精和消毒液的价格；
（2）若要购买60瓶这两种消毒物资，设购买酒精x瓶，这两种消毒物资的总费用为y元，求y与x的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，若要求购买酒精的数量不少于消毒液数量的2倍，求总费用y的最小值．
【答案】（1）解：设每瓶酒精的价格是m元，每瓶消毒液的价格是n元．
根据题意，得 ，
解得 ．
故每瓶酒精的价格是10元，每瓶消毒液的价格是5元．
（2）解：设购买酒精x瓶，则购买消毒液 瓶，
则： ，
即y与x的函数解析式为
（3）解：∵ ，
∴ ．
又∴ ，
∴y随x的增大而增大，
∴当 时，y取得最小值，最小值为 ．
故总费用y的最小值为500元．
【解析】【分析】（1）根据题目中的等量关系，列出方程组，求出酒精和消毒液的价格即可；
（2）根据题意，列出函数解析式即可；
（3）根据（2）的解析式，列出不等式，求出答案即可。
30．为鼓励学生参加体育锻炼，学校体育组准备购买一批篮球和排球．已知篮球的单价比排球的单价多15元/个，买2个排球和3个篮球一共需要220元．
（1）篮球和排球的单价分别是多少元？
（2）体育组购买的篮球和排球总数量是36个，其中篮球的数量比排球的2倍还多，购买总资金不超过1700元，有几种购买方案？
【答案】（1）解：设排球的单价为x元/个，
依题意得
∴
答：篮球、排球的单价分别是50元/个、35元/个
（2）解：设购买的排球数量为n个，则购买的篮球数量为（36－n）个．
依题意得
解得
∵n为正整数，∴，8，9，10，11
所以一共有五种购买方案
方案一：购买排球7个，篮球29个；
方案二：购买排球8个，篮球28个；
方案三：购买排球9个，篮球27个；
方案四：购买排球10个，篮球26个；
方案五：购买排球11个，篮球25个
【解析】【分析】（1）设排球的单价为x元/个，则篮球的单价为（x+15）元/个，根据“买2个排球和3个篮球一共需要220元”列出一元一次方程，解这个方程即可；
（2）设购买的排球数量为n个，则购买的篮球数量为（36－n）个，根据“ 篮球的数量比排球的2倍还多 ”列出不等式36-n＞2n，再根据“ 购买总资金不超过1700元 ”列不等式35n+50（36-n）≤1700，解这个不等式组即可.
31．如图①，数轴上的点A、B分别表示数a、b，则点A、B（点B在点A的右侧）之间的距离表示为AB＝b﹣a，若点C对应的数为c，满足|a+3|+（c﹣9）2＝0．
（1）写出AC的值 ．
（2）如图②，点D在点C的右侧且距离m（m＞0）个单位，点B在线段AC上，满足AB+AC＝BD，求AB的值（用含有m的代数式表示）．
（3）如图③，若点D在点C的右侧6个单位处，点P从点A出发以2个单位/秒的速度向右运动，同时点M从点C出发以1个单位/秒的速度也向右运动，当到达D点后以原来的速度向相反的方向运动．求经过多长时间，点P和点M之间的距离是2个单位？
【答案】（1）12
（2）解：∵AB+AC＝BD，
∴AB+AB+BC＝BC+CD，
∴2AB＝CD＝m，
∴AB＝ m
（3）解：设经过x秒点P和点M之间的距离是2个单位． 由题意：18﹣（2t+t﹣6）＝2或（2t+t﹣6）﹣18＝2，
解得t＝ 或 ．
∴经过 或 秒点P和点M之间的距离是2个单位
【解析】【解答】解：（1）∵|a+3|+（c﹣9）2＝0，
又∵|a+3|≥0，（c﹣9）2≥0，
∴a＝﹣3，c＝9，
∴AC＝9﹣（﹣3）＝12，
故答案为12．
【分析】（1）利用非负数的性质求出a，c的值即可解决问题．（2）由AB+AC＝BD，推出AB+AB+BC＝BC+CD，推出2AB＝CD＝m，即可解决问题．（3）设经过x秒点P和点M之间的距离是2个单位．分两种情形构建方程即可解决问题．
32．已知，，试求：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
=1；
（2）解：
；
当，时，
原式
=23.
【解析】【分析】（1）根据a、b的值结合平方差公式进行计算即可；
（2）对待求式进行变形可得(a+b)2-5，然后将a、b的值代入进行计算.
33．数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思想解决下面问题：
图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完成相同的小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形．
（1）观察图2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式，，ab写出这个等式 ．
（2）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值．
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：由（1）得，
，，
；
即的值是4；
（3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，
，两正方形的面积和，
，，
，
，
，
阴影部分的面积为．
【解析】【解答】解：（1）如图2，大正方形的边长为，因此面积为，
小正方形的边长为，因此面积为，
每个长方形的长为，宽为，因此面积为，
由面积之间的关系可得：
，
故答案为：（答案不唯一）；
【分析】（1）结合图形，利用正方形的面积公式求解即可；
（2）结合（1）所求，将 ，代入计算求解即可；
（3）先求出 ，， 再求出ab=13，最后代入计算求解即可。
34．洪崖洞是重庆的网红打卡地，在该景点有一旅游纪念品专卖店，最近一款印有洪崖洞3D图案的书签销售火爆，该专卖店第一次用800元购进这款书签，很快售完，又花1400元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了0.5元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．
（1）求该商店两次购进这款书签各多少个？
（2）第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于季节的影响，游客量减少，专卖店决定将剩下的书签打八折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于2472元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？
【答案】（1）第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个
（2）售价至少为8元
35．如图所示：已知，，在数轴上的位置．
（1）化简代数式：；
（2）若的绝对值的相反数是，的倒数是它本身，，求（1）中代数式的值．
【答案】（1）解：由数轴可知，，
，，，
．
（2）解：的绝对值的相反数是，且，
，
，，
，
则（1）中代数式的值为．
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ，，， 最后化简求解即可；
（2）先求出a=2，再求出c的值，最后代入计算求解即可。
36．如图，大小两个正方形边长分别为a、b．
（1）用含a、b的代数式阴影部分的面积S；
（2）如果a+b=7，ab=5，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：大，小正方形的边长分别为a和b，
（2）解：∵a+b=7，ab=5，
∴，
【解析】【分析】（1）阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去空白部分两个直角三角形的面积，据此即可求解；
（2） 利用完全平方公式将（1）所得式子变形，然后整体代入计算即可.
37．体育锻炼有利于青少年的生长发育，提高免疫力．某学校为了鼓励学生多锻炼，准备购买足球和排球两种体育器材，已知1个排球的价格是1个足球价格的2倍，用2600元单独购买排球的数量比用1222元单独购买足球的数量要多3个．
（1）排球和足球每个的价格各是多少元？
（2）如果该学校计划购买足球的个数比购买排球的个数的2倍多20个，且用于购买排球和足球的总经费不超过5720元，那么该学校最多可以购买多少个足球？
【答案】（1）解：设足球每个价格为x元，则排球每个价格为元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验得：是原方程的根，且符合题意．
则，
答：排球每个价格是50元，足球每个价格为26元；
（2）解：设购买排球个数为a，则购买足球个数为：，
故，
解得：，
故，
由于a为正整数，则的最小值为121，
答：该学校最多可以购买121个足球．
【解析】【分析】（1） 设足球每个价格为x元，则排球每个价格为元 ，根据题意列出关于x的方程，解方程即可求出答案。
（2） 设购买排球个数为a，则购买足球个数为：， 根据题意列出关于x的不等式，解不等式即可求出答案。
38．解不等式（组）：
（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来；
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】（1）解：去分母，得∶，
去括号，得∶ ，
移项，得∶，
合并同类项，得∶，
系数化为1，得∶，
将解集表示在数轴上如下∶
（2）解：，
解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为-1≤x<2，
∴不等式组的整数解为-1、0、1
【解析】【分析】（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤可得不等式的解集，然后根据解集的表示方法表示在数轴上；
（2）分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集，进而可得不等式组的整数解.
39．根据如表素材，探索完成任务．
背景 为了迎接年五一劳动节，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品．
素材1 若买杯A款咖啡，杯B款咖啡需元；若买杯A型咖啡，8杯B型咖啡需元．
素材2 为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华怡好用了元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的．
问题解决
任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡共杯（两种都要），总费用不超过元，最多可以买多少杯B款咖啡？
任务3 求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯？
【答案】任务1：A款咖啡销售单价元，B款咖啡销售单价元；任务2：最多可以买杯B款咖啡；任务3：5杯
40．“江畔”礼品店在十一月份从厂家购进甲、乙两种不同礼品．购进甲种礼品共花费1500元，购进乙种礼品共花费1050元，购进甲种礼品数量是购进乙种礼品数量的2倍，且购进一件乙种礼品比购进一件甲种礼品多花20元．
（1）求购进一件甲种礼品、一件乙种礼品各需多少元；
（2）元旦前夕，礼品店决定再次购进甲、乙两种礼品共50个．恰逢该厂家对两种礼品的价格进行调整，一件甲种礼品价格比第一次购进时提高了20%，一件乙种礼品价格比第一次购进时降低了5元．如果此次购进甲、乙两种礼品的总费用不超过3100元，那么这家礼品店最少可购进多少件甲种礼品？
【答案】（1）解：设购买一件甲种礼品需x元，则购买一件乙种礼品需（x+20）元．
根据题意，得
方程两边乘x(x+20) 得
解得 x=50
检验：当 x=50时，x(x+20)=50×（50+20）≠0
所以，x=50是原分式方程的解
x+20=50+20=70
答：购买一件甲种礼品需50 元，购买一件乙种礼品需70元．
（2）解：设这所礼品店可购进a件甲种礼品．
根据题意得 ≤3100
解得a≥30
答：这所礼品店最少可购进30件甲种礼品．
【解析】【分析】（1）设购买一件甲种礼品需x元，则购买一件乙种礼品需（x+20）元，根据购进甲种礼品数量是购进乙种礼品数量的2倍，可列出分式方程，故而求出甲、乙种礼品每件各需多少元；（2）设可购进a件甲种礼品，则购进乙种礼品（50-a）件，再根据题意列出不等式即可求解.
41．如图，点 A，C 是数轴上的点，点 A 在原点，AC＝8．动点 P，Q 分别从 A，C 出发沿数轴正方向运动，速度分别为每秒 3 个单位长度和每秒 1 个单位长度．
设运动时间为t秒（t＞0），解答下列问题：
（1）点C表示的数是 ；点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ．（点P，点 Q 表示的数用含 t 的式子表示）
（2）若点 M 是 AP 的中点，点 N 是 CQ 的中点，求 MN 的长．
（3）直接写出t为何值时，点P与点Q相距4个单位长度．
【答案】（1）8；3t；8+t
（2）解：根据题意，得 ， ， ，AQ=8+t
∵点M是AP的中点，点N是CQ的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由题意得 ，AQ=8+t，
∴ ，
解得t=2或6．
∴当t=2或6时点P与点Q相距4个单位长度．
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，AP=3t，CQ=t，AC=8，A在原点，
∴点C表示的数为8，P表示的数为3t，Q表示的数为8+t，
故答案为：8，3t，8+t；
【分析】（1）由题意可知，AP=3t，CQ=t，AC=8，A在原点，则点C表示出的数为8，P表述出的数为3t，Q表示的数为8+t；
（2）根据题意，得出 ， ， ，AQ=8+t ，则 ， ， 则 ；
（3）由题意得出 ，AQ=8+t， 则 ， 求解即可。
42．好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为： x 2x 3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是： ×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．
（1）计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为 ．
（2）( x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为 ．
（3）若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；
（4）若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020= ．
【答案】（1）-11
（2）63.5
（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：
1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0
∴a=-3．
（4）2021．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．（2）由题意可得( x+6)(2x+3)(5x-4) 二次项系数是：
．（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．
所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．
【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（2）求二次项系数，还有未知数的项有 x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．
43．
（1）若规定一种运算：a*b=ab+b2÷a，求3xy*x3y2的值．
（2）计算（3+1）（32+1）（34+1）...（316+1）．
【答案】（1）解：原式=（3xy） （x3y2）+（x3y2）2÷（3xy）
=3x4y3+x6y4÷（3xy）
=3x4y3+ x5y3
（2）解：（3+1）（32+1）（34+1）．．．（316+1）
= （3-1）（3+1）（32+1）（34+1）．．．（316+1）
= （32-1）（32+1）（34+1）．．．（316+1）
= （34-1）（34+1）．．．（316+1）
= （38-1）（38+1）（316+1）
= （316-1）（316+1）
= ．
【解析】【分析】（1）根据新运算可求出 3x4y3+ x5y3 ；
（2）利用平方差公式计算求解即可。
44．如图， ， .点 是射线 上一动点（与点 不重合）， 平分 交 于点 ， 平分 交 于点 .
（1）求 的度数.
（2）求 的度数.
（3）当点 运动时， 与 之间的数量关系是否随之发生变化？若变化，请写出变化规律；若不变化，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ .
（2）∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ .
（3）不变， ，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A+∠ABN=180°，即可求出∠ABN的度数；
（2）根据角平分线的定义得出∠CBP=∠ABP，∠PBD=∠PBN，再利用∠CBD=∠CBP+∠PBD=∠ABN，即可得出答案；
（3）根据平行线的性质得出∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，根据角平分线的定义得出∠PBN=2∠DBN，进而得出∠APB=2∠DBN.
45．先阅读下面的解题过程，再解答问题：
如图①，已知ABCD，∠B＝40°，∠D＝30°，求∠BED的度数．
解：过点E作EFAB，则ABCDEF．
因为EFAB，所以∠1＝∠B＝40°
又因为CDEF，所以∠2＝∠D＝30°
所以∠BED＝∠1+∠2＝40°+30°＝70°．
如图②是小军设计的智力拼图玩具的一部分，现在小军遇到两个问题，请你帮他解决：
（1）如图②∠B＝45°，∠BED＝75°，为了保证ABCD，∠D必须是多少度？请写出理由．
（2）如图②，当∠G、∠GFP、∠P满足什么关系时，GHPQ，请写出满足关系的式子，并说明理由．
【答案】（1）解：∠D=30°，理由如下：
过E作EMAB，如图1，则∠B=∠2=45°，
∴∠1=∠BED-∠2=30°，
∴∠1=∠D，
∴EMCD，
又∵EMAB，
∴ABCD；
（2）解：当∠G+∠GFP+∠P=360°时，GHPQ，理由如下：
过F作FNGH，如图2，则∠G+∠4=180°，
又∵∠G+∠GFP+∠P=360°
∴∠3+∠P=180°，
∴FNPQ，
∴GHPQ．
【解析】【分析】（1） 过E作EMAB，如图1，可得∠B=∠2=45°， 从而得出∠1=∠BED-∠2=30°， 若AB∥CD，可证EM∥CD，利用平行线的性质可得∠1=∠D=30°，据此即得结论；
（2） 当∠G+∠GFP+∠P=360°时，GHPQ，理由：过F作FNGH， 可得∠G+∠4=180°， 若GH∥PQ，则TN∥PQ，利用平行线的性质可得∠3+∠P=180°， 即得∠G+∠GFP+∠P=360°，据此即得结论.
46．某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元.
（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？
（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？
【答案】（1）解：设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，
依题意，得： ，
解得： .
答：改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元.
（2）解：设改造m个甲种型号大棚，则改造（8﹣m）个乙种型号大棚，
依题意，得： ，
解得： ≤m≤ .
∵m为整数，
∴m＝3，4，5，
∴共有3种改造方案，方案1：改造3个甲种型号大棚，5个乙种型号大棚；方案2：改造4个甲种型号大棚，4个乙种型号大棚；方案3：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚.
方案1所需费用12×3+18×5＝126（万元）；
方案2所需费用12×4+18×4＝120（万元）；
方案3所需费用12×5+18×3＝114（万元）.
∵114＜120＜126，
∴方案3改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是114万元.
【解析】【分析】（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，根据“改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8-m）个乙种型号大棚，根据改造时间不超过35天且改造费用不超过128万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各改造方案，再利用总价=单价×数量分别求出三种方案所需改造费用，比较后即可得出结论.
47．如图1，已知直线与直线交于点E，直线与直线交于点F，平分交直线于点M，且．
（1）求证：；
（2）点G是射线上的一个动点（不与点M、F重合），平分交直线于点H，过点H作交直线于点N，设．
①如图2，当点G在点F的右侧时，若，求的值；
②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．
【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）解：①
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
，
∴，
∵，
∴，
解得；
故答案为：50；
②α和β之间的数量关系为或，理由如下：
当点G在点F的右侧，由（2）①得，
当点G在点F的左侧时，如图2，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
，
∴，即，
综上所述，α和β之间的数量关系为或．
【解析】【分析】(1)熟练应用等量代换和平行线判定定理；(2)灵活应用等量代换，充分考虑动点的位置变动引起的角位置关系的变化。因此，分两种情况“当点G在点F的右侧时”和“当点G在点F的左侧时”讨论。
48．已知 ，其中a，b，c是常数，且 .
（1）当 时，求a的范围.
（2）当 时，比较b和c的大小.
（3）若当 时， 成立，则 的值是多少？
【答案】（1）解：将 代入不等式得
，解得
（2）解：当 时，
不等式 两边同除以 得
∴
∴
（3）解：当 时，
不等式 两边同除以 得
∴
又∵
∴
∴
【解析】【分析】（1）将 代入不等式，即可解出a的范围；
（2）当 时，可知 ，根据不等式的性质可得出b和c的大小关系；
（3）当 时，可知 ，根据不等式的性质可得 ，即 ，结合 可知 ，即可求出 的值.
49．某公路自行车世界巡回赛开赛，有来自世界各地的多支顶级车队参赛，在本次赛事上，组委会把若干翻译志愿者分配给各车队.若每支车队分配3人，则剩余12人，若每支车队分配4人，则还缺8人.
（1）请问一共有几支车队参赛？
（2）若每支参赛车队均有a名选手参赛（a≥5）；组委会给每位参赛车手提供两张号码布和一个电子计时芯片，现有两家供应商提供了如下报价：
号码布设计费 号码布制作费 电子计时芯片费用
甲供应商 200元 2.5元/张 45元/个
乙供应商 免费设计 3元/张 50元/个（购买数量超过100个时，超出部分打八折
①请用含a的式子分别表示甲、乙两家供应商所需的费用；
②请你说明组委会选择哪个供应商比较省钱.
【答案】（1）解：设一共有x支车队参赛，
依题意得：3x+12＝4x﹣8，
解得：x＝20.
答：一共有20支车队参赛；
（2）解：∵每支参赛车队均有a名选手参赛（a≥5），
∴共有20a名选手参赛，且参赛选手超过100人，
①甲供应商所需费用：200+2×2.5×20a+45×20a＝1000a+200（元）；
乙供应商所需费用：2×3×20a+50×100+（20a﹣100）×50×0.8＝920a+1000（元）；
②分三种情况：
（i） 由1000a+200＝920a+1000，解得：a＝10，即当a＝10时，甲乙两个供应商费用相同.
（ii） 由1000a+200＞920a+1000，解得：a＞10，即当a＞10时，选乙供应商比较省钱.
（iii） 由1000a+200＜920a+1000，解得：a＜10，即当a＜10时，选甲供商比较省钱.
【解析】【分析】（1）设一共有x支车队参赛，可得志愿者人数为(3x+12）人或(4x﹣8)人，利用人数不变列出方程，求出x值即可；
（2）①根据总价=单价×数量，再结合两家供应商给出的报价表，分别用含a的代数式表示出甲、乙两家供应商所需费用即可；
②分三种情况： 当甲、乙两家供应商费用相等；甲供应商费用大于乙供应商费用；甲供应商费用小于乙供应商费用，据此分别列出等式或不等式，求出a的范围即可.
50．
（1）如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠EPF＝55°，求∠PFC的度数；
（2）如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，那么∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由：
（3）【联想拓展】
如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝60°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．
【答案】（1）如图1，过点作，
（2）
理由：如图2，过点作，则，
，
，
，
，
，
，即
（3）如图3，过点G作AB的平行线GH.
，
，
，
又的平分线和的平分线交于点，
，
同（1）易得，，
【解析】【分析】(1)结合条件构造合适的辅助线是本题解题关键，利用平行线的性质得到角之间的数量关系求得的度数.
(2)结合条件构造合适的辅助线是本题解题关键，利用平行线的性质得到角之间的数量关系求得的度数.
(3)先利用平行线的性质得到角之间的数量关系，再通过角平分线的定义求得的度数.
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