【决战期末·50道综合题专练】沪科版八年级下册期末数学试卷（原卷版 解析版）

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【决战期末·50道综合题专练】沪科版八年级下册期末数学试卷
1．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
2．小星想了解年我省邮政行业的发展情况，他根据年贵州省邮政行业发展统计公报中的相关信息，做了以下工作：①整理数据绘制统计图；②结合统计图分析数据并得出结论；③收集年全省邮政行业寄递业务量．请你根据相关信息回答下列问题：
（1）请对小星的工作步骤正确排序________；
（2）请根据统计图提供的信息，年我省邮政行业寄递业务量的中位数是________万件，平均增长率是________；
（3）根据年全省邮政行业发展情况统计图，用一句话描述我省邮政行业发展的趋势．
3．第24届冬季奥运会在首都北京成功举办，使得北京成为历史上首个双奥之城．某特许经销商购进甲、乙两种冬奥纪念品，其中每个甲的进价是每个乙进价的0.75倍，甲、乙的销售单价分别为75元/件、80元/件．该经销商第一次购进甲、乙两种纪念品若干件，均花费600元，结果发现甲比乙多买5件．
（1）求甲、乙的购进单价分别是多少元？
（2）在经销商卖完第一批纪念品后，以相同进价再次购进两种纪念品，乙的采购数量和第一次保持一致．根据经验，甲的售价每降低1元，销量就在第一次的基础上增加1件，该经销商现对甲进行降价销售，乙售价保持不变．当甲、乙再次售完时，商家在第二次销售中获利1500元，请问商家第二次采购了甲多少件？
4．如图1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成．
（1）要使所围矩形猪舍的面积达到，求猪舍的长和宽．
（2）农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍面积达到，小红为该农户提出了一个意见：“为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门就行”，如图2，请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽？
5．某商品进价为每件40元，现售价为每件60元，每星期可卖出300件，经市场调查反映，每次涨价1元，每星期可少卖10件．
（1）在一个星期内要想获利6090元的利润，尽量减少库存，该商品应涨价多少元；
（2）在一个星期内能否获利7000元，若能，请求出商品的定价，若不能，请说明理由．
6．如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
7．某玩具商店出售一种玩具，进价为38元，当售价为54元时，平均每天可销售60个，商店决定尝试采取适当的降价措施.经调查发现，若每个玩具每降价1元，平均每天可多售出10个.
（1）若降价5元，销售量　 　个，若降价x元，销售量　 　个.
（2）商店要想平均每天销售这种玩具盈利1120元，则每个玩具售价应为多少元？
8．甲乙两组各有10名学生，进行电脑汉字输入速度比赛，现将他们的成绩进行统计，过程如下：
收集数据
各组参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：
输入汉字个 132 133 134 135 136 137
甲组人数人 1 0 1 5 2 1
乙组人数人 0 1 4 1 2 2
分析数据
两组数据的众数、中位数、平均数、方差如下表所示：
组 众数 中位数 平均数 方差
甲组 135 1.6
乙组 134 135
得出结论
（1）①直接写出，的值： ▲ ， ▲ ；
②求和的值；
（2）请你根据所学的统计知识，从不同角度评价甲、乙两组学生的比赛成绩至少从两个角度进行评价．
9．聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形．
（1）请用含a、b的代数式分别表示出型卡片的长和宽；
（2）如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．
10．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，者（x1+1）（x2+1）=-1，求k的值．
11．
（1）解方程：．
（2）下面是大壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务：
解方程：．
解：，……第一步
，……第二步
，……第三步
或，……第四步
解得：，．……第五步
任务一：①以上解方程过程中，主要是依据 ▲ 来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”）．
②第 ▲ 步开始出现错误，错误的原因是 ▲ ．
任务二：请直接写出本题的正确结果．
12．为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图甲、乙所示的两个统计图（部分未完成）．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）校团委随机调查的学生人数是 ▲ ，请你补全条形统计图；
（2）表示“50元”的扇形所占百分数是　 　，
（3）求被调查的学生每人一周零花钱数额的平均数．
13．关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，求m的值；
（3）求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长
14．如图1，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O
（1）若F是CD的中点，连接OE，EF，求证：OC平分EF.
下面是小滨同学的证明过程：
证明：连接OF.
∵O是菱形ABCD对角线的交点，
∴O是BD中点.
又∵F是CD中点，
∴OF是△DBC的中位线，
∴▲ ，▲ .
又∵E是BC中点
∴▲ ，
∴OF＝EC.
∴OF∥EC且OF＝EC.
∴四边形OECF是平行四边形.（
）
∴OC平分EF.（　　）
补全小滨同学的证明过程，并填写括号中的理由.
（2）如图2，点G是OD的中点，连接OE，EG，
①求证：OC平分EG.
②连接AG，若AG＝EG，
求证：∠ABC＋∠AGE＝180°.
15．中考体育测试前，金川区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中a＝　 　%，并补全条形统计图．
（2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是　 　个、　 　个．
（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
16．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为20元的小商品进行直播销售，如果按每件25元销售，每天可卖出200件．通过市场调查发现，每件小商品售价每提价2元，日销售量减少20件．
（1）若该商家想获得日利润为1500元，则每件商品售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件35元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
17．某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍．
（1）求商家购买A书籍和B书籍的进价；
（2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？
18．为了解龙华区某校七年级学生对A《最强大脑》、B《朗读者》、C《中国诗词大会》、D《极限挑战》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了m位学生进行调查统计（要求每位学生选出并且只能选一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（图1，图2）．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）在图1中，喜爱《朗读者》节目所对应的扇形的圆心角度数是　 　度；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全图2的条形统计图；
（3）已知该校七年级共有420位学生，那么他们最喜欢《中国诗词大会》这个节目的学生约多少人．
19．关于x的一元二次方程有实数根．
（1）当是方程的一个根，求m的值；
（2）求m的取值范围．
20．某果园实验基地种植了相同数量的甲、乙两个品种西瓜，为了分析哪个品种更适宜推广，随机从甲、乙两个品种中各采摘5个西瓜，测得西瓜的质量(kg) (均取整数)，绘制成如下折线统计图。
（1）请你分别求出甲、乙两个品种所选的5个西瓜的平均质量；
（2）已知 =1.6(kg)， =0.4(kg)。根据己有的统计量，并结合折线统计图，你认为哪个品种更适宜推广？请简述理由。
21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+m2﹣4＝0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若m为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值.
22．某校组织八年级全体200名学生参加“强国有我”读书活动，要求每人必读本书，活动结束后从八年级学生中随机抽查了若干名学生了解读书数量情况，并根据本；本；本；本四种类型的人数绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．请根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中类型有多少名学生？
（2）直接写出被调查学生读书数量的众数和中位数；
（3）求被调查学生读书数量的平均数，并估计八年级200名学生共读书多少本？
23．在 中， ， 分别为对角线 上两点，连接 ， ， ， ，并且 ．
（1）如图1，求证：四边形 是平行四边形；
（2）如图2，若 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于 面积的 ．
24．如图，在矩形中，延长至点E，使，连接交于点F.
（1）求证：.
（2）若，，求点A，F之间的距离.
25．下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应学习任务：
数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：（　　）．现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠？
解：设…，
根据题意，所列出方程：（20﹣x）（300＋ ×40）＝6080，
…
根据小明所列方程，完成下列任务：
（1）填空：数学问题中括号处短缺的条件是　 　，小明所列方程中未知数x的实际意义是　 　．
（2）请你重新设一个未知数，要求所设未知数与小明所列方程中未知数的意义不同，并结合所补充的条件，解决上面的数学问题．
26．某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数.在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10.
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10.
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 6 2.6
乙组 7
（1）以上成绩统计分析表中　 　，　 　，　 　；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是　 　组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由.
27．某校为了解九年级学生“一分钟跳绳”体育测试项目情况，随机抽取了九年级部分学生组成测试小组行调查测试，对这部分学生“一分钟跳绳”测试的成绩按A，B，C，D四个等级进行了统计，并绘制了如图所示的不完整统计图．
（1）本次抽样调查的样本容量为　 　，并将条形统计图补充完整　 　；
（2）若该校九年级共有400名学生，根据以上样本估计全校九年级“一分钟跳绳”测试成绩为A等级的学生人数．
28．网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对 岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查，得到了如图所示的两个不完全统计图.
请根据图中的信息，解决下列问题：
（1）求条形统计图中 的值.
（2）求扇形统计图中 岁部分所占的百分比；
（3）据报道，目前我国 岁网瘾人数约为 万，请估计其中 岁的人数.
29．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，，.
（1）如图1，求点A、B、C的坐标；
（2）如图2，若点D在第一象限且满足，，线段BD交y轴于点G，求线段BG的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足.请探究BE、CE、AE之间的数量关系，并证明.
30．为落实“双减”政策，某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成两幅统计图，试根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补充条形统计图；
（3）若学校共有学生 3000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？
31．端午假期刚过，集美龙舟队有开始新的一轮训练，为更加有效训练队员，集美龙舟队决定公开招聘教练，经过笔试后筛选出甲、乙两位教练进行面试和体侧，两人的成绩如下表.
　 体侧 面试
甲 90 88
乙 84 92
（1）当体侧成绩权重为6，面试成绩权重为4，请问甲、乙两人谁的成绩高？
（2）当体侧成绩权重为 ，面试和体侧各有权重，并且权总和为10，请问当 取什么范围，乙成绩比甲高？
32．某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图.
请解答下列问题：
（1）在这次调查中，该校一共抽样调查了　 　名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是　 　°；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数.
33．如图，一长方形草坪长50米，宽30米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的长方形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是924米．
（1）求小路的宽度；
（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．
34．2024年上半年磊磊家的草莓大丰收．为了运输方便，磊磊的爸爸打算把一批长为 宽为的长方形纸板制成有底无盖的盒子．如图，在长方形纸板的四个角各截去一个边长为 的小正方形，然后沿折线折起即可．现将盒子的外表面贴上彩纸，用来盛放草莓．
（1）制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？
（2）当，时，制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？
35．某同学参加了学校举行的“五好小公民·红旗飘飘”演讲比赛，7名评委给该同学的打分(单位：分)情况如下表：
评委 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 评委6 评委7
打分 6 8 7 8 5 7 8
（1）直接写出该同学所得分数的众数与中位数.
（2）计算该同学所得分数的平均数.
36．如图，四边形ABCD是平行四边形，，过点C作，交AD的延长线于点E.
（1）求证：四边形BDEC是菱形；
（2）连接BE，若，，求BE的长.
37．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若∠ABC=120°，AB=6，求矩形OBEC的周长；
38．某学校为了解该校七年级学生疫情防控知识的情况，对七年级共400名学生进行了测试，从中随机抽取40名学生的成绩（百分制）进行整理、描述，得到部分信息：
a.这40名学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成5组：，，，，；）
b.成绩在这一组的是：89 89 88 88 88 87 87 86 85 84 84 83 82 80 80 80 80
c.成绩不低于85为优秀.
根据以上信息，回答问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）下面说法正确的是　 　.
①本次抽样调查的样本容量是40；
②样本中，成绩为100分的学生不超过6人.
（3）估计该校七年级400名学生成绩优秀的人数.
39．“新冠肺炎”疫情牵动着14亿中华儿女的心，渠县人民政府积极响应国家号召，及时对广大人民群众进行疫情防控宣传.如图，一笔直公路MN，村庄A到公路MN的距离为600 m，若在宣传车P方圆1000 m以内能听到广播宣传，那么宣传车P在公路MN上沿MN方向行驶时：
（1）村庄能否听到宣传？请说明理由.
（2）如果能听到，已知宣传车的速度是200 m/min，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
40．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．
（1）仅用圆规在平面内找一点D（异于点A），使得点D到射线AB、AC的距离相等，且DB＝5；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求四边形ABDC的面积．
41．如图所示，在平行四边形中，，点F是的中点，连接，延长交的延长线于点H，平分交于点E．
（1）若，，求的长；
（2）点M在上，满足，连接交于点N，求证四边形是平行四边形；
（3）在（2）的条件下，若，求证：．
42．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O是坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝5，OC＝4.
（1）如图①，将矩形沿对角线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与CB相交于点E，请问重叠部分△OBE是什么三角形？说明你的理由：并求出这个三角形的面积；
（2）如图②，点E、F分别是OC、OA边上的点，将△OEF沿EF折叠，使得点O正好落在BC边上的D点，过点D作DH⊥OA，交EF于点G，交OA于点H，若CD＝2，求点G的坐标；
（3）如图③，照(2)中条件，当点E、F在OC、OA上移动时，点D也在边BC上随之移动，请直接写出BD的取值范围.
43．如图1，在平面直角坐标系平行四边形中，点C坐标为，点A在x轴上，，．动点P从点O出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点Q到达点O时，点P也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）的长为　 　，的长为　 　；
（2）当t为何值时，线段恰好被平分？
（3）如图2，若在y轴上有一点D，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 （直接写出答案）．
44．如图，四边形中，AD//BC，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，且点在四边形内部，延长交于点，连接．且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点是的中点，，求的长．
45．如图，已知直线y=kx+b与直线y=-x-9平行，且y=kx+b还过点（2，3），与y轴交于A点.
（1）求A点坐标；
（2）若点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=MP，MB=OM，OE=ON，ND=NP，试证：四边形BCDE是平行四边形；
（3）在（2）的条件下，在直线y=kx+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，直接写出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
46．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a、b（a（1）结合图①，求证：a2+b2=c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为24，OH=3，求该图形的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3。若S1+S2+S3=18，则S2=　 　
47．为了探索代数式的最小值，
小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作，连结AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则，则问题即转化成求AC+CE的最小值．
（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得的最小值等于　 　，此时x=　 　；
（2）题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想；
（选填：函数思想，分类讨论思想、类比思想、数形结合思想）
（3）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值．
48．【阅读下列材料】：
若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．）
【例】：若，，，求的最小值．
解：∵，，∴，
∴．
∴时，的最小值为8．
【解决问题】
（1）用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；
（2）用一段长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少；
（3）如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值．
49．如图，在中，，是边上不与点重合的任意一个动点，，垂足为是的中点．
（1）求证：；
（2）如果，的周长为，求线段的长度；
（3）当点在线段上移动时，的大小是否发生变化？如果不变，求出的大小；如果发生变化，说明如何变化．
50．综合与实践﹣﹣图形变换中的数学问题．
问题情境：
如图1，在Rt△ABC中，AB＝5，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°．将△ABC沿AC翻折得到△ADC，然后展平，两个三角形拼成四边形ABCD．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）初步探究：
将△ABC从图1位置开始绕点B按逆时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°），得到△EBF，其中点A，C的对应点分别是点E，F，连接AE，FC并分别延长，交于点M．试猜想线段AM与FM的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）如图3，连接DE，当DE∥CM时，请直接写出CM的长．
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【决战期末·50道综合题专练】沪科版八年级下册期末数学试卷
1．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
【答案】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且．
∴四边形的面积．
【解析】【分析】连接，利用勾股定理求得的值，可得，求得，再利用三角形的面积公式即可求解．
2．小星想了解年我省邮政行业的发展情况，他根据年贵州省邮政行业发展统计公报中的相关信息，做了以下工作：①整理数据绘制统计图；②结合统计图分析数据并得出结论；③收集年全省邮政行业寄递业务量．请你根据相关信息回答下列问题：
（1）请对小星的工作步骤正确排序________；
（2）请根据统计图提供的信息，年我省邮政行业寄递业务量的中位数是________万件，平均增长率是________；
（3）根据年全省邮政行业发展情况统计图，用一句话描述我省邮政行业发展的趋势．
【答案】（1）③①②
（2）；
（3）从年开始，我省邮政行业寄递业务量随着年份的增加逐渐增加
3．第24届冬季奥运会在首都北京成功举办，使得北京成为历史上首个双奥之城．某特许经销商购进甲、乙两种冬奥纪念品，其中每个甲的进价是每个乙进价的0.75倍，甲、乙的销售单价分别为75元/件、80元/件．该经销商第一次购进甲、乙两种纪念品若干件，均花费600元，结果发现甲比乙多买5件．
（1）求甲、乙的购进单价分别是多少元？
（2）在经销商卖完第一批纪念品后，以相同进价再次购进两种纪念品，乙的采购数量和第一次保持一致．根据经验，甲的售价每降低1元，销量就在第一次的基础上增加1件，该经销商现对甲进行降价销售，乙售价保持不变．当甲、乙再次售完时，商家在第二次销售中获利1500元，请问商家第二次采购了甲多少件？
【答案】（1）甲的购进单价是30元，乙的购进单价是40元
（2）商家第二次采购了甲45件
4．如图1，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成．
（1）要使所围矩形猪舍的面积达到，求猪舍的长和宽．
（2）农户想在现有材料的基础上扩建矩形猪舍面积达到，小红为该农户提出了一个意见：“为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门就行”，如图2，请通过计算求小红设计的猪舍的长和宽？
【答案】（1）所围猪舍的长是，宽是；（2）所围猪舍的长是，宽是．
5．某商品进价为每件40元，现售价为每件60元，每星期可卖出300件，经市场调查反映，每次涨价1元，每星期可少卖10件．
（1）在一个星期内要想获利6090元的利润，尽量减少库存，该商品应涨价多少元；
（2）在一个星期内能否获利7000元，若能，请求出商品的定价，若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设每件涨价为 元，则每件的利润为 元，每星期可售出 件，
依题意得： ，
解得： ， ，
时， ，
时， ，
尽量减少库存，
，
答：该商品应涨价1元
（2）解：设每件涨价为 元，则每件的利润为 元，每星期可售出 件，
依题意得： ，
整理得： ，
，
∴此方程没有实数根，
∴不能获利7000元．
【解析】【分析】（1）根据题意中的等量关系，即可得到关于x的一元二次方程，求出x的值；
（2）根据等量关系，即可得到关于y的一元二次方程，由根的判别式，计算得到答案即可。
6．如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
【解析】【分析】（1）首先由AB//CD以及AC平分∠BAD可得，即AD=CD，已知AD=AB，AB∥CD，利用平行四边形的判定，即可得四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）已知四边形ABCD是菱形对角线交点为O，可得AC⊥BD，，在直角三角形AOB中利用勾股定理求出OA的长度，在利用直角三角形的斜边中线定理即可得出OE的长度.
7．某玩具商店出售一种玩具，进价为38元，当售价为54元时，平均每天可销售60个，商店决定尝试采取适当的降价措施.经调查发现，若每个玩具每降价1元，平均每天可多售出10个.
（1）若降价5元，销售量　 　个，若降价x元，销售量　 　个.
（2）商店要想平均每天销售这种玩具盈利1120元，则每个玩具售价应为多少元？
【答案】（1）110；
（2）解：设每个玩具降价元.
，
化简、整理，得.
解这个方程，得，.
经检验，，都是方程的解，且符合题意.
当时，售价为54-2=52（元）.
当时，售价为54-8=46（元）.
答：平均每天销售这种玩具盈利1120元，每个玩具售价应为52元或46元.
【解析】【解答】解：（1）降价5元，销售量为 （个）；
降价x元，销售量为 ；
【分析】(1)根据销售量等于原销售量加上增加的销售量列式计算，即可解答；
(2)设每个玩具降价x元，根据“总利润=单件玩具的利润×销售的数量”建立方程求解即可.
8．甲乙两组各有10名学生，进行电脑汉字输入速度比赛，现将他们的成绩进行统计，过程如下：
收集数据
各组参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：
输入汉字个 132 133 134 135 136 137
甲组人数人 1 0 1 5 2 1
乙组人数人 0 1 4 1 2 2
分析数据
两组数据的众数、中位数、平均数、方差如下表所示：
组 众数 中位数 平均数 方差
甲组 135 1.6
乙组 134 135
得出结论
（1）①直接写出，的值： ▲ ， ▲ ；
②求和的值；
（2）请你根据所学的统计知识，从不同角度评价甲、乙两组学生的比赛成绩至少从两个角度进行评价．
【答案】（1）解：①135；134.5；
②甲组的平均数；
乙组的方差；
（2）解：从中位数看，甲组每分钟输入135字以上的人数比乙组多，甲组成绩更好一些；
从方差看，，甲组成绩波动小，比较稳定．
【解析】【解答】解：（1）①甲组的众数135；
乙组中位数是；
故答案为：135，134.5；
【分析】（1）①众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后，偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数，根据定义并结合表格中的信息可求解；
②根据平均数公式“”并结合表格中的信息计算可求得n的值；根据方差公式“”并结合表格中的信息计算可求得m的值；
（2）中位数代表一组数据的“中等水平”，根据中位数可知甲组成绩更好一些； 方差就是样本数据与样本平均数偏差的平方的平均数，样本方差越大，则样本数据波动越大，相应总体数据波动越大；样本方差越小，样本数据波动越小，相应总体数据波动越小；所以从方差来看， 甲组成绩波动小，比较稳定．
9．聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形．
（1）请用含a、b的代数式分别表示出型卡片的长和宽；
（2）如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．
【答案】（1）解：由题意得：型卡片的长：，宽为：
（2）解：所拼成的长方形的面积为：
，
当，时，
原式=．
【解析】【分析】（1）由图形可得：B型卡片的长为a+b，宽为a-b；
（2）由图形可得：所拼成的长方形的长为(2a+b)，宽为(2a-b)，则其面积为(2a+b)(2a-b)，利用平方差公式进行化简，然后将a、b的值代入进行计算.
10．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，者（x1+1）（x2+1）=-1，求k的值．
【答案】（1）解：∵ 一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，
∴ =32-4（k-2）≥0，
∴k≤；
（2）解：∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x1＝﹣3，x1x2＝k﹣2，
∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，
∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得出32-4（k-2）≥0，解不等式即可得出k的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x1＝-3，x1x2＝k-2，再把（x1+1）（x2+1）=-1变形为x1x2+（x1+x2）+1＝-1，代入得出方程k-2+（-3）+1＝-1，即可得出k的值.
11．
（1）解方程：．
（2）下面是大壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务：
解方程：．
解：，……第一步
，……第二步
，……第三步
或，……第四步
解得：，．……第五步
任务一：①以上解方程过程中，主要是依据 ▲ 来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法”）．
②第 ▲ 步开始出现错误，错误的原因是 ▲ ．
任务二：请直接写出本题的正确结果．
【答案】（1）解：，，，
，
，
∴，．
（2）解：任务一：①因式分解法；②三；合并同类项出错；
任务二：
解：，
，
，
或-，
解得，．
【解析】【解答】（2）①解：任务一：①因式分解法．
故答案为：因式分解法；
②第三步开始出现错误，错误的原因是合并同类项出错，
故答案为：三，合并同类项出错．
【分析】（1）利用公式法解方程即可；
（2） 任务一： ①因式分解法； 第三步出现错误，具体（4y-10）-(9y-3)应等于-5y-7；
任务二： 利用因式分解法正确解出方程即可.
12．为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校部分学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图甲、乙所示的两个统计图（部分未完成）．请根据图中信息，回答下列问题：
（1）校团委随机调查的学生人数是 ▲ ，请你补全条形统计图；
（2）表示“50元”的扇形所占百分数是　 　，
（3）求被调查的学生每人一周零花钱数额的平均数．
【答案】（1）解：40；补全统计图如下：
（2）10%
（3）解：被调查的学生每人一周零花钱数额的平均数是（元）
【解析】【解答】（1）解：校团委随机调查的学生人数是（人）；∴零花钱数额为“20元”的学生人数是40-20-10-4=6（人），
（2）解：表示“50元”的扇形所占百分数是，
故答案为：10%
【分析】（1）利用“40元”的人数除以对应的百分比可得总人数，再利用总人数求出“20元”的人数并作出条形统计图即可；
（2）利用“50元”的人数除以总人数即可；
（3）利用平均数的计算方法求解即可。
13．关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，求m的值；
（3）求出以此方程两根为直角边的直角三角形的周长
【答案】（1）证明：x2-（m+2）x+（2m-1）=0，
∵a=1，b=-（m+2），c=2m-1，
∴b2-4ac=[-（m+2）]-4×1×（2m-1）=（m-2）2+4，
∵在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+4>0，
即b2-4ac>0，∴关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；
（2）解：将x=1代入方程可得：12-（m+2）+（2m-1）=0，解得：m=2；
（3）解：∵m=2，∴方程为x2-4x+3=0，解得：x1=1或x2=3，
∴方程的另一个根为x=3；
∴直角三角形的两直角边是1、3，∵，．斜边的长度为，
∴直角三角形的周长为1+3+=4+
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得出△＞0，即可得出答案；
（2）把x=1代入方程得出12-（m+2）+（2m-1）=0， 解方程求出m的值，即可得出答案；
（3）先求出一元二次方程的一般形式，再求出方程的解，从而得出直角三角形的两条直角边的长，根据勾股定理求出斜边的长，即可求出直角三角形的周长.
14．如图1，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O
（1）若F是CD的中点，连接OE，EF，求证：OC平分EF.
下面是小滨同学的证明过程：
证明：连接OF.
∵O是菱形ABCD对角线的交点，
∴O是BD中点.
又∵F是CD中点，
∴OF是△DBC的中位线，
∴▲ ，▲ .
又∵E是BC中点
∴▲ ，
∴OF＝EC.
∴OF∥EC且OF＝EC.
∴四边形OECF是平行四边形.（
）
∴OC平分EF.（　　）
补全小滨同学的证明过程，并填写括号中的理由.
（2）如图2，点G是OD的中点，连接OE，EG，
①求证：OC平分EG.
②连接AG，若AG＝EG，
求证：∠ABC＋∠AGE＝180°.
【答案】（1）证明：连接OF.
∵O是菱形ABCD对角线的交点，
∴O是BD中点.
又∵F是CD中点，
∴OF是△DBC的中位线，
∴OF∥BC，OF＝ BC.
又∵E是BC中点
∴EC＝ BC，
∴OF＝EC.
∴OF∥EC且OF＝EC.
∴四边形OECF是平行四边形.（ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴OC平分EF.（ 平行四边形的对角线互相平分）
（2）解：①取OC的中点F，连接GF、EF、OE，如图：
∵G是OD中点，F是OC中点，
∴GF是△OCD的中位线，
∴GF∥CD，GF＝ CD，
∵O是BD中点，E是BC中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，OE＝ CD，
∴GF∥OE，GF＝OE，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∴OF平分EG，即OC平分EG；
②连接CG，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴直线BD是菱形ABCD的对称轴，
∴AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，
∵AG＝EG，
∴CG＝EG，
∴∠GEC＝∠BCG，
∴∠BAG＝∠GEC，
∵∠GEC＋∠BEG＝180°，
∴∠BAG＋∠BEG＝180°，
∴∠ABC＋∠AGE＝180°.
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理、线段的中点定义、平行四边形的判定与性质进行填空即可；
（2）①取OC的中点F，连接GF、EF、OE，由GF是△OCD的中位线，可得GF∥CD，GF＝ CD， 同理可得OE∥CD，OE＝ CD，从而得出GF∥OE，GF＝OE，可证四边形OEFG是平行四边形，利用平行四边形的性质即得结论；
②连接CG，由菱形的性质可得AG＝CG，∠BAG＝∠BCG，由AG＝EG得出CG＝EG，可得∠GEC＝∠BCG，即得∠BAG＝∠GEC， 由∠GEC＋∠BEG＝180°，可得∠ABC＋∠AGE＝180°.
15．中考体育测试前，金川区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中a＝　 　%，并补全条形统计图．
（2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是　 　个、　 　个．
（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
【答案】（1）25设引体向上6个的学生有x人，由题意得，解得x=50．条形统计图补充如下：
（2）5；5
（3）解：（名）．
答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名．
【解析】【解答】解：（1）扇形统计图中a=1-30%-15%-10%-20%=25%，
(2)由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5；
共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为（5+5）÷2=5．
故答案为：5，5．
【分析】（1）扇形统计图中各部分百分比之和等于1，据此求出a，再求出引体向上6个的学生人数即可补图；
（2）根据众数、中位数的定义求解即可；
（3）利用样本中引体向上达6个以上（含6个） 人数所占比例，乘以1800即得结论.
16．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为20元的小商品进行直播销售，如果按每件25元销售，每天可卖出200件．通过市场调查发现，每件小商品售价每提价2元，日销售量减少20件．
（1）若该商家想获得日利润为1500元，则每件商品售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件35元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【答案】（1）每件商品售价应定为或元
（2）八折
17．某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍．
（1）求商家购买A书籍和B书籍的进价；
（2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？
【答案】（1）商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元
（2）29元
18．为了解龙华区某校七年级学生对A《最强大脑》、B《朗读者》、C《中国诗词大会》、D《极限挑战》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了m位学生进行调查统计（要求每位学生选出并且只能选一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图（图1，图2）．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）在图1中，喜爱《朗读者》节目所对应的扇形的圆心角度数是　 　度；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全图2的条形统计图；
（3）已知该校七年级共有420位学生，那么他们最喜欢《中国诗词大会》这个节目的学生约多少人．
【答案】（1）144
（2）解：调查的总人数有： ＝50（人），
喜爱B的人数有：50﹣10﹣15﹣5＝20（人），
补全统计图如下：
（3）解：他们最喜欢《中国诗词大会》这个节目的学生有420× ＝126（人）．
答：他们最喜欢《中国诗词大会》这个节目的学生约126人．
【解析】【解答】（1）喜爱《朗读者》节目所对应的扇形的圆心角度数是：360°×40%＝144°．
故答案为：144；
【分析】（1）用360°乘以喜欢《朗读者》节目的人数所占的百分比即可；
（2）从两个统计图可知，D组的人数为5人，占调查人数的10%，求出调查的总人数，再用总人数减去其他人数，求出喜欢B的人数，从而补全统计图；
（3）用总人数乘以C组所占的百分比即可得出答案。
19．关于x的一元二次方程有实数根．
（1）当是方程的一个根，求m的值；
（2）求m的取值范围．
【答案】（1）解：把代入原方程得，
解得
（2）解：根据题意得，
解得．
【解析】【分析】（1）先根据方程的解的定义把x=0代入原方程求出m的值即可；
（2）根据判别式的意义得出，再解不等式即可。
20．某果园实验基地种植了相同数量的甲、乙两个品种西瓜，为了分析哪个品种更适宜推广，随机从甲、乙两个品种中各采摘5个西瓜，测得西瓜的质量(kg) (均取整数)，绘制成如下折线统计图。
（1）请你分别求出甲、乙两个品种所选的5个西瓜的平均质量；
（2）已知 =1.6(kg)， =0.4(kg)。根据己有的统计量，并结合折线统计图，你认为哪个品种更适宜推广？请简述理由。
【答案】（1）解： =8， =8
甲、乙两个品种所选的5个西瓜的平均质量都为8kg。
（2）解：从方差的角度看： = ， =1.6， =0.4，∵ > ∴乙品种更适宜推广。
从众数的角度看：甲品种的众数为9，且数量为3，乙品种的众数为8，且数量也是3，
∴甲品种更适宜推广。
【解析】【分析】（1）首先根据折线统计图得到从甲、乙两个品种中各采摘的5个西瓜的质量，然后结合平均数的计算方法计算即可；
（2）根据众数的概念可得甲、乙品种的众数，然后结合众数、方差的意义进行解答.
21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+2）x+m2﹣4＝0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若m为负整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值.
【答案】（1）解：∵一元二次方程x2+（2m+2）x+m2﹣4＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2m+2）2﹣4×1×（m2﹣4）＝8m+20＞0，
∴ ；
（2）解：∵m为负整数，
∴m＝﹣1或﹣2，
当m＝﹣1时，方程x2﹣3＝0的根为： ， （不是整数，不符合题意，舍去），
当m＝﹣2时，方程x2﹣2x＝0的根为x1＝0，x2＝2都是整数，符合题意.
综上所述 m＝﹣2.
【解析】【分析】（1）根据题意可得Δ＞0，代入求解可得m的范围；
（2）根据m为负整数可得m的值，然后将m的值代入原方程中求出方程的根，根据方程的两个根均为整数就可确定出m的值.
22．某校组织八年级全体200名学生参加“强国有我”读书活动，要求每人必读本书，活动结束后从八年级学生中随机抽查了若干名学生了解读书数量情况，并根据本；本；本；本四种类型的人数绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．请根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中类型有多少名学生？
（2）直接写出被调查学生读书数量的众数和中位数；
（3）求被调查学生读书数量的平均数，并估计八年级200名学生共读书多少本？
【答案】（1）解：这次调查一共抽查的学生人数为（人，
类人数（人
（2）解：从条形统计图来看，阅读2本的人数最多，故被调查学生读书数量的众数为2本，
20个数据中，第10个数是2，第11个数是2，故被调查学生读书数量的中位数为2本；
（3）解：被调查学生读书数量的平均数为：（本，
（本，
估计八年级200名学生共读书460本．
【解析】【分析】（1）利用“B”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“D”的人数即可；
（2）根据众数和中位数的定义及计算方法求解即可；
（3）利用平均数的计算方法求解即可。
23．在 中， ， 分别为对角线 上两点，连接 ， ， ， ，并且 ．
（1）如图1，求证：四边形 是平行四边形；
（2）如图2，若 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于 面积的 ．
【答案】（1）证明：如图1，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）可得 ，BE=DF，
∵ ，
∴ ，
根据△ABD和△ABE、△ADF是等高，可得：△ABE、△ADF的面积是△ABD面积的 ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴△ABD和△BCD的面积相等，
同理可得△BEC和△DFC的面积是△BCD面积的 ，
∴ ， ， ， 的面积都等于 面积的 ．
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证明，得到AE=CF，再由AE//CF，即可得出四边形AECF是平行四边形；
（2）由（1）得到：，则BE=DF，再由2BE=3EF，得到BE：BD=3：8，即可得出结论。
24．如图，在矩形中，延长至点E，使，连接交于点F.
（1）求证：.
（2）若，，求点A，F之间的距离.
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
在与中，
；
（2）解：如图：连接，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
点A，F之间的距离为.
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠EDF=∠C=90°，AD=BC，由已知条件可知DE=AD，则DE=BC，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）连接AF，由矩形的性质可得AD=BC=2，AB=CD=10，由全等三角形的性质可得DF=CF=CD=5，然后根据勾股定理进行计算.
25．下面是小明解决某数学问题的过程，请认真阅读并解决相应学习任务：
数学问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：（　　）．现已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使每个星期的利润达到6080元，且顾客能够得到更大的实惠？
解：设…，
根据题意，所列出方程：（20﹣x）（300＋ ×40）＝6080，
…
根据小明所列方程，完成下列任务：
（1）填空：数学问题中括号处短缺的条件是　 　，小明所列方程中未知数x的实际意义是　 　．
（2）请你重新设一个未知数，要求所设未知数与小明所列方程中未知数的意义不同，并结合所补充的条件，解决上面的数学问题．
【答案】（1）售价每降低2元，销售量增加40件；售价降低了x元
（2）解：设商品定价为 元时，每个星期的利润达到6080元，由题意可得：
（ ﹣40）（300+ ×40）＝6080，
整理，得： ﹣115 +3304＝0，
解得： 1＝56， 2＝59，
又∵要让顾客能够得到更大的实惠，
∴商品应该定价为56元．
【解析】【解答】（1）由题意可得：售价为每件60元时，商品的单价利润为60﹣40＝20（元），
由所列方程中（20﹣x）表示单价利润降低了x元，说明其售价降低了x元，
由所列方程中（300+ ）表示商品销售量提高了（ ）件，说明其售价每降低2元，商品销售量增加40件，
∴短缺的条件是：售价每降低2元，销售量增加40件；
小明所列方程中未知数x的实际意义是“售价降低了x元”，
故答案为：售价每降低2元，销售量增加40件；售价降低了x元；
【分析】（1）根据售价为每件60元时，商品的单价利润为60﹣40＝20（元），求解即可；
（2）先求出 （ ﹣40）（300+ ×40）＝6080， 再求出 1＝56， 2＝59， 最后求解即可。
26．某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数.在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10.
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10.
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 6 2.6
乙组 7
（1）以上成绩统计分析表中　 　，　 　，　 　；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是　 　组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由.
【答案】（1）6；7；7
（2）甲
（3）解：选乙组参加决赛.理由如下：
，
∵甲乙组学生平均数一样，而 ，
∴乙组的成绩比较稳定，故选乙组参加决赛.
【解析】【解答】解：（1）乙组的平均数为：；
∵甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10，
处于最中间的数是6，6，
∴这组数据为中位数是a=（6+6）=6；
∵乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10，
7出现了4次，是这组数据中出现次数最多的数，
∴c=7；
故答案为：6，7，7
（2）∵甲组和乙组的平均数相等，都是7，甲组的中位数是6，乙组的中位数是7，
∴小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是
甲组的学生.
故答案为：甲
【分析】（1）利用平均数公式求出b的值；再利用中位数的计算方法求出a的值；然后根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可得到c的值.
（2）利用甲乙两组的中位数及小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上!”可得答案.
（3）利用方差公式求出乙组参加决赛的方差，由于甲乙两班学生的平均数一样，根据方差越小数据越稳定，可得答案.
27．某校为了解九年级学生“一分钟跳绳”体育测试项目情况，随机抽取了九年级部分学生组成测试小组行调查测试，对这部分学生“一分钟跳绳”测试的成绩按A，B，C，D四个等级进行了统计，并绘制了如图所示的不完整统计图．
（1）本次抽样调查的样本容量为　 　，并将条形统计图补充完整　 　；
（2）若该校九年级共有400名学生，根据以上样本估计全校九年级“一分钟跳绳”测试成绩为A等级的学生人数．
【答案】（1）80；
（2）解：解： （名）．
答：全校九年级“一分钟跳绳”测试成绩为A等级的学生约有120名．
【解析】【解答】解：（1）样本容量为： ，
B等级的人数为：80-24-20-4=32，
故答案为：80；
补全图形：
【分析】（1）利用C等级的人数除以百分数即可求出样本容量，再求出B等级的人数，再作图即可；
（2）利用A等级的比例乘以400即可求出人数。
28．网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对 岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查，得到了如图所示的两个不完全统计图.
请根据图中的信息，解决下列问题：
（1）求条形统计图中 的值.
（2）求扇形统计图中 岁部分所占的百分比；
（3）据报道，目前我国 岁网瘾人数约为 万，请估计其中 岁的人数.
【答案】（1）解：被调查人数 （人），
∴ （人）.
（2）解： 岁部分所占百分比为 .
（3）解：
∵ 岁网瘾人数均为 万，
∴ 岁人数约为 万 万.
答：其中 为 万人.
【解析】【分析】（1）利用30~35岁人数330除以其所占的百分比22%，先求出被调查人数，再用被调查的人数分别减去18至35岁的人数求出12-17岁人数；
（2）18~23岁部分百分比=18~23岁人数÷被调查人数；
（3）12~35岁人数=总人数×抽样调查12~35岁人数百分比即可得出答案.
29．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，，.
（1）如图1，求点A、B、C的坐标；
（2）如图2，若点D在第一象限且满足，，线段BD交y轴于点G，求线段BG的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足.请探究BE、CE、AE之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）解：∵，，
∴在中，有：，
∴，
∵，
∴，
∴，，；
（2）解：∵，，
∴在中，，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，；
（3）解：，理由如下：
由（2）可知：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
延长至F，使，连接，过A点作于M点，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴
∴，
∴，
即.
【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得AO=AB=1，利用勾股定理可求出BO的值，由OB=OC可得OC的值，据此不难得到点A、B、C的坐标；
（2）利用勾股定理可求出AC的值，推出AB=AC，结合AD=AC可得AD=AB=2，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠ADB，根据内角和定理可得∠BAO=60°，则∠BAG=120°，利用SSS证明△BAO≌△CAO，得到∠BAO=∠CAO=60°，然后求出∠GAD、∠BAD、∠GBO的度数，推出BO=OG，然后利用勾股定理就可求出BG的值；
（3）由（2）可知∠ADB=15°，根据等腰直角三角形的性质可得∠ADC=∠ACD=45°，则∠BDC=∠BEC=60°，延长EB至F，使BF=CE，连接AF，过A点作AM⊥EF于M点，利用SAS证明△ABF≌△ACE，得到AF=AE，∠BAF=∠CAE，进而求出∠F=∠AEF=30°，根据等腰三角形的性质可得ME=EF，根据含30°角的直角三角形的性质可得AM=AE，由勾股定理表示出ME，据此解答.
30．为落实“双减”政策，某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成两幅统计图，试根据图中的信息，完成下列问题：
（1）学校这次调查共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补充条形统计图；
（3）若学校共有学生 3000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？
【答案】（1）解：∵（名），
∴学校这次调查共抽取了名学生．
（2）解：∵“民乐”的人数为：（人），
∴补全图形如下：
（3）解：∵（人），
∴该校有750名学生喜欢书法．
【解析】【分析】（1）利用“戏曲”的人数除以对应的百分比可得总人数；
（2）先利用总人数求出“民乐”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）根据题意列出算式求解即可。
31．端午假期刚过，集美龙舟队有开始新的一轮训练，为更加有效训练队员，集美龙舟队决定公开招聘教练，经过笔试后筛选出甲、乙两位教练进行面试和体侧，两人的成绩如下表.
　 体侧 面试
甲 90 88
乙 84 92
（1）当体侧成绩权重为6，面试成绩权重为4，请问甲、乙两人谁的成绩高？
（2）当体侧成绩权重为 ，面试和体侧各有权重，并且权总和为10，请问当 取什么范围，乙成绩比甲高？
【答案】（1）解：甲的平均成绩为：（90×6+88×4）÷10=89.2（分），
乙的平均成绩为：（84×6+92×4）÷10=87.2（分），
∴甲的成绩较高
（2）解：因为体侧成绩权重为 ，所以面试的权重为10-a，
甲的成绩：[90a+88(10-a）]÷10= ，
乙的成绩：[84a+92(10-a）]÷10=- a+92，
∵要使乙的成绩比甲的成绩高，
∴- a+92> ，
解得：a<4，
∴a的范围是0【解析】【分析】（1）利用体侧、面试的成绩乘以对应的权重，然后除以10可得平均成绩；
（2）由体侧成绩权重为a，可得面试的权重为10-a，同理可表示出甲、乙的成绩，然后根据乙成绩比甲高列出关于a的不等式，求解即可.
32．某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图.
请解答下列问题：
（1）在这次调查中，该校一共抽样调查了　 　名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是　 　°；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数.
【答案】（1）200；72
（2）解：选择足球的学生有：（人），
补全的条形统计图如图所示：
（3）解：（名），
答：估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有180名.
【解析】【解答】解：（1）（名），
在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是，
故答案为：200，72；
【分析】（1）用选择“乒乓球”项目的学生人数除以所占的百分比即可得出在这次调查中，该校一共抽样调查的学生人数；用360°× 选择 “跑步”项目的学生人数所占的百分比即可求出 扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数 ；
（2）根据各组人数之和等于本次调查抽取的总人数可算出选择“足球”项目的人数，据此可补全条形统计图；
（3）用该校学生的总人数×样本中选择“篮球”项目的人数所占的百分比即可估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数 .
33．如图，一长方形草坪长50米，宽30米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的长方形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是924米．
（1）求小路的宽度；
（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．
【答案】（1）解：设小路的宽为x米，根据题意得，或（舍去）答：小路的宽为8米；
（2）解：（元）答：修建两条小路的总费用为115200元．
【解析】【分析】（1）设小路的宽为x米，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）根据（1）的结果，列出算式求解即可。
34．2024年上半年磊磊家的草莓大丰收．为了运输方便，磊磊的爸爸打算把一批长为 宽为的长方形纸板制成有底无盖的盒子．如图，在长方形纸板的四个角各截去一个边长为 的小正方形，然后沿折线折起即可．现将盒子的外表面贴上彩纸，用来盛放草莓．
（1）制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？
（2）当，时，制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？
【答案】（1）
（2）
35．某同学参加了学校举行的“五好小公民·红旗飘飘”演讲比赛，7名评委给该同学的打分(单位：分)情况如下表：
评委 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 评委6 评委7
打分 6 8 7 8 5 7 8
（1）直接写出该同学所得分数的众数与中位数.
（2）计算该同学所得分数的平均数.
【答案】（1）解：众数8，中位数7
（2）解：该同学所得分数的平均数为
【解析】【解答】解：(1)按从小到大的顺序排列此组数据：5，6，7，7，8，8，8，
数据8出现了三次，出现次数最多，为众数，
数据7处在第4位，为中位数.
【分析】(1)根据众数的定义和中位数的定义求解，即一组数据中出现次数最多的数叫众数；中位数是将一组数据从大到小的顺序排列，处于最中间的位置的数是中位数，如果这组数据的个数是偶数，则是中间两个数据的平均数.
(2)根据平均数公式列式计算即可.
36．如图，四边形ABCD是平行四边形，，过点C作，交AD的延长线于点E.
（1）求证：四边形BDEC是菱形；
（2）连接BE，若，，求BE的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD＝BC.
∵AD＝BD，
∴BD＝BC.
∵，，
∴四边形BDEC是平行四边形.
又∵BD＝BC，
∴四边形BDEC是菱形；
（2）解：连接BE交CD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4.
由（1）知四边形BDEC是菱形，
∴DO＝CO＝CD＝2，BO＝BE，CD⊥BE.
在Rt△BDO中，BD＝AD＝7，DO＝2，
∴BO＝＝＝，
∴BE＝2BO＝.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 AD∥BC，即DE∥BC，结合CE∥BD，则可证明四边形BDEC是平行四边形，结合BD＝BC，即可得出结论；
（2）连接BE交CD于O，由平行四边形的性质求出CD长，根据菱形的性质求出OD长，在Rt△BDO中， 根据勾股定理求出BO，再根据菱形的性质即可求出BE长.
37．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若∠ABC=120°，AB=6，求矩形OBEC的周长；
【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴，
∴四边形OBEC是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=6，
∴BC=AB=6，，
∴，
在，，，
∴矩形OBEC的周长为：．
【解析】【分析】（1）先证出四边形ABCD是平行四边形，再结合，即可得到四边形OBEC是矩形；
（2）先求出，，再利用矩形的周长公式求解即可。
38．某学校为了解该校七年级学生疫情防控知识的情况，对七年级共400名学生进行了测试，从中随机抽取40名学生的成绩（百分制）进行整理、描述，得到部分信息：
a.这40名学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成5组：，，，，；）
b.成绩在这一组的是：89 89 88 88 88 87 87 86 85 84 84 83 82 80 80 80 80
c.成绩不低于85为优秀.
根据以上信息，回答问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）下面说法正确的是　 　.
①本次抽样调查的样本容量是40；
②样本中，成绩为100分的学生不超过6人.
（3）估计该校七年级400名学生成绩优秀的人数.
【答案】（1）解：由题意得，成绩在80≤x＜90这一组的的频数是17，
∵随机抽取40名学生的成绩，
∴成绩在70≤x＜80这一组的频数为：40-1-3-6-17=13，
补全频数分布直方图：
；
（2）①②
（3）解：400×=150（人），
答：估计该校七年级400名学生成绩优秀的人数有150人.
【解析】【解答】（2）解：①由随机抽取40名学生的成绩得本次抽样调查的样本容量是40，①正确；
由频数分布直方图得成绩在90≤x＜100这一组的频数是6，所以成绩为100分的学生不超过6人.②正确；
故答案为：①②；
【分析】（1）由题意可得成绩在80≤x＜90这一组的的频数是17，然后根据样本容量=各小组频数之和可求得成绩在70≤x＜80这一组的频数，然后可补充完整频数分布直方图；
（2）样本容量就是抽取样本的数目，据此可判断①；根据直方图，成绩在 的人数才由6人，据此可判断②；
（3）用样本中成绩为优秀的学生人数所占的比例乘以该校七年级学生的总人数即可估计该校七年级400名学生成绩优秀的人数.
39．“新冠肺炎”疫情牵动着14亿中华儿女的心，渠县人民政府积极响应国家号召，及时对广大人民群众进行疫情防控宣传.如图，一笔直公路MN，村庄A到公路MN的距离为600 m，若在宣传车P方圆1000 m以内能听到广播宣传，那么宣传车P在公路MN上沿MN方向行驶时：
（1）村庄能否听到宣传？请说明理由.
（2）如果能听到，已知宣传车的速度是200 m/min，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
【答案】（1）解：村庄能听到宣传，理由如下：过点A作AB⊥MN于B，
∵村庄A到公路MN的距离为600米<1000米
∴村庄能听到宣传
（2）解：如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，
则AP=AQ=1000米，AB=600米，
∴BP=PQ= = =800米，
∴PQ=BP+BQ=800+800=1600米，
∴影响村庄的时间为：1600÷200=8分钟
∴村庄总共能听到8分钟的宣传.
【解析】【分析】（1）过点A作AB⊥MN于B，然后根据村庄A到公路MN的距离小于1000米进行判断；
（2）假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，则AP=AQ=1000米，AB=600米，由勾股定理可得BP=PQ=800米，然后求出PQ的长，除以宣传车的速度就可求出能听到的时间.
40．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．
（1）仅用圆规在平面内找一点D（异于点A），使得点D到射线AB、AC的距离相等，且DB＝5；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求四边形ABDC的面积．
【答案】（1）解：如图，点D即为所求 ，
（2）解：如图，分别连接BD，CD，AD，AD于BC交于点O，
易得AD垂直平分BC，
由（1）可知，BD=BA，
∴四边形ABDC为菱形，
∴BC=2BO，AD=2AO，
∵BC=6，
∴BO=3，
在Rt△AOB中，AB=5，
∴AO==4，
∴AD=8，
∴四边形ABDC的面积=BC·AD=×6×8=24.
【解析】【分析】（1）分别以点B、点C为圆心，BA长为半径，画圆弧并交于BC线段下的点D，此时点D到射线AB、AC的距离相等，且DB=5；
（2）分别连接BD，CD，AD，AD于BC交于点O，易得AD垂直平分BC，由（1）可知，BD=BA，根据菱形性质可得BC=2BO，AD=2AO，由BC=6，则BO=3，再利用勾股定理求得AO=4，则AD=8，最后由菱形的面积公式，即四边形ABDC的面积=BC·AD，代入数据计算即可求解.
41．如图所示，在平行四边形中，，点F是的中点，连接，延长交的延长线于点H，平分交于点E．
（1）若，，求的长；
（2）点M在上，满足，连接交于点N，求证四边形是平行四边形；
（3）在（2）的条件下，若，求证：．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出AB=4，利用平行四边形的性质可得， 根据直角三角形斜边中线的性质可得；
（2）由角平分线的定义及平行四边形的性质可得AB=CD，，利用等角对等边可得，再利用线段的和差可求出AM=DE，结合AM∥DE，根据平行四边形的判定即得结论；
（3）先证，可得，，由平行四边形的性质可得 ，， ，从而得出是的中位线，可得 ，， 根据平行线的性质及三角形外角的性质可得 ， 利用等边对等角可得， 再根据直角三角形斜边中线的性质可得，
则，进一步可得，从而得出，进而可得 ．
42．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O是坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝5，OC＝4.
（1）如图①，将矩形沿对角线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与CB相交于点E，请问重叠部分△OBE是什么三角形？说明你的理由：并求出这个三角形的面积；
（2）如图②，点E、F分别是OC、OA边上的点，将△OEF沿EF折叠，使得点O正好落在BC边上的D点，过点D作DH⊥OA，交EF于点G，交OA于点H，若CD＝2，求点G的坐标；
（3）如图③，照(2)中条件，当点E、F在OC、OA上移动时，点D也在边BC上随之移动，请直接写出BD的取值范围.
【答案】（1）解： 是等腰三角形，理由如下：
如下图，
图形折叠
矩形
即
是等腰三角形
设 ，则
在 中，
求得
（2）解：如下图，
∵图形折叠
， 是等腰三角形
设 ，则
在 中
，求得
即
（3）解：①当点E运动到与点C重合时，如下图：
此时，CD=OC=4，则BD=BC-CD=1；
②当点F运动到与点A重合时，如下图：
此时，AD=OA=5，在Rt△ABD中，BD= = =3，
∴BD的取值范围为1≤BD≤3.
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质和矩形的性质，得出 ， ，进而得到 是等腰三角形，再利用勾股定理求出EB的长，进而求面积即可；（2）易得点G的横坐标为2，根据折叠的性质和DH⊥OA，得出 ，再在 中利用勾股定理求出DG的长即可得到点G的纵坐标；（3）分两种情况考虑：①当点E运动到与点C重合时；②当点F运动到与点A重合时，分别求出BD的值，即可得到BD的取值范围.
43．如图1，在平面直角坐标系平行四边形中，点C坐标为，点A在x轴上，，．动点P从点O出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点Q到达点O时，点P也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）的长为　 　，的长为　 　；
（2）当t为何值时，线段恰好被平分？
（3）如图2，若在y轴上有一点D，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 （直接写出答案）．
【答案】（1）4；8
（2）解： 运动时间为t（），由题意，得，，
如图，过Q作交于N，设与交于M，如图2，
线段被平分，
，
四边形为平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
∴当t为4秒时，线段恰好被平分；
（3）或
【解析】【解答】（1）解：过C作于E，如图1，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4，8；
（3）解：在中，，
，
，
，，
，
，
过P作于F，则，如图1，
，
，
，
，
，
D在y轴上，
，
当为平行四边形对角线时，如图所示，
平行四边形中，，，
，
，
，
，
；
当为平行四边形对角线时，如图所示，
平行四边形中，，，
，
，
，
，
；
综上，点D的坐标为或.
故答案为：或.
【分析】（1）过C作CE⊥OA于点E，由点C的坐标可得OE=2，由直角三角形量锐角互余得∠OCE=∠OAC=30°，从而根据含30°角直角三角形的性质可求出OC及OA的长；
（2）过Q作交于N，设与交于M，由平行四边形的对边平行得CN∥OQ，从而可由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形OCNQ是平行四边形，由平行四边形的对边相等得OC=QN=4，可用ASA判断出△CMP≌△NMQ，由全等三角形的对应边相等得PCNQ=4，然后根据OC+PC=OP建立方程，求解即可；
（3）首先求出点C，用含t的式子表示出Q的坐标，过P作PF⊥OA于F，根据含30°角直角三角形的性质可用含t的式子表示出P点坐标，根据y轴上点的坐标特点，设出点D的坐标；分PC为平行四边形对角线，CQ为平行四边形对角线两种情况，结合平行四边形的性质求解．
（1）解：过C作于E，如图1，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
（2）解： 运动时间为t（），
由题意，得，，
如图，过Q作交于N，设与交于M，如图2，
线段被平分，
，
四边形为平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
∴当t为4秒时，线段恰好被平分；
（3）解：在中，，
，
，
，，
，
，
过P作于F，则，如图1，
，
，
，
，
，
D在y轴上，
，
当为平行四边形对角线时，如图所示，
平行四边形中，，，
，
，
，
，
；
当为平行四边形对角线时，如图所示，
平行四边形中，，，
，
，
，
，
；
综上，点D的坐标为或
44．如图，四边形中，AD//BC，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，且点在四边形内部，延长交于点，连接．且．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若点是的中点，，求的长．
【答案】（1）证明：∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∠A=∠D=90°，
∴△ABE≌△GBE，
∴∠BGE=∠A=90°，AE=GE，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=∠D=90°，
∵EA=ED，
∴EG=ED，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）；
（2）证明：由折叠性质可得，AB=BG，
∵ADBC，∠A=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∴BG=DC；
（3）解：由折叠可知AB=GB，
由（1）知Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF，
又∵∠C=90°，AB=CD，FD=CF，
∴GB=2GF，BF+GF=3GF，
∵，
∴，
∴GF=2，
∴CD=2GF=4．
【解析】【分析】（1）利用折叠的性质，全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）利用矩形的判定方法求出 四边形ABCD是矩形， 再求解即可；
（3）利用全等三角形的性质求出 GF=DF， 再求出 GB=2GF，BF+GF=3GF， 最后利用勾股定理计算求解即可。
45．如图，已知直线y=kx+b与直线y=-x-9平行，且y=kx+b还过点（2，3），与y轴交于A点.
（1）求A点坐标；
（2）若点P是该直线上的一个动点，过点P分别作PM垂直x轴于点M，PN垂直y轴于点N，在四边形PMON上分别截取：PC=MP，MB=OM，OE=ON，ND=NP，试证：四边形BCDE是平行四边形；
（3）在（2）的条件下，在直线y=kx+b上是否存在这样的点P，使四边形BCDE为正方形？若存在，直接写出所有符合的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线y=kx+b与平行，且过点A（2，3），
∴
∴，
∴一次函数解析式为，
当x=0时，y=4，
∴A点坐标是（0，4）
（2）证明：∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴
∴四边形PMON是矩形，
∴PM=ON，OM=PN，
∵PC=MP，MB=OM，OE=ON，ND=NP，
∴PC=OE，CM=NE，ND=BM，PD=OB，
在和中，
∴（SAS），
∴，
同理可证：（SAS），
∴
∴四边形BCDE是平行四边形；
（3）解：存在，P点坐标是或（-8，8)．
【解析】【解答】解：（3）存在这样的点P，理由如下：
设点
则
当四边形BCDE为正方形时，
则∠DCB=90°，DC=BC，
而∠CBM+∠MCB=90°，∠MCB+∠DCP=90°，
∴∠CBM=∠DCP，
而∠DPC=∠CMB=90°，
∴（AAS），
∴CM=PD，
即
解得：或-8，
所以：存在这样的点P；P点坐标是或（-8，8)．
【分析】 (1) 两直线平行，则k值一定相等，结合待定系数法求一次函数解析式，进而求得直线上点的坐标； (2) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，按照此思路，通过全等证边相等；(3)由平行四边形证正方形，一是要证邻边相等，二要证明邻边夹角是90度。若这两个条件成立，则必会有CM=PD，进而可求出点坐标。
46．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为a、b（a（1）结合图①，求证：a2+b2=c2；
（2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH，若该图形的周长为24，OH=3，求该图形的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3。若S1+S2+S3=18，则S2=　 　
【答案】（1）证明：S大正方形=4× ab+（b-a）2=c2，化简，得a2+b2=c2
（2）解：24÷4=6，设AH=x，则AB=6-x，在Rt△AOB中，由勾股定理，
得（x+3）2+32=（6-x）2，解得x=1，∴该图形的面积S= ×3×（3+1）×4=24
（3）6
【解析】【分析】（1）利用大正方形的面积=4×直角三角形的面积+小正方形的面积，再进行化简，即可得出答案；
（2） 设AH=x，得出AB=6-x，利用勾股定理列出方程，解方程求出x的值，利用该图形的面积=4×直角三角形的面积，代入数值进行计算，即可得出答案；
（3）根据题意用含a，b的式子表示出S1、S2、S3，代入S1+S2+S3=18， 得出 a2+b2=6 ，即可得出答案.
47．为了探索代数式的最小值，
小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作，连结AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则，则问题即转化成求AC+CE的最小值．
（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得的最小值等于　 　，此时x=　 　；
（2）题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想；
（选填：函数思想，分类讨论思想、类比思想、数形结合思想）
（3）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值．
【答案】（1）10；
（2）小张巧妙的运用了数形结合思想
（3）解：过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点
根据题意，四边形ABDF为矩形
EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12
∴
即AC+CE的最小值是13．
【解析】【解答】解：（1）过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点
根据题意，四边形BDEF为矩形
AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8
∴
即AC+CE的最小值是10
∵EF∥BD
∴
∴
解得：
故答案为：10；；
【分析】（1）根据两点间线段最短可知AC+CE的最小值就是线段AE的长度，过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点，在三角形AEF中运用勾股定理计算即可；
（2）根据（1）的解答过程即可得出结论；
（3）根据两点间线段最短可知AC+CE的最小值就是线段AE的长度， 过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点 ，在三角形AEF中运用勾股定理计算即可。
48．【阅读下列材料】：
若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．）
【例】：若，，，求的最小值．
解：∵，，∴，
∴．
∴时，的最小值为8．
【解决问题】
（1）用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；
（2）用一段长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少；
（3）如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值．
【答案】（1）这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；
（2）菜园的长为50m，宽为m时，面积最大为；
（3）四边形面积的最小值为．
49．如图，在中，，是边上不与点重合的任意一个动点，，垂足为是的中点．
（1）求证：；
（2）如果，的周长为，求线段的长度；
（3）当点在线段上移动时，的大小是否发生变化？如果不变，求出的大小；如果发生变化，说明如何变化．
【答案】（1）证明：在中，，是的中点，
∴，同理，得，
∴
（2）解：∵在中，，
∴，
由勾股定理，得，
又∵的周长为，∴.
设，则，
在中，，
∴ .
∴，解得.
∴
（3）解：不变.
∵是的斜边的中点，
∴.
∴.
∴
同理，得 .
∴
又∵，
∴，
∵
∴
【解析】【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线即可得到，同理，得，进而即可求解；
（2）先根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，进而根据勾股定理即可求出AC，从而根据题意即可得到，设，则，根据勾股定理即可求出x，进而即可求解；
（3）不变，先根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得到，进而根据等腰三角形的性质结合题意进行等量代换即可得到 ，再结合题意运用即可求解。
50．综合与实践﹣﹣图形变换中的数学问题．
问题情境：
如图1，在Rt△ABC中，AB＝5，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°．将△ABC沿AC翻折得到△ADC，然后展平，两个三角形拼成四边形ABCD．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）初步探究：
将△ABC从图1位置开始绕点B按逆时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°），得到△EBF，其中点A，C的对应点分别是点E，F，连接AE，FC并分别延长，交于点M．试猜想线段AM与FM的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）如图3，连接DE，当DE∥CM时，请直接写出CM的长．
【答案】（1）解：
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠BCA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵△ABC沿AC翻折得到△ADC，
∴△ABC≌△ADC，
∴AD＝AB，CD＝BC，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠B＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
（2）解：
由旋转可知，△ABC≌△EBF，
∴AB＝BE，BC＝BF，AC＝EF，∠ABE＝∠CBF＝α，
在△ABE和△CBF中， ，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB＝∠BFC，AE＝CF，
∵AB＝BC，
∴AB＝BE＝BC＝BF，
∴∠BCF＝∠BFC，
∴∠AEB＝∠BCF，
∵∠BEF＝∠ACB＝45°，∠AEB＝∠BCF，
∴180°﹣（∠AEB+∠BEF）＝180°﹣（∠BCF+∠ACB），
∴∠FEM＝∠ACM，
在△ACM和△FEM中， ，
∴△ACM≌△FEM（AAS），
∴AM＝FM，∠MAC＝∠MFE，
∵∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠MAC＝45°﹣∠DAM，∠MCA＝45°+∠MCD，
∴∠DAM＝∠MCD，
∴∠MAC+∠ACM＝45°﹣∠DAM+45°+∠MCD＝90°，
∴∠M＝90°，
∴AM⊥FM，
故答案为：AM⊥FM且AM＝FM．
深入探究：
（3）CM＝
【解析】【解答】解：（3）取AC的中点G，连接EG，BG，
∵DE∥CM，
∴∠DEM＝∠M＝90°，
∵AG＝GE＝ ，AB＝BE，
在△BAG和△BEG中， ，
∴△BAG≌△BEG（SSS），
∠BEG＝∠BAG＝90°，∠GBA+∠GBE＝ ，
∵∠EBA＝α，
∴∠EAB＝ ，
∴∠ABG+∠BAE＝ + ＝90°，
∴BG⊥AE，
∵AB＝5，AG＝ ，
∴BG＝ ，
∴AE ＝ ×2×5× ，
解得：AE＝2 ，
设CM＝ME＝x，
在Rt△ACM中，x2+（x+2 ）2＝（5 ）2，
∵x＞0，
∴x＝ ，
故CM＝ ．
【分析】（1）先求出 △ABC≌△ADC， 再求出 四边形ABCD是菱形， 最后作答求解即可；
（2）利用SAS证明 △ABE≌△CBF ，再求出 ∠M＝90°， 即可作答；
（3）先求出∠EAB＝ ，再求出AE＝2 ，最后利用勾股定理计算求解即可。
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