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湘教版2024—2025学年八年级下册期末模拟实战演练卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若一个多边形的每个外角都等于36°，则它的内角和是（ ）
A．1 080° B．1 440° C．1 800° D．2 160°
3．已知点
，
在一次函数
的图像上，则m与n的大小关系是（ ）
A． B．m=n
C．m＜n D．无法确定
4．下列命题的是真命题的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．邻边相等的平行四边形是矩形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．三个角等于90度的四边形是矩形
5．如图，在矩形中，O为的中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，若，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列数学曲线中（不含x，y轴），是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．如图，矩形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心以对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在 中， 分别是 的中点，点F在 延长线上，添加一个条件使四边形 为平行四边形，则这个条件是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在给定的正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动， 交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直减小后增大
C．一直不变 D．先增大后减小
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在长方形中，连接，分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M．若．则的长为 ．
12．若某一次函数当自变量x的取值范围是时，函数值y的范围是，请写出此一次函数的解析式 ．
13．矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线的长为，那么矩形的周长为 ．
14．一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 时，此三角形为直角三角形．
15．如图，将的斜边AC绕点C顺时针旋转得到CD，直角边BC绕点C逆时针旋转β得到CE，若AC＝5，BC＝4，且 ，则DE＝ ．
16．在平面直角坐标系中，对于任意一点，我们把点称为点M的“中分对称点”．如图，矩形ABCD的顶点A、B在x轴上，点C的坐标为（2，1），矩形ABCD关于y轴成轴对称．若P在上运动，点Q是点P的“中分对称点”，且点Q在矩形ABCD的一边上，则的面积为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在平行四边形中，过点A作变边于点E，点F在边上，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，且，求线段的长．
18．近日，我校正在创建全国的“花香校园”．为了进一步美化校园，我校计划购买A，B两种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，购买3盆A种花和2盆B种花需要22元．
（1）A，B两种花的单价各为多少元？
（2）学校若购买A，B两种花共1000盆，设购买的B种花m盆，总费用为元，请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少，并求出最少费用为多少元？
19．如图，平面直角坐标系中有一矩形，在轴上，在轴上，点的坐标为，将沿折叠，点与点重合，与交于．
（1）求点的坐标；
（2）若点与点、、是平行四边形的四个顶点，求所在直线的解析式．
20．在ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．
（1）如图1，若AC＝BC，求证：四边形DECF为菱形；
（2）如图2，过C作CGAB交DE延长线于点G，连接EF，AG，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有与ADG面积相等的平行四边形．
21．一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶．两车相遇后休息一段时间，再同时继续行驶．两车之间的距离与货车行驶时间之间的函数图象如图所示的折线，结合图象回答下列问题：
（1）求两车的速度分别是多少？
（2）求线段的函数关系式．直接写出货车出发多长时间，与轿车相距？
22．已知一次函数 的图象经过点 和 .
（1）求该函数的表达式；
（2）若点 是 轴上一点，且 的面积为10，求点 的坐标.
23．如图，在 中， 平分 交 于点 于点 ，且 为 的中点.
（1）求 的度数.
（2）若 ，求 的长.
24．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的长．
25．在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF.
（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF=EM；
（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF=BE＋DF.
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湘教版2024—2025学年八年级下册期末模拟实战演练卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一次函数的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】【解答】解：∵一次函数的解析式为，
∴一次函数的k=4>0，b=6>0，
∴一次函数的图象呈“上升”趋势，且经过y轴的正半轴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，
∴一次函数的图象不经过第四象限，
故答案为：D.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系可得一次函数的图象呈“上升”趋势，且经过y轴的正半轴，再求解即可.
2．若一个多边形的每个外角都等于36°，则它的内角和是（ ）
A．1 080° B．1 440° C．1 800° D．2 160°
【答案】B
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，根据多边形的外角和为360°可得，36°×n=360°，解得n=10．所以这个多边形的内角和为（10-2）×180°=1440°．
故答案为：B.
【分析】先利用“多边形的每个外角都等于36°”求出多边形的边数，再利用多边形内角和公式求解即可。
3．已知点
，
在一次函数
的图像上，则m与n的大小关系是（ ）
A． B．m=n
C．m＜n D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：在一次函数y=2x+1中，
∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大．
∵2< ，
∴．
∴m故答案为：C
【分析】根据k=2>0，可得y随x的增大而增大，再利用此性质结合可得答案。
4．下列命题的是真命题的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．邻边相等的平行四边形是矩形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．三个角等于90度的四边形是矩形
【答案】D
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题；
B、邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题；
D、三个角等于90°的四边形是矩形，正确，是真命题；
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理判断即可.
5．如图，在矩形中，O为的中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，若，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：在矩形中，O为的中点，
∴OB=OA=OC，
∵AB=BO，
∴OB=OA=AB，
∴△ABO为等边三角形，则∠BAO=∠ABO=∠AOB=60°，故A不符合题意；
∵BE=EO，
∴∠EBO=∠BOE，
∵∠ABO=∠AOB，
∴∠AOB+∠BOE=∠ABO+∠EBO=∠ABE=90°，即∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，故B不符合题意；
∵OC=CD，CF=CF，∠FOC=∠D=90°，
∴Rt△OFC≌△DFC（HL），
∴OF=FD，故C不符合题意；
连接AE，∵AB=AO，BE=OE，
∴AE垂直平分BO，
∴∠BAE=∠OAE=30°，
∴AE=2BE，
∴AB=BE，则D错误，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质及已知可得OB=OA=AB，可证△ABO为等边三角形，据此判断A；由BE=EO可得∠EBO=∠BOE，从而得出∠AOE=∠AOB+∠BOE=∠ABO+∠EBO=∠ABE=90°，据此判断B；再证Rt△OFC≌△DFC（HL），可得OF=FD，据此判断C；连接AE，由AB=AO，BE=OE可得AE垂直平分BO，从而得出∠BAE=∠OAE=30°，可得AE=2BE，AB=BE，据此判断D即可.
6．下列数学曲线中（不含x，y轴），是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一个点旋转180°后与原来的图形重合，所以都不是中心对称图形，选项D中能够找到一个点，使图形绕某一个点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的概念判断，把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫作中心对称图形.
7．如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，，则等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，延长BD与AC相交于F，
M是的中点，
DM为中位线，
，
，
平分，，
，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】根据三角形中位线的判定推出DM为中位线，延长BD与AC相交于F，再根据等腰三角形的性质即可推出结论.
8．如图，矩形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心以对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB=1，AD=2，
∴AC=AE==，
∴点E到原点的距离为+1，
∴点E表示的数为-1-.
故答案为：C.
【分析】由勾股定理可得AC=AE==，然后求出点E到原点的距离，进而可得点E表示的数.
9．如图，在 中， 分别是 的中点，点F在 延长线上，添加一个条件使四边形 为平行四边形，则这个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵在 中， 分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
A、根据 不能判定 ，即不能判定四边形 为平行四边形，故本选项不符合题意．
B、根据 可以判定 ，即 ，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形 为平行四边形，故本选项符合题意．
C、根据 不能判定 ，即不能判定四边形 为平行四边形，故本选项不符合题意．
D、根据 不能判定四边形 为平行四边形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判定即可。
10．如图，在给定的正方形中，点E从点B出发，沿边方向向终点C运动， 交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直减小后增大
C．一直不变 D．先增大后减小
【答案】A
【解析】【解答】解：作PH⊥BC交BC的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形DFEP是平行四边形，
∴，，
∵， ，
∴，
∵，．
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
∴点P的运动轨迹是的角平分线，
∵，
由图可知，点P从点D开始运动，所以一直减小.
故答案为：A.
【分析】作PH⊥BC交BC的延长线于H，易得AD=BC=AB，∠DAF=∠ABE=∠DCB=∠DCH=90°，根据同角的余角相等得∠BAE=∠ADF，证明△ADF≌△BAE，得到DF=AE，根据平行四边形的性质可得DF=PE，∠DFE=∠DPE，易得∠BAE=∠PEH，证明△ABE≌△EHP，得到PH=BE，AB=EH=BC，推出BE=CH=PH，进而推出CP为∠DCH的角平分线，则∠DFE+∠EPC=∠DPE+∠EPC=∠DPC，据此判断.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在长方形中，连接，分别以B，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M．若．则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接BM，由作图过程知：EF垂直平分BD，
∴MB=MD，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=90°，在Rt△ABM中，AB=2，BM=DM=AD-AM=4-AM，
∴BM2=AB2+AM2，
∴（4-AM）2=22+AM2，
∴AM=。
故第1空答案为：。
【分析】首先根据线段的垂直平分线的性质得出BM=DM，得出BM=AD-AM=4-AM，然后再Rt△ABM中，根据勾股定理求得AM的长即可。
12．若某一次函数当自变量x的取值范围是时，函数值y的范围是，请写出此一次函数的解析式 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：设一次函数的解析式为：y=kx+b，
①当y随x的增大而增大时，x=0时，y=-2；x=4时，y=6，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y=2x-2；
②当y随x的增大而减小时，x=0时，y=6；x=4时，y=-2，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y=-2x+6；
综上所述：一次函数的解析式为：y=2x-2或y=-2x+6；
故答案为：y=2x-2或y=-2x+6.
【分析】利用待定系数法求函数解析式即可。
13．矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线的长为，那么矩形的周长为 ．
【答案】
【解析】【解答】如图所示，
矩形ABCD中，对角线AD与BC交于点O，∠AOC=60°，AD=2
∴ AD=BC，AO=CO=1
∴是等边三角形
∴ AC=1，DC==
∴ 矩形周长=2（AC+CD）=
=
【分析】本题考查矩形的对角线的性质、等边三角形的性质，勾股定理的计算及矩形周长公式。题目中，画图能帮助我们清楚理解题目的条件，理清思路。根据矩形对角线相等且互相平分的性质和夹角60°，可得等边三角形，得到边AC长，根据勾股定理，计算出另一条边CD长，求出周长即可。
14．一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 时，此三角形为直角三角形．
【答案】或5
【解析】【解答】解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况：
①边长为4的边为斜边，此时x＜4，则32+x2＝42，得；
②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则32+42＝x2，得x＝5．
综上，或5．
故答案为：或5．
【分析】分类讨论，利用勾股定理，计算求解即可。
15．如图，将的斜边AC绕点C顺时针旋转得到CD，直角边BC绕点C逆时针旋转β得到CE，若AC＝5，BC＝4，且 ，则DE＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意得：CD=AC=5，CE=BC=4，
在中，∠B=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，
∵ ，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】先求出∠A+∠ACB=90°，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
16．在平面直角坐标系中，对于任意一点，我们把点称为点M的“中分对称点”．如图，矩形ABCD的顶点A、B在x轴上，点C的坐标为（2，1），矩形ABCD关于y轴成轴对称．若P在上运动，点Q是点P的“中分对称点”，且点Q在矩形ABCD的一边上，则的面积为 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：∵长方形ABCD中点C坐标为（2，1），
∴，，，
∵点P在上运动，
∴点P坐标为，
∵Q是点P的“中分对称点”，
∴点Q坐标为，
当Q在CD上时，，解得，
∴点Q坐标为，
此时．
当Q在AD上时，，解得，
∴点Q坐标为，不符合题意．
当Q在AB上时，，解得，
∴点Q坐标为（1，0），
此时．
故答案为：或．
【分析】根据Q是点P的“中分对称点”，可得点Q坐标为，再分三种情况：①当Q在CD上时，，解得，②当Q在AD上时，，解得，③当Q在AB上时，，解得，再分别求解即可。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在平行四边形中，过点A作变边于点E，点F在边上，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，且，求线段的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形．
（2）解：∵BF平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABF=∠CBF=∠AFB，
∴AB=AF=3，AD=BC=4，
在Rt△ABE中，AE=CF=，
在Rt△BFC中，BF=．
【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质得到，进而证得四边形AECF是平行四边形，再通过垂直的定义证得四边形AECF是矩形．
(2)先利用平行线的性质与角平分线的定义证得AB=AF=3，再通过勾股定理求得AE的长度，进而得到CF的长，然后在Rt△BFC中由勾股定理求得线段的长．
18．近日，我校正在创建全国的“花香校园”．为了进一步美化校园，我校计划购买A，B两种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，购买3盆A种花和2盆B种花需要22元．
（1）A，B两种花的单价各为多少元？
（2）学校若购买A，B两种花共1000盆，设购买的B种花m盆，总费用为元，请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少，并求出最少费用为多少元？
【答案】（1）解：设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元，
依题意得，解得：，
答：A种花的单价为4元，B种花的单价为5元；
（2）解：由题意可得，，
∵，
∴W随m的增大而增大，
∵，
∴当时，W取得最小值，
此时，，
即当购买A种花500盆，B种花500盆时总花费最少，最少费用为4500元．
【解析】【分析】（1）设A种花的单价为a元，B种花的单价为b元，根据“ 购买2盆A种花和1盆B种花需要13元，购买3盆A种花和2盆B种花需要22元”列出方程组并解之即可；
（2）根据总价=单价×数量，可列出W关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可.
19．如图，平面直角坐标系中有一矩形，在轴上，在轴上，点的坐标为，将沿折叠，点与点重合，与交于．
（1）求点的坐标；
（2）若点与点、、是平行四边形的四个顶点，求所在直线的解析式．
【答案】（1）解：由已知，，，
，
四边形是矩形，的坐标为
，，
设，则
由勾股定理得：
即
解得
所以
点的坐标为
（2）解：①当为平行四边形的一条边时，，可找到，两点，
过作的平行线有且只有一条，故，，共线．
在平行四边形中，，
所以点坐标为
设直线的解析式为，把，两点坐标代入得：
，解得
直线的函数解析式：
②当为平行四边形的一条对角线时，
在平行四边形中，，
所以点坐标为
设直线的解析式为，把，两点坐标代入得：
，解得
直线的函数解析式：
综上所述，所求直线的方程为或
【解析】【分析】(1)利用折叠的性质可通过AAS判定得到OE=BE，再通过矩形的性质和点B坐标得到矩形的边长，设CE=x，用x表示出OE的长后通过勾股定理解得x值，进而得到点E坐标.
(2)观察点O、B、E的位置可知，当EF||OB时，有，两点且点在x轴上，利用平行四边形的性质得到点的坐标，再通过待定系数法求得直线的解析式；当OE||BF时，点F在线段OA上，利用平行四边形的性质得到点的坐标，然后通过待定系数法求得直线的解析式.
20．在ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．
（1）如图1，若AC＝BC，求证：四边形DECF为菱形；
（2）如图2，过C作CGAB交DE延长线于点G，连接EF，AG，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有与ADG面积相等的平行四边形．
【答案】（1）解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE、DF分别是△ABC中BC边、AC边上的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，DF∥AC，DF＝AC，
∵DE∥FC，DF∥EC，
∴四边形DECF为平行四边形，
又∵AC＝BC，
∴DF＝DE，
∴为菱形；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴与ADG面积相等的平行四边形有：
DECF，DEFB，EGCF，AEFD．
【解析】【分析】（1）先证明四边形DECF为平行四边形，再结合DF=DE，可得为菱形；
（2）利用平行四边形的判定方法求解即可。
21．一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．已知轿车比货车每小时多行驶．两车相遇后休息一段时间，再同时继续行驶．两车之间的距离与货车行驶时间之间的函数图象如图所示的折线，结合图象回答下列问题：
（1）求两车的速度分别是多少？
（2）求线段的函数关系式．直接写出货车出发多长时间，与轿车相距？
【答案】（1）解：由函数图象得，甲、乙两地之间的距离是 ，设货车的速度为x千米/小时，则轿车的速度为 千米/小时，根据题意，得： ，解得 ，答：货车的速度为80千米/小时，轿车的速度为100千米/小时；
（2）解：设点D的横坐标为x，则： ，解得 ，故点D的坐标为 ，设线段 的函数关系式为 ，则： ，解得 ，∴ ；当 时，解得 ；设 的解析式为 ，则： ，解得 ，∴线段 的解析式为： ，当 时，解得 ，∴货车出发 小时或 小时，与轿车相距 ．
【解析】【分析】（1）设货车的速度为x千米/小时，则轿车的速度为 千米/小时，根据题意列出方程，得出x的值，即可得解；
（2）先求出点D的横坐标，再运用待定系数法直接求出线段CD的函数解析式，再根据货车与轿车相距20千米列方程解答即可。
22．已知一次函数 的图象经过点 和 .
（1）求该函数的表达式；
（2）若点 是 轴上一点，且 的面积为10，求点 的坐标.
【答案】（1）解：∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点A（ 2， 4）和B（2，0），
进而得
，
解得k＝1，b＝ 2，
∴该函数的表达式：y＝x 2
（2）解：∵点P是x轴上一点，
∴设P（x，0），
∴BP＝|x 2|，
∵△ABP的面积为10，
∴ ×4×|x 2|＝10，
∴|x 2|＝5，
∴x 2＝5或x 2＝ 5，
解得x1＝ 3或x2＝7，
∴点P的坐标（ 3，0）或（7，0）.
【解析】【分析】（1）将A（-2，-4）、B（2，0）代入y＝kx＋b中求出k、b的值，进而可得函数的表达式；
（2）设P（x，0），则BP＝|x-2|，根据三角形的面积公式可得x的值，据此可得点P的坐标.
23．如图，在 中， 平分 交 于点 于点 ，且 为 的中点.
（1）求 的度数.
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）解：∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠2=∠B，
又AD平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∴∠B=∠1=∠2，
∵∠C=90°，
∴∠B=（180°-90°）÷3=30°，
故答案为30°；
（2）解：∵DE⊥AB，∠B=30°，
∴BD=2DE=10，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=5，
∴BC=CD+BD=15，
故答案为15.
【解析】【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可证得DA=DB，利用等边对等角，可得到∠2=∠B，利用角平分线的定义可推出∠B=∠1=∠2，利用三角形的内角和定理可求出∠B的度数.
（2）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD的长，再利用角平分线的性质可求出DC的长；然后根据BC=CD+BD，可求出BC的长.
24．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：由作图可知，平分，，四边形是平行四边形，，，，；
（2）解：如图，设交于点．
由作图可知：，，，，四边形是平行四边形，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，，在中，，，．故答案为．
【解析】【分析】（1）由作图可知平分， 可得 ，由平行四边形的性质可得 ，利用平行线的性质可得，从而得出 ，根据等腰三角形的判定即证；
（2） 设交于点， 先证四边形是菱形，可得OA=OE，OB=OF=3，利用勾股定理求出OA的长，从而求出AE的长.
25．在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF.
（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF=EM；
（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF=BE＋DF.
【答案】（1）解：过点E作EG⊥AD于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠B=∠D=90°，AB=AD，
又∵∠AGE=90°，
∴四边形ABEG是矩形，
∴AB=EG=AD，
∵EM⊥AF，
∴∠MNF=∠D=90°，
则∠NMD+∠DFN=360°-90°-90°=180°，
∵∠AMN+∠NMD=180°，
∴∠AMN=∠DFN，即∠EMG=∠AFD，
∴Rt△EMG Rt△AFD(AAS)，
∴AF=EM；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB=AD，
∴将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABH，
则∠D=∠ABH=90°，∠DAF=∠BAH，AF=AH，DF=BH.
则C、B、H在同一直线上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠AEH=∠DAE=∠DAF+∠FAE，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠FAE，
∴∠HAE=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠FAE=∠DAE=∠AEH，
∴△AHE是等腰三角形，
∴AH=HE=BE+HB= BE＋DF.
∴AF=BE＋DF.
【解析】【分析】(1)过E作EG⊥AD于G，根据正方形的性质，结合矩形的性质得出有关角和边相等，利用AAS证明 Rt△EMG Rt△AFD，即可得到AF= EM；
(2) 将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABH，根据正方形和旋转的性质，结合角平分线定义
推得△AHE为等腰三角形，最后利用线段的和差关系即可得证.
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