中小学教育资源及组卷应用平台
【决战期末·50道综合题专练】湘教版七年级下册期末数学试卷
1．2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元。
（1）求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？
（2）在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润不少于6000元，求m的最小值？
2．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
3．如图1，点是边BC上一点，点D，F是边AC上两点，连接BD，EF，.
（1）与平行吗 为什么
（2）在边取点，连接，当时(如图2所示)，
判断DG与BC的位置关系并说明理由.
4．在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近 的近似值的方法，请回答如下问题：
（1）我们通过“逐步逼近”的方法来估算出1.4＜ ＜1.5，请用“逐步逼近”的方法估算 在哪两个近似数之间（精确到0.1）？
（2）若x是 + 的整数部分，y是 + 的小数部分，求（y- - ）x的平方根．
5．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形[其面积= （上底+下底）×高]。
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式。
6．在“学习雷锋活动月”中，某校九（2）班全班同学都参加了“广告清除、助老助残、清理垃圾、义务植树”四个志愿活动（每人只参加一个活动）.为了了解情况，小明收集整理相关的数据后，绘制如图所示，不完整的统计图.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）求该班的人数；
（2）请把折线统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中，广告清除部分对应的圆心角的度数.
7．
（1）已知 ， ，求 的值；
（2）已知 ， ，求 的值.
8．综合与实践
如图，已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点E，交于点F．
（1）当所放位置如图①所示时，与的数量关系是 ___________；
（2）当所放位置如图②所示时，求证：；
（3）在（2）的条件下，若与交于点O，且，，求的度数．
9．某校为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球（每个篮球的价格相同，每个足球的价格相同），若购买2个篮球和3个足球共需要380元；购买4个篮球和5个足球共需要700元．
（1）求购买一个篮球、一个足球各需多少元？
（2）根据该校实际情况，需从体育用品商店一次性购买篮球与足球共80个，要求购买篮球和足球的总费用不超过6000元，请尝试通过计算，说明学校最多可以购买多少个篮球？
10．解下列不等式 组 ：
（1）2x+1（2）
11．已知：射线OP∥AE
（1）如图1，∠AOP的角平分线交射线AE与点B，若∠BOP=58°，求∠A的度数．
（2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ADO=39°，求∠ABO﹣∠AOB的度数．
（3）如图3，若∠A=m，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，∠Bn﹣1OP的角平分线OBn，其中点B，B1，B2，…，Bn﹣1，Bn都在射线AE上，试求∠ABnO的度数．
12．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
13．去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
14．把下列不等式的解集在数轴上表示出来．
（1） ；
（2）x＞－1；
（3）x≤3；
（4） .
15．为了考察某校学生的体重，对某班45名学生的体重记录如下：(单位：千克)
48，48，42，50，6l，44，43，51，46，46，46，51，50，45，52，54，51，57，55，48，49，48，53，48，56，55，57，42，54，49，47，60，51，51，44，41，49，53，52，49，61，58，
52，54，50.
（1）这个问题中的总体﹑个体、样本，样本容量分别是什么
（2）请用简单随机抽样的方法，从该班45名学生体重中分别选取含有6名学生体重的两个样本和含有15名学生体重的两个样本.
16．2020年1月底，武汉爆发“新冠”疫情，并开始向全国蔓延，出于防疫的需求，医用口罩迅速成为紧俏物资.某药店为解市民的燃眉之急，先后两次采购了A、B两种型号的医用口罩进行销售.已知这两种型号的医用口罩进货情况如表：
第一次 第二次
A型口罩(箱) 20 30
B型口罩(箱) 30 40
累计采购款(元) 51000 72000
（1）问A，B两种型号的口罩的进货单价各是多少元？
（2）销售中发现B型口罩的销量明显好于A型，药店在计划第三次采购时，决定购进B型口罩的箱数比A型口罩的箱数的2倍还多10箱，在采购总价不超过90000元的情况下，最多能购进多少箱B型口罩？
17．给出下列各数，，，3.1416，，0，，，，
（1）写出所有有理数；
（2）写出所有无理数.
18．某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一．
A：计时制：元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费元/分
（1）某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用．
（2）用户选哪一种收费方式更合算？
19．如图， ， ， ．
（1）试说明 ；
（2） 与 的位置关系如何？为什么？
20．某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买1本甲种书和2本乙种书共需125元；购买2本甲种书和5本乙种书共需300元．
（1）求甲、乙两种书的单价；
（2）学校决定购买甲、乙两种书共50本，且两种书的总费用不超过2000元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？
21．某公司有A，B两种型号的客车共15辆，它们的载客量、每天的租金和车辆数如下表所示，已知在15辆客车都坐满的情况下，共载客570人
型号客车 型号客车
载客量（人/辆）
租金（元/辆）
车辆数（辆）
（1）求表中a，b的值；
（2）某中学计划租用A，B两种型号的客车共5辆，同时送七年级师生到基地参加社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过1900元
①求最多能租用多少辆A型客车？
②若七年级的师生共有195人，请写出所有可能的租车方案
22．老师就式子，请同学们自己出问题并解答．
（1）小磊的问题：若代表，代表，计算该式的值．
（2）小敏的问题：若代表，代表，计算的结果是有理数，求有理数a的值．
（3）小捷的问题：若，且和所代表的数是互为相反数，直接写出所代表的数的取值范围．
23．豫剧起源于中原（河南），是中国五大戏曲剧种之一，2006年入选第一批国家级非物质文化遗产名录，为保护文化传承，某公司印制一批豫剧宣传册，该宣传册每本共10页，由，两种彩页构成，已知种彩页制版费为3元/页，种彩页制版费为2元/页，制版费共计24元．
（1）每本宣传册，两种彩页各有多少页？
（2）据了解，种彩页印刷费为0.5元/页，种彩页印刷费为0.3元/页，这批宣传册的制版费（制版费只付一次）与印刷费的和不超过594元．如果按照人手一册发放宣传册，那么最多能发给多少人？
24．在镇、村两委及帮扶人大力扶持下，贫困户周大叔与某公司签订了农产品销售合同，并于今年春在自家荒坡上种植了A，B，C，D四种不同品种的果树苗共300棵，其中C品种果树苗的成活率为90%，几个品种的果树苗种植情况及其成活情况分别绘制在如图图①和图②两个尚不完整的统计图中.
（1）种植B品种果树苗有 棵；
（2）请你将图②的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，哪个品种的果树苗成活率最高？
25．为加强中小学生安全教育，某校九（1）班组织了“防溺水”知识竞赛，班委会决定购买钢笔和圆珠笔对表现优异的同学进行奖励，同学们前往商店采购，商店里的阿姨说：“购买3支钢笔和2支圆珠笔共需8元，并且3支钢笔比2支圆珠笔多花4元”
（1）求钢笔和圆珠笔每支各需多少元？
（2）班委会决定购买钢笔和圆珠笔共30支，且支出不超过50元，则最多能够购买多少支钢笔？
26．“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备，已知3台A型设备和2台B型设备日处理能力一共为54吨；5台A型设备和1台B型设备日处理能力一共为62吨．
（1）求1台A型设备、1台B型设备日处理能力各多少吨？
（2）若购买A、B两种型号的垃圾处理设备共20台（A、B两种型号均购买），并且它们的日处理能力不低于235吨．请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；
（3）已知每台A型设备价格为5万元，每台B型设备价格为7万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于137万元时，则按9.5折优惠；问：采用（2）中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由．
27．“轻户外”旅行正成为年轻人新的旅行方式，低碳、时尚、绿色的共享单车是最受欢迎的出行交通工具之一．某公司准备组装5880辆共享单车投入市场运营．由于抽调不出足够的熟练工人完成组装，公司准备招聘一批新工人，将他们培训到能独立进行组装后上岗，生产开始后发现，1名熟练工人和2名新工人每天共组装28辆共享单车；2名熟练工人每天组装的共享单车数与3名新工人每天组装的共享单车数一样多．
（1）问每名熟练工人和新工人每天分别可以组装多少辆共享单车？
（2）已知工人们组装的共享单车中不能正常投入市场运营的占．若公司招聘若干名新工人，使他们和抽调的11名熟练工人一个月（30天）保证完成组装任务，则至少招聘多少名新工人？
28．
（1）如图1，边长为 的大正方形中有一个边长为 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含 ， 的等式表示）
（2）运用（1）中所得到的公式，计算下列各题：
①
②
29．在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出绕点逆时针旋转后得到的；
（2）分别写出和的坐标．
30．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形.
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积.
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系.
31．一个长与宽均为，且高是的长方体容器中装满了水，现将其中的水全部倒入到另一个正方体容器中，恰好装满，则这个正方体容器的棱长是多少？
32．下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…等量关系：甲商品数量=乙商品数量
解法二 设…等量关系：甲商品进价一乙商品进价=2
（1）解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ．
A、甲种商品每件进价x元 B．乙种商品每件进价x元 C．甲种商品购进x件
（2）根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价．
（3）若商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？
33．已知，直线可变形为：，则点到直线的距离d可用公式计算.例如求点到直线的距离.
解：∵直线可变形为，
∴点到直线的距离为.
根据以上材料求：
（1）点到直线的距离；
（2）已知为直线上的点，且到直线的距离为.求的坐标；
（3）已知线段上的点到直线的最小距离为，求k的值.
34．如果一个正数x的两个平方根分别为a＋1和a－5.
（1）求a和x的值；
（2）求7x＋1的立方根.
35．每年的4月23日是世界读书日.某校计划购入A，B两种规格的书柜用于放置图书．经市场调查发现，若购买A种书柜3个，B种书柜2个，共需资金1020元；若购买A种书柜1个，B种书柜3个，共需资金900元．
（1）A、B两种规格的书柜的单价分别是多少？
（2）若该校计划购买这两种规格的书柜共20个，学校至多投人4350元的资金购买书柜，则B种书柜最多可以购买多少个？
36．近两年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；2辆A型新能源汽车和1辆B型新能源汽车的进价共计60万元．
（1）求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元？
（2）该公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1198万元，那么该公司最多购买A型新能源汽车多少辆？
37．2024年春季新茶叶上市期间，某直播平台的甲、乙两个售卖茶叶的直播间（假设两个直播间售卖的茶叶品质相同）推出的网购优惠方案分别是：
甲直播间：一次性购买的茶叶原价不超过300元不打折，超过300元后的部分打八折；
乙直播间：一次性购买的茶叶原价不超过500元不打折，超过500元后的部分打七折．
（1）设一次性购买的茶叶原价为x（）元，则在甲直播间购买实际付款___________元，在乙直播间购买实际付款___________元．（均用含x的代数式表示）
（2）若一次性购买的茶叶原价为x（）元，请说明选择哪个直播间购买茶叶更优惠．
38．某中学在今年3月12日植树节这天组织以班为单位开展植树活动，校团委对全校各班的植树情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图.
（1）该校的总班数是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）求该校在这次活动中植树的总棵数.
39．马小虎在解不等式 的过程中出现了错误，解答过程如下：
解不等式： ．解：去分母，得 ．（第一步）去括号，得 ．（第二步）移项，得 ．（第三步）合并同类项，得 ．（第四步）两边同时除以11，得 ．（第五步）
（1）马小虎的解答过程是从第 步开始出现错误的．
（2）请写出此题正确的解答过程．
40．（1）解方程组；
（2）解不等式组，请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得 ▲ ，
解不等式②得 ▲ ，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
所以原不等式组解集为 ▲ ．
41．如图，已知AB//CD，解决下列问题：
（1）如图1，的和是多少度？写出你的结论，并加以证明；
（2）如图2， ；
（3）如图3，试探究 ．
42．
（1）填空 ；
；
.
（2）猜想 （n为大于1正整数）.
（3）利用（2）题的结论计算下列各题：
；
（4）计算： 的值.
43．推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率，是新农村建设的一项重要举措．庐江县某村在小城镇建设中集约了亩土地，经投标，由甲工程队每天平可平整土地亩，乙工程队每天可平整土地亩，甲乙两工程队每天的工程费合计为元，而且甲工程队天所需工程费与乙工程队天所需工程费刚好相同．
（1）甲乙两工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两工人队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过万元，有几种方案，并求出最低费用．
44．据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程：
第一步：因为，，，所以．
第二步：因为59319的个位上的数是9，只有个位数字是9的数的立方的个位数字是9，所以的个位数字是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，所以，
所以，即的十位数字是3．
所以．
请根据上述材料解答下列问题：
（1）用上述方法确定4913的立方根的个位数字是 ．
（2）用上述方法确定50653的立方根是 ．
（3）求的值，要求写出计算过程．
45．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，再按图b的形状拼成一个正方形.
（1）请用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积
方法1： ；方法2： .
（2）观察图b，写出下面三个式子，，之间的等量关系 ；
（3）根据(2)中的等量关系，解决以下问题：
①已知，，则 ▲ ；
②已知， ，求的值．(写出解答过程)
46．围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种材质 B种材质
第一个月 3套 5套 1800元
第二个月 4套 10套 3100元
（1）求A、B两种材质的围棋每套的售价．
（2）若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求A种材质的围棋最多能采购多少套？
（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1300元的目标？请说明理由．
47．已知：直线，经过直线上的定点的直线交于点，点，为直线上的两点，且点在点右侧，点的左侧时，连接，，满足．
（1）如图，若，，直接写出的度数为： ．
（2）如图，射线为的角平分线，用等式表示与之间的数量关系，并证明．
48．已知 ， ，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧；
（1）保持 不动，将 绕点O旋转至如图2所示的位置，则① = ；② = ；
（2）若 按每分钟 的速度绕点O逆时针方向旋转， 按每分钟 的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算 (用t的代数式表示)。
（3）保持 不动，将 绕点O逆时针方向旋转 ，若射线OE平分 ，射线OF平分 ，求 的大小；
49．已知直角三角板 和直角三角板 ， ， ， ．
（1）如图1，将顶点C和顶点D重合，保持三角板 不动，将三角板 绕点 旋转，当 平分 时，求 的度数；
（2）在（1）的条件下，继续旋转三角板 ，猜想 与 有怎样的数量关系？并利用图2所给的情形说明理由；
（3）如图3，将顶点C和顶点E重合，保持三角板 不动，将三角板 绕点C旋转．当 落在 内部时，直接写出 与 之间的数量关系．
50．如图，直线，直线与，分别交于点，，．小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点，分别在自线，上，且在点、的右测，，．
（1）填空： ；
（2）若的平分线交直线于点，如图②
①当时，求的度数；
②小安将三角板沿直线左右移动，保持，点N、M分别在直线和直线上移动．请直接写出的度数（用含式子表示）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【决战期末·50道综合题专练】湘教版七年级下册期末数学试卷
1．2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元。
（1）求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？
（2）在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润不少于6000元，求m的最小值？
【答案】（1）购进“滨滨”400个，“妮妮”600个
（2）m的最小值为200
2．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】【分析】（1）直接移项即可得出答案；（2）先去括号，再合并同类项，移项，再未知数的系数化为1，即可得到不等式的解集；（3）根据解集在数轴上的表示方法表示出①②的解集即可；（4）根据数轴找出两个解集的公共部分即可.
3．如图1，点是边BC上一点，点D，F是边AC上两点，连接BD，EF，.
（1）与平行吗 为什么
（2）在边取点，连接，当时(如图2所示)，
判断DG与BC的位置关系并说明理由.
【答案】（1）
理由：
（2）
理由：
【解析】【分析】第（1）题根据等角的补角相等可证明.
第（2）题先用“两直线平行，同位角相等”证明∠DBE=∠FEC，再利用“内错角相等，两直线平行”证明DG∥BC.本题需综合运用平行线的性质和判定，较灵活.
4．在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近 的近似值的方法，请回答如下问题：
（1）我们通过“逐步逼近”的方法来估算出1.4＜ ＜1.5，请用“逐步逼近”的方法估算 在哪两个近似数之间（精确到0.1）？
（2）若x是 + 的整数部分，y是 + 的小数部分，求（y- - ）x的平方根．
【答案】（1）解：∵3.12=9.61，3.22=10.24，3.32=10.89，3.42=11.56
∴3.3＜ ＜3.4
（2）解：∵1.4＜ ＜1.5，3.3＜ ＜3.4
∴4.7＜ ＜4.9
∴x=4，y= -4
∴（y- - ）x=（ ）4=（-4）4=256
∴± =±16
∴（y- - ）x的平方根±16
【解析】【分析】（1）从3.1的平方开始计算，发现3.3的平方=10.89，3.4的平方等于11.56，11在两数之间，进而得到 的近似值．（2）按不等式性质1得到 + 的近似值，则整数部分为4，小数部分即原数减去整数部分，再代入求值．
5．如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形[其面积= （上底+下底）×高]。
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式。
【答案】（1）S1=a2-b ；
S2= （2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）
（2）（a+b）（a-b）=a -b
【解析】【分析】（1） S1 =S大正方形-S小正方形，S2=12（上底+下底）高； （2）由S1 =S2得a -b = （a+b）（a-b） ，该公式为平方差公式。
6．在“学习雷锋活动月”中，某校九（2）班全班同学都参加了“广告清除、助老助残、清理垃圾、义务植树”四个志愿活动（每人只参加一个活动）.为了了解情况，小明收集整理相关的数据后，绘制如图所示，不完整的统计图.请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）求该班的人数；
（2）请把折线统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中，广告清除部分对应的圆心角的度数.
【答案】（1）解：该班全部人数：14÷25%＝56（人）.
答：该班的人数是56人。
（2）解：56×50%＝28（人），折线统计如图所示：
（3）解： ×360°＝45°.
答：广告清除部分对应的圆心角的度数是45°。
【解析】【分析】（1）利用参加助老助残的人数除以其百分比即得全班的人数.
（2）利用全班人数×义务植树的百分比可得义务植树的人数，据此补图即可.
（3）广告清除部分对应的圆心角=360°×，代入数据计算即可.
7．
（1）已知 ， ，求 的值；
（2）已知 ， ，求 的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴
（2）解：
【解析】【分析】（1）利用同底幂乘法的逆用，可得ax+y=ax·ay=25，代入数据计算可得ay=5，从而求出ax+ay的值.
（2）利用同底幂乘法的逆用及幂乘方的逆用，可得102α+2β=（10α)2(10β）2，代入数据计算即可.
8．综合与实践
如图，已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点E，交于点F．
（1）当所放位置如图①所示时，与的数量关系是 ___________；
（2）当所放位置如图②所示时，求证：；
（3）在（2）的条件下，若与交于点O，且，，求的度数．
【答案】（1）
（2）猜想：；理由如下：如图②，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图②，∵，，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】【解答】解：（1）如图①，作，
则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）作，根据，， 得到 ，利用平行线的性质，得到，，结合，得到，即可求解；
（2）由，得到，因为，求得，得到，再由，即可求得即可求解；
（3）由对顶角的性质，得到，由，得到，求得，得到，结合，列出算式，即可求解.
9．某校为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球（每个篮球的价格相同，每个足球的价格相同），若购买2个篮球和3个足球共需要380元；购买4个篮球和5个足球共需要700元．
（1）求购买一个篮球、一个足球各需多少元？
（2）根据该校实际情况，需从体育用品商店一次性购买篮球与足球共80个，要求购买篮球和足球的总费用不超过6000元，请尝试通过计算，说明学校最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）解：设购买一个篮球需要x元，购买一个足球需要y元，
根据题意，得，
解得，
答：购买一个篮球需要100元，购买一个足球需要60元；
（2）解：设购买了a个篮球，则购买了（80-a）个足球，
根据题意，得100a＋60（80-a）≤6000，
解得a≤30，
所以体育老师最多能购买30个篮球．
【解析】【分析】（1）设购买一个篮球需要x元，购买一个足球需要y元，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）设购买了a个篮球，则购买了（80-a）个足球，根据题意列出不等式100a＋60（80-a）≤6000，再求解即可。
10．解下列不等式 组 ：
（1）2x+1（2）
【答案】（1）解： ，
移项得， ，
合并同类项得， ；
（2）解： ，
由 得， ；
由 得， ，
故此不等式组的解集为： ．
【解析】【分析】（1）利用移项、合并即可求出解集.
（2）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集即可.
11．已知：射线OP∥AE
（1）如图1，∠AOP的角平分线交射线AE与点B，若∠BOP=58°，求∠A的度数．
（2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ADO=39°，求∠ABO﹣∠AOB的度数．
（3）如图3，若∠A=m，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，∠Bn﹣1OP的角平分线OBn，其中点B，B1，B2，…，Bn﹣1，Bn都在射线AE上，试求∠ABnO的度数．
【答案】（1）解：如图1，
∵ 平分∠
∴∠ °，
∵ ，
∴ °，
∴ °
（2）解：如图2，
∵ 平分∠
∴∠
设∠ ，∴∠
∵ 平分∠ ，且∠ADO=39°，
∴∠
∵ ，∴∠ ，
∴∠
∵ ，
∴∠ ∠
∴∠
（3）解：如图3，
∵∠ ，
由（1）可知，∠ ，
∠ ，
由上述方法可推出：
∠ ，
…
则∠ ．
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质求得∠ ，利用平行线的性质和平角的定义即可求得答案；（2）利用角平分线的性质求得∠ 及∠ ，利用平行线的性质通过计算可求得∠ABO﹣∠AOB的度数；（3）利用角平分线和平行线的性质，依次求得∠ 、∠ 、∠ 与 的代数式，寻找规律，求出∠ABnO的度数．
12．解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
【答案】（1）
（2）x≤1
（3）解：在数轴上表示为：
（4）
【解析】【解答】解：（1）x+1≥-1，
∴，
故答案为：；
（2）5x≤3x+2，
5x-3x≤2，
2 x≤2，
∴x≤1，
故答案为：x≤1；
（4）∴原不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】 (1)(2) 利用一元一次不等式的解法求解；
(3) 在数轴上分别标出两个不等式的解， 表示数轴上-2的右侧(包括-2）的点组成的集合， x≤1 表示数轴上1的左侧（包括1）的点组成的集合；
(4)在数轴上找出两个解集的公共部分可得不等式组的解集。
13．去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
【答案】（1）解：设饮用水有x件，则蔬菜有（x-80）件．
则x+（x-80）=320，解这个方程，得x=200． ∴x-80=120．
答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件；
（2）解：设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8-m）辆．得：
，
解这个不等式组，得2≤m≤4．
∵m为正整数，
∴m=2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．
设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；
【解析】【分析】（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x-80）件，根据：饮用水和蔬菜共320件，列出方程并解之即可；
（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8-m）辆，根据所运的饮用水大于等于200，蔬菜大于等于120，列出不等式组并求出m的正整数解即可.
14．把下列不等式的解集在数轴上表示出来．
（1） ；
（2）x＞－1；
（3）x≤3；
（4） .
【答案】（1）解：将 表示在数轴上为：
（2）解：将 表示在数轴上为：
（3）解：将 表示在数轴上为：
（4）解：将 表示在数轴上为：
【解析】【分析】（1）x3在数轴上3的右边且包括3.用实心的圆点表示即可。（2） x＞－1 在数轴上-1的右边但不包括-1用空心的圆圈表示。（3） x≤3在数轴上3的左边且包括3.用实心的圆点表示即可。
15．为了考察某校学生的体重，对某班45名学生的体重记录如下：(单位：千克)
48，48，42，50，6l，44，43，51，46，46，46，51，50，45，52，54，51，57，55，48，49，48，53，48，56，55，57，42，54，49，47，60，51，51，44，41，49，53，52，49，61，58，
52，54，50.
（1）这个问题中的总体﹑个体、样本，样本容量分别是什么
（2）请用简单随机抽样的方法，从该班45名学生体重中分别选取含有6名学生体重的两个样本和含有15名学生体重的两个样本.
【答案】（1）解：根据总体、个体、样本和样本容量的概念可知，
总体是该校全部学生的体重；
个体是每名学生的体重；
样本是45名学生的体重；样本容量是45.
（2）解：将45名学生的体重依次编号，从中抽取6名学生的体重，这样连续做两遍，例如选出的两个样本分别为：
148，42，50，61，53，48.
249，53，42，54，49，50.
将45名学生的体重依次编号，从中抽取15名学生的体重，这样连续做两遍，例如选出的两个样本分别为：
①42，50，61，48，53，54，56，55，60，44，49，53，52，61，57.
②48，50，43，46，50，54，55，48，44，42，47，51，49，49，52.
(样本选取答案不唯一)
【解析】【分析】（1）根据总体、个体、样本、样本容量的定义可以得出，这个问题的总体是某校学生的体重，个体是每个学生的体重，样本是45名学生的体重，样本容量是45；
（2）样本的抽取要有代表性．就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现（答案不唯一，符合代表性即可）．
16．2020年1月底，武汉爆发“新冠”疫情，并开始向全国蔓延，出于防疫的需求，医用口罩迅速成为紧俏物资.某药店为解市民的燃眉之急，先后两次采购了A、B两种型号的医用口罩进行销售.已知这两种型号的医用口罩进货情况如表：
第一次 第二次
A型口罩(箱) 20 30
B型口罩(箱) 30 40
累计采购款(元) 51000 72000
（1）问A，B两种型号的口罩的进货单价各是多少元？
（2）销售中发现B型口罩的销量明显好于A型，药店在计划第三次采购时，决定购进B型口罩的箱数比A型口罩的箱数的2倍还多10箱，在采购总价不超过90000元的情况下，最多能购进多少箱B型口罩？
【答案】（1）解：设A种型号的口罩的进货单价是x元，B种型号的口罩的进货单价是y元，根据题意可得：
，
解得： .
答：A种型号的口罩的进货单价是1200元，B种型号的口罩的进货单价是900元.
（2）解：设购进m箱A型口罩，购进(2m+10)箱B型口罩，由题意可得：
；
解得： ，
又∵m为正整数
∴m的最大值为27.此时2m+10=64.
答：最多能购进64箱B型口罩.
【解析】【分析】（1）设A种型号的口罩的进货单价是x元，B种型号的口罩的进货单价是y元，根据题意列出关于x和y的二元一次方程组，进而求出A，B两型口罩的进货单价.（2）设购进m箱A型口罩，购进(2m+10)箱B型口罩，列出不等式 求解即可.
17．给出下列各数，，，3.1416，，0，，，，
（1）写出所有有理数；
（2）写出所有无理数.
【答案】（1）解：有理数有，，3.1416，，0，=16，=1.
（2）解：无理数有，.
【解析】【分析】（1）有理数分为整数和分式，而整数又分为正整数、0、负整数，分数又分为正分数、负分数，据此解答；
（2）无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数，圆周率π都是无理数，据此解答.
18．某地光纤上网有两种收费方式，用户可以任选其一．
A：计时制：元/分，B：包月制：50元/月，每一种上网时间都要再收取通信费元/分
（1）某用户某月上网时间为x小时，请写出两种收费方式下该用户应该支付的费用．
（2）用户选哪一种收费方式更合算？
【答案】（1）A种收费方式的费用为元；B种收费方式的费用为元；
（2）当上网时间低于小时时，选择甲种收费方式合算；当上网时间等于小时时，选择两种收费方式一样合算；当上网时间高于小时时，选择乙种收费方式合算
19．如图， ， ， ．
（1）试说明 ；
（2） 与 的位置关系如何？为什么？
【答案】（1）解：∵ （已知）
．（两直线平行，内错角相等）
又 （已知）
（等量代换）
∴ ．（同位角相等，两直线平行）
（2）解：
∵
．（两直线平行，内错角相等）
又 （已知）
（等量代换）
∴ ．（内错角相等，两直线平行）
【解析】【分析】（1）先求出∠1=∠DEC，再求出∠B=∠DEC，最后证明求解即可；
（2）先求出∠2=∠AGD，再求出∠3=∠AGD，最后证明求解即可。
20．某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买1本甲种书和2本乙种书共需125元；购买2本甲种书和5本乙种书共需300元．
（1）求甲、乙两种书的单价；
（2）学校决定购买甲、乙两种书共50本，且两种书的总费用不超过2000元，那么该校最多可以购买多少本乙种书？
【答案】（1）25元，50元
（2）30本
21．某公司有A，B两种型号的客车共15辆，它们的载客量、每天的租金和车辆数如下表所示，已知在15辆客车都坐满的情况下，共载客570人
型号客车 型号客车
载客量（人/辆）
租金（元/辆）
车辆数（辆）
（1）求表中a，b的值；
（2）某中学计划租用A，B两种型号的客车共5辆，同时送七年级师生到基地参加社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过1900元
①求最多能租用多少辆A型客车？
②若七年级的师生共有195人，请写出所有可能的租车方案
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
即；
（2）解：①设计划租用A种型号客车x辆，则计划租用B种型号客车（5﹣x）辆，
根据题意得：400x+280（5﹣x）≤1900，
解得：x≤，
∵x为正整数，
∴x最大取4，
故最多能租用4辆A型客车；
②根据题意得：45x+30（5﹣x）≥195，
解得：x≥3，
∵x取正整数，
∴x=3、4，
故所有的租车方案为
方案一：租用A种型号的客车3辆，租用B种型号的客车2辆；
方案二：租用A种型号的客车4辆，租用B种型号的客车1辆．
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组求出a、b的值即可；
（2）①设计划租用A种型号客车x辆，则计划租用B种型号客车（5﹣x）辆，根据题意列出不等式400x+280（5﹣x）≤1900求解即可；
②根据题意列出不等式45x+30（5﹣x）≥195，再求解即可。
22．老师就式子，请同学们自己出问题并解答．
（1）小磊的问题：若代表，代表，计算该式的值．
（2）小敏的问题：若代表，代表，计算的结果是有理数，求有理数a的值．
（3）小捷的问题：若，且和所代表的数是互为相反数，直接写出所代表的数的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，得
；
（2）解：由题意得
∵计算的结果是有理数，
∴
∴；
（3）解：设口所代表的有理数为，则〇所代表的有理数为，
则，
解得，
口所代表的数的取值范围为．
【解析】【分析】 （1）将代表，代表代入 ， 进行计算即可；
（2）将代表，代表代入 计算可得，根据计算的结果是有理数可得则；
（3） 设口所代表的有理数为，则〇所代表的有理数为，代入可得不等式，解之可得答案。
23．豫剧起源于中原（河南），是中国五大戏曲剧种之一，2006年入选第一批国家级非物质文化遗产名录，为保护文化传承，某公司印制一批豫剧宣传册，该宣传册每本共10页，由，两种彩页构成，已知种彩页制版费为3元/页，种彩页制版费为2元/页，制版费共计24元．
（1）每本宣传册，两种彩页各有多少页？
（2）据了解，种彩页印刷费为0.5元/页，种彩页印刷费为0.3元/页，这批宣传册的制版费（制版费只付一次）与印刷费的和不超过594元．如果按照人手一册发放宣传册，那么最多能发给多少人？
【答案】（1）每本宣传册中种彩页有4页，种彩页有6页；
（2）最多可以发给150个人．
24．在镇、村两委及帮扶人大力扶持下，贫困户周大叔与某公司签订了农产品销售合同，并于今年春在自家荒坡上种植了A，B，C，D四种不同品种的果树苗共300棵，其中C品种果树苗的成活率为90%，几个品种的果树苗种植情况及其成活情况分别绘制在如图图①和图②两个尚不完整的统计图中.
（1）种植B品种果树苗有 棵；
（2）请你将图②的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，哪个品种的果树苗成活率最高？
【答案】（1）75
（2）解：300×20%×90%＝54（棵），
补全统计图如图所示：
（3）解：A品种的果树苗成活率： ×100%＝80%，
B品种的果树苗成活率： ×100%＝80%，
C品种的果树苗成活率：90%，
D品种的果树苗成活率： ×100%＝85%，
所以，C品种的果树苗成活率最高.
【解析】【解答】解：（1）300×（1﹣35%﹣20%﹣20%）＝300×25%＝75（棵）.
故答案为：75；
【分析】（1）用B品种果树苗所占的百分比乘以总棵树300计算即可得解；（2）求出C品种果树苗的棵数，然后乘以成活率计算即可得解；（3）分别求出四个品种的成活率，然后比较即可.
25．为加强中小学生安全教育，某校九（1）班组织了“防溺水”知识竞赛，班委会决定购买钢笔和圆珠笔对表现优异的同学进行奖励，同学们前往商店采购，商店里的阿姨说：“购买3支钢笔和2支圆珠笔共需8元，并且3支钢笔比2支圆珠笔多花4元”
（1）求钢笔和圆珠笔每支各需多少元？
（2）班委会决定购买钢笔和圆珠笔共30支，且支出不超过50元，则最多能够购买多少支钢笔？
【答案】（1）解：设购买一支刚笔x元，一支圆珠笔y元，可得方程组： .
解得： .
答：购买一支刚笔2元，一支圆珠笔6元
（2）解：设购买刚笔z支，则购买圆珠笔（30﹣z）支，根据题意得，
2z+（30﹣z）≤50
解得：z≤20
答：最多能购买20支钢笔
【解析】【分析】（1）设购买一支刚笔x元，一支圆珠笔y元.根据“购买3支钢笔和2支圆珠笔共需8元，并且3支钢笔比2支圆珠笔多花4元”列出方程组，解方程组即可解答；（2）设购买刚笔z支，则购买圆珠笔（30﹣z）支，根据“购买钢笔和圆珠笔共30支，且支出不超过50元”列出不等式，解不等式即可解答.
26．“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备，已知3台A型设备和2台B型设备日处理能力一共为54吨；5台A型设备和1台B型设备日处理能力一共为62吨．
（1）求1台A型设备、1台B型设备日处理能力各多少吨？
（2）若购买A、B两种型号的垃圾处理设备共20台（A、B两种型号均购买），并且它们的日处理能力不低于235吨．请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；
（3）已知每台A型设备价格为5万元，每台B型设备价格为7万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于137万元时，则按9.5折优惠；问：采用（2）中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由．
【答案】（1）A设备处理能力为一天10吨，B设备一天12吨；
（2）方案①买A设备0台，B设备20台；方案②买A设备1台，B设备19台；方案③买A设备2台，B设备18台；
（3）方案②最省钱．
27．“轻户外”旅行正成为年轻人新的旅行方式，低碳、时尚、绿色的共享单车是最受欢迎的出行交通工具之一．某公司准备组装5880辆共享单车投入市场运营．由于抽调不出足够的熟练工人完成组装，公司准备招聘一批新工人，将他们培训到能独立进行组装后上岗，生产开始后发现，1名熟练工人和2名新工人每天共组装28辆共享单车；2名熟练工人每天组装的共享单车数与3名新工人每天组装的共享单车数一样多．
（1）问每名熟练工人和新工人每天分别可以组装多少辆共享单车？
（2）已知工人们组装的共享单车中不能正常投入市场运营的占．若公司招聘若干名新工人，使他们和抽调的11名熟练工人一个月（30天）保证完成组装任务，则至少招聘多少名新工人？
【答案】（1）每名熟练工人和新工人每天分别可以组装12辆共享单车，8辆共享单车
（2）至少招聘名新工人
28．
（1）如图1，边长为 的大正方形中有一个边长为 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用含 ， 的等式表示）
（2）运用（1）中所得到的公式，计算下列各题：
①
②
【答案】（1）
（2）解：①
；
②
．
【解析】【解答】解：（1）原阴影面积 ，拼剪后的阴影面积 ，
得到的公式为： .
【分析】（1）分别表示出两个图中阴影部分的面积，根据面积相等即可得到公式；
（2）①根据2019=2018+1，2017=2018-1对原式进行变形，再利用（1）中公式计算；
②将x-y看成一个整体利用（1）中公式计算，然后再次利用公式将（x-y）2展开，最后去括号即可.
29．在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出绕点逆时针旋转后得到的；
（2）分别写出和的坐标．
【答案】（1）解：如图所示： 即为所求；
（2）解：由图像可得： ．
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质，将△ABC绕着点A逆时针旋转90°，可得到对称点B1，C1，然后画出△AB1C1.
（2）利用（1）的△△AB1C1，写出点B1，C1的坐标.
30．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形.
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积.
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系.
【答案】（1）解：题图②空白部分图形的边长是；
（2）解：由题图可知，空白部分为小正方形，小正方形的面积大正方形的面积个小长方形的面积，
∵大正方形的边长，
∴大正方形的面积，
又个小长方形的面积之和大长方形的面积，
∴小正方形的面积；
（3）解：由题图可以看出，大正方形面积空白部分的小正方形的面积四个小长方形的面积，
即.
【解析】【分析】（1）观察图形可得四个小长方形的长为2a，宽为b，那么图2中的空白部分的边长是小长方形的长减去小长方形的宽；
（2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和，图2中空白部分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积；
（3）通过观察图形知：（2a＋b）2 、（2a b）2 、8ab分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方形的面积，进而根据大正方形面积=空白部分的小正方形的面积四个小长方形的面积即可得出结论.
31．一个长与宽均为，且高是的长方体容器中装满了水，现将其中的水全部倒入到另一个正方体容器中，恰好装满，则这个正方体容器的棱长是多少？
【答案】
32．下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…等量关系：甲商品数量=乙商品数量
解法二 设…等量关系：甲商品进价一乙商品进价=2
（1）解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ．
A、甲种商品每件进价x元 B．乙种商品每件进价x元 C．甲种商品购进x件
（2）根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价．
（3）若商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？
【答案】（1）A，C
（2）甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件
（3）至多购进甲种商品12件
33．已知，直线可变形为：，则点到直线的距离d可用公式计算.例如求点到直线的距离.
解：∵直线可变形为，
∴点到直线的距离为.
根据以上材料求：
（1）点到直线的距离；
（2）已知为直线上的点，且到直线的距离为.求的坐标；
（3）已知线段上的点到直线的最小距离为，求k的值.
【答案】（1）解：∵直线化为：，其中
点到直线的距离为，
（2）解：设，直线化为：，其中，故M到直线的距离为：
，
∴，
∴或 ，
∴或，
（3）解：设上到直线距离为的点为（）或（），
直线化为，其中，
把（）代入，
，，
故，
∵直线与的交点横坐标为，则舍去，
∴，
同理，将（）代入距离公式，得，
，，
解：或，
∵直线与的交点横坐标为，则 （舍去），
∴，
综上所述，.
【解析】【分析】（1）将直线解析式化为2x-y-1=0，其中k=2，b=-1，然后代入计算即可；
（2）设M（x0，x0+2），直线y=2x-1化为2x-y-1=0，其中k=2，b=-1，根据点到直线的距离公式表示出d，结合d=可求出x0的值，据此可得点M的坐标；
（3）设y=kx+4（-1≤x≤2）上的点到直线y=x+2距离为的点为（-1，-k+4）或（2，2k+4），将直线解析式化为x-y+2=0，其中k=1，b=2，将（-1，-k+4）代入公式中可求出k的值；同理将（2，2k+4）代入求出k的值.
34．如果一个正数x的两个平方根分别为a＋1和a－5.
（1）求a和x的值；
（2）求7x＋1的立方根.
【答案】（1）解：由题意，得 解得 所以
因为 的平方根是 ，所以
（2）解：因为 所以 的立方根为
【解析】【分析】（1）根据正数的平方根互为相反数列出方程求出a的值，再代入计算求出x的值；（2）先将x代入计算，再利用立方根求解即可。
35．每年的4月23日是世界读书日.某校计划购入A，B两种规格的书柜用于放置图书．经市场调查发现，若购买A种书柜3个，B种书柜2个，共需资金1020元；若购买A种书柜1个，B种书柜3个，共需资金900元．
（1）A、B两种规格的书柜的单价分别是多少？
（2）若该校计划购买这两种规格的书柜共20个，学校至多投人4350元的资金购买书柜，则B种书柜最多可以购买多少个？
【答案】（1）解：设A种书柜的单价是x元，B种书柜的单价是y元，依题意得：
，
解得，
答：A种书柜的单价是180元，B种书柜的单价是240元；
（2）解：设A种书柜可以买m个，则B种书柜可以买（20﹣m）个，依题意得：
180m+240（20﹣m）≤4350，
解得：m≥7.5，
则20﹣m≤12.5，
∵m为整数，
∴B种书柜最多可以买12个．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求解即可；
（2）先求出 180m+240（20﹣m）≤4350， 再计算求解即可。
36．近两年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车和3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；2辆A型新能源汽车和1辆B型新能源汽车的进价共计60万元．
（1）求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元？
（2）该公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1198万元，那么该公司最多购买A型新能源汽车多少辆？
【答案】（1）A型新能源汽车每辆进价是25元，B型新能源汽车每辆进价是10元
（2）13
37．2024年春季新茶叶上市期间，某直播平台的甲、乙两个售卖茶叶的直播间（假设两个直播间售卖的茶叶品质相同）推出的网购优惠方案分别是：
甲直播间：一次性购买的茶叶原价不超过300元不打折，超过300元后的部分打八折；
乙直播间：一次性购买的茶叶原价不超过500元不打折，超过500元后的部分打七折．
（1）设一次性购买的茶叶原价为x（）元，则在甲直播间购买实际付款___________元，在乙直播间购买实际付款___________元．（均用含x的代数式表示）
（2）若一次性购买的茶叶原价为x（）元，请说明选择哪个直播间购买茶叶更优惠．
【答案】（1），
（2）若一次性购买的茶叶原价大于900元时，在乙直播间购买更优惠；若一次性购买的茶叶原价等于900元时，在甲直播间购买和乙直播间购买价钱一样；若一次性购买的茶叶原价小于900元时，在甲直播间购买更优惠．
38．某中学在今年3月12日植树节这天组织以班为单位开展植树活动，校团委对全校各班的植树情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图.
（1）该校的总班数是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）求该校在这次活动中植树的总棵数.
【答案】（1）18
（2）解：植树13棵的班级数是18-4-6-3-1=4
如图所示：
（3）解：由题意，得：10×4+11×6+13×4+14×3+16×1=216（棵），
答：该校在这次活动中植树的总棵数为216棵.
【解析】【解答】解：（1）该校的班级总数= ；
故答案为：18；
【分析】（1）利用植树棵树为14的班级数除以所占的比例可得该校的总班数；
（2）根据总班数求出植树13棵的班级数，据此补全条形统计图；
（3）利用班级数×对应的植树棵树即可求出总棵数.
39．马小虎在解不等式 的过程中出现了错误，解答过程如下：
解不等式： ．解：去分母，得 ．（第一步）去括号，得 ．（第二步）移项，得 ．（第三步）合并同类项，得 ．（第四步）两边同时除以11，得 ．（第五步）
（1）马小虎的解答过程是从第 步开始出现错误的．
（2）请写出此题正确的解答过程．
【答案】（1）三
（2）解：正确的解答过程为：
去分母得5（1＋x）＞3（2x 1），
去括号得5＋5x＞6x 3，
移项得5x 6x＞ 3 5，
合并得 x＞ 8，
系数化为1得x＜8
【解析】【解答】（1）第三步中，移项应该变号，
故答案为：三；
【分析】（1）利用不等式的解法步骤逐项判定即可；
（2）利用不等式的解法求解即可。
40．（1）解方程组；
（2）解不等式组，请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得 ▲ ，
解不等式②得 ▲ ，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
所以原不等式组解集为 ▲ ．
【答案】（1）解：，
①×2＋②，得：，
将代入①，得：，解得，
∴方程组的解为：；
（2）解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以原不等式组解集为．
【解析】【分析】（1）利用加减消元法求解二元一次方程组即可；
（2）利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集并在数轴上画出解集即可.
41．如图，已知AB//CD，解决下列问题：
（1）如图1，的和是多少度？写出你的结论，并加以证明；
（2）如图2， ；
（3）如图3，试探究 ．
【答案】（1）解：．证明如下：
如图，作．
∵，
∴．
∵，AB//CD，
∴EG//CD，
∴．
∴，
∵，
∴．
（2）540°
（3）
【解析】【解答】（2）解：如图，作，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，AB//CD，，
∴EH//FK，
∴．
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
（3）
解：由（1）得，
由（2）得，
同理可得．
故答案为：．
【分析】（1）作EG//AB，利用平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（2）作，，根据平行线的性质可得，，，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）根据（1）（2）的计算方法可得规律。
42．
（1）填空 ；
；
.
（2）猜想 （n为大于1正整数）.
（3）利用（2）题的结论计算下列各题：
；
（4）计算： 的值.
【答案】（1）；；
（2）
（3）
（4）计算： 的值.
解：由（2）得，当 ， ， 时，得
，
，
.
【解析】【解答】（1）填空 ；
；
.（2）猜想 .（3）利用（2）题的结论计算下列各题：
① ；
【分析】（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；（2）根据（1）的规律可得结果；（3）①根据得到的规律直接可以写出；②当 ， ， 时，代入（2）得出的规律计算即可得到结果．
43．推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率，是新农村建设的一项重要举措．庐江县某村在小城镇建设中集约了亩土地，经投标，由甲工程队每天平可平整土地亩，乙工程队每天可平整土地亩，甲乙两工程队每天的工程费合计为元，而且甲工程队天所需工程费与乙工程队天所需工程费刚好相同．
（1）甲乙两工程队每天各需工程费多少元？
（2）现由甲乙两工人队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过万元，有几种方案，并求出最低费用．
【答案】（1）解：设甲工程队每天需工程费元，则乙工程队每天需工程费元，
∵甲工程队天所需工程费与乙工程队天所需工程费刚好相同，
∴，
解得：，
∴，
答：甲工程队每天需工程费元，乙工程队每天需工程费元；
（2）解：设甲工程队需工作天，乙工程队需工作天，根据题意得，
，
∴，
∵都是整数，
∴，
解得：，
∵总费用不超过万元，
∴，
∴，
解得：，
∵是正整数，
∴或或，
方案有：①甲工程队需工作天，乙工程队需工作天，费用为（元）；
②甲工程队需工作天，乙工程队需工作天，费用为(元)；
③甲工程队需工作天，乙工程队需工作天，费用为（元）；
∴，
∴方案③费用最少，最少费用为元，
答：甲工程队需工作天，乙工程队需工作天费用最少，最少费用为元．
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系得出 ， 再解方程即可；
（2）根据题意先得出 ， 再求出 ， 最后求出 或或作答即可。
44．据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了计算过程：
第一步：因为，，，所以．
第二步：因为59319的个位上的数是9，只有个位数字是9的数的立方的个位数字是9，所以的个位数字是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，所以，
所以，即的十位数字是3．
所以．
请根据上述材料解答下列问题：
（1）用上述方法确定4913的立方根的个位数字是 ．
（2）用上述方法确定50653的立方根是 ．
（3）求的值，要求写出计算过程．
【答案】（1）7
（2）37
（3）解：，，，
，
的个位上的数是2，只有个位数字是8的数的立方的个位数字是2，
的个位数字是8．
如果划去后面的三位592得到数110，而，，，
，
，即的十位数字是4．
，
【解析】【解答】解：（1）∵4913的个位上的数是3，只有个位数字是7的数的立方的个位数字是3，
∴4913的个位数字是7，
故答案为：7；
（2）∵103=1000，1003=1000000，1000<50653<1000000，
∴，
∵50653的个位上的数是3，只有个位数字是7的数的立方的个位数字是3，
∴的个位数字是7，
如果划去50653后面的三位653得到数50，而33=27，43=64，27<50<64，
∴30<<40，
∴30<<40，
即的十位数字是3.
∴，
故答案为：37.
【分析】（1）根据上述的方法计算求解即可；
（2）根据题意先求出，再求出的个位数字是7，的十位数字是3，最后求解即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求出 的个位数字是8，的十位数字是4，最后求解即可。
45．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，再按图b的形状拼成一个正方形.
（1）请用两种不同的方法表示图b中阴影部分的面积
方法1： ；方法2： .
（2）观察图b，写出下面三个式子，，之间的等量关系 ；
（3）根据(2)中的等量关系，解决以下问题：
①已知，，则 ▲ ；
②已知， ，求的值．(写出解答过程)
【答案】（1）；
（2）=
（3）解：①±1
②∵，，
∴
∵
∴
∴．
【解析】【解答】解：（1）方法1：图b中阴影部分是正方形，边长为，面积为；
方法2：图b中阴影部分的面积＝大正方形的面积－4个长为，宽为的面积，
即图b中阴影部分的面积为，
故答案为：或
（2）根据图b中阴影部分的面积的两种不同表示方法可得
=．
故答案为：=.
（3）①由（2）得，
∵，，
∴，
∴，
解得；
故答案为：
【分析】（1）根据不同的表达式表示出阴影部分的面积即可；
（2）根据（1）的结论可得 = ；
（3）①利用求出，再求出即可；
②根据，再结合，可得。
46．围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种材质 B种材质
第一个月 3套 5套 1800元
第二个月 4套 10套 3100元
（1）求A、B两种材质的围棋每套的售价．
（2）若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求A种材质的围棋最多能采购多少套？
（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1300元的目标？请说明理由．
【答案】（1）解：设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元；
（2）解：设A种材质的围棋采购a套，则B种材质的围棋采购套，
由题意得：，
解得：，
所以a的最大值为10，
答：A种材质的围棋最多能采购10套；
（3）解：商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标；
理由：设销售利润为w，
由题意得：，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∵a的最大值为10，
∴当时，w取最大值1300，
即商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标．
【解析】【分析】 (1) 单价数量=总价，A的销售收入+B的销售收入=总销售收入，由这些基本的逻辑关系列方程组。
(2)不多于即小于等于，提示我们列不等式。
(3)单套利润=售价-进价，总利润是所有单套的利润和；根据一次函数性质判定可以实现利润目标。
47．已知：直线，经过直线上的定点的直线交于点，点，为直线上的两点，且点在点右侧，点的左侧时，连接，，满足．
（1）如图，若，，直接写出的度数为： ．
（2）如图，射线为的角平分线，用等式表示与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）125°
（2）解：结论：．
理由：
，
，．
又射线为的角平分线，
．
，
．
．
即．
【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD，
∴∠COP=∠BPO，∠BPN = ∠MNP=50°，
∵∠MPO= 25°，∠MPN = ∠MNP=50°，
∴∠COP= ∠BPO= ∠MPO+∠MPN+∠BPN =25°+50°+50°=125°，
故答案为：125°.
【分析】（1）利用平行线的性质求出∠COP=∠BPO，∠BPN = ∠MNP=50°，再计算求解即可；
（2）利用平行线的性质和角平分线等计算求解即可。
48．已知 ， ，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧；
（1）保持 不动，将 绕点O旋转至如图2所示的位置，则① = ；② = ；
（2）若 按每分钟 的速度绕点O逆时针方向旋转， 按每分钟 的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算 (用t的代数式表示)。
（3）保持 不动，将 绕点O逆时针方向旋转 ，若射线OE平分 ，射线OF平分 ，求 的大小；
【答案】（1）150°；30°
（2）解：设运动时间为t秒，由题意可知：0当OD与OA相遇时，5t－2t=60，解得：t=20，
∴经过20秒，OD与OA相遇，
①0∠AOD=∠COD+∠AOM－∠MOC=60+2t－5t=60－3t，
∴∠MOC－∠AOD=5t－(60－3t)=8t－60；
②20∠AOD=∠MOC－∠COD－∠AOM=5t－60－2t=3t－60，
∴∠MOC－∠AOD=5t－(3t－60)=2t+60；
（3）解：设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，
①0∵∠BOD=150°－n°，∠AOC=n°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠BOF= (150°－n°)，∠BOE=90°－ n°，
∴∠EOF=∠BOE－∠BOF=15°；
②150°∵∠BOD= n°－150°，∠AOC=n°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠BOF= (n°－150°)，∠BOE=90°－ n°，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=15°；
③180°∵∠BOD= n°－150°，∠AOC=360°－n°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠DOF= (n°－150°)，∠COE= (360°－n°)，
∴∠EOF=∠DOF+∠COD+∠COE=165°；
④330°∵∠BOD=360°－(n°－150°)，∠AOC=360°－n°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠DOF= [360°－(n°－150°)]，∠COE= (360°－n°)，
∴∠EOF=∠DOF－∠COD－∠COE=15°；
综上，∠EOF的大小为15°或165°.
【解析】【解答】解：(1)①∵∠AOB=90°，∠COD=60°，
∴∠AOB+∠COD=90°+60°=150°，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠AOC+∠AOD，
∴∠AOC+∠BOC+∠AOC+∠AOD=150°，
∴∠AOC+∠BOD=150°；
②∵∠AOB=90°，∠COD=60°，
∴∠AOB－∠COD=90°－60°=30°，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠AOC+∠AOD，
∴∠AOC+∠BOC－(∠AOC+∠AOD)=30°，
∴∠BOC－∠AOD=30°；
【分析】（1）①根据∠AOB及∠COD的度数求出∠AOB+∠COD的度数，然后利用角与角之间的关系进行代换化简即可；②根据∠AOB及∠COD的度数求出∠AOB－∠COD的度数，然后利用角与角之间的关系进行代换化简即可；（2）分情况讨论：OD与OA相遇前及OD与OA相遇后，画出图形，再根据角与角之间的关系进行计算即可；（3）分情况讨论，根据角与角之间的关系进行计算即可.
49．已知直角三角板 和直角三角板 ， ， ， ．
（1）如图1，将顶点C和顶点D重合，保持三角板 不动，将三角板 绕点 旋转，当 平分 时，求 的度数；
（2）在（1）的条件下，继续旋转三角板 ，猜想 与 有怎样的数量关系？并利用图2所给的情形说明理由；
（3）如图3，将顶点C和顶点E重合，保持三角板 不动，将三角板 绕点C旋转．当 落在 内部时，直接写出 与 之间的数量关系．
【答案】（1）解：∵ 平分
∴
∴
（2）解：猜想：
理由：∵
∴
（3）解：因为CA在∠DCF内侧，
所以∠DCA=∠DCF-∠ACF=45°-∠ACF，∠BCF=∠BCA-∠ACF=90°-∠ACF，
所以 或
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质求出∠FCA，即可求出∠ACE；（2）根据同角的余角相等即可求出；（3）∠ACD和∠BCF都和∠ACF关系紧密，分别表示它们与∠ACF的关系即可求解．
50．如图，直线，直线与，分别交于点，，．小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点，分别在自线，上，且在点、的右测，，．
（1）填空： ；
（2）若的平分线交直线于点，如图②
①当时，求的度数；
②小安将三角板沿直线左右移动，保持，点N、M分别在直线和直线上移动．请直接写出的度数（用含式子表示）．
【答案】（1）
（2）解：①∵，
∴，
，
，
，
平分，
，
∵，
，
；
②的度数为或．
【解析】【解答】解：（1）过点作，如图所示：
，
∵，
∴，
，
，
故答案为：；
（2）②点在的右侧时，如图②，
∵，，
，
，
∵，
，
平分，
，
∵，
；
点在的左侧时，如图，
∵，，
，
，
∵，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为或．
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得到，进而根据平行公理及其推论得到，从而根据平行线的性质得到，再等量代换即可求解；
（2）①根据平行公理及其推论得到，进而根据平行线的性质得到，从而结合题意得到，再根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质得到，从而即可求解；
②根据题意分类讨论：点在的右侧时，点在的左侧时，进而根据平行线的性质结合角平分线的定义进行角的运算即可求解.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
