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【决战期末·50道综合题专练】湘教版八年级下册期末数学试卷
1．某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形，上面是半圆形，其中米，米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？
2．如图，在中，已知，，与交于点，且．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，且，，求的长．
3．科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而有规律的变化．七(1)班“问天兴趣小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度(简称音速)与气温之间的关系如下表：
气温 0 5 10 15 20
音速 331 334 337 340 343
（1）在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量，从表中可以看出气温每升高，音速就提高 ；
（2）变量音速v与气温t之间的关系式可以表示为 ；
（3）在发生闪电的夏夜，小明在看到闪电5秒后听到雷声，那么发生打雷的地方距离小明大约有多远？(光传播的时间可忽略不计)
4．如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽米，高米，且，长米，棚的斜面用矩形玻璃遮盖，不计墙的厚度，请计算矩形玻璃的面积．
5．如图，在 ABCD中，分别过 两点作对角线BD的垂线，垂足分别为M、N，连结AN、CM.
求证：
（1） ；
（2）四边形AMCN为平行四边形.
6．在直角 中， 过 点作 于 在 上，且 过点 作 使得 连接 .求证：
（1） ；
（2） .
7．如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）作出关于轴的对称图形；
（2）写出点，，的坐标；
（3）在轴上找一点，使最短（不写作法）．
8．为提高饮水质量，越来越多的居民选择家用净水器，光明商场计划从生产厂家购进甲、乙两种型号的家用净水器，甲型号净水器进价为160元/台，乙型号净水器进价为280元/台，经过协商沟通，生产厂家拿出了两种优惠方案：第一种优惠方案：甲、乙两种型号净水器均按进价的8折收费；第二种优惠方案：甲型号净水器按原价收费，乙型号净水器的进货量超过10台后超过的部分按进价的6折收费.
光明商场只能选择一种优惠方案，已知光明商场计划购进甲型号净水器数量是乙型号净水器数量的1.5倍，设光明商场购进乙型号净水器 台，选择第一种优惠方案所需费用为片 元，选择第二种优惠方案所需费用为 元.
（1）分别求出 、 与 的关系式：
（2）光明商场计划购进乙型号净水器40台，请你为光明商场选择合适的优惠方案，并说明理由.
9．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．
求证：
（1）BE=FD；
（2）EF与MN互相平分．
10．如图，等边的边长是2，D，E分别为，的中点，连接，，过点E作交的延长线于点F．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求的长．
11．如图，点，点，点，点．将四边形向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到四边形．
（1）画出经过两次平移后的图形，并写出点的坐标；
（2）已知四边形内部一点随四边形一起平移，经过两次平移后点的对应点的坐标为，请求出点的坐标；
（3）求四边形的面积．
12．如图，一次函数 的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形 是正方形．
（1）求点A、B、C、D的坐标．
（2）设P是坐标轴上任意一点，若三角形 是以 为底边的等腰三角形，求P点的坐标．
13．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF.
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得到；
（3）若BC＝8，DE＝2，求△AEF的面积.
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE＝1， ，求四边形的ABCD面积．
15．下面是小明设计的“在一个矩形内作正方形”的尺规作图过程．
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求作：正方形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
四边形ABEF就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF＝AB，BE＝AB
∴ ▲ ＝ ▲ ．
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（ ▲ ）（填推理的依据）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
∴四边形ABEF为矩形．（ ▲
）（填推理的依据）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为正方形．（ ▲
）（填推理的依据）
16．小林同学从家出发，步行到离家a米的公园散步，速度为50米/分钟：6分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离y（米）与小林出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示．
（1） ；
（2）求所在直线的函数表达式；
（3）小林与哥哥第二次相遇时距离公园还有多远？
17．如图，在中于E，于F，且．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形．
18．小刚家、学校、图书馆依次在一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中，小刚离家的距离y（m）与他所用的时间x（min）的函数关系如图所示．
（1）求小刚从图书馆返回家的过程中，y与x之间的关系式；
（2）小刚出发35分钟时，他离家有多远？
19．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b元，如图所示l1和l2分别表示每辆车的燃料费（含改装费）y（元）与正常运营时间x（天）之间的关系.
（1）哪条线表示每辆车改装后的燃料费（含改装费）y（元）与正常运营时间x（天）之间的关系？
（2）每辆车的改装费b= 元，正常营运 天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本；
（3）每辆车改装前每天的燃料费为 元；改装后每天的燃料费为 元；
（4）直接写出每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）y（元）与正常运营时间x（天）之间的关系式.
20．如图，在△ABC和△EDF中，AC＝EF，∠ACB＝∠F＝90°，点A，D，B，E在同一条直线上，且点D，B分别为AB，DE中点．
（1）求证：△ABC≌△EDF．
（2）连接CD，当CD＝5，EF＝6时，求BC的长．
21．在同一条道路上，甲车从 地到 地，乙车从 地到 地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离 （千米）与行驶时间 （小时）的函数关系的图象，根据图象解决以下问题：
（1）乙先出发的时间为 小时，乙车的速度为 千米/时；
（2）求线段 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（3）甲、乙两车谁先到终点，先到多少时间？
22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴，y轴分别交于点B，A，以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，且∠ABC＝90°，过C作CD⊥x轴于点D．
（1）如图1，求A，B，C三点的坐标；
（2）如图2，若点E，F分别是OB，AB的中点，连接EF，CF．判断四边形FEDC的形状，并说明理由．
23．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，AD＝13cm，折叠纸片使C点落在边AD上的E处，折痕为MN，过点E作EF∥CD交MN于F，连接CF
（1）求证：四边形CFEN为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定M、N分别在边BC、CD上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
24．如图，在△ABC和△CDE中，∠ABC＝∠CDE＝90°，且AC⊥CE，AC＝CE．
（1）求证：
（2）若AC＝13，DE＝5，求DB的长．
25．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=8，∠ABC=60°，求矩形AODE的周长．
26．如图， 与 相交于点 .
（1）尺规作图：作 的平分线 ，交 于点 ，交 的延长线于点 .（要求：不写做法，只保留作图痕迹，并标明字母）
（2）求证： .
27．如图，在中，点E是边AB的中点，连结DE并延长，交CB延长线于点F，且DE平分.
（1）求证：.
（2）若，，求的面积.
28．如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O．求证：四边形AECF是菱形．
【小海的证明过程】
证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，OE＝OF，EF⊥AC，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
【老师评析】
小海利用对角线互相平分证明了四边形AECF是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了．
【挑错改错】
（1）请你帮小海找出错误的原因；
（2）请你根据小海的思路写出此题正确的证明过程．
29．某超市用2800元购进甲、乙两种商品，乙种商品的进价比甲种商品多10元/件，且用150元购进的甲种商品与用200元购进的乙种商品数量相同．
（1）求这两种商品的进价；
（2）甲种商品的售价为45元/件，乙种商品的售价为50元/件．设购进甲种商品件（），全部售出所购进的这两种商品可获利元，求关于的函数解析式及的最大值．
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的边AB在x轴上，顶点C在y轴上，已知点A与点C的坐标分别为，．
（1）求点B与点D的坐标；
（2）求出菱形ABCD的面积．
31．如图，一架梯子长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24m．
（1）这个梯子底端离墙有多少米？
（2）如果梯子顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4m吗？说明理由．
32．如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE＝DF.
33．已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：
（1）
（2）四边形是平行四边形．
34．在边长为1的小正方形组成的网格中，把一个点先沿水平方向平移丨a丨格（当a
为正数时，表示向右平移；当a为负数时，表示向左平移），再沿竖直方向平移丨b｜格（当b为正数时，表示向上平移；当b为负数时，表示向下平移），得到一个新的点，我们把这个过程记为（a，b）例如在图1中．从A到B记为：A→B（＋1，＋3）从c到D记为：C→D(+3，一3)，请回答下列问题：
（1）如图1，若点A的运动路线为：A→B→D→A，请计算点A运动过的总路程；
（2）若点A运动的路线依次为：A→M（＋2，＋3）A→N（＋1，-1），N→P
（-2，＋2）P→Q（＋4，-4）请你依次在图2上标出点M，N，P，Q的位置.
（3）在图2中，若点A经过（m，n）得到点E，点E再经过（p、，q）后得到Q，则m与p满足的数量关系是 ；n与q满足的数量关系是 .
35．如图，在矩形中，延长至点E，使，连接交于点F.
（1）求证：.
（2）若，，求点A，F之间的距离.
36．我市某风景区门票价格如图所示，有甲、乙两个旅行团队，计划在端午节期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为100人，乙团队人数不超过40人.设甲团队人数为 人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为 元.
（1）求出 关于 的函数关系式，并写出自变 的取值范围；
（2）若甲团队人数不超过80人，计算甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱？
（3）端午节之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过40人时，门票价格不变，人数超过40人但不超过80人时，每张门票降价 元；人数超过80人时，每张门票降价 元.在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团端午节之后去游玩联合购票比分别购票最多可节约3900元，求 的值.
37．如图，在四边形ABCD中， ，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，BD＝6，求CE的长．
38．如图，若 ，射线 在 的内部，射线 ， 分别是 ， 的平分线．
（1）当 时， ；
（2）当 为 的平分线时， ；
（3）当射线 在 内部转动（不与边 ， 重合），求 的度数．
39．已知：如图，在中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，于点G，.
（1）求证：；
（2）若，，求CE的长.
40．清朝康熙年间编校的《全唐诗》包含四万多首诗歌，逾三百万字，是后人研究唐诗的重要资源．小云利用统计知识分析《全唐诗》中李白和杜甫作品的风格差异．下面给出了部分信息：
a．《全唐诗》中，李白和杜甫分别有896和1158首作品．
b．二人作品中与“风”相关的词语频数统计表如下：
词语频 数诗人 春风 东风 清风 悲风 秋风 北风
李白 72 24 28 6 26 8
杜甫 19 4 6 10 30 14
c．通过统计二人的个性化用字，可绘制一种视觉效果更强的“词云图”，出现次数较多的关键字被予以视觉上的突出．
注：在文学作品中，东风即春风，常含有生机勃勃之意和喜春之情，如：等闲识得东风面，万紫千红总是春；北风通常寄寓诗人凄苦的情怀，抒写伤别之情，如：千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全条形统计图：
（2）在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语是 ，大约每 首诗歌中就会出现一次该词语（结果取整数），而杜甫最常使用的词语是 ；
（3）下列推断合理的是 ．
①相较于杜甫，与“风”有关的词语在李白的诗歌中更常见；
②个性化用字中，李白最常使用的汉字是“水”，杜甫则是“江”；
③李白更常用“风”表达喜悦，而杜甫更常用“风”表达悲伤．
41．在一次数学活动课上，同学们用一个含有60°角的直角三角板和两条平行线展开探究.如图，在中，，，.
（1）如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数；
（2）如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数；
（3）如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，.设，是否存在正整数和，使得.若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由.
42．A，B，C三个村庄依次在一条笔直的公路旁，甲从A村庄出发沿着这条公路匀速去B村庄，乙从C村庄出发沿着这条公路匀速去A村庄，当其中一人到达目的地时，另一人也随之停止运动.甲、乙与B村庄的距离y，y2，与甲的行驶时间t 之间的函数关系如图所示.请根据所给图象解答下列问题：
（1）填空：A，B两村庄之间的距离为 km，乙比甲晚出发 h；乙的速度为 km/h，甲的速度为 km/h；
（2）求乙从C村庄到B村庄的行驶过程中，与B村庄的距离y2与甲行驶的时间t之间的函数关系式；
（3）请直接写出当t为何值时，甲与乙相遇.
43．△ABC在平面直角坐标系中如图所示，
（1）S△ABC＝ ．
（2）x轴上是否存在点P，使得S△BCP＝2S△ABC，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
44．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连结A′C.
（1）当MN⊥AB时，MN的长是多少？
（2）当线段NA′∥AD时，四边形AMA′N的面积是多少？
（3）在N点的运动过程中，A′C长度的最小值是多少？
45．
（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明；
（2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？
（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？
46．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点.
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.
47．甲、乙两地间的直线公路长为 千米.一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发 小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶. 小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）.最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离 （千米）与轿车所用的时间 （小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是 千米/小时；轿车的速度是 千米/小时； 值为 .
（2）求轿车距其出发地的距离 （千米）与所用时间 （小时）之间的函数关系式并写出自变量 的取值范围；
（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距 千米.
48．已知点，，，过点C作x轴的平行线m，交y轴于点D，一动点P从C点出发，在直线m上以1个单位长度/秒的速度向右运动，
（1）如图，当点P在第四象限时，连接，作射线平分，过点O作．
①填空；若，则 ▲ ；
②设，求a的值．
（2）若与此同时，直线m以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动，设运动时间为t秒，点P的坐标为
①在坐标轴上是否存在满足条件的点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②求x和y的关系式．
49．如图1是两圆柱形连通容器，两根铁棒直立于甲容器底部（连通处及铁棒体积忽略不计），向甲容器匀速注水，甲容器的水面高度h（cm）与时间t（分）的函数关系如图2所示.已知两根铁棒的长度之和为34cm，当水面达到连通处时，一根露出水面的长度是它的 ，另一根露出水面的长度是它的 .
（1）①图2中（3，a）表示的实际意义是 ▲ ；
②请求出a的值；
（2）若甲、乙两容器的底面积之比为S甲，S乙＝3：2.
①直接写出b的值为 ▲ ；
②求点P的坐标.
50．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．
（1）求证：；
（2）动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值；
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．
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【决战期末·50道综合题专练】湘教版八年级下册期末数学试卷
1．某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形，上面是半圆形，其中米，米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？
【答案】这辆卡车能安全通过这个隧道
2．如图，在中，已知，，与交于点，且．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，且，，求的长．
【答案】（1）解：四边形是菱形；
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形
（2）解：菱形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
菱形，
，，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件得到：，进而判断出四边形ENFM为平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形为菱形，即可得证；
（2）由得到：，进而四边形ABNE为平行四边形，得到：，再由菱形的性质和勾股定理可求得：即可求出AB的长
3．科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而有规律的变化．七(1)班“问天兴趣小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度(简称音速)与气温之间的关系如下表：
气温 0 5 10 15 20
音速 331 334 337 340 343
（1）在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量，从表中可以看出气温每升高，音速就提高 ；
（2）变量音速v与气温t之间的关系式可以表示为 ；
（3）在发生闪电的夏夜，小明在看到闪电5秒后听到雷声，那么发生打雷的地方距离小明大约有多远？(光传播的时间可忽略不计)
【答案】（1）气温，音速，3
（2）
（3）1745米
4．如图，小明准备建一个鲜花大棚，棚宽米，高米，且，长米，棚的斜面用矩形玻璃遮盖，不计墙的厚度，请计算矩形玻璃的面积．
【答案】矩形玻璃的面积为50平方米．
5．如图，在 ABCD中，分别过 两点作对角线BD的垂线，垂足分别为M、N，连结AN、CM.
求证：
（1） ；
（2）四边形AMCN为平行四边形.
【答案】（1）证明：在 中， ，
，
在 和 中
∴ ≌ （AAS）
∴ .
（2）证明：连结AC交BD于点O，
在 中， ，
∵
∴
∴
∴四边形AMCN为平行四边形.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出对边平行且相等，然后根据平行线的性质得出∠ABM=∠CDN，则利用角角边定理即可证明△ABM≌△DCN，从而得出BM=DN；
（2）由平行四边形的性质可得 ， ，由（1）知BM=DN，则由线段的和差关系得出OM=ON，则四边形AMCN的对角线互相平分即为平行四边形.
6．在直角 中， 过 点作 于 在 上，且 过点 作 使得 连接 .求证：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＋∠DBC＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠BDA＝90°，
∴∠C＋∠DBC＝90°，
∴∠ABD＝∠C
（2）解：∵DF∥BC，
∴∠FDE＝∠C，
∴∠ABD＝∠FDE，
在△ABD与△EDF中，
∴△ABD≌△EDF（SAS），
∴∠BDA＝∠F，
∵∠BDA＝90°，
∴∠F＝90°，
∴DF⊥EF.
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等即可得证；（2）先根据“SAS”证得△ABD≌△EDF，进而可得∠F＝∠BDA＝90°，进而得证.
7．如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）作出关于轴的对称图形；
（2）写出点，，的坐标；
（3）在轴上找一点，使最短（不写作法）．
【答案】（1）解：如图所示，为所求作．
（2）解：由图可得，，，．
（3）解：如图所示，点即为所求作．
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点坐标的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据平面直角坐标系直接写出点坐标即可；
（3）连接AC'交y轴的交点为点P。
8．为提高饮水质量，越来越多的居民选择家用净水器，光明商场计划从生产厂家购进甲、乙两种型号的家用净水器，甲型号净水器进价为160元/台，乙型号净水器进价为280元/台，经过协商沟通，生产厂家拿出了两种优惠方案：第一种优惠方案：甲、乙两种型号净水器均按进价的8折收费；第二种优惠方案：甲型号净水器按原价收费，乙型号净水器的进货量超过10台后超过的部分按进价的6折收费.
光明商场只能选择一种优惠方案，已知光明商场计划购进甲型号净水器数量是乙型号净水器数量的1.5倍，设光明商场购进乙型号净水器 台，选择第一种优惠方案所需费用为片 元，选择第二种优惠方案所需费用为 元.
（1）分别求出 、 与 的关系式：
（2）光明商场计划购进乙型号净水器40台，请你为光明商场选择合适的优惠方案，并说明理由.
【答案】（1）解：由题意，得
=(160×1.5x+280x)×0.8=416x
当0≤x≤10时， =160×1.5x+280x=520x
当x＞10时， =160×1.5x+280×10+280×0.6(x-10)=408x+1120
综上，
（2）解：当x=40时， =416×40=16640；
=408x+1120=408×40+1120=17440
＜
∴选第一种优惠方案.
【解析】【分析】（1）由题意根据总费用=甲的总费用+乙的总费用可将y1、y2用含x的代数式表示出来；
（2）由题意把x=40代入（1）中的解析式计算即可判断求解.
9．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．
求证：
（1）BE=FD；
（2）EF与MN互相平分．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠CFD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF
（2）解：连接EM， EN，NF，FM．
∵DN=BM，∠D=∠B，DF=BE，
∴△BEM≌△DFN（SAS），
∴ME=FN，
同法可证FM=EN，
∴四边形MENF是平行四边形，
∴EF与MN互相平分
【解析】【分析】（1）证明△ABE≌△CDF（AAS）可得结论．（2）连接EM，EN，NF，FM，证明ME=FN，FM=NE，推出四边形MENF是平行四边形即可解决问题．
10．如图，等边的边长是2，D，E分别为，的中点，连接，，过点E作交的延长线于点F．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵D，E分别为，的中点，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵为的中点，等边的边长是2，
∴，，．
在Rt△BCD中，根据勾股定理
∴．
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线的性质可得，再结合EF//CD，可证明四边形是平行四边形；
（2）利用等边三角形的性质求出CD的长，再利用平行四边形的性质可得。
11．如图，点，点，点，点．将四边形向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到四边形．
（1）画出经过两次平移后的图形，并写出点的坐标；
（2）已知四边形内部一点随四边形一起平移，经过两次平移后点的对应点的坐标为，请求出点的坐标；
（3）求四边形的面积．
【答案】（1）解：如图，四边形即为所求.
点，，，．
（2）解：四边形向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到四边形，点的坐标为，
点的坐标为．
（3）解：四边形的面积为．
【解析】【分析】（1）根据平移的性质结合题意画图即可求解；
（2）根据平移（坐标的变化）结合题意即可求解；
（3）根据图片结合题意即可求解。
12．如图，一次函数 的图象与x、y轴分别相交于点A、B，四边形 是正方形．
（1）求点A、B、C、D的坐标．
（2）设P是坐标轴上任意一点，若三角形 是以 为底边的等腰三角形，求P点的坐标．
【答案】（1）解：过点D作 轴于H，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴令 ， ， ，
令 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵C点横坐标为 ，
C点纵坐标为 ，
∴ ，
综上所述， ， ， ， ．
（2）解：∵ 是以 为底的等腰三角形，
∴ ，
∴P点在 的垂直平分线上，
∴ 的中点坐标为（-1，2），
∵ 所在直线解析式为 ，
∴设 的垂直平分线所在直线解析式为
则有： ，
解得 ，
∴ ，
令 ， ，
令 ， ，
∴P点坐标为 或（3，0）．
【解析】【分析】（1）过点D作DH⊥x轴于H，根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，进而可得出∠BAO+∠DAH=90°，结合∠BAO+∠ABO=90°，可得出∠DAH=∠AOB；因为DH⊥90°，在△BOA和△AHD中，根据ASA即可得出△BOA≌△AHD，所以OB=AH，OA=DH；接下来根据x轴、y轴点的坐标特征，即可得出A、B的坐标，进而得出OA、OB的值，再根据OH=AH-OA即可得出点D的坐标，进一步即可得出点C的坐标；
（2）△ABP是以AB为底的等腰三角形，可得PA=PB，所以点P在AB的垂直平分线上，进而可得出AB的中点坐标，再根据AB所在的直线解析式可设出AB垂直平分线所在的直线解析式，代入AB中点的坐标即可得出AB垂线平分线的解析式，再根据x轴、y轴上点的坐标的特征即可得出P点的坐标.
13．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF.
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得到；
（3）若BC＝8，DE＝2，求△AEF的面积.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
而F是CB的延长线上的点，∴∠ABF＝∠D＝90°.
又∵AB＝AD，DE＝BF，∴△ADE≌△ABF(SAS)；
（2）A；90
（3）∵BC＝8，∴AD＝8，在Rt△ADE中，DE＝2，AD＝8，
∴AE＝ ＝2 ，∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°.∴△AEF的面积＝ AE2＝ ×4×17＝34.
【解析】【解答】解：（2） ，
而 ，
，即 ，
可以由 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 得到.
故答案为： 、 .
【分析】（1）根据正方形的性质可得AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，∠ABF＝∠D＝90°，然后结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠BAF=∠DAE，推出∠FAE=90°，据此解答；
（3）根据正方形的性质可得BC=AD＝8，在Rt△ADE中，应用勾股定理求出AE，由旋转的性质可得AE＝AF，∠EAF＝90°，接下来根据三角形的面积公式进行计算.
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE＝1， ，求四边形的ABCD面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°．
∵CE⊥AC，DE⊥BD，
∴∠BDC=∠E=90°
∴平行四边形OCED是矩形；
（2）解：由（1）知，四边形OCED是菱形，
则CE＝OD＝1
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD＝2OD＝2，AC＝2OC，AC⊥BD
∴
∴AC=4
∴菱形ABCD的面积为： ACBD＝ ×4×2＝4．
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，证明平行四边形为矩形即可；
（2）根据菱形的性质，由勾股定理即可得到OC的长度，继而求出AC=4，根据菱形的面积计算即可。
15．下面是小明设计的“在一个矩形内作正方形”的尺规作图过程．
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求作：正方形ABEF（点E在BC上，点F在AD上）．
作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF．
四边形ABEF就是所求作的正方形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AF＝AB，BE＝AB
∴ ▲ ＝ ▲ ．
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（ ▲ ）（填推理的依据）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°．
∴四边形ABEF为矩形．（ ▲
）（填推理的依据）
∵AF＝AB，
∴四边形ABEF为正方形．（ ▲
）（填推理的依据）
【答案】（1）解：如图，四边形ABEF即为所求．
（2）证明：∵AF=AB，BE=AB，
∴AF=BE，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AF∥BE．
∴四边形ABEF为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
∴四边形ABEF为矩形．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为正方形．（邻边相等的矩形是正方形）．
【解析】【分析】（1）根据要求作图即可；
（2）先证明ABEF是平行四边形，再证明是矩形，在证明是正方形即可。
16．小林同学从家出发，步行到离家a米的公园散步，速度为50米/分钟：6分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离y（米）与小林出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示．
（1） ；
（2）求所在直线的函数表达式；
（3）小林与哥哥第二次相遇时距离公园还有多远？
【答案】（1）600
（2）解：设 ，由题意得：
，
由图象得： ，
；
由图象得： ；
设 所在直线的函数表达式为： ，
则有： ，
解得： ，
．
（3）解：由图象：
设 所在直线的函数表达式为： ，
则有 ，
解得： ，
．
由 解得： ．故小林出发9.6分钟与哥哥第二次相遇，
∴此时小林距离公园 米．
【解析】【解答】解：（1）由题意得50×12=60m，
故答案为：600
【分析】（1）根据图像结合路程=时间×速度即可求解；
（2）先根据题意求点C和D的坐标，再运用待定系数法求一次函数即可求解；
（3）先根据题意得到点A的坐标，再运用待定系数法求一次函数的解析即可得到直线OA的解析式，再结合题意即可求解。
17．如图，在中于E，于F，且．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形．
【答案】（1）证明：∵于E，于F．
∴与为直角三角形，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵在中，于E，于F，
∴，，
∵（已证），
∴，
∴，
∴为菱形．
【解析】【分析】（1）证明， 可得；
（2）利用平行四边形的性质证明， 可得， 即可证为菱形。
18．小刚家、学校、图书馆依次在一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中，小刚离家的距离y（m）与他所用的时间x（min）的函数关系如图所示．
（1）求小刚从图书馆返回家的过程中，y与x之间的关系式；
（2）小刚出发35分钟时，他离家有多远？
【答案】（1）解：由题意得，小刚家与学校的距离为3000m，
小刚骑自行车的速度为：（m/min），
小刚从图书馆返回家的时间：（min），
总时间：（min），
设小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式为，把，代入得：
，解得，
∴；
（2）解：小刚出发35分钟时，即当时，．
答：他离家2000m．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将代入求解即可。
19．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装费为b元，如图所示l1和l2分别表示每辆车的燃料费（含改装费）y（元）与正常运营时间x（天）之间的关系.
（1）哪条线表示每辆车改装后的燃料费（含改装费）y（元）与正常运营时间x（天）之间的关系？
（2）每辆车的改装费b= 元，正常营运 天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本；
（3）每辆车改装前每天的燃料费为 元；改装后每天的燃料费为 元；
（4）直接写出每辆车改装前、后的燃料费（含改装费）y（元）与正常运营时间x（天）之间的关系式.
【答案】（1）解：∵当运营时间为0天时，直线l1对应的燃料费为4000元，
∴直线l1表示每辆车改装后的燃料费与正常运营时间之间的关系；
（2）4000；100
（3）90；50
（4）解：l2：y=90x（x≥0） l1：y=50x+4000(x≥0)
【解析】【解答】解：（2）∵当运营时间为0天时，直线l1对应的燃料费为4000元，
∴每辆车的改装费b=4000元，
当正常营运100天时，改装前和改装后的费用都是9000元，
故正常营运100天后，就可以从节省的燃料费中收回改装成本；（3）改装前每天的燃料费＝ 元；
改装后每天的燃料费＝ 元；（4）设改装前燃料费与正常运营时间之间的关系式为：y=ax(a≠0)，
将（100，9000）代入得：9000=100a，
解得：a=90，
故改装前燃料费与正常运营时间之间的关系式l2为：y=90x（x≥0）；
设改装后燃料费与正常运营时间之间的关系式为：y=kx+b(k≠0)，
将（0，4000），（100，9000）代入得： ，解得： ，
故改装后燃料费与正常运营时间之间的关系式l1为：y=50x+4000(x≥0).
【分析】（1）根据函数图象可直接得出答案；（2）根据直线l1过（0，4000）且两直线交于（100，9000）可得答案；（3）分别用燃料费（不含改装费）除以运营时间计算即可；（4）利用待定系数法求解析式即可.
20．如图，在△ABC和△EDF中，AC＝EF，∠ACB＝∠F＝90°，点A，D，B，E在同一条直线上，且点D，B分别为AB，DE中点．
（1）求证：△ABC≌△EDF．
（2）连接CD，当CD＝5，EF＝6时，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵点D，B分别为AB，DE中点，
∴AD＝BD＝BE，
∴AB＝ED，
在Rt△ABC和Rt△EDF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）
（2）解：∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CD＝ AB，
∴AB＝2CD＝2×5＝10，
∵△ABC≌△EDF，
∴AC＝EF＝6，
在Rt△ABC中，BC＝ ＝8
【解析】【分析】（1）由点D，B分别为AB，DE中点，可得AB＝ED，根据全等三角形判定的“HL”定理即可证得△ABC≌△EDF；（2）由直角三角形斜边的中线的性质可求得AB，由全等三角形的性质可求得AC，根据勾股定理即可求得BC．
21．在同一条道路上，甲车从 地到 地，乙车从 地到 地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离 （千米）与行驶时间 （小时）的函数关系的图象，根据图象解决以下问题：
（1）乙先出发的时间为 小时，乙车的速度为 千米/时；
（2）求线段 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（3）甲、乙两车谁先到终点，先到多少时间？
【答案】（1）0.5；60
（2）乙从 地到 地所需的时间为
∴甲从 地到 地所需的时间为
∴甲的速度为
∴从甲车出发到甲乙两车相遇所需的时间为
∵乙先出发0.5小时，
∴甲乙两车相遇是在乙车出发后1小时
∴
设直线BC的解析式为
将 代入解析式中得
解得
∴直线BC的解析式为
（3）乙从 地到 地所需的时间为 ，而甲是在乙出发1.75小时后到达终点的，所以乙先到终点
所以乙比甲早到
【解析】【解答】（1）根据图象可知图象在点B处出现转折，所以前一段应该是乙提前出发的时间
∴乙先出发0.5小时，在0.5小时内行驶了100-70=30千米
∴乙的速度为
【分析】（1）根据第一段图象可以看出乙先出发0.5小时，然后利用路程÷时间=速度即可求出乙的速度；（2）先求出甲车的速度，进而求出甲乙两车的相遇时间，从而得到C的坐标，然后将B，C代入用待定系数法即可求值线段BC的解析式；（3）计算发现乙到达终点的时间为 ，而从图象中可知甲到达终点的时间为1.75小时，据此问题可解．
22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴，y轴分别交于点B，A，以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，且∠ABC＝90°，过C作CD⊥x轴于点D．
（1）如图1，求A，B，C三点的坐标；
（2）如图2，若点E，F分别是OB，AB的中点，连接EF，CF．判断四边形FEDC的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：
令x=0时，则有y=4，
∴ ，
令y=0时，则有-2x+4=0，解得：x=2，
∴ ，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴ ，
∴ ，
∵CD⊥x轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：四边形FEDC是矩形，理由如下：
由（1）可得： ，OA=4，
∵点E，F分别是OB，AB的中点，
∴ ，EF∥OA，
∴ ，
∴四边形FEDC是平行四边形，
∵ ，
∴四边形FEDC是矩形．
【解析】【分析】（1） 由y＝﹣2x+4可求出A（0，4）、B（2，0），可得OA=4，OB=2，证明
，可得 ，从而求出，即得点C坐标；
（2）四边形FEDC是矩形，理由：证明 ，推出四边形FEDC是平行四边形，由∠EDC=90°，根据矩形的判定定理即证.
23．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，AD＝13cm，折叠纸片使C点落在边AD上的E处，折痕为MN，过点E作EF∥CD交MN于F，连接CF
（1）求证：四边形CFEN为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定M、N分别在边BC、CD上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
【答案】（1）证明：由折叠得：FC＝FE，NC＝NE，∠CFN＝∠EFN，
∵EF∥CD，
∴∠EFN＝∠CNF，
∴∠CFN＝∠CNF，
∴CF＝CN，
∴CF＝CN＝NE＝EF，
∴四边形CFEN为菱形
（2）解：①当点N与点D重合时，如图1所示：
由折叠可知，四边形CDEM是正方形，此时DE＝5cm，
②当点M与点B重合时，如图2所示：
由折叠得，BC＝BE＝13，
四边形是矩形，，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝cm，
DE＝13﹣12＝1cm，
因此，点E在边AD上移动的最大距离为5－1＝4cm．
【解析】【分析】（1）由折叠得出对应角相等，对应边相等，再根据EF∥CD，可以证出CF＝CN，进而证出四条边相等，证明四边形CFEN为菱形；
（2）从两个特殊的情况，分别求出DE的长，进而求出点E在边AD上移动的最大距离．
24．如图，在△ABC和△CDE中，∠ABC＝∠CDE＝90°，且AC⊥CE，AC＝CE．
（1）求证：
（2）若AC＝13，DE＝5，求DB的长．
【答案】（1）证明：∵AC⊥CE，∠ABC=∠CDE=90°，
∴∠BCA+∠DCE=90°，∠A+∠BCA=90°
∴∠DCE=∠A．
∴在△ABC和△CDE中，，
∴△ABC≌△CDE (AAS)．
（2）解：∵△ABC≌△CDE，DE＝5，AC＝13
∴BC＝DE＝5，CE＝13
∴在中，
∴．
【解析】【分析】（1）利用“AAS”证明△ABC≌△CDE即可；
（2）根据全等三角形的性质可得BC＝DE＝5，CE＝13，利用勾股定理求出CD的长，再利用线段的和差求出DB的长即可。
25．已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=8，∠ABC=60°，求矩形AODE的周长．
【答案】（1）证明：∵ AE∥BD，DE∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD．
∴ ∠AOD=90°．
∴四边形AODE是矩形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，，BO=OD．
又∵∠ABC=60°，AB=8，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC=AB=8．
∴．
．
∴OD=BO=．
∴矩形AODE的周长为2（AO+OD）=2×(4+)=8+
【解析】【分析】（1）先证明四边形AODE是平行四边形，再结合∠AOD=90°，可得四边形AODE是矩形；
（2）先证明△ABC是等边三角形，可得AC=AB=8，求出，再利用矩形的周长公式可得答案。
26．如图， 与 相交于点 .
（1）尺规作图：作 的平分线 ，交 于点 ，交 的延长线于点 .（要求：不写做法，只保留作图痕迹，并标明字母）
（2）求证： .
【答案】（1）解：如图，AF即为所求.
（2）证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAG=∠DAG，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠BAG，
∴∠G=∠DAG，
∴DA=DG.
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出 的平分线 即可；
（2）根据角平分线的定义得出∠BAG=∠DAG，利用平行线的性质得出∠G=∠BAG，从而得出∠G=∠DAG，利用等角对等边得出DA=DG.
27．如图，在中，点E是边AB的中点，连结DE并延长，交CB延长线于点F，且DE平分.
（1）求证：.
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）证明：∵在中，ADBC
∴∠ADF=∠F，∠A=∠ABF
∵点E是边AB的中点
（2）解：连结CE
，
∵DE平分，
，
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠ADF=∠F，∠A=∠ABF，根据中点的概念可得AE=BE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）连结CE，根据全等三角形的性质可得DE=EF，AD=BF=5，根据角平分线的概念以及平行线的性质可得∠FDC=∠ADF=∠F，推出CD=CF=BC+BF=10，根据等腰三角形的性质可得DF=2EF，利用勾股定理求出CE，再根据三角形的面积公式进行计算.
28．如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O．求证：四边形AECF是菱形．
【小海的证明过程】
证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，OE＝OF，EF⊥AC，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
【老师评析】
小海利用对角线互相平分证明了四边形AECF是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了．
【挑错改错】
（1）请你帮小海找出错误的原因；
（2）请你根据小海的思路写出此题正确的证明过程．
【答案】（1）解：是的垂直平分线，
，，
不能得出；
（2）解：四边形是平行四边形，
．
是的垂直平分线，
，，且，
，且
四边形是平行四边形
．
四边形是菱形．
【解析】【分析】（1）由于EF是AC的垂直平分线，故EF能平方AC，但AC不能平方EF，据此 即可证出结论；
（2）利用ASA证明△AOF≌△COE，得出EO= FO，结合AO=CO，证出四边形AECF是平行四边形，再结合AC⊥EF，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形AECF是菱形.
29．某超市用2800元购进甲、乙两种商品，乙种商品的进价比甲种商品多10元/件，且用150元购进的甲种商品与用200元购进的乙种商品数量相同．
（1）求这两种商品的进价；
（2）甲种商品的售价为45元/件，乙种商品的售价为50元/件．设购进甲种商品件（），全部售出所购进的这两种商品可获利元，求关于的函数解析式及的最大值．
【答案】（1）解：设甲种商品的进价为 元/件，则乙种商品的进价为 元/件，
根据题意得：
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲种商品的进价为30元/件，乙种商品的进价为40元/件；
（2）解：当购进甲种商品 件时，则购进乙种商品为 件，
根据题意得：
，
即 关于 的函数解析式为 ，
随 的增大而增大，且 ，
当 时，w有最大值，最大值是 ．
【解析】【分析】（1）设甲种商品的进价为 元/件，则乙种商品的进价为 元/件，根据“ 用150元购进的甲种商品与用200元购进的乙种商品数量相同”列出方程并解之即可；
（2）当购进甲种商品 件时，则购进乙种商品为 件， 根据利润=单件利润×销售量，列出W关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可.
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的边AB在x轴上，顶点C在y轴上，已知点A与点C的坐标分别为，．
（1）求点B与点D的坐标；
（2）求出菱形ABCD的面积．
【答案】（1）解；根据题意知：，，，
设，，
∴在直角△OBC中，，
∴，解得：，
∵菱形ABCD，，
∴，
∴，
∴，
∵轴，，，
∴点
（2）解；．
【解析】【分析】（1）设，，根据勾股定理可得，求出x的值，再利用菱形的性质求出 ，，可得；
（2）利用菱形的面积公式求解即可。
31．如图，一架梯子长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24m．
（1）这个梯子底端离墙有多少米？
（2）如果梯子顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4m吗？说明理由．
【答案】（1）解：由题意，设梯子为AB，墙根为C，则AB＝25m，AC＝24m，
∴由勾股定理得，BC2＋AC2＝AB2，
∴BC＝＝7m．
∴梯子底端离墙有7m．
（2）解：如果梯子顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向不是滑动了4m，理由如下：
设下滑后梯子的位置如图所示，
由题意得：，
∴，
在中，，
∴，
∴梯子底端在水平方向不是滑动了4m，而是滑动了8m．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 BC2＋AC2＝AB2， 再计算求解即可；
（2）先求出 ， 再利用勾股定理计算求解即可。
32．如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BE＝DF.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵CF平分∠DCB，
∴∠BCD＝2∠BCF，
∵∠BCF＝60°，
∴∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE＝ ，∠DCF＝ ，
∴∠BAE＝∠DCE，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝CF.
【解析】【分析】（1）由平行线性质可得 ∠ABC+∠BCD＝180° ，由角平分线可得 ∠BCD＝2∠BCF 即可；
（2）由平行线性质可得 ∠ABE＝∠CDF ，由角平分线可得 ∠BAE＝∠DCE ，故从而利用ASA判断出 △ABE≌△CDF 即可解决问题.
33．已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：
（1）
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【解析】【分析】（1）由平行线的性质得∠BAG=∠DCH，根据等式的性质，由AH=CG推出AG=CH，从而利用SAS判断出△ABG≌△CDH；
（2）根据全等三角形的性质得BG=DH，∠AGB=∠CHD，由等角的补角相等得∠BGH=∠DHG，由内错角相等两直线平行得BG∥DH，从而根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形可得结论.
34．在边长为1的小正方形组成的网格中，把一个点先沿水平方向平移丨a丨格（当a
为正数时，表示向右平移；当a为负数时，表示向左平移），再沿竖直方向平移丨b｜格（当b为正数时，表示向上平移；当b为负数时，表示向下平移），得到一个新的点，我们把这个过程记为（a，b）例如在图1中．从A到B记为：A→B（＋1，＋3）从c到D记为：C→D(+3，一3)，请回答下列问题：
（1）如图1，若点A的运动路线为：A→B→D→A，请计算点A运动过的总路程；
（2）若点A运动的路线依次为：A→M（＋2，＋3）A→N（＋1，-1），N→P
（-2，＋2）P→Q（＋4，-4）请你依次在图2上标出点M，N，P，Q的位置.
（3）在图2中，若点A经过（m，n）得到点E，点E再经过（p、，q）后得到Q，则m与p满足的数量关系是 ；n与q满足的数量关系是 .
【答案】（1）解：1+3+3+丨-2丨+丨-1丨+丨-4丨=14；
（2）解：如图所示：
（3）m+p=5；n+q=0
【解析】【解答】解：（3）m+p=5，n+q=0，故答案为m+p=5，n+q=0.
【分析】（1）根据把一个图形先沿水平方向平移|a|格（当a为正数时，表示向右平移；当a为负数时，表示向左平移），再沿竖直方向平移|b|格（当b为正数时，表示向上平移；当b为负数时，表示向下平移）即可计算出点A运动过的总路程；（2）根据平移的知识点以及题意直接作图即可；（3）根据平移的知识“上加下减，左加右减”即可写出m和p，n和q的关系
35．如图，在矩形中，延长至点E，使，连接交于点F.
（1）求证：.
（2）若，，求点A，F之间的距离.
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
在与中，
；
（2）解：如图：连接，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
点A，F之间的距离为.
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得∠EDF=∠C=90°，AD=BC，由已知条件可知DE=AD，则DE=BC，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）连接AF，由矩形的性质可得AD=BC=2，AB=CD=10，由全等三角形的性质可得DF=CF=CD=5，然后根据勾股定理进行计算.
36．我市某风景区门票价格如图所示，有甲、乙两个旅行团队，计划在端午节期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为100人，乙团队人数不超过40人.设甲团队人数为 人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为 元.
（1）求出 关于 的函数关系式，并写出自变 的取值范围；
（2）若甲团队人数不超过80人，计算甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱？
（3）端午节之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过40人时，门票价格不变，人数超过40人但不超过80人时，每张门票降价 元；人数超过80人时，每张门票降价 元.在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团端午节之后去游玩联合购票比分别购票最多可节约3900元，求 的值.
【答案】（1）解：由题意乙团队人数为 人，
则 ，
，
当 时，
当 时，
（2）解：由（1）甲团队人数不超过80人
∵ ，
∴ 随 增大而减小，
∴当 时， ，
当两团队联合购票时购票费用为
甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约 元.
（3）解：在（2）的条件下
当 时，
∵ ，
∴ 随 增大而减小，
∴当 时， ，
由价格方案，联合购票费用为 ，
∴ ，
解得 ，
答： 的值为15.
【解析】【分析】（1）由乙团队人数不超过40人，讨论x的取值范围，得到分段函数；（2）由（1）在甲团队人数不超过80人时，讨论的最大值与联合购票费用相减即可；（3）在（2）的基础上在购票单价减去a元，经过讨论，得到含有a的购票最大费用，两个团队联合购票费用为100（120-2a），根据题意构造方程.
37．如图，在四边形ABCD中， ，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝5，BD＝6，求CE的长．
【答案】（1）证明：∵AB//CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AD＝AB，
∴CD＝AB，
∵AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴ ABCD是菱形
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝ BD＝3，
∴OA＝ ，
∴AC＝2OA＝8，
∴菱形ABCD的面积＝ AC×BD＝ ×8×6＝24，
∵CE⊥AB，
∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝5CE＝24，
∴CE＝ ．
【解析】【分析】（1）先判断∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DCA＝∠DAC，得出CD＝AD=AB，即可得出结论；
（2）先判断出OA＝OC=OE，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论。
38．如图，若 ，射线 在 的内部，射线 ， 分别是 ， 的平分线．
（1）当 时， ；
（2）当 为 的平分线时， ；
（3）当射线 在 内部转动（不与边 ， 重合），求 的度数．
【答案】（1）60
（2）60
（3）解：∵射线 ， 分别是 ， 的平分线，
∴∠COM＝ ∠AOC，∠CON＝ ∠BOC，
∴ =∠COM+∠CON= ∠AOC+ ∠BOC= （∠AOC+∠BOC）=
【解析】【解答】解：（1）∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，
∴∠COM＝ ∠AOC＝20°，∠CON＝ ∠BOC＝ （∠AOB-∠AOC）= （120°-40°）=40°，
∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝60°，
故答案为：60；
（2）∵ 为 的平分线，
∴∠AOC=∠BOC= ，
∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，
∴∠COM＝ ∠AOC＝30°，∠CON＝ ∠BOC=30°，
∴∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝60°，
故答案为：60；
【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；（3）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论
39．已知：如图，在中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，于点G，.
（1）求证：；
（2）若，，求CE的长.
【答案】（1）证明：连结DE.
∵，
∴是直角三角形，
又∵CE是AB边上的中线，
∴
∵，
∴
∴是等腰三角形，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）连接DE，易得△ABD是直角三角形，由直角三角形斜边上中线的性质可得DE=AE，由已知条件可知CD=AE，则DE=CD，推出△CDE是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可得结论；
（2）易得DE=AB=5，利用勾股定理可得EG，进而可得CE.
40．清朝康熙年间编校的《全唐诗》包含四万多首诗歌，逾三百万字，是后人研究唐诗的重要资源．小云利用统计知识分析《全唐诗》中李白和杜甫作品的风格差异．下面给出了部分信息：
a．《全唐诗》中，李白和杜甫分别有896和1158首作品．
b．二人作品中与“风”相关的词语频数统计表如下：
词语频 数诗人 春风 东风 清风 悲风 秋风 北风
李白 72 24 28 6 26 8
杜甫 19 4 6 10 30 14
c．通过统计二人的个性化用字，可绘制一种视觉效果更强的“词云图”，出现次数较多的关键字被予以视觉上的突出．
注：在文学作品中，东风即春风，常含有生机勃勃之意和喜春之情，如：等闲识得东风面，万紫千红总是春；北风通常寄寓诗人凄苦的情怀，抒写伤别之情，如：千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全条形统计图：
（2）在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语是 ，大约每 首诗歌中就会出现一次该词语（结果取整数），而杜甫最常使用的词语是 ；
（3）下列推断合理的是 ．
①相较于杜甫，与“风”有关的词语在李白的诗歌中更常见；
②个性化用字中，李白最常使用的汉字是“水”，杜甫则是“江”；
③李白更常用“风”表达喜悦，而杜甫更常用“风”表达悲伤．
【答案】（1）解：根据频数统计表补全条形统计图如下：
（2）春风；12；秋风
（3）①
【解析】【解答】（2）解：李白：在与“风”相关的词语中，春风出现的次数最多，为72次，
所以在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语是春风，
，
则在李白的诗歌作品中，大约每12首诗歌中就会出现一次春风；
杜甫：在与“风”相关的词语中，秋风出现的次数最多，为30次，
所以在与“风”相关的词语中，杜甫最常使用的词语是秋风，
故答案为：春风，12，秋风．
（3）解：与“风”有关的词语在李白的诗歌中出现的总频数为，
与“风”有关的词语在杜甫的诗歌中出现的总频数为，
则相较于杜甫，与“风”有关的词语在李白的诗歌中更常见，推断①合理；
由个性化用字词云图可知，李白最常使用的汉字是“歌”，杜甫则是“江”，则推断②不合理；
在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语是春风，常含有生机勃勃之意和喜春之情，
在与“风”相关的词语中，杜甫最常使用的词语是秋风，而不是表达悲伤的北风，
则推断③不合理；
故答案为：①．
【分析】（1）根据各组的频数即可补全条形统计图；
（2）根据众数的定义进行解答即可；
（3）根据有关风的词语在李白、杜甫诗歌中出现的比例进行比较，个性化用字中李白、杜甫的常用汉字以及表达风格进行判断即可。
41．在一次数学活动课上，同学们用一个含有60°角的直角三角板和两条平行线展开探究.如图，在中，，，.
（1）如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数；
（2）如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数；
（3）如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，.设，是否存在正整数和，使得.若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：
（2）解：如图，过点O作OP//EF
∵EF//GH
∴EF//OP//GH
∴∠DCE=∠COP，∠POQ=∠OQH，
∠ECQ=∠CQH，
∵CD平分∠ACE，QO平分∠CQH
∴∠DCE=∠ACE，∠OQH=∠CQH
∴∠POQ=∠ECQ，∠COP=∠ACE
∴∠COQ=∠COP+∠POQ
=∠ACE+∠ECQ
=（∠ACE+∠ECQ）
=∠ACB
=45°
（3）解：∵∠ACB=90°，∠A=60°
∴∠APQ+∠CQP=360°-∠ACB-∠A=210°
∵EF//GH
∴∠FCB=∠CQP=n°
∴∠APQ+∠CQP=∠APQ+n°=210°
∵∠APH=m∠FCB
∴∠APH=mn°
∴mn°+n°=210°
n°=
∵∠APH<180°，
，
又m，n是正整数
∴存在符合要求的正整数和，分别为：
当m=2时，n=
当m=4时，n=
当m=5时，n=
【解析】【分析】（1）已知∠ACB=90°，∠1=20°，根据平行线的性质：两直线平行同旁内角互补即可求得∠CAH的度数，然后即可求出∠2的度数；
（2）作OP∥EF，利用平行于同一条直线得两直线平行以及平行线的性质，由角平分线的定义得∠COQ=∠COP+∠POQ，可以推出∠O为∠ABC的一半，即可求出∠O的度数；
（3）由四边形内角合为360°得∠APQ+∠CQP=360°-∠ACB-∠A=210°，再由平行线的性质以及题上所给条件可以得出m与n的关系式mn°+n°=210°，然后解出n的关系式，因为∠APH<180°，之后可以列出：，然后m，n为整数即可求出m和n的值.
42．A，B，C三个村庄依次在一条笔直的公路旁，甲从A村庄出发沿着这条公路匀速去B村庄，乙从C村庄出发沿着这条公路匀速去A村庄，当其中一人到达目的地时，另一人也随之停止运动.甲、乙与B村庄的距离y，y2，与甲的行驶时间t 之间的函数关系如图所示.请根据所给图象解答下列问题：
（1）填空：A，B两村庄之间的距离为 km，乙比甲晚出发 h；乙的速度为 km/h，甲的速度为 km/h；
（2）求乙从C村庄到B村庄的行驶过程中，与B村庄的距离y2与甲行驶的时间t之间的函数关系式；
（3）请直接写出当t为何值时，甲与乙相遇.
【答案】（1）240；1；80；60
（2）解：当0≤t＜1时，y2=200；
当 时，设 与t之间的函数关系式为： .
由（1）知，乙的速度为 ，∴ .
将 代入 ，得 ，
∴乙从C村庄到B村庄的行驶过程中，与B村庄的距离 与甲行驶的时间t之间的函数关系式为 .
（3）
【解析】【解答】解：（1）根据函数图象得，A，B两村庄之间的距离为240km，乙比甲晚出发1h，
乙的速度为 =80km/h，
甲的速度为 =60km/h，
故答案为：240，1，80，60；
（3）由题意得，甲从A村庄到B村庄的行驶过程中的函数解析式为y=240-60t，
设乙从B村庄到A村庄行驶过程中的函数解析式为y2=mt+n，
∵乙的行驶速度为80km/h，
∴ ，
∴y2=mt+n过点（ ，0），（4，40），
∴ ，解得 ，
∴y2=80t-280，
当y=y2时，240-60t=80t-280，
解得 .
当 时，甲与乙相遇.
【分析】（1）根据函数图象直接得到A，B两村庄之间的距离为240km，乙比甲晚出发1h，根据 =80km/h，求出乙的速度；根据甲行驶的路程及时间求出甲的速度为 =60km/h；
（2）由图象可分0≤t＜1与 两种情况，结合图象和待定系数法求解即可；
（3）由题意得，甲从A村庄到B村庄的行驶过程中的函数解析式为y=240-60t，设乙从B村庄到A村庄行驶过程中的函数解析式为y2=mt+n，将点（ ，0），（4，40）代入求出y2=80t-280，根据y=y2得到240-60t=80t-280，求出t即可.
43．△ABC在平面直角坐标系中如图所示，
（1）S△ABC＝ ．
（2）x轴上是否存在点P，使得S△BCP＝2S△ABC，若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
【答案】（1）6.5
（2）解：存在；理由如下：
∵S△BCP= CP×3=2S△ABC=2×6.5=13，
∴CP= ，
∴OP=CP+2= 或OP=CP﹣2= ，
∴点P的坐标为（ ，0）或（﹣ ，0）；
（3）点D的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，8）或（5，2）．
【解析】【解答】（1）S△ABC=3×5﹣ ×2×3﹣ ×1×5﹣ ×2×3=6.5；
故答案为：6.5；
（ 3 ）如图：
当以BC为对角线时，点D1的坐标为（﹣1，﹣2）；
当以AB为对角线时，点D2的坐标为（1，8）；
当以AC为对角线时，点D3坐标为（5，2）；
综上所述，点D的坐标为：（﹣1，﹣2）或（1，8）或（5，2）．
【分析】（1）由矩形的面积减去三个直角三角形的面积即可；（2）求出CP的长，得出OP的长，即可得出结果；（3）根据平行四边形的判定，分三种情况即可得出结果．
44．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连结A′C.
（1）当MN⊥AB时，MN的长是多少？
（2）当线段NA′∥AD时，四边形AMA′N的面积是多少？
（3）在N点的运动过程中，A′C长度的最小值是多少？
【答案】（1）解：如下图 ∵菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，点M是AD的中点 ∴AM=2 ∵MN⊥AB ∴在Rt△AMN中，AN=1，MN=
（2）解：如下图 ∵NA′∥AD ∴AMN=∠MNA′，∠ANM=∠NMA′ ∵△MNA′是△MNA对折得来 ∴∠AMN=∠NMA′，∠ANM=∠MNA′ ∴∠AMN=∠ANM ∵∠A=60° ∴△AMN是等边三角形 ∵AM=2 ∴∴四边形ANA′M的面积为：4
（3）解：如下图，连接MC，过点M作CD的垂线，交CD于点F，∵MC是定值，A′M是定值∴则当点A′在MC上时A′C最短∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°∴∠MDC=120°∴∠FDM=60°∵MD=2∴在Rt△MFD中，FD=1，FM= ∴FC=5∴在Rt△MFC中，MC= =2 ∴A′C=MC－MA′= MC－MA=2 .
【解析】【分析】（1）直接在Rt△AMN中根据含30°直角三角形的边之间的关系可求得MN的长；
（2）根据翻折的性质及平行线的性质可推导出△AMN是等边三角形，从而求出△AMN的面积，进而得出四边形AMA′N的面积；
（3） 连接MC，过点M作CD的垂线，交CD于点F ，当A′在MC上时，A′C长度最短，只需在Rt△MFC中求出MC的长即可得.
45．
（1）已知图①中的三角形ABC，分别作AB，BC，CA的延长线BD，CE，AF，测量∠CBD，∠ACE，∠BAF的度数，并计算∠CBD+∠ACE+∠BAF．由此你有什么发现？请利用所学知识解释说明；
（2）类似地，已知图②中的四边形PQRS，分别作PQ，QR，RS，SP的延长线QG，RH，SM，PN，测量∠RQG，∠SRH，∠PSM，∠QPN的度数，并计算∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN．由此你又有什么发现？
（3）综合（1）（2）的发现，你还能进一步得到什么猜想？
【答案】（1）解：
经测量知∠CBD＝138°，∠ACE＝117°，∠BAF＝105°，
∴∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°，
发现：三角形中的外角和为360°，
理由：∵∠CBD+∠ABC＝180°，
∠ACE+∠ACB＝180°，
∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠CBD+∠ACE+∠BAF+∠ABC+∠ACB+∠BAC＝540°，
又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠CBD+∠ACE+∠BAF＝360°；
（2）解：
∠RQG＝125°，∠SRH＝113°，∠PSM＝48°，∠QPN＝74°，
所以∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°；
发现：在四边形的外角和是360°；
∵∠RQG+∠PQR＝180°，∠SRH+∠QRS＝180°，∠PSM+∠RSP＝180°，∠QPN+∠QPS＝180°，
∵∠RQG+∠PQR+∠SRH+∠QRS+∠PSM+∠RSP+∠QPN+∠QPS＝720°，
∵∠PQR+∠QRS+∠RSP+∠QPS＝360°，
∴∠RQG+∠SRH+∠PSM+∠QPN＝360°．
（3）解：猜想：多边形的外角和都是360°．
设多边形为n边形，则n边形的每一个内角与它相邻的外角的和为180°，
∴n边形的外角和＝180°n﹣（n﹣2）×180°＝180°n﹣180°n+360°＝360°．
【解析】【分析】（1） 发现：三角形中的外角和为360°， 理由：根据三角形的内角和与邻补角的定义求解即可；
（2） 四边形的外角和是360°； 理由：根据四边形的内角和与邻补角的定义求解即可；
（3） 猜想：多边形的外角和都是360°． 根据多边形的内角和与邻补角的定义求解即可；
46．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点.
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.
【答案】（1）AE∥BF；QE=QF
（2）解：QE=QF，证明如下：
如图，延长FQ交AE于D，
∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ。
在△FBQ和△DAQ中，∵ ，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA）。∴QF=QD。
∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线。
∴QE=QF=QD，即QE=QF。
（3）解：（2）中的结论仍然成立。证明如下：
如图，延长EQ、FB交于D，
∵AE∥BF，∴∠1=∠D。
在△AQE和△BQD中， ，
∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE=QD。
∵BF⊥CP，∴FQ是斜边DE上的中线。∴QE=QF。
【解析】【解答】（1）解：当点P与点Q重合时，AE∥BF， QE=QF ，理由如下：
∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴∠BFQ=∠AEQ=90°，∴AE∥BF；∵点Q是AB的中点，∴BQ=AQ，又∠BQF=∠AQE，∴△BFQ≌△AEQ，∴ QE=QF；
【分析】（1） 当点P与点Q重合时，AE∥BF， QE=QF ，理由如下：根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行即可得出AE∥BF；然后可以利用AAS判断出△BFQ≌△AEQ，根据全等三角形的对应边相等得出QE=QF；
（2） QE=QF，理由如下： 如图，延长FQ交AE于D， 根据二直线平行，内错角相等得出 ∠QAD=∠FBQ ，从而利用ASA判断出 △FBQ≌△DAQ ，根据全等三角形的对应边相等得出QF=QD，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 QE=QF=QD，即QE=QF ；
（3） QE=QF 仍然成立。理由如下： 如图，延长EQ、FB交于D， 根据二直线平行，内错角相等得出 ∠1=∠D ，从而利用AAS判断出 △AQE≌△BQD ，根据全等三角形的对应边相等得出 QE=QD ，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 QE=QF 。
47．甲、乙两地间的直线公路长为 千米.一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发 小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶. 小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）.最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离 （千米）与轿车所用的时间 （小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）货车的速度是 千米/小时；轿车的速度是 千米/小时； 值为 .
（2）求轿车距其出发地的距离 （千米）与所用时间 （小时）之间的函数关系式并写出自变量 的取值范围；
（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距 千米.
【答案】（1）50；80；3
（2）解：由题意可知： ， ， ，
设直线 的解析式为 ，
，
当 时， ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入得：
，解得 ，
，
（3）解：设货车出发 小时后两车相距 千米，根据题意得：
或 ，
解得 或 .
答：货车出发 小时或 小时后两车相距 千米
【解析】【解答】（1）解：车的速度是 千米/小时；轿车的速度是： 千米/小时； .
故答案为： ； ；
【分析】（1）观察图象即可解决问题；（2）分别求出得 、 、 的坐标，运用待定系数法解得即可；（3）根据题意列方程解答即可.
48．已知点，，，过点C作x轴的平行线m，交y轴于点D，一动点P从C点出发，在直线m上以1个单位长度/秒的速度向右运动，
（1）如图，当点P在第四象限时，连接，作射线平分，过点O作．
①填空；若，则 ▲ ；
②设，求a的值．
（2）若与此同时，直线m以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动，设运动时间为t秒，点P的坐标为
①在坐标轴上是否存在满足条件的点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②求x和y的关系式．
【答案】（1）解：①30°；
②平分，
，
，
，
，
即a的值为2．
（2）解：①存在符合题意的点P．
由题意，经过t秒后，点P的坐标为，
若点P在x轴上，则，解得，
，
∵，
，
∴，不合题意；
若点P在y轴上，则，解得，
，
，，符合题意．
故使得的点P的坐标为；
②由①知，
由得，
代入，得，
故x和y的关系式为．
【解析】【解答】解：（1）①轴直线m，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：30°.
【分析】（1）由平行线的性质可得∠AOP=180°-∠AOP=120°，利用角平分线的定义可得 ，由垂直的定义可得∠EOF=90°，利用∠POF=∠EOF-∠EOP即可求解；
②由角平分线的定义可得，从而求出
，由，然后代入即可求出α值；
（2）①经过t秒后，点P的坐标为，分两种情况：点P在x轴上和点P在y轴上，据此分别求出t值，再求解即可；
（3）由①知，消去t即可求出求x和y的关系式 .
49．如图1是两圆柱形连通容器，两根铁棒直立于甲容器底部（连通处及铁棒体积忽略不计），向甲容器匀速注水，甲容器的水面高度h（cm）与时间t（分）的函数关系如图2所示.已知两根铁棒的长度之和为34cm，当水面达到连通处时，一根露出水面的长度是它的 ，另一根露出水面的长度是它的 .
（1）①图2中（3，a）表示的实际意义是 ▲ ；
②请求出a的值；
（2）若甲、乙两容器的底面积之比为S甲，S乙＝3：2.
①直接写出b的值为 ▲ ；
②求点P的坐标.
【答案】（1）（3，a）；表示的实际意义是注水3分钟后甲容器的水面高度达到联通处；解：②由题意，两根铁棒长度分别为 ， ，
可得： ，
解得：a＝12，
（2）b＝5；解：②由题意b+1＝6，5分钟时甲乙容器的水面高度都达到联通处，此时水面高为12，
设S甲＝3k，S乙＝2k，则每分钟注水体积 ，
∴6分钟时水面高为 ，
∴即点P的坐标为（6， ）.
故答案为：注水3分钟后甲容器的水面高度达到联通处；5.
【解析】【分析】（1）①根据图示表示的意义解答即可；②根据题意列出方程解答即可；
（2）①根据图示得出B的值即可；②根据题意得出比例关系解答即可.
50．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．
（1）求证：；
（2）动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值；
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．
【答案】（1）证明：∵BD⊥AC，
∴，
在Rt△BDA和Rt△BDC中，
∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），
∴∠BAC＝∠BCA．
∵AB平分∠MAN，
∴∠BAM＝∠BAC，
∴∠BAM＝∠BCA．
（2）解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M．
∵BH⊥AM，BD⊥AC，
∴∠AHB＝∠ADB＝90°，
在△AHB和△ADB中，
∴△AHB≌△ADB（AAS），
∴BH＝BD，
∵S△ABP＝S△BQC，
∴，
∴，
∴，
∴．
②存在，理由如下：
当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示，
∵AB＝BC，
又由（1）得∠BAM＝∠BCA，
∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，
∴，
∴；
当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示，
由（1）得∠BAM＝∠BCA，
∴∠BAP＝∠BCQ，
又∵AB＝BC，
∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，
∴，
∴．
综上所述，当或时，△APB和△CQB全等．
【解析】【分析】（1）①利用HL证明Rt△BDA≌Rt△BDC， 得出∠BAC=∠BCA，再由角平分线的定义得到∠BAM=∠BAC，等量代换即可证明∠BAM=∠BCA；
（2）①作BH⊥AM于M，利用AAS证明△AHB≌△ADB，得出BH=BD，由S△ABP＝S△BQC， 得出 ，依此建立关于t的方程求解即可；②分两种情况讨论，即点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上，以及点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上，利用三角形全等得出AP=CQ，依此建立方程求解即可.
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