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【精选热题·期末50道综合题专练】浙教版数学八年级下册复习卷
1．如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分面积为，设原正方形空地的边长为．
（1）剩余部分长为________，宽为________；
（2）求原正方形的边长．
2．某汽车租赁公司拥有20辆汽车，据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆．公司平均每日的各项支出共4800元，设公司每日租出x辆车．（日收益=日租金收入-平均每日各项支出）
（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为_______元；（用含x的代数式表示）
（2）当每日租出多少辆车时，租凭公司的日收益不盈也不亏？
3．某文具店在今年月底购进了一批价格为每件元的文具．据市场预测：若售价为元/件，一月可销售件；若每涨价元，销售量就减少件．月份售价为元．
（1）求月份销售量是多少件？
（2）月份该文具进价比月底的进价每件增加，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果月份的销售量比月份销售量增加了百分数，但售价比月份售价减少了，减少的百分数为销售量增加百分数的，结果月份利润达到元．求月份的售价．
4．已知A、B两地的路程为240千米，某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地，受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订.现在有行驶路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数图象（如图①）、上周货运量折线统计图（如图②）、货运收费项目及收费标准表等信息如下：
货运收费项目及收费标准表
运输工具 运输费单价：元/（吨·千米） 冷藏费单价：元/（吨 时） 固定费用：元/次
汽车 2 5 200
火车 1.6 5 2280
（1）请你根据以上信息，分别求出汽车和火车的速度；
（2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为（元）和（元），分别求、与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）及x为何值时；（总费用＝运输费十冷藏费十固定费用）
（3）请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
6．观察下列式子：
第1个式子： ；
第2个式子： ＝ ＝ ＝ ＝ ﹣ ；
第3个式子： ＝ ＝ ＝ ＝ ﹣ ；
…
（1）仿照写出： 的计算过程；
（2）根据上述规律求 的值．
7．如图，在Rt中，，过点的直线为边AB上一点，过点作，垂足为点，交直线MN于点，连接CD，BE.
（1）求证：CE=AD.
（2）当D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊的平行四边形？请说明理由.
（3）在(2)的条件下，若∠A=45°，求证：四边形BECD是正方形.
8．如图，在四边形ABCD中，90°，对角线AC，BD相交于点N．点M是对角线BD的中点，连接AM，CM．如果，，且．
（1）求证：四边形AMCD是平行四边形；
（2）延长AM交BC于点E，求的值．
9．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（﹣1，0），tan∠ACO＝2．一次函数y＝kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y＝ 的图象经过点B．
（1）求一次函数关系式和反比例函数的关系式；
（2）当x＜0时，kx+b﹣ ＜0的解集为 ；
（3）若x轴上有两点E、F，点E在点F的左边，且EF＝1．当四边形ABEF周长最小时，请直接写出点E的横坐标为 ．
10．已知，关于x的一元二次方程 （ ）
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为 （其中 ）．若y是关于m的函数，且 ，求这个函数的解析式；
11．为了解某校八年级体育科目训练情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）图1中的度数是 ▲ ，并把图2条形统计图补充完整．
（2）抽取的这部分的学生的体育科目测试结果的中位数是在 级；
（3）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，请计算抽取的这部分学生体育的平均成绩．
12．如图，某城建部门计划在新修的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1200m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为50m，宽为40m．
（1）求通道的宽度；
（2）某公司希望用80万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
13．西安某特产商店将进价为每件20元的礼盒的售价确定为每件40元.
（1）中秋期间，该商店进行降价促销活动，预备将原来售价进行两次降价，降价后该礼盒现价为32.4元.若该商品两次降价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，该商品每降价2元，即可多销售100件.已知该商品售价40元时每月可销售500件，若该商店希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？
14．燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括张长桌、张中桌和张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？
15．如图，矩形的顶点E、G分别在菱形的边、上，顶点F、H在菱形的对角线上．
（1）求证：；
（2）若E为的中点．，求菱形的边长．
16．如图，菱形ABCD 的边AB在x轴上， 点A 的坐标为(1，0)，点D(4，4)在反比例函数（x>0）的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE.
（1）求 C点坐标；
（2）求k，b的值；
（3）求△ACE的面积.
17．如图1，四边形 中， 于点 ， 于点 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）如图2，连接 、 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对平行且相等的线段．
18．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某社区图书室积极推广全社区阅读活动，决定下半年逐月加大图书购置经费的投入．其中七月计划购买甲与乙两种书籍共100本．已知书籍甲的单价是70元，书籍乙的单价是50元，共花费5800元．
（1）请问七月计划购买甲、乙书籍各多少本？
（2）经过比较，图书室工作人员最终决定在新星书城购买书籍甲和乙．书籍甲的单价减少了元，购买数量增加了本．书籍乙的单价不变，购买甲、乙书籍的总数量也不变，总费用比原计划减少了元，请求出的值．
19．“泉州闽台缘博物馆”以每件20元的批发价进了一批纪念品，在国庆期间让馆内多间商店销售，这些商店经第一天销售调查可知：每件定价30元，每天能卖出5000件，若每件定价每上涨1元，其销售量将减少100件．
（1）若每件纪念品售价上涨4元，这些商店每天能卖出________件；
（2）这些商店为了实现平均每日共有80000元的销售利润，并使消费者得到实惠，每件售价应定为多少元？
20．体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为18秒，第一小组8名女生的测试成绩记录如下表：
-0.6 +0.8 0 -0.2 -0.3 +0.1 +0.7 -0.5
其中“+”表示成绩大于18秒，“-”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标.
（1）这个小组女生最快的成绩是 秒，最慢的成绩与最快的成绩相差 秒；
（2）求这个小组8名女生百米测试的平均成绩.
21．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（单位：）是气球的体积V（单位：）的反比例函数.现测得几组实验数据记录如下：
体积V（单位：） … …
压强p（单位：） … …
（1）求p关于V的函数解析式；
（2）当气球内气体的压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，求气球的体积V的最小值.
22．为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克元的价格收购了千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题：
①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元；
②这批苹果平均每天有千克损坏，不能出售；
③每天的冷藏费用为元；
④这批苹果最多保存天．
若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售．
（1）多少天后这批苹果的市场价为每千克元
（2）求天后一次性全部售出所得的利润为多少元
（3）若天后一次性出售所得利润为元，求的值．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 两点，与 轴交于点 ，已知
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接 ，求 的面积.
24．某商店销售一种商品，每件进价60元，在销售过程中发现，当售价为100元时，每天可售出30件．该商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润经调查发现，如果每件商品降价1元，平均可多售出3件．每件商品降价多少元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元？
25．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求k的取值范围．
26．为加强抗击疫情的教育宣传，某中学开展防疫知识线上竞赛活动，八年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班各选出的 名选手的竞赛成绩（满分为 分）如图所示：
（1）请你计算两个班的平均成绩各是多少分；
（2）写出两个班竞赛成绩的中位数，结合两个班竞赛成绩的平均数和中位数，你认为哪个班的竞赛成绩较好；
（3）计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的竞赛成绩较为整齐.
27．关于 的一元二次方程为
（1）求证：无论 为何实数，方程总有实数根；
（2） 为何整数时，此方程的两个根都为正数.
28．某商场将进货价为30元的水杯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种水杯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销，经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种水杯的售价每降价0.5元，其销售量增加8个，若商场要想使4月份销售这种水杯获利4864元，则这种是被售价应定为多少元？
29．智能手表是一种集健康监测、定位、通话、计时于一体的电子产品，某经销商推出标准款和升级款智能手表，每只标准款智能手表销售单价比升级款智能手表销售单价少70元，标准款智能手表和升级款智能手表在4月的销量分别为360只和240只，销售总额为100800元.
（1）求升级款智能手表在4月的销售单价.
（2）为回馈广大顾客，在5月推出了优惠活动.在4月销售价的基础上，标准款手表降价 ，升级款手表降价 .5月的销售量在4月的基础上，标准款手表增加了 ，升级款手表增加了 只，这两种手表的销售总额比4月销售总额增加了 .求a的值.
30．
（1）如图1，四边形ACDE中，△ABC与△BDE均为直角三角形，且AB⊥BE，∠BEA＝45°，求证：△ABC≌△BED.
（2）如图2，点A（1，2），连结OA，将射线OA绕点O按逆时针方方向旋转45°.得到射线OB，AC⊥OA交OB于点C，分别过点A，点C作x轴，AD的垂线，垂足分别为D，E，由（1）得 （填写两个三角形全等），所以CE＝ ，AE＝ ，C的坐标为 ，则直线OB的解析式为 .
（3）如图3，点A（3，3）在反比例函数y＝ 的图象上，B（0，2）作射线AB，将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象的另一支于点C，求点C的坐标.
31．如图①， 的顶点P在正方形 两条对角线的交点处， ，将 绕点P旋转，旋转过程中 的两边分别与正方形 的边 和 交于点E和点F（点F与点C、D不重合）.
（1）如图①，当 时， 、 、 之间满足的数量关系是 ；
（2）如图②，将图①中的正方形 改为 的菱形，其他条件不变，当 时，（1）中的结论变为 ，并给出证明过程；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中 的边 与边 的延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中， 、 、 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明.
32．如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高为米，宽为米，出口点到的距离为米，求：
（1）段所在的反比例函数关系式是什么？
（2）点到轴的距离长是多少？
（3）若滑梯上有一个小球，距水面的高度不高于米，则到的距离至少多少米？
33．已知：正方形ABCD，过点D作直线DE，点C关于直线DE的对称点为，连接，作直线交直线DE于点P．
（1）补全图形；
（2）判断的形状并证明；
（3）猜想线段PA，PC，PD的数量关系并证明．
34．
（1）解方程：2（x2﹣x）＝x2．
（2）已知方程x2+x+k+1＝0有一个根是2，求另一个根．
35．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP//AC，CP//BD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝6，求OP的长．
36．已知关于x的方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）记该方程的两个实数根为，若，求k值；
（3）若，证明：．
37．太原市某商场进价为100元的某品牌衣服，在销售期间发现，当销售单价定价为200元时，每天可卖出100件．临近2023年十一国庆，商家决定开启大促销活动，经过调研发现：当销售单价下降1元时，每天销售量增加4件．设该品牌衣服每件降价x元．
（1）求每天的销售量y（件）关于x（元）的函数关系式．
（2）在销售单价不低于150元的前提下，计算出该品牌衣服的销售单价定为多少元时，商场每天获利13600元．
38．已知关于 的方程 有实数根.
（1）求 的取值范围.
（2）设方程的两根分别是 ， ，且满足 ，试求 的值.
39．如图所示， 中 、 分别是 、 上的点， .
（1）如图（1），求证：四边形 是平行四边形.
（2）如图（2），连接 ，连接 分别交 、 、 于点 、 、 ，不添任何辅助线的条件下，直接写出面积等于四边形 的面积一半的4个图形.
40．如图，在 ABCD中，E为边AB上一点，连结DE，将 ABCD沿DE翻折，使点A的对称点F落在边CD上，连结EF。
（1）求证：四边形ADFE是菱形；
（2）若∠A=60°，AE=2BE=4，求四边形BCDE的周长。
41．如图1，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，﹣4），
（1）如图，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，如图2，连接OH，求证：∠OHP=45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连结MD，过点D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
42．如图1，在平行四边形ABCD中，∠B为锐角，AB=AD，点P，H分别在边AD、CB上，且DP=BH，连接PH交对角线AC于点F：
（1）请说明AF与FC的大小关系，并说明理由
（2）如图2，在AB边上取点M、N (点N在BM之间)使AM=5BN．点P从点D匀速运动到点A时，点Q恰好从点M匀速到点N，连接PQ交对角线AC于点E，记QM=x，AP=y，已知y=-2x+12，请分别求出AD，BN的长．
（3）如图3，在第(2)题的条件下，连接QF，QH，若∠B=60°，则△FQH面积的最小值为 (请直接写出答案)，
43．在一次展销会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边
（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天所获利润能否达到22500元，如果能，应该把销售单价定为多少元？如果不能，请说明理由
44．如图（1）在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为G交AD于F
（1）求证：AF＝DE；
（2）连接DG，若DG平分∠EGF，如图（2），求证：点E是CD中点；
（3）在（2）的条件下，连接CG，如图（3），求证：CG＝CD．
45．如图1，点P为等腰Rt△ABC斜边AB下侧一个动点，连AP、BP，且∠APB＝45°，过C作CE⊥AP于点E，AB＝12.
（1）若∠ACE＝15°，求△ABP的面积；
（2）求 的值；
（3）如图2，当△APC为等腰三角形时，则其面积为 .
46．如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点 ， 为 上一点， ， 为 的中点，若 的周长为 ．
（1）求 的长；
（2）求 的长．
47．如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形．
（直接写出答案，不需要说明理由）
48．如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）求的值；
（3）若恰为的中点，连接，求点到的距离．
49．在平面直角坐标系中，矩形纸片AOBC按如图方法放置，点A、B分别在y轴和x轴上，已知OA=2，OB=4，点D在边AC上，且AD=1．
解答下列问题．
（1）点C的坐标为 ；
（2）在x轴上有一点E，使得△CDE的周长最短，求出点E的坐标及直线CE的解析式．
（3）在平面直角坐标系内是否存在点P，使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
50．如图1，在正方形ABCD中，AD=6，点P是对角线BD上任意一点，连接PA，PC过点P作PE⊥PC交直线AB于E．
（1）求证：PC=PE；
（2）延长AP交直线CD于点F.
①如图2，若点F是CD的中点，求△APE的面积；
②若ΔAPE的面积是 ，则DF的长为
（3）如图3，点E在边AB上，连接EC交BD于点M，作点E关于BD的对称点Q，连接PQ，MQ，过点P作PN∥CD交EC于点N，连接QN，若PQ=5，MN= ，则△MNQ的面积是
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【精选热题·期末50道综合题专练】浙教版数学八年级下册复习卷
1．如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分面积为，设原正方形空地的边长为．
（1）剩余部分长为________，宽为________；
（2）求原正方形的边长．
【答案】（1），
（2）
2．某汽车租赁公司拥有20辆汽车，据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆．公司平均每日的各项支出共4800元，设公司每日租出x辆车．（日收益=日租金收入-平均每日各项支出）
（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为_______元；（用含x的代数式表示）
（2）当每日租出多少辆车时，租凭公司的日收益不盈也不亏？
【答案】（1）
（2）4辆
3．某文具店在今年月底购进了一批价格为每件元的文具．据市场预测：若售价为元/件，一月可销售件；若每涨价元，销售量就减少件．月份售价为元．
（1）求月份销售量是多少件？
（2）月份该文具进价比月底的进价每件增加，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果月份的销售量比月份销售量增加了百分数，但售价比月份售价减少了，减少的百分数为销售量增加百分数的，结果月份利润达到元．求月份的售价．
【答案】（1）件
（2）元
4．已知A、B两地的路程为240千米，某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地，受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订.现在有行驶路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数图象（如图①）、上周货运量折线统计图（如图②）、货运收费项目及收费标准表等信息如下：
货运收费项目及收费标准表
运输工具 运输费单价：元/（吨·千米） 冷藏费单价：元/（吨 时） 固定费用：元/次
汽车 2 5 200
火车 1.6 5 2280
（1）请你根据以上信息，分别求出汽车和火车的速度；
（2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为（元）和（元），分别求、与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）及x为何值时；（总费用＝运输费十冷藏费十固定费用）
（3）请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？
【答案】（1）解：根据图表上点的坐标为：（2，120），（2，200），
∴汽车的速度为 60千米/时，火车的速度为 100千米/时.
（2）解：依据题意得出：
y汽＝240×2x＋×5x＋200＝500x＋200；
y火＝240×1.6x＋×5x＋2280＝396x＋2280.
若y 汽＞y 火，得出500x＋200＞396x＋2280.
∴x＞20；
（3）解：上周货运量＝（17＋20＋19＋22＋22＋23＋24）÷7＝21＞20，
从平均数分析，建议预定火车费用较省.
从折线图走势分析，上周货运量周四（含周四）后大于20且呈上升趋势，
建议预订火车费用较省.
【解析】【分析】（1）根据图象可得火车2小时行驶的路程为200千米，汽车2小时行驶的路程为120千米，然后根据路程÷时间=速度进行求解；
（2）根据AB两地的距离×汽车的运费+AB两地的距离÷汽车的速度×冷藏价格+固定费用可得y汽与x的关系式；根据AB两地的距离×汽车的运费+AB两地的距离÷火车的速度×冷藏价格+固定费用可得y火与x的关系式，然后令y汽＞y火，求出x的范围即可；
（3）根据平均数的计算方法求出上周货运的平均数，然后根据平均数的大小以及折线统计图的趋势进行分析判断.
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴OA＝OC，BE∥DF
∴∠E＝∠F
在△AOE和△COF中
∴
∴AE＝CF
（2）解：当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图：连结BF，DE
∵四边形是平行四边形
∴OB＝OD
∵
∴
∴四边形是平行四边形
∵EF⊥BD，
∴四边形是菱形.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质OA＝OC，BE∥DF，求得∠E＝∠F，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）连结BF，DE，根据平行四边形的性质得出OB＝OD，根据全等三角形的性质得出，根据菱形的判定定理即可得出结论。
6．观察下列式子：
第1个式子： ；
第2个式子： ＝ ＝ ＝ ＝ ﹣ ；
第3个式子： ＝ ＝ ＝ ＝ ﹣ ；
…
（1）仿照写出： 的计算过程；
（2）根据上述规律求 的值．
【答案】（1）解： ＝ ＝ ＝ ＝ ；
（2）解：原式＝ ﹣1+ ﹣ ﹣
＝ ﹣1．
【解析】【分析】（1）参考题干中的计算方法，利用分母有理化化简，再合并同类项即可；
（2）利用（1）中的规律，先化简，再计算即可。
7．如图，在Rt中，，过点的直线为边AB上一点，过点作，垂足为点，交直线MN于点，连接CD，BE.
（1）求证：CE=AD.
（2）当D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊的平行四边形？请说明理由.
（3）在(2)的条件下，若∠A=45°，求证：四边形BECD是正方形.
【答案】（1）证明：，
.
，
.
.
，
四边形ADEC是平行四边形.
.
（2）解：四边形BECD是菱形.理由如下：
为AB的中点，
.
，
.
，
四边形BECD是平行四边形.
为AB的中点，
.
四边形BECD是菱形.
（3）证明： ，
.
由(2)知，四边形BECD是菱形，
.
.
四边形BECD是正方形.
【解析】【分析】(1)本题考查了平行四边形的判定与性质，先利用平行线的性质证得四边形另一组对比平行，再通过平行四边形的性质得到结论.
(2)先利用平行四边形的性质证得另一个四边形也是平行四边形，再通过直角三角形的性质证得菱形.
(3)通过直角三角形和菱形的性质得到角之间的关系，进而证明四边形是正方形.
8．如图，在四边形ABCD中，90°，对角线AC，BD相交于点N．点M是对角线BD的中点，连接AM，CM．如果，，且．
（1）求证：四边形AMCD是平行四边形；
（2）延长AM交BC于点E，求的值．
【答案】（1）证明：∵点M是BD的中点，90°，
∴CM是斜边BD的中线，
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
又，
∴四边形AMCD为平行四边形．
（2）解：如图，延长AM交BC于点E．
∵，90°，
又∵（1）中已证，
∴， E为BC的中点．
∵点M是BD的中点，点E是BC的中点，
∴ME是的中位线，
∴．
又∵，
∴．
∴．
设，则，，
∴．
【解析】【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法求解即可；
（2）延长AM交BC于点E，先证明，再证明，设，则，，最后求解即可。
9．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（﹣1，0），tan∠ACO＝2．一次函数y＝kx+b的图象经过点B、C，反比例函数y＝ 的图象经过点B．
（1）求一次函数关系式和反比例函数的关系式；
（2）当x＜0时，kx+b﹣ ＜0的解集为 ；
（3）若x轴上有两点E、F，点E在点F的左边，且EF＝1．当四边形ABEF周长最小时，请直接写出点E的横坐标为 ．
【答案】（1）解：如图1中，过点B作BF⊥x轴于点F，
∵点C坐标为（﹣1，0），
∴OC＝1，
∵tan∠ACO＝2＝ ，
∴OA＝2，
∴点A坐标为（0，2）．
∴OA＝2，OC＝1，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCF+∠ACO＝90°，
又∵∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠BCF＝∠CAO，
∴△AOC≌△CFB（AAS），
∴FC＝OA＝2，BF＝OC＝1，
∴点B的坐标为（﹣3，1），
将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：1＝ ，解得：m＝﹣3，
故可得反比例函数解析式为y＝﹣ ，
将点B、C的坐标代入一次函数解析式可得：
，解得： ．
故可得一次函数解析式为y＝﹣ x﹣ ．
（2）﹣3＜x＜0
（3）-
【解析】【解答】解：（2）结合点B的坐标及图象，可得当x＜0时，kx+b﹣ ＜0的解集为：﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．
（3）如图中，把B向右平移1个单位得到B′（ 2，1），作点A关于x轴的对称点A′（0， 2），连接A′B′交x轴于点F，
设直线A′B′的解析式为ax+b（a≠0）
把A′（0， 2），B′（ 2，1）代入得
解得
∴直线A′B′的解析式为y＝ x 2，
∴令y=0，即 x 2=0
解得x=-
∴F（ ，0），
∴OF＝
∴OE＝1＋ ＝
∴点E的横坐标为 ，
故答案为 ．
【分析】（1）在Rt△AOC中求出AC的长度，再求出sin∠CAO的值， 过点B作BF⊥x轴于点F，∠BCA = ∠CAO ，可求出BF，继而得出FC，从而求得B的坐标，利用待定系数法可求出一次函数和反比例函数的关系树；
（2）不等书的含义求出一次函数值小于反比例函数的x的取值范围，结合图形即可直接写出答案；
（3）根据轴对称的性质，找到A关于X的对称点A'，连接BA'则BA'与X轴的交点为M的位置，求出直线BA'的解析式，可得出M的坐标，根据B、A'的坐标可求出AM+BM的最小值。
10．已知，关于x的一元二次方程 （ ）
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为 （其中 ）．若y是关于m的函数，且 ，求这个函数的解析式；
【答案】（1）证明：△＝
＝
∵m>0 ∴ >0
∴方程有两个不相等的实数根
（2）解：
∴
∵m>0 ∴ >1 又
∴
∴ ＝ ＝
【解析】【分析】（1）利用根的判别式Δ=b2-4ac，判别根的情况即可；（2）利用求根公式求出此方程的两个根，确定x1，x2的值，从而求出这个函数的解析式．
11．为了解某校八年级体育科目训练情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）图1中的度数是 ▲ ，并把图2条形统计图补充完整．
（2）抽取的这部分的学生的体育科目测试结果的中位数是在 级；
（3）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，请计算抽取的这部分学生体育的平均成绩．
【答案】（1）解：54°；补全的条形统计图如图所示，
（2）C
（3）解：∵，
∴抽取的这部分学生体育的平均成绩为分.
【解析】【解答】解：（1）本次抽查的学生有：12÷30%=40（人），
∠α的度数是：360°×=54°，
故答案为54；
C级学生有：40-6-12-8=14（人），
（2）由统计图可得，
抽取的这部分的学生的体育科目测试结果的中位数是在C级，
故答案为C；
【分析】（1）根据统计图中的数据，可以计算出本次抽查的学生数，从而可以求得∠α的度数和C级的学生人数，从而将条形统计图补充完整；
（2）根据（1）中补充完整的条形统计图和中位数的定义解答本题即可；
（3）根据体育和统计图中的数据可以计算出抽取的这部分学生体育的平均成绩。
12．如图，某城建部门计划在新修的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1200m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为50m，宽为40m．
（1）求通道的宽度；
（2）某公司希望用80万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
【答案】（1）5m，（2）20%
13．西安某特产商店将进价为每件20元的礼盒的售价确定为每件40元.
（1）中秋期间，该商店进行降价促销活动，预备将原来售价进行两次降价，降价后该礼盒现价为32.4元.若该商品两次降价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，该商品每降价2元，即可多销售100件.已知该商品售价40元时每月可销售500件，若该商店希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？
【答案】（1）解：设这个降价率是 ，依题意得 ，
解得 （舍去）.
答：这个降价率为10%.
（2）解：设降价 元，则可多销售 件，
根据题意得 ，
解得 （舍去）或 .
答：该商品在原售价的基础上，再降低10元
【解析】【分析】（1）此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式即可列出方程，进而求解并检验即可；
（2）根据已知条件求出多售的件数，根据单件的利润×销售数量=10000元列出方程，求解即可.
14．燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括张长桌、张中桌和张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？
【答案】
15．如图，矩形的顶点E、G分别在菱形的边、上，顶点F、H在菱形的对角线上．
（1）求证：；
（2）若E为的中点．，求菱形的边长．
【答案】（1）证明：在矩形中，，，
∴，
∵，
∴，
在菱形中，，
∴，
在与中，
，
∴（AAS），
∴；
（2）解：如图，连接，
在菱形中，，，
为的中点，
，
由（1）知，，
∴，
又，
四边形是平行四边形，
，
在矩形中，，
，即菱形的边长为4．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得EH=FG，EH∥GH，由平行线的性质可得∠GFH=∠EHF，结合邻补角的性质可得∠BFG=∠DHE，根据菱形以及平行线的性质可得∠GBF=∠EDH，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（2）连接EG，根据菱形的性质可得AD∥BC，AD=BC，由中点的概念可得AE=ED，由（1）知BG=E，则AE=BG，推出四边形AEGB为平行四边形，得到AB=EG，根据矩形的性质可得EG=FH=4，则AB=4，据此解答.
16．如图，菱形ABCD 的边AB在x轴上， 点A 的坐标为(1，0)，点D(4，4)在反比例函数（x>0）的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE.
（1）求 C点坐标；
（2）求k，b的值；
（3）求△ACE的面积.
【答案】（1）解：过点 D 作 DF⊥x轴，垂足为F，
∵点A的坐标为(1， 0) ， 点D(4， 4) ，
∴OA=1， OF=4， DF=4，
∴AF=3，
由勾股定理可得
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OA+AB=1+5=6，
∴B(6，0)，C(9，4)；
（2）解：∵点D(4， 4) 在反比例函数的图象上，
∴k=4×4=16，
将点C(9， 4) 代入
∴b=-2；
（3）解：由(2) 得
对于令x=0， 则y=-2，
∴E(0， -2) ，
令y=0， 则x=3，
∴直线与x轴交点为(3， 0)，
【解析】【分析】（1）过点 D 作 DF⊥x轴，垂足为F，进而根据点A和点D的坐标即可得到OA=1， OF=4， DF=4，进而得到AF，再根据勾股定理求出AD，从而结合菱形的性质进行线段的计算即可求解；
（2）先根据待定系数法求出反比例函数解析式，进而将点C代入一次函数即可得到解析式；
（3）根据一次函数与坐标轴的交点问题得到(0， -2) ，(3， 0)，进而根据三角形的面积即可求解。
17．如图1，四边形 中， 于点 ， 于点 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）如图2，连接 、 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对平行且相等的线段．
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
【解析】【分析】（1）用“HL”证明，再利用全等三角形的性质即可得到BE=DF；
（2）由平行四边形的判定可证明四边形ABCD，四边形BEDF是平行四边形，即可求解。
18．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某社区图书室积极推广全社区阅读活动，决定下半年逐月加大图书购置经费的投入．其中七月计划购买甲与乙两种书籍共100本．已知书籍甲的单价是70元，书籍乙的单价是50元，共花费5800元．
（1）请问七月计划购买甲、乙书籍各多少本？
（2）经过比较，图书室工作人员最终决定在新星书城购买书籍甲和乙．书籍甲的单价减少了元，购买数量增加了本．书籍乙的单价不变，购买甲、乙书籍的总数量也不变，总费用比原计划减少了元，请求出的值．
【答案】（1）七月计划购买本书籍甲，本书籍乙；
（2）的值为．
19．“泉州闽台缘博物馆”以每件20元的批发价进了一批纪念品，在国庆期间让馆内多间商店销售，这些商店经第一天销售调查可知：每件定价30元，每天能卖出5000件，若每件定价每上涨1元，其销售量将减少100件．
（1）若每件纪念品售价上涨4元，这些商店每天能卖出________件；
（2）这些商店为了实现平均每日共有80000元的销售利润，并使消费者得到实惠，每件售价应定为多少元？
【答案】（1）4600
（2）售价应定为40元
20．体育课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为18秒，第一小组8名女生的测试成绩记录如下表：
-0.6 +0.8 0 -0.2 -0.3 +0.1 +0.7 -0.5
其中“+”表示成绩大于18秒，“-”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标.
（1）这个小组女生最快的成绩是 秒，最慢的成绩与最快的成绩相差 秒；
（2）求这个小组8名女生百米测试的平均成绩.
【答案】（1）17.4；1.4
（2）解：平均成绩为 （秒），
答：这个小组8名女生百米测试的平均成绩为18秒.
【解析】【解答】解：（1）这个小组女生最快的成绩是 （秒），
最慢的成绩与最快的成绩相差 （秒），
故答案为：17.4，1.4；
【分析】（1）利用成绩记录表中的最小数加上18即可得最快的成绩；利用成绩记录表中最大数减去最小数即可得出答案；（2）先利用平均数公式求出成绩记录表中数据的平均数，再加上18即可得.
21．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p（单位：）是气球的体积V（单位：）的反比例函数.现测得几组实验数据记录如下：
体积V（单位：） … …
压强p（单位：） … …
（1）求p关于V的函数解析式；
（2）当气球内气体的压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，求气球的体积V的最小值.
【答案】（1）解：设p关于V的函数解析式为，由题意可知，
∴
∴p关于V的函数解析式为.
（2）解：当时
即
解得，经检验是原方程的根，
∵
∴函数在第一象限内气压p随V的增大而减小，
∵根据题意
∴为了安全起见，
∴气球的体积V的最小值为.
【解析】【分析】（1）设p关于V的函数解析式为p=，将V=1，p=96代入求出k的值，据此可得对应的函数解析式；
（2）令p=120，求出V的值，然后结合反比例函数的性质进行解答.
22．为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克元的价格收购了千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题：
①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元；
②这批苹果平均每天有千克损坏，不能出售；
③每天的冷藏费用为元；
④这批苹果最多保存天．
若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售．
（1）多少天后这批苹果的市场价为每千克元
（2）求天后一次性全部售出所得的利润为多少元
（3）若天后一次性出售所得利润为元，求的值．
【答案】（1）天
（2）元
（3）天
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 两点，与 轴交于点 ，已知
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接 ，求 的面积.
【答案】（1）把 代入 得 ，
解得
一次函数解析式为 ；
把 代入 得 ，
反比例函数解析式为 ；
（2）把 代入 得
点坐标为 ，
当 时， ，
解得
点坐标为
.
【解析】【分析】（1）一次函数和反比例函数都经过点A，把点A坐标代入即可求得；
（2）先解联立两函数解析式组成的方程组求得点B坐标，再利用 计算即可.
24．某商店销售一种商品，每件进价60元，在销售过程中发现，当售价为100元时，每天可售出30件．该商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润经调查发现，如果每件商品降价1元，平均可多售出3件．每件商品降价多少元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元？
【答案】每件商品降价20元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元
25．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求k的取值范围．
【答案】（1）证明：∵，
∴△=，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵，
∴，
解得：，，
∵该方程有一个根小于2，
∴．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）先利用因式分解法求出一元二次方程，再根据“该方程有一个根小于2”，即可得到。
26．为加强抗击疫情的教育宣传，某中学开展防疫知识线上竞赛活动，八年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班各选出的 名选手的竞赛成绩（满分为 分）如图所示：
（1）请你计算两个班的平均成绩各是多少分；
（2）写出两个班竞赛成绩的中位数，结合两个班竞赛成绩的平均数和中位数，你认为哪个班的竞赛成绩较好；
（3）计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的竞赛成绩较为整齐.
【答案】（1）解：八（1）班的平均成绩是： （分）
八（2）班的平均成绩是： （分）
（2）解：八（1）班的中位数是 分，八（2）班的中位数 分；
两个班的平均成绩相同，八（2）班的中位数比八（1）班的中位数大，八（2）班的优秀学生多，
八（2）班的成绩优秀.
（3）解：八（1）班的方差为：
八（2）班的方差为：
八（1）班的成绩较为整齐.
【解析】【分析】（1）根据平均数的概念求解即可；（2）根据中位数的定义即可得到结论；（3）先计算出两个班的方差，再根据方差的意义求解即可.
27．关于 的一元二次方程为
（1）求证：无论 为何实数，方程总有实数根；
（2） 为何整数时，此方程的两个根都为正数.
【答案】（1）解：
∴ 为任何实数方程总有实数根．
（2）解：设方程两根为 ， ，则
由题可得，
∴ 或
∴
∵ 是整数，∴
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；
（2）根据题意求出 或 ，再计算求解即可。
28．某商场将进货价为30元的水杯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种水杯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销，经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种水杯的售价每降价0.5元，其销售量增加8个，若商场要想使4月份销售这种水杯获利4864元，则这种是被售价应定为多少元？
【答案】（1）
（2）售价为38元
29．智能手表是一种集健康监测、定位、通话、计时于一体的电子产品，某经销商推出标准款和升级款智能手表，每只标准款智能手表销售单价比升级款智能手表销售单价少70元，标准款智能手表和升级款智能手表在4月的销量分别为360只和240只，销售总额为100800元.
（1）求升级款智能手表在4月的销售单价.
（2）为回馈广大顾客，在5月推出了优惠活动.在4月销售价的基础上，标准款手表降价 ，升级款手表降价 .5月的销售量在4月的基础上，标准款手表增加了 ，升级款手表增加了 只，这两种手表的销售总额比4月销售总额增加了 .求a的值.
【答案】（1）解：设每只升级款智能手表销售单价x元则每只标准款智能手表销售单价 元，
由题意可得， ，
∴ .
答：4月每只升级款智能手表销售单价210元；
（2）解：由题意可得，
解得， ， （舍去）
∴ .
答：a的值为50.
【解析】【分析】（1）设每只升级款智能手表销售单价x元，则每只标准款智能手表销售单价(x-70) 元，根据销售升级款智能手表的钱数+销售标准版智能手表的钱数=100800，列出方程，求解即可；
（2）销售升级款智能手表的钱数+销售标准版智能手表的钱数=100800(1+ )，列出方程，求出a的值即可.
30．
（1）如图1，四边形ACDE中，△ABC与△BDE均为直角三角形，且AB⊥BE，∠BEA＝45°，求证：△ABC≌△BED.
（2）如图2，点A（1，2），连结OA，将射线OA绕点O按逆时针方方向旋转45°.得到射线OB，AC⊥OA交OB于点C，分别过点A，点C作x轴，AD的垂线，垂足分别为D，E，由（1）得 （填写两个三角形全等），所以CE＝ ，AE＝ ，C的坐标为 ，则直线OB的解析式为 .
（3）如图3，点A（3，3）在反比例函数y＝ 的图象上，B（0，2）作射线AB，将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象的另一支于点C，求点C的坐标.
【答案】（1）证明：∵AB⊥BE，∠AEB＝45°，
∴AB＝BE，
∵∠BED+∠EBD＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BED＝∠ABC，
在△ABC和△BED中，∠BED＝∠ABC，∠EDB＝∠ACB，BE＝AB，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
（2）△AEC≌△ODA；2（或AD）；1（或OD）；（﹣1，3）；y＝﹣3x
（3）解：如图，过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，
则△ABF为等腰直角三角形，
根据（1）同理可得△AEF≌△FDB，设BD＝a，则EF＝a，
∵点A（3，3）和点B（0，2），
∴DF＝3﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∵AE+OD＝3，
∴3﹣a+2﹣a＝3，
解得a＝1，
则OD＝2﹣1＝1，DF＝3﹣a＝3﹣1＝2，
∴F（2，1），
设直线AF的解析式为y＝kx+b，则 ，解得 ，
∴y＝2x﹣3①，
把点A点坐标代入y＝ 并解得：k＝9，
故反比例函数的表达式为：y＝ ②，
联立①②并解得： （舍去）或 ，
∴C（﹣ ，﹣6），
故点C的坐标为：（﹣ ，﹣6）.
【解析】【解答】解：（2）由（1）同理可得：△AEC≌△ODA（AAS），
∴CE＝AD＝2，AE＝OD＝1，C的坐标为（﹣1，3），
则直线OB的解析式为t＝﹣3x；
故答案为：△AEC≌△ODA；2（或AD）；1（或OD）；（﹣1，3）；y＝﹣3x；
【分析】（1）在△ABC和△BED中，∠BED＝∠ABC，∠EDB＝∠ACB，BE＝AB，即可求解；
（2）由（1）同理可得：△AEC≌△ODA（AAS），则CE＝AD＝2，AE＝OD＝1，C的坐标为（﹣1，3），即可求解；
（3）利用△AEF≌△FDB求出a＝1，则F（2，1），再求出直线AF的解析式，进而求解.
31．如图①， 的顶点P在正方形 两条对角线的交点处， ，将 绕点P旋转，旋转过程中 的两边分别与正方形 的边 和 交于点E和点F（点F与点C、D不重合）.
（1）如图①，当 时， 、 、 之间满足的数量关系是 ；
（2）如图②，将图①中的正方形 改为 的菱形，其他条件不变，当 时，（1）中的结论变为 ，并给出证明过程；
（3）在（2）的条件下，若旋转过程中 的边 与边 的延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中， 、 、 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明.
【答案】（1）
（2）解：如图②，取AD的中点M，连接PM，
∵四边形ABCD为∠ADC＝120°的菱形，
∴BD＝AD，∠DAP＝30°，∠ADP＝∠CDP＝60°，
∴△MDP是等边三角形，
∴PM＝PD，∠PME＝∠PDF＝60°，
∵∠PAM＝30°，
∴∠MPD＝60°，
∵∠QPN＝60°，
∴∠MPE＝∠FPD，
在△MPE和△DPF中 ，
∴△MPE≌△DPF（ASA）
∴ME＝DF，
∴DE＋DF＝ AD；
（3）解：如图③，
当点E落在AD的延长线上时，取AD的中点M，连接PM，
∵四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°，
∴AD＝CD，∠DAP＝30°，AC⊥BD，
∴∠ADP＝∠CDP＝60°，
∵AM＝MD，
∴PM＝MD，
∴△MDP是等边三角形，
∴∠PME＝∠MPD＝60°，PM＝PD，
∵∠QPN＝60°，
∴∠MPE＝∠FPD，
在△MPE和△DPF中 ，
∴△MPE≌△DPF（ASA），
∴ME＝DF，
∴DF DE＝ME DE＝DM＝ AD.
【解析】【解答】解：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，
∴PA＝PD，∠PAE＝∠PDF＝45°，
∵∠APE＋∠EPD＝∠DPF＋∠EPD＝90°，
∴∠APE＝∠DPF，
在△APE和△DPF中 ，
∴△APE≌△DPF（ASA），
∴AE＝DF，
∴DE＋DF＝AD；
【分析】（1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得△APE≌△DPF，可得出AE＝DF，即可得出结论DE＋DF＝AD；（2）取AD的中点M，连接PM，利用菱形的性质，可得出△MDP是等边三角形，易证△MPE≌△DPF，得出ME＝DF，由DE＋ME＝ AD，即可得出DE＋DF＝ AD；（3）当点E落在AD的延长线上时，取AD的中点M，连接PM，先证明△MDP是等边三角形，然后证明△MPE≌△DPF，即可得ME＝DF，即可得出结论.
32．如图是海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系．其中为水面，滑梯段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高为米，宽为米，出口点到的距离为米，求：
（1）段所在的反比例函数关系式是什么？
（2）点到轴的距离长是多少？
（3）若滑梯上有一个小球，距水面的高度不高于米，则到的距离至少多少米？
【答案】（1）
（2）点到轴的距离长是米
（3）到的距离至少米
33．已知：正方形ABCD，过点D作直线DE，点C关于直线DE的对称点为，连接，作直线交直线DE于点P．
（1）补全图形；
（2）判断的形状并证明；
（3）猜想线段PA，PC，PD的数量关系并证明．
【答案】（1）解：补全图形，如图所示：
（2）解：DAC是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴，∵点C关于直线的对称点为，∴，∴，∴ DA是等腰三角形；
（3）解：，理由如下：连接CP，延长PA至点M，使得AM=PC，连接DM
由对称性可得，∠DCP=∠DP由（2）可得，∠1=∠2∵∠1+∠3=180，
∠2+∠DP= 180°，∴∠3=∠DP，∴∠3=∠DCP，∵四边形ABCD是矩形，
∴DA= DC，∠ADC= 90°，在 DMA和 DPC中， ，
∴ DMA≌ DPC（SAS），∴∠4=∠5， DM= DP∵∠ADP+∠5= 90°，
∴∠4+∠ADP= 90°，∴ MDP是等腰直角三角形；
∴ =2DP2，∴PM=PD，∴ PA+ PC=PD．
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）利用等腰三角形的判定方法判断即可；
（3）先证明 MDP是等腰直角三角形，再利用勾股定理和等量代换可得 =2DP2，即可得到PA+ PC=PD。
34．
（1）解方程：2（x2﹣x）＝x2．
（2）已知方程x2+x+k+1＝0有一个根是2，求另一个根．
【答案】（1）解：化简，得x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0．
∴原方程的解为x1＝0，x2＝2，
（2）解：设另一个根为m，
∵a＝1，b＝1，
∴m+2＝﹣ ＝﹣1，
解得，m＝﹣3，
∴方程另一个根为﹣3．
【解析】【分析】（1）整理后利用因式分解法求解即可；
（2）设另一个根为m，根据根与系数的关系得出即可求出M的值。
35．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，DP//AC，CP//BD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝4，BD＝6，求OP的长．
【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
．
∵四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
∴平行四边形ABCD是菱形
（2）解：∵平行四边形ABCD是菱形，
∴ ，
．
∵DP AC，CP BD，
∴四边形OCPD是平行四边形．
，
∴四边形OCPD是矩形，
∴
【解析】【分析】（1）首先通过角平分线的定义和平行四边形的性质，平行线的性质得出 ，则有 ，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）首先根据题意和菱形的性质证明四边形OCPD是矩形，然后利用矩形的性质和勾股定理即可得出答案．
36．已知关于x的方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）记该方程的两个实数根为，若，求k值；
（3）若，证明：．
【答案】（1）证明：∵
，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：解方程，得，
解得或，
当时，解得，
当时，解得，
综上所述，k的值为5或；
（3）证明：根据根与系数的关系得，
∴
，
∵，
∴，
即．
【解析】【分析】（1）先求出根的判别式，并整理为完全平方式的形式，从而得出结论即可；
（2）首先解关于x的方程 ，解得：x=k+1或x=2， 可以分为两种情况：①x1=k+1，x2=2；②x1=2，x2=k+1。然后分别根据x1=3x2，列出等式，求得k的值即可；
（3）根据完全平方公式，可求得M=（x1+x2）2-x1x2，根据一元二次方程根与系数的关系，可得M=（k+2）2+3，从而得出M≥3。
37．太原市某商场进价为100元的某品牌衣服，在销售期间发现，当销售单价定价为200元时，每天可卖出100件．临近2023年十一国庆，商家决定开启大促销活动，经过调研发现：当销售单价下降1元时，每天销售量增加4件．设该品牌衣服每件降价x元．
（1）求每天的销售量y（件）关于x（元）的函数关系式．
（2）在销售单价不低于150元的前提下，计算出该品牌衣服的销售单价定为多少元时，商场每天获利13600元．
【答案】（1）
（2）每件衣服应降价15元，即销售单价为185元时，该品牌衣服的销售单价定185元时，商场每天利13600元；
38．已知关于 的方程 有实数根.
（1）求 的取值范围.
（2）设方程的两根分别是 ， ，且满足 ，试求 的值.
【答案】（1）解： ∵原方程有实数根，
∴ ≥0
∴（-2） -4（2k-1）≥0
∴k≤1
（2）解：
由（1）得： = ， =2
即 =4
解之，得： = ， =-
k≤1
k=-
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程 有两个不相等的实数根得到△=（-2)2 -4（2k-1）≥0，求出k的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．
39．如图所示， 中 、 分别是 、 上的点， .
（1）如图（1），求证：四边形 是平行四边形.
（2）如图（2），连接 ，连接 分别交 、 、 于点 、 、 ，不添任何辅助线的条件下，直接写出面积等于四边形 的面积一半的4个图形.
【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∵∴ ，
∵∴四边形 是平行四边形
（2） ， ，四边形 ，四边形
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ， ，再结合已知可得AE=CF，进而利用平行四边形的判定定理证明；
（2）首先根据平行四边形的一条对角线将其分成面积相等的两部分，即可写出两个三角形，再根据过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分，即可写出两个四边形.
40．如图，在 ABCD中，E为边AB上一点，连结DE，将 ABCD沿DE翻折，使点A的对称点F落在边CD上，连结EF。
（1）求证：四边形ADFE是菱形；
（2）若∠A=60°，AE=2BE=4，求四边形BCDE的周长。
【答案】（1）证明：由翻折，得AD= FD，AE=FE，
∠ADE=∠FDE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠AED=∠FDE，
∴∠AED=∠ADE．
∴AD=AE
∴AD=AE=EF=FD，
∴四边形ADFE是菱形．
（2）∵AD=AE，∠A= 60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=4．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=4，CD=AB=6
∴四边形BCDE的周长是160
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质得出AD= FD，AE=FE，再根据等腰三角形的判定得出AD=AE，从而得出AD=AE=EF=FD，即可证出四边形ADFE是菱形；
（2）先证出△ADE为等边三角形，得出DE=AD=4，再根据平行四边形的性质得出BC=AD=4，CD=AB=6，即可求出四边形BCDE的周长.
41．如图1，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，﹣4），
（1）如图，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，如图2，连接OH，求证：∠OHP=45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连结MD，过点D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】（1）解：∵a=4，b=﹣4，则OA=OB=4．
∵AH⊥BC于H，
∴∠OAP+∠OPA=∠BPH+∠OBC=90°，
∴∠OAP=∠OBC
在△OAP与△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA）
∴OP=OC=1，则P（0，﹣1）
（2）解：过O分别做OM⊥CB于M点，ON⊥HA于N点，
在四边形OMHN中，∠MON=360°﹣3×90°=90°，
∴∠COM=∠PON=90°﹣∠MOP．
在△COM与△PON中，
，
∴△COM≌△PON（AAS）
∴OM=ON
HO平分∠CHA，
∴∠OHP= ∠CHA=45°
（3）解：S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变．S△BDM﹣S△ADN=4．连接OD，在等腰Rt△AOB中，D为AB的中点∴OD=AD，OD⊥AB ，∠OAB=∠BOD=45°又∵DN⊥DM ，
∴∠MDO=∠NDA=90°﹣∠MDA ，∵ ∠DOM=180°－∠BOD ，∠DAN=180°－∠OAB ，∴∠DOM=∠DAN
在△ODM与△ADN中， ，∴△ODM≌△ADN（ASA），∴S△ODM=S△ADN，S△BDM﹣S△ADN=S△BDM﹣S△ODM=S△BOD= S△AOB= × AO BO= × ×4×4=4
【解析】【分析】（1）根据A，B，C三点的坐标求出OA=OB=4 ， OC=1 ，根据直角三角形两锐角互余，及等角的余角相等得出∠OAP=∠OBC ，从而利用ASA判断出△OAP≌△OBC ，根据全等三角形的对应边相等得出OP=OC=1，从而得出P点的坐标；
（2）过O分别做OM⊥CB于M点，ON⊥HA于N点，根据四边形的内角和得出∠MON=360°﹣3×90°=90°，再根据同角的余角星等得出∠COM=∠PON ，然后利用AAS判断出△COM≌△PON ，根据全等三角形的性质得出OM=ON ，从而判断出四边形OMHN是正方形，根据正方形的对角线平分一组对角得出结论；
（3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变．S△BDM﹣S△ADN=4．连接OD，根据等腰直角三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD=AD，OD⊥AB ，∠OAB=∠BOD=45° ，根据同角的余角相等得出∠MDO=∠NDA ，根据等角的补角相等得出∠DOM=∠DAN ，然后根据ASA判断出△ODM≌△ADN ，根据全等三角形的面积相等得出S△ODM=S△ADN，从而利用S△BDM﹣S△ADN=S△BDM﹣S△ODM=S△BOD= S△AOB算出答案。
42．如图1，在平行四边形ABCD中，∠B为锐角，AB=AD，点P，H分别在边AD、CB上，且DP=BH，连接PH交对角线AC于点F：
（1）请说明AF与FC的大小关系，并说明理由
（2）如图2，在AB边上取点M、N (点N在BM之间)使AM=5BN．点P从点D匀速运动到点A时，点Q恰好从点M匀速到点N，连接PQ交对角线AC于点E，记QM=x，AP=y，已知y=-2x+12，请分别求出AD，BN的长．
（3）如图3，在第(2)题的条件下，连接QF，QH，若∠B=60°，则△FQH面积的最小值为 (请直接写出答案)，
【答案】（1）解：AF=FC，理由如下：
∵四边ABCD是平行四边形，
∴AD= BC，AD∥BC，
∴∠PAF=∠HCF，∠APF=∠CHF，
∵PD= BH，
∴AD-PD=BC-BH，
即AP=HC ，
∴△APF≌△CHF(ASA)，
∴AF=FC；
（2）解：将x=0代入y=-2x+12得y=12，即AD=12；
把y=0代入y=-2x+12得x=6，即MN=6；
∴AB=AD= 12，
∴AM+BN=12-6= 6，
∵AM=5BN ，
∴5BN+BN=6，
∴BN= 1；
（3）
【解析】【解答】（3）解：如图，连接HQ，过点F作FK⊥BC于点K，FJ⊥AB于点J，过点Q作QT⊥BC于点T，
由题意得CH=AP=-2x+12，BQ=7-x，AQ=5+x，
∵AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=12，
∴FA=FC=6，
，，
∵＞0，∴当x=2时，△FQH的面积最小为.
故答案为：.
【分析】（1）AF=FC，理由如下：由平行四边形的对边平行且相等得AD= BC，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等，得∠PAF=∠HCF，∠APF=∠CHF，根据等量减去等量差相等得AP=CH，从而用AAS判断出△APF≌△CHF，根据全等三角形对应边相等得AF=FC；
（2）将x=0与y=0分别代入y=-2x+12算出对应的y与x的值，即可得出AD与MN的长，进而根据线段的和差可得AM+BN= 6，再将AM=5BN代入即可求出BN的长；
（3）连接HQ，过点F作FK⊥BC于点K，FJ⊥AB于点J，过点Q作QT⊥BC于点T，由题意得CH=AP=-2x+12，BQ=7-x，AQ=5+x，易得△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质及含30度角直角三角形的性质表示出QT，FJ、FK的长，进而根据建立出函数关系式，结合函数的性质即可解决此题.
43．在一次展销会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边
（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天所获利润能否达到22500元，如果能，应该把销售单价定为多少元？如果不能，请说明理由
【答案】（1）解：设花边的宽度为acm，根据题意得：
（60 2a）（40 a）＝60×40 650，或60a＋80a 2a2＝650，
解得：a＝5或a＝65（舍去）.
答：丝绸花边的宽度为5cm；
（2）解：设每件工艺品降价x元出售，则根据题意可得：
（100 x 40）（200＋20x） 2000＝22500，
整理得：x2 50x＋625＝0，
解这个方程得：x1＝x2＝25，
此时售价：100 25＝75（元）.
答：售价75元时能达到利润22500元.
【解析】【分析】（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；（2）先根据题意设每件工艺品降价为x元出售，获利y元，则降价x元后可卖出的总件数为（200＋20x），每件获得的利润为（100 x 40），此时根据获得的利润＝卖出的总件数×每件工艺品获得的利润，列出二次方程，求解即可.
44．如图（1）在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为G交AD于F
（1）求证：AF＝DE；
（2）连接DG，若DG平分∠EGF，如图（2），求证：点E是CD中点；
（3）在（2）的条件下，连接CG，如图（3），求证：CG＝CD．
【答案】（1）证明：如图1中，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o，
∴∠2+∠3＝90°
又∵BF⊥AE，
∴∠AGB＝90°
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3
在△BAF与△ADE中，
∠1=∠3 BA=AD ∠BAF=∠D，
∴△BAF≌△ADE（ASA）
∴AF＝DE．
（2）解：过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．
由（1）得∠1＝∠3，∠BGA＝∠AND＝90°，AB＝AD
∴△BAG≌△ADN（AAS）
∴AG＝DN，
又DG平分∠EGF，DM⊥GF，DN⊥GE，
∴DM＝DN，
∴DM＝AG，又∠AFG＝∠DFM，∠AGF＝∠DMF
∴△AFG≌△DFM（AAS），
∴AF＝DF＝DE＝ AD＝ CD，
即点E是CD的中点．
（3）解：延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，
∠ADE＝∠ECP＝90°，∠DEA＝∠CEP，
∴△ADE≌△PCE（ASA）
∴AE＝PE，
又CE∥AB，
∴BC＝PC，
在Rt△BGP中，∵BC＝PC，
∴CG＝ BP＝BC，
∴CG＝CD．
【解析】【分析】（1）证明△BAF≌△ADE（ASA）即可解决问题．（2）过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．想办法证明AF＝DF，即可解决问题．（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BC＝CP即可．
45．如图1，点P为等腰Rt△ABC斜边AB下侧一个动点，连AP、BP，且∠APB＝45°，过C作CE⊥AP于点E，AB＝12.
（1）若∠ACE＝15°，求△ABP的面积；
（2）求 的值；
（3）如图2，当△APC为等腰三角形时，则其面积为 .
【答案】（1）解：如图所示，过点B作BH⊥AP于H，
∴∠BHA=∠BHP=90°
∵△ABC是等腰直角三角形，且AB是斜边，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵CE⊥AP，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACE=15°，
∴∠CAE=90°-∠ACE=75°，
∴∠BAH=∠CAE-∠CAB=30°，
∴ ，
∴ ，
∵∠APB=45°，
∴∠HBP=∠HPB=45°
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，过点B作BF⊥CE于F，
∵BF⊥CE，CE⊥AP，BH⊥AP，
∴∠BFE=∠FEH=∠BHE=90°，
∴四边形BFEH是矩形，
∴EF=BH=PH，BF=EH，
∵∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°，∠BCE+∠CBF=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
又∵AC=BC，
∴△ACE≌△CBF（AAS）
∴CE=BF=EH，AE=CF，
∵AE+PH=AE+EF=CF+EF=CE，
∴AP=AE+PH+EH=2CE，
∴ ；
（3）18或
【解析】【解答】解：（3）如图所示，当PA=PC时，
∵PA=PC，AP=2CE，
∴PC=2CE，∠PAC=∠PCA
∵CE⊥AP，
∴∠CEP=90°，
∴∠CPE=30°，
∴∠PCE=60°， ，
∴∠ACE=15°，
∴由（1）可知 ，
∴ ，
∴ .
如图所示，当AP=AC时，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴ 即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴综上所述，当△APC为等腰三角形时，则其面积为18或 .
故答案为：18或 .
【分析】（1）过点B作BH⊥AP于H，由等腰直角三角形的性质可得AC=BC，∠ACB=90°，∠CAB=∠CBA=45°，求出∠CAE、∠BAH的度数，进而可得BH、AH，推出BH=PH=6，然后求出AP，接下来根据三角形的面积公式进行计算；
（2）过点B作BF⊥CE于F，则四边形BFEH是矩形，由矩形的性质可得PH=EF=BH，BF=EH，证明
△ACE≌△CBF，得到CE=BF=EH，AE=CF，推出AP=2CE，据此求解；
（3）当PA=PC时，易得PC=2CE，∠PAC=∠PCA，∠CPE=30°，∠PCE=60°，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理求出∠PAC=∠PCA=75°，据此可得∠ACE，由（1）可得AP，然后求出CE，接下来根据三角形的面积公式进行计算；当AP=AC时，易得AC=BC，PA=AC，同理可得CE，进而求出△APC的面积.
46．如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点 ， 为 上一点， ， 为 的中点，若 的周长为 ．
（1）求 的长；
（2）求 的长．
【答案】（1）解： 四边形 为正方形
， ，
为 的中点
， 的周长为
（2）解：
为 的中点，
．
【解析】【分析】（1）由直角三角形的性质可知DF=EF=CF=DE=6；
（2）先求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而得出BE的长，由三角形中位线定理可得出结论。
47．如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形．
（直接写出答案，不需要说明理由）
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCG=∠EDG，
∵G是CD的中点，
∴CG=DG，
在△FCG和△EDG中，
，
∴△FCG≌△EDG（ASA）
∴FG=EG，
∵CG=DG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）3.5；2
【解析】【解答】（2）①解：当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A作AM⊥BC于M，
∵∠B=60°，AB=3，
∴BM=1.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，
∵AE=3.5，
∴DE=1.5=BM，
在△MBA和△EDC中，
，
∴△MBA≌△EDC（SAS），
∴∠CED=∠AMB=90°，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是矩形，
故答案为：3.5；
②当AE=2时，四边形CEDF是菱形，
理由是：∵AD=5，AE=2，
∴DE=3，
∵CD=3，∠CDE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=DE，
∵四边形CEDF是平行四边形，
∴四边形CEDF是菱形，
故答案为：2．
【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG=EG，根据平行四边形的判定推出即可；（2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根据矩形的判定推出即可；
②求出△CDE是等边三角形，推出CE=DE，根据菱形的判定推出即可．
48．如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接．
（1）求证：矩形是正方形；
（2）求的值；
（3）若恰为的中点，连接，求点到的距离．
【答案】（1）证明：如图，作于，于．
四边形是正方形，
，
于，于，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形．
（2）解：四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
，
在和中，
≌，
，
由勾股定理得，，
．
（3）解：连接，
四边形是正方形，
，，
是中点，
，
，
点到的距离．
【解析】【分析】（1） 作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，证明△EDM和△EFN全等得到ED=EF，利用正方形的定义即可得证；
（2）先求得△ADG≌△DEC，得AG=CE，把AG+AE转化为AC即可；
（3）连接DF，利用勾股定理求DF的长，再利用等腰直角三角形的性质即可求解.
49．在平面直角坐标系中，矩形纸片AOBC按如图方法放置，点A、B分别在y轴和x轴上，已知OA=2，OB=4，点D在边AC上，且AD=1．
解答下列问题．
（1）点C的坐标为 ；
（2）在x轴上有一点E，使得△CDE的周长最短，求出点E的坐标及直线CE的解析式．
（3）在平面直角坐标系内是否存在点P，使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（4，2）
（2）解：过点D(1，2)作关于x轴的对称点D1(1， 2)，
连接D1C交x轴于点E，由轴对称性知D1E=DE，由两点之间线段最短得D1C=D1E+EC=DE+CE最短，即ΔCDE的周长最短．
设直线D1C的解析式为y=kx+b，把D1(1， 2)和C(4，2)分别代入得：
，解得，
∴直线CE的解析式为．
∵点E在x轴上，
∴当y=0时，x=，点E的坐标为（，0）；
（3）解：设P(x，0)，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=4．
∵AD=1，
∴DC=AC AD=4 1=3．
分情况讨论：
①当CD为平行四边形的边时，
∵以点C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴PE//CD且PE=CD．
∴=3，
∴x =3或x = 3，
∴x1=， x2= ，
∴P1(，0)或P2( ，0)；
②当CD为平行四边形的对角线时，
∵四边形是以点C、D、P、E为顶点的平行四边形，并且点E在x轴上，
∵OE=，
∴点P在AC的上方，且EP⊥DC．
∴P3(，4)．
综上所述，在平面直角坐标系内存在点P1(，0)或P2( ，0)或P3(，4)，
使得以C、D、P、E为顶点的四边形是平行四边形．
【解析】【解答】解：（1）∵OA=2，OB=4，且点C在第一象限，
∴点C的坐标为（4，2）；
故答案为：（4，2）；
【分析】（1）由OB及OA长，即可得出点C的坐标；
（2）过点D(1，2)作关于x轴的对称点D1(1， 2)，连接D1C交x轴于点E，由轴对称性知D1E=DE，由两点之间线段最短得D1C=D1E+EC=DE+CE最短，即ΔCDE的周长最短；
（3）分别以DE、CE、CD为对角线求出P点的坐标。
50．如图1，在正方形ABCD中，AD=6，点P是对角线BD上任意一点，连接PA，PC过点P作PE⊥PC交直线AB于E．
（1）求证：PC=PE；
（2）延长AP交直线CD于点F.
①如图2，若点F是CD的中点，求△APE的面积；
②若ΔAPE的面积是 ，则DF的长为
（3）如图3，点E在边AB上，连接EC交BD于点M，作点E关于BD的对称点Q，连接PQ，MQ，过点P作PN∥CD交EC于点N，连接QN，若PQ=5，MN= ，则△MNQ的面积是
【答案】（1）证明：∵点P在对角线BD上，
∴△ADP≌△CDP，
∴AP=CP， ∠DAP =∠DCP，
∵PE⊥PC，∴∠EPC=∠EPB+∠BPC=90°，
∵∠PEA=∠EBP+∠EPB=45°+90°-∠BPC=135°-∠BPC，
∵∠PAE=90°-∠DAP＝90°-∠DCP，
∠DCP=∠BPC-∠PDC=∠BPC-45°，
∴∠PAE=90°-(∠BPC-45°)= 135°-∠BPC，
∴∠PEA=∠PAE，
∴PC=PE；
（2）解：①如图2，过点P分别作PH⊥AD，PG⊥CD，垂足分别为H、G.延长GP交AB于点M. ∵四边形ABCD是正方形，P在对角线上， ∴四边形HPGD是正方形， ∴PH=PG，PM⊥AB， 设PH=PG=a， ∵F是CD中点，AD＝6，则FD=3， =9， ∵ = = ， ∴ ，解得a=2， ∴AM=HP=2，MP=MG-PG=6-2=4， 又∵PA=PE， ∴AM=EM，AE=4， ∵ = ，；4或9
（3）
【解析】【解答】解：(2) ②设HP＝b，由①可得AE=2b，MP=6-b，
∴ = ，
解得b=2.4 ，
∵ = = ，
∴ ，
∴当b=2.4时，DF=4；当b＝3.6时，DF＝9，
即DF的长为4或9；
（ 3 ）如图，
∵E、Q关于BP对称，PN∥CD，
∴∠1＝∠2，∠2+∠3＝∠BDC=45°，
∴∠1+∠4=45°，
∴∠3=∠4，
易证△PEM≌△PQM， △PNQ≌△PNC，
∴∠5=∠6， ∠7=∠8 ，EM=QM，NQ=NC，
∴∠6+∠7=90°，
∴△MNQ是直角三角形，
设EM=a，NC=b列方程组
，
可得 ab= ，
∴ ，
【分析】（1）利用正方形每个角都是90°，对角线平分对角的性质，三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和，等角对等边等性质容易得证；（2）作出△ADP和△DFP的高，由面积法容易求出这个高的值.从而得到△PAE的底和高，并求出面积.第2小问思路一样，通过面积法列出方程求解即可；（3）根据已经条件证出△MNQ是直角三角形，计算直角边乘积的一半可得其面积.
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