辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学第二学期年5月高二联考数学试卷（含解析）

数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第二册4.1至选择性必修第三册6.1．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知是函数的导函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列满足，且，则（ ）
A．2 B． C．-1 D．1
3．某公司近几年投入A款产品的年研发费用与年利润的统计数据如下表：
年研发费用 5 4 6 3 4 2
年利润 12 10 13 9 11 5
若与的回归直线方程为，则（ ）
A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4
4．质点按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点在时的瞬时速度是其在时的瞬时速度的（ ）
A． B．倍 C． D．倍
5．在公差大于0的等差数列中，，，则该数列的公差为（ ）
A． B． C．2 D．3
6．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
2 4 7
A．， B．，
C．， D．，
7．设等比数列的前项和为，前项积为，，且和的等差中项为5，则的最大值为（ ）
A．128 B．64 C．16 D．8
8．从0，1，2，3，4，5中任选4个不同的数字组成一个四位数，若这个四位数是偶数，则个位、十位和百位上的数字之和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列求导运算中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若，随机变量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．当时，
C．当时， D．当时，
11．已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．
C．数列是等比数列
D．若恒成立，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，，则______．
13．将数列与的公共项按从小到大的顺序排列得到数列，，则的前项和为______．
14．过点可作曲线的切线的条数最多为______。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知是函数的导函数，且．
（1）求；
（2）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．
16．（15分）
为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组在本校某年级学生中随机抽取了200名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计的部分数据如下表：
数学成绩总评优秀的人数 数学成绩总评非优秀的人数 合计
每天都整理数学错题的人数 90
不是每天都整理数学错题的人数 40 100
合计 200
（1）完成上述样本数据的列联表，并判断是否有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关；
（2）按照比例采用分层随机抽样的方法从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取5名学生，再从这5名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中数学成绩总评非优秀的人数为，求的分布列和期望．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．（15分）
已知是等差数列的前项和，且．
（1）求的通项公式；
（2）已知数列满足，为的前项和，若，求整数的最小值．
18．（17分）
甲、乙两人参加某答题挑战赛，规则如下：每次由其中一人答题，若答对了，则此人继续答题，若未答对，则换对方答题，每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题，给出文学题的概率为，给出科学题的概率为．已知甲答对文学题与科学题的概率分别为，，乙答对文学题与科学题的概率均为，且各轮答题正确与否相互独立．由抽签确定第1次答题的人选，第1次答题的人是甲、乙的概率各为．
（1）已知第1次甲答题，求甲答对题目的概率；
（2）求第2次答题的人是乙的概率；
（3）求第次答题的人是甲的概率．
19．（17分）
已知数列满足，且．若整数能被正整数整除，则称为的一个正约数．设的正约数个数为，将这个正约数从小到大排成一排，分别为，，，…，．
（1）证明：是等比数列．
（2）证明：为定值．
（3）在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列．
②当时，求．
②在①的前提下，是否存在正整数，，使得？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
数学试卷参考答案
1．A ．
2．A 由题可得，，，…，所以是周期为3的数列，则．
3．D 由表可知，，则，解得．
4．A ，所以．
5．D 设等差数列的公差为，则，得，
所以，又，所以．
6．A 由离散型随机变量的性质可得，解得，
则，，
所以，．
7．B 设等比数列的公比为．若，则，不符合题意，
所以，解得．又因为和的等差中项为5，所以，
则，解得．当时，，当时，，当时，，
所以的最大值为．
8．A 若个位上的数字是0，则这样的四位偶数有个；若个位上的数字不是0，则这样的四位偶数有个．故四位数是偶数的有156个．
下面考虑这个四位数既满足是偶数，又满足个位、十位和百位上的数字之和为偶数的情况：若个位、十位和百位上的数字都是偶数，则这样的四位数有个；若个位、十位和百位上的数字是1个偶数和2个奇数，则当这个偶数是0时，这样的四位数有个，当这个偶数不是0时，这样的四位数有个．综上，满足这两个条件的四位数有60个．故所求的概率为．
9．ABD ，，，
．故选ABD．
10．AD 因为，，所以，A正确．
．，B错误．
当时，，解得或，或，C错误．
当时，，因为，所以，，D正确．
11．ABD 由题可知，，则，又，所以是等比数列，A正确．
，，，，B正确．
，则，故不是等比数列，C错误．
由题可知易知当为奇数时，单调递增且；
当为偶数时，单调递减，且．若恒成立，则当为奇数时，，所以；当为偶数时，，所以．综上，的取值范围为，D正确．
12．0.3 ．
13． 因为数列是以4为首项，3为公差的等差数列，数列是以1首项，2为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以7为首项，6为公差的等差数列，所以的前项和为．
14．1 设切点为．因为，
所以切线方程为．
又点在切线上，所以，解得，故过点可作1条切线与曲线相切．
15．解：（1）由题可知，
令，则，解得．
因为，所以．
（2）由（1）可知，，则所求的切线方程为，即，
所以该切线与坐标轴的交点为和，
则所求三角形的面积为．
16．解：（1）完善列联表，如下：
数学成绩总评优秀的人数 数学成绩总评非优秀的人数 合计
每天都整理数学错题的人数 90 10 100
不是每天都整理数学错题的人数 60 40 100
合计 150 50 200
由题可知，
所以有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关．
（2）由分层随机抽样可知，抽取的5名学生中有2名数学成绩总评非优秀．
所有可能的取值为0，1，2，
知，，，
所以的分布列为
0 1 2
故．
17．解：（1）设等差数列的公差为．
由，可得，
两式相减可得，
所以，即．
当时，，解得，
所以，故的通项公式为．
（2），
．
由，可得，解得，故整数的最小值为99．
18．解：（1）甲答对题目的概率为．
（2）乙答对题目的概率为．
记“第次答题的人是甲”为事件，“第次答题的人是乙”为事件，
所以
．
（3）设，依题可知，，
则
即．
设，解得，则．
又，，所以是首项为，公比为的等比数列，
即，．
19．（1）证明：由，
得，
即．因为，所以，
所以，，
故是首项为42，公比为7的等比数列．
（2）证明：由（1）得
，
所以．
整数的所有正约数为，，，…，，共个，则．
故，为定值．
（3）解：①设公差为，则，
则，
，
，
则
，
所以．
②假设存在正整数，，使得成立．
由，得．
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，，此时，不符合题意．
故所有的正整数对为和．