山东省临沂市2024-2025学年高二下学期期中数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 山东省临沂市2024-2025学年高二下学期期中数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 690.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-08 20:14:24 | ||
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文档简介
山东省临沂市2024 2025学年高二下学期期中数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．如果物体的运动函数为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（ ）
A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒
2．从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是（ ）
A． B． C． D．
3．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则（ ）
A． B． C． D．
4．二项式展开式中，系数最大值为（ ）
A．280 B．448 C．560 D．672
5．某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（ ）（附：，）
A． B． C． D．
6．随机变量的可能取值为、、，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数是孪生素数，则（ ）
A． B． C． D．
8．对任意，不等式恒成立，则正数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中（ ）
A．都是合格品的抽法种数为
B．恰有件不合格品的抽法种数为
C．至少有件不合格品的抽法种数为
D．至多有件不合格品的抽法种数为
10．已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（ ）
A．在区间上是减函数 B．在区间上是增函数
C．在时取极小值 D．在时取极小值
11．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A．2次传球后球在丙手上的概率是
B．3次传球后球在乙手上的概率是
C．3次传球后球在甲手上的概率是
D．n次传球后球在甲手上的概率是
三、填空题（本大题共3小题）
12．设随机变量服从正态分布，若，则 .
13．已知函数，则 .
14．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将三个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.按照游戏规则当抽奖人选择了一个箱子后，主持人会打开了另外两个箱子中的一个空箱子，主持人只打开抽奖人选择之外的空箱子，当两个都是空箱子时，他随机选择其中一个打开.这时，主持人会给抽奖人一次重新选择的机会，抽奖人可以重新选择，也可以坚持原来的选择.甲、乙两人先后参加抽奖游戏，甲在抽奖过程中，当主持人给重新选择的机会时，甲重新选择了另一个箱子，乙在抽奖过程中，主持人给重新选择的机会时，乙坚持原来的选择.那么甲、乙两人都获得奖品的概率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为.
（1）求的值；
（2）求展开式中项的系数.
16．在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人.
（1）求这个人患流感的概率；
（2）如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率.
17．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对，恒成立，求的取值范围．
18．某高中学校在一次高二数学监测后，为了解本次监测的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于130分为优秀.
（1）从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于90分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；
（2）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列与数学期望.
19．已知函数.
（1）若时，曲线与直线相切，求实数的值；
（2）若是的极值点，函数有且仅有一个零点，设和为两个不相等的正数，且满足.
①求的取值范围；
②求证：.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由导数的概念可得，
因此，物体在秒末的瞬时速度是米／秒.
故选D.
2．【答案】C
【详解】从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是种.
故选C.
3．【答案】A
【分析】用列举法列出事件，包含的基本事件，再由条件概率的概率公式计算可得；
【详解】依题意事件包括的基本事件为{正，正}、{正，反}，包括的基本事件为{正，反}，所以，
故选A．
4．【答案】C
【详解】展开式通项公式为，且为整数，
要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项，
则第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，第7项的系数为，
故二项式展开式中，系数最大值为.
故选C
5．【答案】B
【详解】由题意可得，，则，
所以，
，
因为，故小明属于等级.
故选B.
6．【答案】C
【详解】设，，
则，，解得，，
故.
故选C.
7．【答案】B
【详解】不超过的自然数有个，其中素数有共个，
孪生素数有和，和，和，和，共组，
所以，，
所以.
故选B.
8．【答案】A
【详解】对任意的，不等式恒成立，则，可得，
，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，
由可得，则，
故对任意的，，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，故，解得，
即正实数的最大值为.
故选A.
9．【答案】BCD
【详解】某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中，
对于A选项，都是合格品的抽法种数为，A错；
对于B选项，恰有件不合格品的抽法种数为，B对；
对于C选项，至少有件不合格品即为：件不合格品件合格品、件不合格品件合格品，
抽法种数为，C对；
对于D选项，至多有件不合格品，其反面是件合格品，抽法种数为，D对.
故选BCD.
10．【答案】AD
【详解】结合图象可知，当时，，当时，，
当时，，
，因，
故当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
故在时取极大值，在时取极小值.
故选AD.
11．【答案】ACD
【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC；n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可判断D.
【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙， 1个结果，所以概率是，故A正确；
第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为:甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B错误；
3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C正确；
n次传球后球在甲手上的事件记为，则有，
令，则于是得，
故，则，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以即，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】因为随机变量服从正态分布，若，
则，解得.
13．【答案】
【详解】因为，则，
因此，.
14．【答案】
【详解】首先，甲、乙获奖是相互独立的，设甲获得奖品为事件，乙获得奖品为事件，甲、乙都获得奖品为事件，则：.
对甲：当甲第一次抽奖抽到无奖品的箱子（概率为）时，重新选择必定中奖，所以,
对乙：乙因为没有重新选择，所以乙只有在第一次选择时，选中有奖品的箱子，才能获得奖品，所以.
所以.
15．【答案】（1）；（2）180.
【详解】（1）由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为，可得，
化简可得，求得.
（2）由于二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中项的系数为.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区，
记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区，
则，且、、彼此互斥，
由题意可得，，，
，，，
由全概率公式可得
.
（2）由条件概率公式可得.
17．【答案】（1）答案见解析
（2）
【详解】（1）定义域为，，
当时，令，得或，令，得，
函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，令，得或，令，得，
函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，恒成立，函数在单调递增.
综上可知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，函数的单调递增区间是，无减区间.
（2）若函数，对恒成立，
即对恒成立，
令，则，
当时，当时，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，所以，
即实数的取值范围为.
18．【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【详解】（1）依题意，得，
解得，
则不低于90分的人数为，
成绩在内的，即优秀的人数为；
故这名学生成绩是优秀的概率为.
（2）成纱在内的有人；
成缆在内的有人；
成绩在内的有20人；
故采用等比例分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人，
在内的有5人，在内的有2人，
所以由题意可知，的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以的分布列为：
0 1 2
故.
19．【答案】（1）1
（2）①或；②证明见解析
【详解】（1）当时，，
设切点坐标为，
又，切线方程为，
又切线过点，
所以，整理得，
易知在上单调递增，且当时，，
所以当且仅当时成立，
所以，即所求实数的值为1
（2）①，
因为是的极值点，所以，解得，
经检验符合题意，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，且，当时，，
作出函数的大致图象，如图所示，
函数有一个零点，即函数的图象有一个交点，
由图可知或，所以或；
②证明：当时，，
由，不妨设，
又，结合①，则，
要证，由，得，
即证，
令，则，
故在区间内单调递增，
所以，故，即，
综上.
一、单选题（本大题共8小题）
1．如果物体的运动函数为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（ ）
A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒
2．从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是（ ）
A． B． C． D．
3．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则（ ）
A． B． C． D．
4．二项式展开式中，系数最大值为（ ）
A．280 B．448 C．560 D．672
5．某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（ ）（附：，）
A． B． C． D．
6．随机变量的可能取值为、、，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数是孪生素数，则（ ）
A． B． C． D．
8．对任意，不等式恒成立，则正数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中（ ）
A．都是合格品的抽法种数为
B．恰有件不合格品的抽法种数为
C．至少有件不合格品的抽法种数为
D．至多有件不合格品的抽法种数为
10．已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（ ）
A．在区间上是减函数 B．在区间上是增函数
C．在时取极小值 D．在时取极小值
11．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A．2次传球后球在丙手上的概率是
B．3次传球后球在乙手上的概率是
C．3次传球后球在甲手上的概率是
D．n次传球后球在甲手上的概率是
三、填空题（本大题共3小题）
12．设随机变量服从正态分布，若，则 .
13．已知函数，则 .
14．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3的三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将三个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.按照游戏规则当抽奖人选择了一个箱子后，主持人会打开了另外两个箱子中的一个空箱子，主持人只打开抽奖人选择之外的空箱子，当两个都是空箱子时，他随机选择其中一个打开.这时，主持人会给抽奖人一次重新选择的机会，抽奖人可以重新选择，也可以坚持原来的选择.甲、乙两人先后参加抽奖游戏，甲在抽奖过程中，当主持人给重新选择的机会时，甲重新选择了另一个箱子，乙在抽奖过程中，主持人给重新选择的机会时，乙坚持原来的选择.那么甲、乙两人都获得奖品的概率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为.
（1）求的值；
（2）求展开式中项的系数.
16．在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人.
（1）求这个人患流感的概率；
（2）如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率.
17．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对，恒成立，求的取值范围．
18．某高中学校在一次高二数学监测后，为了解本次监测的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于130分为优秀.
（1）从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于90分，问这名学生数学成绩为优秀的概率；
（2）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列与数学期望.
19．已知函数.
（1）若时，曲线与直线相切，求实数的值；
（2）若是的极值点，函数有且仅有一个零点，设和为两个不相等的正数，且满足.
①求的取值范围；
②求证：.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由导数的概念可得，
因此，物体在秒末的瞬时速度是米／秒.
故选D.
2．【答案】C
【详解】从件不同的礼物中选出件送给位同学，不同的送法种数是种.
故选C.
3．【答案】A
【分析】用列举法列出事件，包含的基本事件，再由条件概率的概率公式计算可得；
【详解】依题意事件包括的基本事件为{正，正}、{正，反}，包括的基本事件为{正，反}，所以，
故选A．
4．【答案】C
【详解】展开式通项公式为，且为整数，
要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项，
则第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，第7项的系数为，
故二项式展开式中，系数最大值为.
故选C
5．【答案】B
【详解】由题意可得，，则，
所以，
，
因为，故小明属于等级.
故选B.
6．【答案】C
【详解】设，，
则，，解得，，
故.
故选C.
7．【答案】B
【详解】不超过的自然数有个，其中素数有共个，
孪生素数有和，和，和，和，共组，
所以，，
所以.
故选B.
8．【答案】A
【详解】对任意的，不等式恒成立，则，可得，
，
令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，
由可得，则，
故对任意的，，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，故，解得，
即正实数的最大值为.
故选A.
9．【答案】BCD
【详解】某工厂生产的个零件中，有件合格品，件不合格品，从这个零件中任意抽出件，则抽出的个零件中，
对于A选项，都是合格品的抽法种数为，A错；
对于B选项，恰有件不合格品的抽法种数为，B对；
对于C选项，至少有件不合格品即为：件不合格品件合格品、件不合格品件合格品，
抽法种数为，C对；
对于D选项，至多有件不合格品，其反面是件合格品，抽法种数为，D对.
故选BCD.
10．【答案】AD
【详解】结合图象可知，当时，，当时，，
当时，，
，因，
故当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
故在时取极大值，在时取极小值.
故选AD.
11．【答案】ACD
【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC；n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可判断D.
【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙， 1个结果，所以概率是，故A正确；
第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为:甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B错误；
3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C正确；
n次传球后球在甲手上的事件记为，则有，
令，则于是得，
故，则，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以即，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】因为随机变量服从正态分布，若，
则，解得.
13．【答案】
【详解】因为，则，
因此，.
14．【答案】
【详解】首先，甲、乙获奖是相互独立的，设甲获得奖品为事件，乙获得奖品为事件，甲、乙都获得奖品为事件，则：.
对甲：当甲第一次抽奖抽到无奖品的箱子（概率为）时，重新选择必定中奖，所以,
对乙：乙因为没有重新选择，所以乙只有在第一次选择时，选中有奖品的箱子，才能获得奖品，所以.
所以.
15．【答案】（1）；（2）180.
【详解】（1）由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为，可得，
化简可得，求得.
（2）由于二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中项的系数为.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区，
记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区，
则，且、、彼此互斥，
由题意可得，，，
，，，
由全概率公式可得
.
（2）由条件概率公式可得.
17．【答案】（1）答案见解析
（2）
【详解】（1）定义域为，，
当时，令，得或，令，得，
函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，令，得或，令，得，
函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，恒成立，函数在单调递增.
综上可知，当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，函数的单调递增区间是，无减区间.
（2）若函数，对恒成立，
即对恒成立，
令，则，
当时，当时，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，所以，
即实数的取值范围为.
18．【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【详解】（1）依题意，得，
解得，
则不低于90分的人数为，
成绩在内的，即优秀的人数为；
故这名学生成绩是优秀的概率为.
（2）成纱在内的有人；
成缆在内的有人；
成绩在内的有20人；
故采用等比例分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人，
在内的有5人，在内的有2人，
所以由题意可知，的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以的分布列为：
0 1 2
故.
19．【答案】（1）1
（2）①或；②证明见解析
【详解】（1）当时，，
设切点坐标为，
又，切线方程为，
又切线过点，
所以，整理得，
易知在上单调递增，且当时，，
所以当且仅当时成立，
所以，即所求实数的值为1
（2）①，
因为是的极值点，所以，解得，
经检验符合题意，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，且，当时，，
作出函数的大致图象，如图所示，
函数有一个零点，即函数的图象有一个交点，
由图可知或，所以或；
②证明：当时，，
由，不妨设，
又，结合①，则，
要证，由，得，
即证，
令，则，
故在区间内单调递增，
所以，故，即，
综上.
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