/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
浙江省2025年中考数学猜题卷
满分120分 时间120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．几种气体的液化温度（标准大气压）如表：
气体 氦气（He） 氢气（H） 氮气（N） 氧气（O）
液化温度（℃） ﹣269 ﹣253 ﹣196 ﹣183
其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气
2．如图，是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．2024年，国内某市生产总值（GDP）达到21860亿元，21860亿元用科学记数法可以表示为（ ）
A．2.1860×1012元 B．2.1860×1010元
C．2.1860×108元 D．2.1860×104元
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3 a2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a3）3＝a9
5．为积极适应智能时代发展趋势，响应国家“人工智能+”行动战略部署，某校开展了以“人工智能在教育场景中的融合应用”为主题的比赛，其中六位参赛选手成绩的众数92，其中五位参赛选手成绩分别为：87，90，92，88，93，则这组数据的中位数（ ）
A．88 B．90 C．91 D．92
6．如图， ABCD的对角线相交于点O，点E是AB的中点，连结OE．若∠AOE＝88°，则∠ACB的度数为（ ）
A．88° B．87° C．86° D．85°
7．反比例函数的图象上有P（x1，t），Q（x2，t+2）两点．下列正确的选项是（ ）
A．当t＞0时，x1＜x2＜0 B．当﹣2＜t＜0时，x1＜x2＜0
C．当﹣2＜t＜0时，0＜x1＜x2 D．当t＜﹣2时，0＜x2＜x1
8．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（ ）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（，3） D．（﹣3，2）
10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC2﹣BC2＝4，点E是边AB上的中点，连结CE，过点A作AD⊥CE交CE的延长线于点D，设AE长为x，DE长为y，则下列代数式的值不变的是（ ）
A．x2+y2 B．x2﹣y2 C．xy D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：3x2﹣6x＝ ．
12．有8张卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，7，8．这些卡片除数字外其余都相同，从中任意抽取一张，该卡片上的数是3的整数倍的概率是 ．
13．待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．锂是新能源时代的核心战略金属，锂和水反应的化学方程式为xLi+yH2O＝xLiOH+H2↑，其中x，y为常数，则x+y的值为 ．
14．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若DE＝25，AB＝10，则该圆的半径为 ．
15．如图，A是函数的图象上一点，过点A作AB∥x轴，AB交函数的图象于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积是2，则k的值是 ．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在边AD，BC上，且MN∥AB，当正方形FGCE的顶点F是MN的中点时，矩形ABNM与正方形FGCE的面积相等，则AM的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）下面是小亮解不等式的过程：
解：去分母，得3x+12﹣x+2＞4x+2①，
移项，得3x﹣x+4x＞2﹣2﹣12②，
合并同类项，得6x＞﹣12③，
系数化为1，得x＞﹣2④．
小亮的解答过程从哪一步开始错误？请写出正确的解答过程．
19．（8分）综合与实践
聪聪学习解直角三角形知识后，对光的折射进行了综合性的学习．查阅资料了解到，光从空气进入H液体，会发生折射，折射率，θ1表示入射角，θ2表示折射角．
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，测得水槽高度AC＝18cm，一束光线从A点按固定方向投射到底部的B点形成光斑，测得BC＝24cm．
第二步：向水槽注入H液体，液体高度CE＝12cm时，此时光斑因光线折射向左移动至点D，测得BD＝7cm．（其中O为入射点，直线MN为法线，AO为入射光线，OD为折射光线）
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求OE的长；
（2）求H液体的折射率n．
20．（8分）某班数学“综合与实践”小组为了解本校2000名学生的阅读时间，随机抽取部分学生进行了问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅统计图，根据统计图解答下列问题：
每周阅读时间的调查表 以下问题为单选题，根据实际情况填写． 问题：他每周阅读的时间大的是 ． （A）10小时及以上 （B）8～10小时 （C）6～8小时 （D）0～6小时
（1）参与本次问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中m的值是 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该校2000名学生中，每周阅读时间在10小时及以上的人数．
21．（8分）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，E是CD上一点，且CE＝AB，∠D＝60°．求证：
（1）四边形ABCE是平行四边形；
（2）△AED是等边三角形．
22．（10分）已知甲、乙两地相距120千米，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段DE，线段OC分别表示小明、小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）求小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（2）当时间t（h）为何值时，都在行驶中的两人恰好相距20千米．
23．（10分）关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+6（b是常数）的图象经过点（1，7）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象经过M（x1，y1），N（x2，y2）
①当x2﹣x1＝2时，y1＝y2，求y1的值；
②若x2﹣x1≥2，0＜x2＜m，恒有y1≤y2，求m的取值范围．
24．（12分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AC，BD是对角线，CD＜BC，在CD的延长线上取一点E，使得CE＝BC，在AC的延长线上取一点F，连结EF，使得∠CFE＝∠BDC．
（1）若AC是圆的直径，∠CFE＝30°，求∠ACB．
（2）求证：①AB∥EF．
②AD＝EF．/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
浙江省2025年中考数学猜题卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．几种气体的液化温度（标准大气压）如表：
气体 氦气（He） 氢气（H） 氮气（N） 氧气（O）
液化温度（℃） ﹣269 ﹣253 ﹣196 ﹣183
其中液化温度最低的气体是（ ）
A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气
【分析】先将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度．
【解答】解：∵﹣269℃＜﹣253℃＜﹣196℃＜﹣183℃，
∴液化温度最低的气体是氦气．
故选：A．
2．如图，是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选：D．
3．2024年，国内某市生产总值（GDP）达到21860亿元，21860亿元用科学记数法可以表示为（ ）
A．2.1860×1012元 B．2.1860×1010元
C．2.1860×108元 D．2.1860×104元
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：21860亿＝2186000000000＝2.186×1012．
故选：A．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．a3 a2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a3）3＝a9
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故此选项不符合题意；
B、a3 a2＝a4，故此选项不符合题意；
C、a6÷a2＝a4，故此选项不符合题意；
D、（a3）3＝a9，故此选项符合题意；
故选：D．
5．为积极适应智能时代发展趋势，响应国家“人工智能+”行动战略部署，某校开展了以“人工智能在教育场景中的融合应用”为主题的比赛，其中六位参赛选手成绩的众数92，其中五位参赛选手成绩分别为：87，90，92，88，93，则这组数据的中位数（ ）
A．88 B．90 C．91 D．92
【分析】根据众数的概念得出第六个数，将这组数据从小到大排列后得出中位数．
【解答】解：∵六位参赛选手成绩的众数92，其中五位参赛选手成绩分别为：87，90，92，88，93，
∴这组数据的第六个数为92，
将这组数据从小到大排列为：87，88，90，92，92，93，
∴中位数为91，
故选：C．
6．如图， ABCD的对角线相交于点O，点E是AB的中点，连结OE．若∠AOE＝88°，则∠ACB的度数为（ ）
A．88° B．87° C．86° D．85°
【分析】根据平行四边形的性质求出OA＝OC，再根据三角形中位线的判定与性质、平行线的性质求解即可．
【解答】解：∵ ABCD的对角线相交于点O，
∴OA＝OC，
∵点E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
∴∠ACB＝∠AOE＝88°，
故选：A．
7．反比例函数的图象上有P（x1，t），Q（x2，t+2）两点．下列正确的选项是（ ）
A．当t＞0时，x1＜x2＜0 B．当﹣2＜t＜0时，x1＜x2＜0
C．当﹣2＜t＜0时，0＜x1＜x2 D．当t＜﹣2时，0＜x2＜x1
【分析】由k＝﹣1＜0可得反比例函数图象在第二四象限，根据选项一—分析即可．
【解答】解：由题意可知反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，
当t＞0时，则0＜t＜t+2，P（x1，t），Q（x2，t+2）两点在第二象限，
∴x1＜x2＜0，故选项A正确；
当﹣2＜t＜0时，则0＜t+2＜2，P（x1，t）在第四象限，Q（x2，t+2）在第二象限，
∴x2＜0＜x1，故选项B、C错误；
当t＜﹣2时，则t＜t+2＜0，P（x1，t）Q（x2，t+2）两点在第四象限，
∴0＜x1＜x2，故选项D错误．
故选：A．
8．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书可得出每个B型包装箱可以装书（x+15）本，利用数量＝总数÷每个包装箱可以装书数量，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵每个A型包装箱可以装书x本，每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书，
∴每个B型包装箱可以装书（x+15）本．
依题意得：6．
故选：C．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（ ）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（，3） D．（﹣3，2）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P（﹣6，9），
∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6，9），即（﹣3，），
故选：A．
10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC2﹣BC2＝4，点E是边AB上的中点，连结CE，过点A作AD⊥CE交CE的延长线于点D，设AE长为x，DE长为y，则下列代数式的值不变的是（ ）
A．x2+y2 B．x2﹣y2 C．xy D．
【分析】在Rt△ACB和Rt△ADC中，用x和y的式子表示AC2，化简即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，点E是边AB上的中点，AE＝x，
∴AB＝2AE＝2x，CEAB＝x，
在Rt△ACB中，由勾股定理得AC2+BC2＝AB2＝（2x）2，
∵AC2﹣BC2＝4，
∴AC2＝2x2+2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得AD2＝AE2﹣DE2，
∵AE＝x，DE＝y，
∴AD2＝x2﹣y2，
在Rt△ADC中，DC＝DE+CE＝x+y，
由勾股定理得AC2＝AD2+CD2，
∴AC2＝x2﹣y2+（x+y）2，
∴2x2+2＝x2﹣y2+（x+y）2，
整理得xy＝1，
∴代数式xy的值不变．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解：3x2﹣6x＝ 3x（x﹣2） ．
【分析】直接提取公因式3x进而分解因式即可．
【解答】解：3x2﹣6x＝3x（x﹣2）．
故答案为：3x（x﹣2）．
12．有8张卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，7，8．这些卡片除数字外其余都相同，从中任意抽取一张，该卡片上的数是3的整数倍的概率是 ．
【分析】用3的倍数的卡片数除以所有卡片数即可求得答案．
【解答】解：∵共8张卡片，其中是3的倍数的有3和6共2个，
∴从中任意抽取一张，该卡片上的数是3的整数倍的概率是，
故答案为：．
13．待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．锂是新能源时代的核心战略金属，锂和水反应的化学方程式为xLi+yH2O＝xLiOH+H2↑，其中x，y为常数，则x+y的值为 4 ．
【分析】根据在化学反应中，氢原子的个数相等得到2y＝x+2，再由锂原子的个数相等得到x＝y，即可建立二元一次方程组求解．
【解答】解：根据在化学反应中，氢原子的个数相等得到2y＝x+2，再由锂原子的个数相等得到x＝y可列方程组为：
，
解得，
∴x+y＝2+2＝4，
故答案为：4．
14．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若DE＝25，AB＝10，则该圆的半径为 13 ．
【分析】首先根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”可得，再在Rt△OAE中，利用勾股定理列式计算，即可获得答案．
【解答】解：设该圆的半径为x，
∵AB⊥CD，AB＝10，
∴，
∵DE＝25，
∴OE＝25﹣x，
∴在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2，
即x2＝（25﹣x）2+52，
解得x＝13，
故答案为：13．
15．如图，A是函数的图象上一点，过点A作AB∥x轴，AB交函数的图象于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积是2，则k的值是 3 ．
【分析】依据题意，设点A的坐标为，其中a＜0，又AB∥x轴，则点B的纵坐标与点A相同，故，代入（x＞0），从而B的横坐标为，可得点B的坐标为，又△ABC的顶点C在x轴上，可设其坐标为（c，0），故S△ABCAB h（﹣ak﹣a） （）＝2，则，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，设点A的坐标为，其中a＜0．
又∵AB∥x轴，
∴点B的纵坐标与点A相同．
∴，代入（x＞0），
∴B的横坐标为．
∴点B的坐标为．
又∵△ABC的顶点C在x轴上，可设其坐标为（c，0）．
∴S△ABCAB h（﹣ak﹣a） （）＝2．
∴．
∴k＝3．
故答案为：3．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在边AD，BC上，且MN∥AB，当正方形FGCE的顶点F是MN的中点时，矩形ABNM与正方形FGCE的面积相等，则AM的长为 8﹣2 ．
【分析】过点G作PQ⊥CD于点Q，交MN于点P，设PG＝x，证明△FPG≌△GQC（AAS），PG＝CQ＝x，GQ＝FP＝x+2，根据面积可得AB AM＝FG2，列方程即可解答．
【解答】解：过点G作PQ⊥CD于点Q，交MN于点P，
设PG＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∵AB∥MN，
∴CD∥MN，
∴PQ⊥MN，
∴∠P＝∠Q＝90°，
∴∠PFG+∠FGP＝90°，
∵四边形FGCE是正方形，
∴FG＝CG，∠FGC＝90°，
∴∠FGP+∠CGQ＝90°，
∴∠PFG＝∠CGQ，
∴△FPG≌△GQC（AAS），
∴PG＝CQ＝x，GQ＝FP＝x+2，
∴DM＝PQ＝2x+2，
∵AD＝4，
∴AM＝4﹣DM＝4﹣（2x+2）＝2﹣2x，
∵矩形ABNM与正方形FGCE的面积相等，
∴AB AM＝FG2，
∴4（2﹣2x）＝x2+（x+2）2，
∴x2+6x﹣2＝0，
∴（x+3）2＝11，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣3（舍），
∴AM＝2﹣2（﹣3）＝8﹣2，
则AM的长为8﹣2；
故答案为：8﹣2．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算：．
【分析】先根据绝对值、负整数指数幂、立方根的定义计算，再根据有理数加减法则计算即可．
【解答】解：
＝2+4+（﹣2）
＝4．
18．（8分）下面是小亮解不等式的过程：
解：去分母，得3x+12﹣x+2＞4x+2①，
移项，得3x﹣x+4x＞2﹣2﹣12②，
合并同类项，得6x＞﹣12③，
系数化为1，得x＞﹣2④．
小亮的解答过程从哪一步开始错误？请写出正确的解答过程．
【分析】解一元一次不等式的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，系数化为1需要注意不等号的方向是否需要改变．
【解答】解：∵4x从不等号的右边移到不等号的左边需要变号，小明没有变号，
∴小明的解答过程从第②步开始出现错误，
，
3x+12﹣x+2＞4x+2，
3x﹣x﹣4x＞2﹣2﹣12，
﹣2x＞﹣12，
x＜6．
19．（8分）综合与实践
聪聪学习解直角三角形知识后，对光的折射进行了综合性的学习．查阅资料了解到，光从空气进入H液体，会发生折射，折射率，θ1表示入射角，θ2表示折射角．
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，测得水槽高度AC＝18cm，一束光线从A点按固定方向投射到底部的B点形成光斑，测得BC＝24cm．
第二步：向水槽注入H液体，液体高度CE＝12cm时，此时光斑因光线折射向左移动至点D，测得BD＝7cm．（其中O为入射点，直线MN为法线，AO为入射光线，OD为折射光线）
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求OE的长；
（2）求H液体的折射率n．
【分析】（1）根据已知易得：AE＝6cm，再根据题意可得：EO∥BC，从而可得∠AEO＝∠ACB，∠AOE＝∠ABC，然后证明△AOE∽△ABC，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答；
（2）根据题意可得：AC∥MN，从而可得∠CAB＝θ1，再在Rt△AEO中，利用勾股定理求出AO的长，从而利用锐角三角函数的定义求出sinθ1的值，然后根据题意可得：四边形EONC是矩形，从而可得EC＝ON＝12cm，EO＝CA＝8cm，进而可得ND＝9cm，最后在Rt△OND中，利用勾股定理求出OD的长，从而利用锐角三角函数的定义求出sinθ2的值，再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AC＝18cm，CE＝12cm，
∴AE＝AC﹣CE＝18﹣12＝6（cm），
由题意得：EO∥BC，
∴∠AEO＝∠ACB，∠AOE＝∠ABC，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
解得：OE＝8，
∴OE的长为8cm；
（2）由题意得：AC∥MN，
∴∠CAB＝θ1，
在Rt△AEO中，AE＝6cm，OE＝8cm，
∴AO10（cm），
∴，
由题意得：四边形EONC是矩形，
∴EC＝ON＝12cm，EO＝CA＝8cm，
∵BC＝24cm，BD＝7cm，
∴ND＝BC﹣CN﹣BD＝24﹣8﹣7＝9cm，
在Rt△OND中，OD15（cm），
∴，
∴折射率．
20．（8分）某班数学“综合与实践”小组为了解本校2000名学生的阅读时间，随机抽取部分学生进行了问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅统计图，根据统计图解答下列问题：
每周阅读时间的调查表 以下问题为单选题，根据实际情况填写． 问题：他每周阅读的时间大的是 C ． （A）10小时及以上 （B）8～10小时 （C）6～8小时 （D）0～6小时
（1）参与本次问卷调查的学生共有 200 人，扇形统计图中m的值是 25 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）根据抽样调查结果，请你估计该校2000名学生中，每周阅读时间在10小时及以上的人数．
【分析】（1）用D类的学生人数除以它所占的百分比即可得到样本容量；再用B类人数除以样本容量可得m的值；
（2）用样本容量分别减去其它三组的人数，可得C类人数，然后补全条形统计图；
（3）利用样本估计总体可得答案；
【解答】解：（1）参与本次问卷调查的学生共有：60÷30%＝200（人），
m%＝50÷200＝25%，即m＝25．
故答案为：200，25；
（2）C类人数为：200﹣10﹣50﹣60＝80（人），
补全条形统计图如下：
（3）2000100%＝100（人），
∴估计该校2000名学生中，每周阅读时间在10小时及以上的有100人．
21．（8分）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，E是CD上一点，且CE＝AB，∠D＝60°．求证：
（1）四边形ABCE是平行四边形；
（2）△AED是等边三角形．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理证明；
（2）根据平行四边形的性质得到AE＝BC，等量代换得到AD＝AE，再根据等边三角形的判定证明．
【解答】证明：（1）∵AB∥CE，CE＝AB，
∴四边形ABCE为平行四边形；
（2）由（1）可知：四边形ABCE为平行四边形，
∴AE＝BC，
∵AD＝BC，
∴AD＝AE，
∵∠D＝60°，
∴△AED是等边三角形．
22．（10分）已知甲、乙两地相距120千米，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段DE，线段OC分别表示小明、小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：
（1）求小红离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数表达式；
（2）当时间t（h）为何值时，都在行驶中的两人恰好相距20千米．
【分析】（1）依据题意，设OC为S＝kt，又过点（3，80），求出k后即可判断得解；
（2）依据题意，设小明的路程为S'＝kt+b（k≠0，k，b为常数），把 （1，0），（3，120）代入得则从而S＝60t﹣60，进而分相遇前和相遇后列式计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意，设OC为S＝kt，
又过点（3，80），
∴80＝3k．
∴k．
∴．
（2）由题意，设小明的路程为S'＝kt+b（k≠0，k，b为常数），把 （1，0），（3，120）代入得
∴
∴S＝60t﹣60．
∴相遇前，，解得；相遇后，，解得．
∴小红出发1.2h或2.4h后两人相距20km，即当 t＝1.2或2.4h时，都在行驶中两人恰好相距 20km．
23．（10分）关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+6（b是常数）的图象经过点（1，7）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若二次函数的图象经过M（x1，y1），N（x2，y2）
①当x2﹣x1＝2时，y1＝y2，求y1的值；
②若x2﹣x1≥2，0＜x2＜m，恒有y1≤y2，求m的取值范围．
【分析】（1）依据题意，将（1，7）代入y＝﹣x2+bx+6待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①依据题意，根据抛物线的对称轴为直线x＝1，x2﹣x1＝2，可得x1＝0代入解析式，即可求解；
②依据题意，分m≤1和m＞1两种情况，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）由题意，将（1，7）代入y＝﹣x2+bx+6得，﹣1+b+6＝7，
∴b＝2．
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+6；
（2）①由题意可得，y＝﹣x2+2x+6的对称轴为直线x＝1，
∵当x2﹣x1＝2时，y1＝y2．
∴．
∴当x1＝0时，y1＝6．
②由题意，∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当0＜m≤1时，此时y1≤y2恒成立；当m＞1时，1﹣（m﹣2）≥m﹣1，解得；m≤2．
综上所述，0＜m≤2时，恒有y1≤y2．
24．（12分）如图，在圆内接四边形ABCD中，AC，BD是对角线，CD＜BC，在CD的延长线上取一点E，使得CE＝BC，在AC的延长线上取一点F，连结EF，使得∠CFE＝∠BDC．
（1）若AC是圆的直径，∠CFE＝30°，求∠ACB．
（2）求证：①AB∥EF．
②AD＝EF．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，∠CAB＝∠BDC，求出∠CAB＝30°，进而求出∠ACB；
（2）①根据平行线的判定证明；
②在上取一点P，使AP＝BC，证明△ECF≌△APD，根据全等三角形的性质证明即可．
【解答】（1）解：∵AC是圆的直径，
∴∠ABC＝90°，
由圆周角定理得：∠CAB＝∠BDC，
∵∠BDC＝∠CFE＝30°，
∴∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°；
（2）证明：①∵∠CFE＝∠BDC，∠BDC＝∠CAB，
∴∠BAC＝∠CFE，
∴AB∥EF；
②如图，在上取一点P，使AP＝BC，
则，
∴∠ADP＝∠BDC，
∴∠ADP＝∠CFE，
∵∠APD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠ECF＝180°，
∴∠APD＝∠ECF，
∵CE＝BC，BC＝AP，
∴AP＝EC，
在△ECF和△APD中，
，
∴△ECF≌△APD（AAS），
∴EF＝AD．
