山西省大同市浑源县第七中学校2024-2025学年高二下学期第三次月考数学试题（含解析）

2024－2025 学年第二学期高二年级第三次月考数学试题
试题满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、单选题
1.已知播种用的盘锦水稻种子中混有 60%的盐丰 47 种子，40%的辽盐 2 号种子，盐丰 47 种子的结实率
为 85%，辽盐 2 号种子的结实率为 90%.现从这批种子所长出的穗中随机抽取一穗这一穗结实的概率为
（ ）
A. 0.86 B. 0.87 C. 0.88 D. 0.89
2.下表是离散型随机变量 的概率分布，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知 ，则 可能取值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
4.下列说法正确的有（ ）
A. 设随机变量 X 服从二项分布 ，则
B. 若 X 是随机变量，则 E（2X＋1）＝2E（X）＋1，D（2X＋1）＝4D（X）＋1
C. 已知随机变量ξ~N（0，1），若 P（ξ＞1）＝p，则 P（ξ＞－1）＝1－2p
D. 设随机变量ξ表示发生概率为 p 的事件在一次随机试验中发生的次数，
5.对任意实数 ，有 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 22 D. 30
6.袜子由袜口 袜筒 脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部
分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（ ）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
7.在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知甲在每局比赛
中获胜的概率均为 ，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五
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局的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.如果 不是等差数列，但若 ，使得 ，那么称 为“局部等差”数列．已知
数 列 的 项 数 为 4， 其 中 ， ， 2， 3， 4， 记 事 件 ： 集 合
；事件 ： 为“局部等差”数列，则 （ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9.某手机商城统计的 2024 年 5 个月手机的销量 （万部）如下表所示：
根据表中数据用最小二乘法得到的 关于月份编号 的回归直线方程为 ，则（ ）
A. B. 与 正相关
C. 当月份编号 增加 1 时，销量增加 0.5 万部
D. 预测 2025 年 2 月份该手机商城的销量约为 4 万部
10.关于 的展开式的说法中正确的是（ ）
A. 各项的系数之和为 B. 二项式系数的和为 64
C. 展开式中无常数项 D. 第 4 项的系数最大
11.一袋中装有 10 个大小相同 小球，其中 6 个黑球，编号为 1，2，3，4，5，6，4 个白球，编号为 7，
8，9，10，下列结论中正确的是（ ）
A. 若有放回地摸取 4 个球，则取出的球中白球个数 X 服从二项分布
B. 若一次性地摸取 4 个球，则取出的球中白球个数 Y 服从超几何分布
C. 若一次性地取 4 个球，则取到 2 个白球的概率为
D. 若一次性地摸取 4 个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为
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三、填空题
12. 的展开式中， 项的系数为_____.
13.已知变量 y 关于 x 的回归方程为 ，若对 两边取自然对数，可以发现 与 x 线性
相关，现有一组数据如下表所示：
则当 时，预测 y 的值为____________．
14.某校高三年级举行演讲比赛，共有 5 名选手参加.若这 5 名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定
上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________.
四、解答题
15.据统计，某市一家新能源企业 2022 年近 5 个月的产值如下表：
（1）根据上表数据，计算 y 与 x 间的线性相关系数 r，并说明 y 与 x 的线性相关性的强弱；（结果保留
两位小数，若 ，则认为 y 与 x 线性相关性很强；若 ，则认为 y 与 x 线性相关性不强.）
（2）求出 y 关于 x 的线性回归方程，并预测该企业什么时候的产值为 67.6 亿元.
参考公式： ， ， .
参考数据： ， ， ， ， .
16.2023 年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，
现从高三 12 个班级每个班随机抽取 10 名同学进行问卷，统计数据如下表：
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（1）求 x 的值；
（2）依据上表，判断是否有 99.9%的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关；
（3）学校在成绩 200 名以前 学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取 6 人，再
从这 6 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中课余学习时间超过两小时的学生人数为 X，求 X 的分布列和数学
期望．
附：参考公式： ，其中 ．
17.甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率时 ，乙每次击中目标的概率 ，假设两人射
击是否击中目标．相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．
（1）求甲至少有 1 次未击中目标的概率；
（2）记甲击中目标的次数为 ，求 的概率分布列；
（3）求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率．
18.非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．瑞昌
剪纸于 2008 年列入第二批国家级非物质文化遗产名录．由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文
化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放．为了弘
扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行 5 轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规
则如下：每一轮比赛中，参赛者在 30 分钟内完成规定作品和创意作品各 2 幅，若有不少于 3 幅作品入
选，将获得“巧手奖”．5 轮比赛中，至少获得 4 次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训
练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各 5 幅，其中有 4 幅规定作品和 3 幅创意作品
符合入选标准．
（1）从这 10 幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各 2 幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧
手奖”的概率；
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（2）以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进
行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了 ，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试
预测该同学能否进入决赛？
19.数列 满足 .设事件 表示 ，事件 表示 .已知事件 与 是对立事
件，且 ， ，于是 是一个随机变量.
（1）直接写出 的所有可能的取值；
（2）若 ，求 与 ；
（3）若 ，求 的最小值.
高二数学答案
一、单选题
1.【答案】B
【解析】设事件 为“抽取的一穗结实”，事件 为“抽到盐丰 种子” ，事件 为“抽到辽盐 号种子”.
已知 ， ， ， .
则 .
2.【答案】B
【解析】根据离散型随机变量概率分布的性质，所有概率之和为 .
即 ，
通分计算可得 ，即 ，解得 .
，已知 ， ，则 .
所以 .
3.【答案】D
【解析】因为 ，由组合数性质可知 或 ，解得 ,
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经检验符合条件.
故选：D.
4.【答案】D
【解析】选项 A：因为 ，所以 ，故 A 错误；
选项 B：若 是随机变量，则 ，故 B 错误；
选项 C：因为随机变量ξ~N（0，1），所以 ，
则 ，故 C 错误；
选项 D：因为随机变量 的可能取值为 和 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 取等号，故 D 正确.
故选：D.
5.【答案】B
【解析】因为 ，
所以 分别表示展开式中的常数项和含 项的系数和，
即 ，
故选：B．
6.【答案】C
【解析】当袜口和脚趾颜色相同时：从 种颜色中选 种给袜口（脚趾），有 种选法；
从剩下 种颜色中选 种给袜筒，有 种选法.
根据分步乘法计数原理，此时有 种.
当袜口和脚趾颜色不同时：从 种颜色中选 种给袜口，有 种选法；
从剩下 种颜色中选 种给脚趾，有 种选法；
再从剩下 种颜色中选 种给袜筒，有 种选法.
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根据分步乘法计数原理，此时有 种.
综上，共有 种.
所以答案选 C.
7.【答案】A
【解析】设甲获得冠军为事件 ，比赛进行了五局为事件 .
比赛三局甲夺冠：每局甲获胜概率为 ，则 .
比 赛 四 局 甲 夺 冠 ： 甲 前 三 局 胜 两 局 ， 第 四 局 胜 ， 根 据 组 合 数 公 式 ，
.
比赛五局甲夺冠：甲前四局胜两局，第五局胜， .
甲获得冠军的概率 .
比赛进行五局且甲获得冠军的概率 .
根据条件概率公式 ，可得 .
8.【答案】C
【解析】由题意可知，事件 共有 个基本事件，
事件 ，分类枚举：
其中含 1，2，3 的“局部等差”数列的分别为 1，2，3，5 和 5，1，2，3 和 4，1，2，3 共 3 个，含 3，2，
1 的“局部等差”数列的和前三种对应，也是 3 个，共 6 个；
含 3，4，5 的和含 5，4，3 的与上述类似，也是 6 个；
含 2，3，4 的是 5，2，3，4 和 2，3，4，1 共 2 个；含 4，3，2 的同样也是 2 个；
含 1，3，5 的是 1，3，5，2 和 2，1，3，5 和 4，1，3，5 和 1，3，5，4 共 4 个；
含 5，3，1 的同样也是 4 个，
所以事件 共有 24 个基本事件，
因此 ．
故选：C.
二、多选题
9.【答案】AB
【解析】已知 ，回归直线方程为 ，则 .
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由 ，可得 ，解得 ，A 正确.
回归直线方程 中 系数 ，所以 与 正相关，B 正确.
回归直线方程中 系数 是平均变化情况，不是说月份编号 增加 时，销量一定增加 万部，C 错误.
2025 年 2 月份对应 ，代入回归直线方程 万部，D 错误.
综上，答案选 AB.
10.【答案】AC
【解析】选项 A，对于 ，令 ，则 ，即各项系数之和为 ，A
正确.
选项 B，二项式系数的和为 ，此式中 ，所以二项式系数和为 ，B 错误.
选项 C， 展开式的通项公式 .
令 ，得 ， 应为整数，所以展开式中无常数项，C 正确.
选项 D，通项公式中系数为 ，分别计算：
时，系数为 ； 时，系数为 ； 时，系数为
； 时 ， 系 数 为 ； 时 ， 系 数 为 ； 时 ， 系 数 为
.
可知第 项系数最大，不是第 项，D 错误.
综上，答案选 AC.
11.【答案】ABD
【解析】对于选项 A，有放回的摸取 4 个球显然服从二项分布，故选项 A 正确；
对于选项 B，一次性地摸取 4 个球服从超几何分布，故选项 B 正确；
对于选项 C，结合选项 B，则取到 2 个白球的概率为 ，故选项 C 错误；
对于选项 D，结合选项 B，取出的白球为 3 和 4，故 ，故
选项 D 正确.
故选：ABD.
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三、填空题
12.【答案】
【解析】 展开式通项为 ， .
.
对于 ，令 ，得该项中含 的项为 .
对于 ，令 ，得该项中含 的项为 .
合并同类项， .
所以 项的系数为 .
13.【答案】
【解析】对 两边取对数，得 ，令 ，则 ．列表分析数据如下：
， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ， ．
则 时，有 ．
14.【答案】
【解析】 名选手进行全排列，那么总排列情况数为 种，
先排丙、丁、戊三位选手，有 种.
丙、丁、戊三位选手排好后会产生 个空位（包括两端），从这 个空位中选 个空位安排甲、乙，其排
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列情况数为 种.
根据分步乘法计数原理，所以甲、乙不相邻的情况数为 种.
根据古典概型概率公式为 ，其中 表示事件 发生的概率， 表示事件 包含的基本事件
个数， 表示基本事件的总数.设“甲、乙两位选手上场顺序不相邻”为事件 ，由前面计算可知 ，
，则 .
正确答案为
四、解答题
15.【答案】解：（1）由题意得 ，
由于 ， ， ， ，
则代入数据得 ，
则认为 y 与 x 线性相关性很强.
（2）由题意代入数据得 ，
因为回归方程过样本中心 ，所以 ，
则 y 关于 x 的线性回归方程为 .
当 时，解得 ，即 2023 年 5 月的产值为 67.6 亿元.
16.【答案】解：(1)由题意可得高三 12 个班级共抽取 120 名学生，
所以 ，解得 .
(2)假设 ：高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩无关，
利用列联表可得 ，
所以没有理由认为假设成立，
所以有 99.90/的把握认为高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关.
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(3)这 6 人中课余学习时间超过两小时的人数为 ，课余学习时间不超过两小时的人数为 2，
X 可能的取值为 1，2，3，
则 ； ； ．
所以 X 的分布列为：
．
17.【答案】解：（1）依题意，因为每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．
所以甲连续射击 3 次，至少 1 次未击中目标的概率为 ；
（2）依题意， 的可能取值为 0，1，2，3， ，
故 ， ，
， ，
所以 的概率分布列为：
（3）依题意，要使得甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率则甲击中目标 2 次且乙击中目标 0 次或者甲击
中目标 3 次且乙击中目标 1 次，
由（2）得，甲击中目标 2 次的概率为 ，击中目标 3 次的概率为 ；
同理乙击中目标 0 次的概率为 ，击中目标 1 次的概率为 ．
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所以甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为 ．，
18.【答案】解：（1）由题可知该同学获奖的所有可能的情况有：
①规定作品入选 1 幅，创意作品入选 2 幅，则有 种情况；
②规定作品入选 2 幅，创意作品入选 1 幅，则有 种情况；
③规定作品入选 2 幅，创意作品入选 2 幅，则有 种情况.
则该同学获奖的概率为 .
（2）设强化训练后，规定作品入选的概率为 ，创意作品入选的概率为 ，
则 ，
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：
，
因为 ，且 ，也即 ，即 ，
故可得： ， ，
，
所以 ，
令 ，则 在 上单调递减，
所以 ．
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因为该同学在 5 轮比赛中获得“巧手奖”的次数 ，
所以 ，故该同学没有希望进入决赛．
19.【答案】解：（1）已知 ，根据递推规则：
若 ，则 或 ；
若 ，则 或 .
所以 的可能取值为 .
（2）已知 ： 时， ；
时， ；
时， ；
时， .
则 的分布列为：
根据期望公式 ，可得 .
根 据 方 差 公 式 ， 可 得
.
（3）将 进行分解：
为使 最小，分析数列生成过程：
要得到 ，最小 ，前 项为 ；要得到 ，最小 ；要得到
，最小 ；要得到 ，最小 ；要得到 ，最小 .
当 时 ， 最 小 为 ； 当 时 ， 为
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.
综上，使得 的最小 .
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