上海市浦东新区2024-2025学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷（含解析）

上海市浦东新区2024 2025学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷
一、填空题（本大题共12小题）
1．经过点、的直线的斜率为 .
2．椭圆的长轴的长为 .
3．抛物线的焦点坐标为 .
4．双曲线的渐近线方程为 .
5．过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 .
6．直线与直线的距离为 .
7．若圆的方程为，则实数的取值范围为 .
8．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为 .
9．若直线与直线的夹角为，则实数的值为 .
10．已知关于的方程组无解，则实数的值为 .
11．若对任意的实数，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 .
12．江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示.若该花瓶的瓶身最小的直径是，瓶口和底面的直径都是，瓶高是，则该双曲线的标准方程是 .

二、单选题（本大题共4小题）
13．直线的倾斜角α的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
14．圆和与圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
15．若双曲线E:的左、右焦点分别为，点P在双曲线E上，且，则等于
A．1 B．13
C．1或13 D．15
16．已知方程所表示的曲线为，则下列四个结论中正确的个数是（ ）
（1）当时，曲线表示一条直线
（2）当时，曲线表示椭圆
（3）存在实数，使得曲线为等轴双曲线
（4）存在实数，使得曲线为抛物线
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共5小题）
17．已知在中，，，点是此三角形的重心.
(1)求边所在直线的一般式方程；
(2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程.
18．过圆外一点任意作一条割线交圆于、两点.
(1)若割线的方程为，求的值；
(2)求弦的中点的轨迹.
19．已知抛物线的准线方程为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线与抛物线交于、两点，若，求的值.
20．已知双曲线.
(1)若双曲线的离心率为，求的值；
(2)若直线与圆相切，证明：直线与双曲线的左右两支各有一个公共点.
21．已知椭圆的左右两个焦点分别为、，是该椭圆的短轴，且，三角形的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点是椭圆上任意一点，求的最值.
参考答案
1．【答案】
【详解】经过点、的直线的斜率为.
2．【答案】
【详解】在椭圆中，，故该椭圆的长轴长为.
3．【答案】
【详解】解：由抛物线方程知，抛物线的焦点在上，
由，得，
所以焦点坐标为.
4．【答案】
【详解】在双曲线中，，，故该双曲线的渐近线方程为.
5．【答案】
【详解】由，可知其斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线方程为：
，
即.
6．【答案】/
【详解】直线的方程可化为，由题意可知，，
所以，直线与直线的距离为.
7．【答案】
【详解】因为圆的方程为，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
8．【答案】1
【详解】双曲线，则，所以双曲线的焦点在轴上，
所以，又，故解得．
9．【答案】
【详解】直线的斜率为，倾斜角为，
因为直线与直线的夹角为，
所以直线的倾斜角为或，
若直线的倾斜角为，则不存在；
若直线的倾斜角为，则.
综上所述，.
10．【答案】
【详解】方程组无解，
等价于直线与直线平行，
可得：，
解得：或，
当时，直线方程分别为：和重合舍去，
当时，直线方程分别为：和，平行，
故.
11．【答案】
【详解】直线方程可化为，则该直线过定点，
因为直线与椭圆恒有公共点，则点在椭圆上或椭圆内，
所以，解得且.
因此，实数的取值范围是.
12．【答案】
【详解】以双曲线最小口径所在直线为轴，轴与该双曲线两交点连线线段的中点为原点建立如下图所示的平面直角坐标系，

由题意可知，该双曲线的焦点在轴，且其实轴长为，点上该双曲线上，
设双曲线的标准方程为，
由题意可得，解得，因此，该双曲线的标准方程为.
13．【答案】B
【详解】直线的倾斜角α的取值范围是．
故选B．
14．【答案】B
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
因为，所以，
故圆与圆相交.
故选B.
15．【答案】B
【详解】由题意得,,，
而,解得或，
因为,所以点在双曲线的左支上，
所以.选B．
16．【答案】A
【详解】对于（1），当时，曲线方程为，即或，此时曲线表示两条直线，（1）错；
对于（2），当时，曲线的方程可化为，
若曲线表示圆，则，解得且，（2）错；
对于（3），当时，曲线的方程可化为，曲线表示双曲线，
若曲线为等轴双曲线，则，解得，（3）对；
对于（4），由上可知，当时，曲线表示两条直线，
当时，曲线表示椭圆或圆，
当时，曲线表示双曲线，
综上所述，不存在实数，使得曲线为抛物线，（4）错.
因此，正确的命题个数为.
故选A.
17．【答案】(1)
(2)或.
【详解】（1）设交于，则为的中点，设，
因为点是三角形的重心，
所以，所以，
所以，，
所以，
所以 ，
故，解得.
边所在直线的方程为，即.
（2）当在轴、轴上的截距为0时，易知直线方程为：，
当截距不为0时，
设直线方程为：，因为点在直线上，
所以，可得，
即直线方程为：；
综上所述：直线方程为或.
18．【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）圆的圆心为原点，半径为，
圆心到直线的距离为，所以.
（2）设点，当直线不过原点时，连接，则，
且，，
由题意可得，化简得，
当直线过原点时，点与点重合，此时点的坐标也满足方程，
所以点的轨迹是点为圆心，半径为，且位于圆内的一段弧.
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）抛物线的准线方程为，所以，即，
因此，抛物线的标准方程为.
（2）设点、，由对称性，不妨设点在第一象限，
由抛物线的定义可得，可得，则，可得，
所以点，易知点，
所以直线的斜率为，则直线的方程为，
联立可得，解得，，
所以.
20．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可得，因为，解得.
（2）因为直线与圆相切，所以，可得，
联立得，即，
则，所以方程有两个不等的实根，
设这两个实根分别为、，则，
因此，直线与双曲线的左右两支各有一个公共点.
21．【答案】(1)
(2)最小值为，最大值为
【详解】（1）由题意可知，且，
所以，，则,
故椭圆的标准方程为.
（2）设点，则，，易知点、，
所以，
设，则，且，
所以，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，，
故的最小值为，最大值为.