上海市长征中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段练习数学试卷（含解析）

长征中学2025高二数学第二学期第一次阶段练习
一、填空题(每题3分)
1.直线的倾斜角为_____.
2.已知椭圆的长轴在轴上,若焦距为则_____.
3.以为直径端点的圆的标准方程为_____.
4.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为,则实数_____.
5.经过点且与圆相切的直线方程为_____.
6.设椭圆上一点到左焦点的距离为记为的中点,为坐标原点,则_____.
7.经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为_____.
8.已知直线过点,且与直线的夹角为,则直线的方程为_____.
9.已知是椭圆上的一点,、是椭圆的两个焦点,且,则的面积是_____.
10.若直线与曲线恰有两个不同公共点,则实数的取值范围是_____.
11.已知圆及点,点分别是直线和圆上的动点,则的最小值为_____.
12.若,直线与直线的交点为,则的取值范围为_____.
二、单选题(每题3分)
13.“”是“直线与直线平行”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
14.平面直角坐标系上动点,满足,则动点的轨迹是
A.直线B.线段C.圆D.椭圆
15.已知是圆内异于圆心的一点,则直线与圆的位置关系是
A.相交B.相切C.相离D.不能确定
16.若点既是的中点,又是直线与的交点,则线段的垂直平分线的方程是
A.B.
C.D.
三、解答题(满分52分,8+8+10+12+14)
17.已知常数,设直线,直线.
若,求的值;
若与平行,求与的距离.
18.如图,已知定圆,定直线,过的一条动直线与圆相交于,两点。
当与垂直时,求证:过圆心
当时,求直线的方程;
19.在平面直角坐标系中,已知是函数的图像上的动点,以为圆心的圆与轴交于两点,与轴交于两点.
求证:的面积为定值；
设直线与圆交于两点。若,求圆的方程.
20.已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点.
若点的坐标为,求的面积；
若点的坐标为,且是钝角,求横坐标的范围；
若点的坐标为且直线与椭圆交于两个不同的点.
求证:为定值.
21.已知椭圆的离心率为分别为左右焦点,短轴一个端点到右焦点的距离为.
求椭圆的方程；
斜率为的直线被椭圆截得的弦长为,求直线的方程；
设直线与椭圆交于、两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.
长征中学2025高二数学第二学期第一次阶段练习
一、填空题(每题3分)
1.直线的倾斜角为_____.
解析：设直线的倾斜角为,
将直线转化为斜截式,可知直线的斜率为
所以,
所以,
所以直线的倾斜角为.
2.已知椭圆的长轴在轴上,若焦距为则_____.
解析：因为椭圆的长轴在轴上,焦距为
所以
3.以为直径端点的圆的标准方程为_____.
解析：由题意知圆心为半径为,
则以为直径端点的圆的标准方程为.
4.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为,则实数_____.
解析：因为椭圆焦点在轴上,
所以,则,
解得:.
5.经过点且与圆相切的直线方程为_____.
解析：由题意知,圆心坐标为半径为5,
当过点的直线斜率不存在时,直线方程为,符合题意;
当过点的直线斜率存在时,设直线方程为,
即,
依题意有,解得,
此时直线方程为,即,
所以所求切线的方程为或.
6.设椭圆上一点到左焦点的距离为记为的中点,为坐标原点,则_____.
解析：，为的中点,为的中点,
7.经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为_____.
解析：直线：，
所截得的弦长为
8.已知直线过点,且与直线的夹角为,则直线的方程为_____.
解析：设直线的斜率为,
因为,且为锐角,
所以,
所以,解得,
故过点,且与直线的夹角为的直线的方程
为,即.
当直线的斜率不存在时,此时直线的方程,符合题意.
所以直线的方程为或.
9.已知是椭圆上的一点,、是椭圆的两个焦点,且,则的面积是_____.
解析：在椭圆中,,由椭圆的定义可得,在中,,
由余弦定理可得,解得,因此,.
为椭圆上一点,且,则的面积为.
10.若直线与曲线恰有两个不同公共点,则实数的取值范围是_____.
解析：直线过定点
曲线为以为圆心,为半径,且位于轴上半部分的半圆,如图所示当直线过点时,直线与曲线有两个不同的交点,此时,解得当直线和曲线相切时,直线和半圆有一个交点,圆心到直线的距离,解得
结合图像可知,当时,直线和曲线恰有两个交点.
11.已知圆及点,点分别是直线和圆上的动点,则的最小值为_____.
解析：如图所示:
设点于直线的对称点为,
则解得则,因为,
所以的最小值为.
12.若,直线与直线的交点为,则的取值范围为_____.
解析：直线恒过定点,直线恒过定点,
且,则,因此点的轨迹是以为直径的圆,
即点的轨迹是以为圆心,以为半径的圆,
记圆心到坐标原点的距离为圆的半径为则,
则,于是,
所以的取值范围为.
二、单选题(每题3分)
13.“”是“直线与直线平行”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析：若,则两条直线分别为,
显然两条直线相互平行,充分性成立;
若直线与直线平行,
则,且,
所以,必要性成立.
所以选:
14.平面直角坐标系上动点,满足,则动点的轨迹是
A.直线B.线段C.圆D.椭圆
解析：设点,
动点满足,
,
又,
所以动点的轨迹是线段.
所以选:
15.已知是圆内异于圆心的一点,则直线与圆的位置关系是
A.相交B.相切C.相离D.不能确定
解析：已知圆的圆心为,半径为,
由是圆内异于圆心的一点,得,
则有,
则圆心到直线的距离,
故直线与圆相离.
所以选:
16.若点既是的中点,又是直线与的交点,则线段的垂直平分线的方程是
A.B.
C.D.
解析：直线与直线的方程相减可得,
把点代入可得,
所以,
所以线段的垂直平分线的方程是,即,
所以选:
三、解答题(满分52分,8+8+10+12+14)
17.已知常数,设直线,直线.
若,求的值;
若与平行,求与的距离.
由题意知的法向量为的法向量为
若,则;
若与平行,则或,
当时,直线,直线,两直线重合,舍去,
当时,则直线,直线,
则与的距离为.
18.如图,已知定圆,定直线,过的一条动直线与圆相交于,两点。
当与垂直时,求证:过圆心
当时,求直线的方程;
解析：由已知,故,
所以直线的方程为.
将圆心代入方程易知1过圆心.
当直线与轴垂直时,易知符合题意；
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为,由于,
所以.由,解得.
故直线的方程为或.
19.在平面直角坐标系中,已知是函数的图像上的动点,以为圆心的圆与轴交于两点,与轴交于两点.
求证:的面积为定值；
设直线与圆交于两点。若,求圆的方程.
解析：设圆心为,
圆过原点,圆方程为,
令,得,令,得,
为定值;
垂直平分线段,
,直线的方程是,
,解得或(舍),
则圆的方程为.
20.已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点.
若点的坐标为,求的面积；
若点的坐标为,且是钝角,求横坐标的范围；
若点的坐标为且直线与椭圆交于两个不同的点.
求证:为定值.
解析：因为点在椭圆上,所以,因为,所以,
因为,所以,
所以.
如图:
因为点在椭圆上,所以,
由余弦定理得
因为是钝角,所以,
又因为,所以,解得,
的范围为.
如图:
设,
由得,
又,所以
即有为定值.
21.已知椭圆的离心率为分别为左右焦点,短轴一个端点到右焦点的距离为.
求椭圆的方程；
斜率为的直线被椭圆截得的弦长为,求直线的方程；
设直线与椭圆交于、两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.
解析：设椭圆的半焦距为,依题意,而,解得,所以所求椭圆方程为.
斜率为的直线被椭圆截得的弦长为,求直线的方程.
设直线,直线与椭圆的交点为,
联立方程,消去得,
则,解得,
可得,
由题意可得:,
解得,
所以直线方程为.
设,当轴时,直线,由得,
当与轴不垂直时,设直线的方程为,依题意,,得
把代入椭圆方程,整理得,
,当时,
当且仅当,即时等号成立,当时,直线,由
得,
综上得面积,
所以面积的最大值.