四川省成都外国语学校2024-2025学年高二下学期期中检测数学试卷（含解析）

四川省成都外国语学校2024 2025学年高二下学期期中检测数学试卷
一、单选题
1．下列求导运算结果不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知在等差数列中，，，则等于（ ）
A．-2 B．4 C．6 D．8
3．已知数列是等比数列，若，公比，则的前8项和（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ）
A．48 B．60 C．72 D．120
6．函数图象上一点到直线的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列的通项公式为，若对于任意正整数n，都有≤成立，则m的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
8．若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列满足，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，…，，（为坐标原点）.设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ）
A．数列的通项公式 B．数列的通项公式
C． D．
三、填空题
12．已知数列的前项和 ．
13．有4名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数 .
14．若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为
四、解答题
15．已知函数，且在处的切线斜率为.
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性.
16．已知数列的前n项和为.
（1）求的通项公式；
（2）设，是数列的前n项和，求.
17．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求在上的最大值．
18．已知数列满足，（），记．
（1）求证：是等比数列；
（2）设，数列的前n项和为.
(ⅰ)求．
(ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
19．已知是函数定义域的子集，若，，成立，则称为上的“函数”.
(1)判断是否是上的“函数”？请说明理由；
(2)证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，；
(3)已知是上的“函数”，若存在这样的实数，，当时，，求的最大值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选A.
2．【答案】C
【详解】在等差数列中，，解得，公差，
所以.
故选C
3．【答案】A
【详解】因为，，所以.
故选A.
4．【答案】D
【详解】由，因为是函数的极小值点，
所以，即
则当或时，，所以在上递增，
则当时，，所以在上递减，
即在时有极大值,
故选D .
5．【答案】A
【详解】若四位数为偶数，则个位数为2或4，其余位数不重复即可，
所以偶数的个数为.
故选A.
6．【答案】C
【详解】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为．
因为，所以，解得，则切点坐标为．
最短距离为点到直线的距离，即．
故选C
7．【答案】C
【详解】数列的通项公式为，则
，
由，，解得，而,
因此当时，，即，当时，，
即，
所以数列的最大项为，即对于任意正整数n，都有≤成立，依题意，.
故选C
8．【答案】C
【详解】设，
则不等式即有且只有两个整数解.
因为，且，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减.
当时，，当时，，当时，，
当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于负无穷大，
当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0.
因为函数在上单调递增，，，，
则，
函数的大致图象如图
由图可知，要使有且只有两个整数解，这两个整数解必然是0，1，
所以解得.又，所以.
故选C.
9．【答案】AC
【详解】A： 由题意， ， ，
则 ，故A正确；
B： ，
结合A的计算，可得数列 的周期为3，即 ，
因为 ，所以 ，故B错误；
C： 一个周期的和为 ，而 ，故C正确；
D： 由于 ，所以 ，
所以，故D错误.
故选AC.
10．【答案】BC
【详解】设，则，
因为对任意的都有，则恒成立，所以在上单调递增；
因为，所以，则，所以A错误；
因为，所以，则，所以B正确；
因为，所以，则，所以C正确；
因为，所以，则，所以D错误；
故选BC．
11．【答案】ACD
【详解】依题意，，设，由为正三角形，直线的方程为，
由，得，则，
由，则的横坐标为，纵坐标为，
且在曲线上，则，
又，即，得，则，
当时，，两式相减得，，
因此，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
对于A，，A正确；
对于B，由，得
，B错误；
对于C，正面积，
则，C正确；
对于D，由，得，，
当时，，
则
，D正确.
故选ACD
12．【答案】162
【详解】由，可得，所以
，故.
13．【答案】
【详解】先将女生排成一排，有种，再将男生插入到5个空位中，有种，
由分步乘法计数原理可得，不同的排列方法总数为种.
14．【答案】
【详解】由关于的方程，
令，则有，
令函数，则，
当时，当时，
在上单调递增，在上单调递减，且时，，
其图象如下：
要使关于的方程有3个不相等的实数解，，，
且，
结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，
且，，由韦达定理知，，，
所以，
又，
可得.
15．【答案】（1）
（2）在上单调递增，在上单调减
【详解】（1）因为函数，求导得，
在处的切线斜率为，即，，
解得；
（2）由（1）可知，求导，
令，解得；令，解得.
函数在上单调递增，在上单调减．
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）中，令得，
当时，，
又适合上式，所以；
（2）由（1）知：，
所以.
17．【答案】(1)答案见详解；
(2).
【详解】（1）函数的定义域为，则.
当时，对任意的，，此时函数的减区间为，无增区间；
当时，由，可得，由，可得.
此时，函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（2）由（1）知，当时，函数在上单调递减，
此时，；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，；
当时，函数在上单调递增，此时，.
综上所述，.
18．【答案】（1）证明见解析
（2）（i）(ⅱ)
【详解】（1），
，又，
所以，
又， ，
数列中任意一项不为0，，
数列是首项为2， 公比为2的等比数列，则. .
（2）(ⅰ) 由第（1）问知， ，则，设数列的前项和为，
所以①，②，
所以①-②可得：
，
所以. .
(ⅱ)由，得，化简得.
当为奇数时，有，即，而，所以；
当为偶数时，有，而，所以.
综上，的取值范围为.
19．【答案】(1)是上的“函数”，理由见详解；
(2)证明见详解；
(3)6.
【详解】（1）是上的“函数”，理由如下：
，.
，，
，
在恒成立，
是上的“函数”.
（2）是上的“函数”，
在上恒成立，
设，则，
∴在上单调递增，且.
又，，即.
∵在上单调递增，.
∴.
（3），.
∵是上的“函数”，
∴在上恒成立，
即在上恒成立.
当时，对任意的，上式恒成立，符号题意；
当时，恒成立，
设，，
则，所以函数在上单调递减，
，即；
当时，恒成立，
设，，
则，所以函数在上单调递减，
，即.
综上所述，.
∵，当时，，
∴，即.
令，，
则由题意可知：存在，使得在上为增函数，
即存在，使得，即对任意的恒成立，
可得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
而函数在上单调递增，所以，即.
另一方面，当，时，，，
可知恒成立，满足题意，
所以实数的最大值为6.