四川省南充市西充中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

四川省南充市西充中学2024 2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．-2
2．书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（ ）
A．3 B．8 C．12 D．18
3．数列满足，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
5．要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
6．记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．13 B．45 C．104 D．130
7．已知数列的项满足，而，则＝（ ）
A． B． C． D．
8．若函数在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
二、多选题
9．下列函数求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值
11．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（ ）．
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．已知等比数列的前2项和为2，，则公比q的值为 ．
13．函数的极值点为 .
14．若对任意的正实数，当时，恒成立，则m的取值范围 ．
四、解答题
15．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值．
16．已知数列的前n项和为．且满足．
（1）求，值；
（2）证明数列为等比数列并求其通项公式．
17．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求的前n项和．
18．已知函数.
（1）当时，求过原点的切线方程；
（2）讨论的单调性.
19．已知函数
(1)求的极值；
(2)证明：．
参考答案
1．【答案】A
【详解】函数，求导得，
所以.
故选A
2．【答案】B
【详解】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，
第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为.
故选B.
3．【答案】C
【详解】因为：，
所以，
故选C.
4．【答案】D
【详解】∵，∴，即，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，故，
∴.
故选D.
5．【答案】C
【详解】依题意，在左边并联的两个开关中任取1个合上，再在右边并联的三个开关中任取1个合上，电路正常工作，
所以不同方法种数为.
故选C
6．【答案】C
【详解】因为等差数列的前项和为，且，
则.
故选C.
7．【答案】B
【分析】由，可得，然后利用累乘法可求得结果
【详解】由，得，
所以，，，……，，，（），
所以，
所以，
因为，所以，
因为满足上式，所以.
故选B.
8．【答案】D
【详解】因为，所以，
由于在上单调递增，
所以在上恒成立，
在上恒成立，在上单调递增，
所以在上的最小值为，
所以，故的最大值为，
故选D
9．【答案】ABC
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选ABC．
10．【答案】AD
【详解】由函数的导函数的图象可知，
当时，，所以在上单调递增，故B错误；
当时，，所以在上单调递减，故A正确；
所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.
故选AD.
11．【答案】AC
【详解】由题意可知：，于是有，，即，
由累加法可知，
显然可得： ，A选项正确，
，B选项不正确；
，
由错位相减可得，C选项正确；
令，∵，即，∴，即，D选项错误.
故选AC.
12．【答案】
【详解】依题意，，由，得，
所以
13．【答案】
【详解】确定定义域：由于包含 函数定义域为 ，
求导得：
在内 ,单调递减；在内 ,单调递增.
是函数的极小值点，没有其它极值点.
14．【答案】
【详解】当时，，
故，
而为正实数，则，令，于是，
依题意，函数在上单调递减，即，，
因此，，而函数是上的增函数，
则，解得，
所以m的取值范围是.
15．【答案】（1）单调递增区间是：和，单调减区间是：；
（2）最小值为，最大值为.
【详解】（1）由，
可得：，，
由，可得：或；
由，可得：；
所以函数的单调递增区间是：和，
单调减区间是：；
（2）由（1）知：函数在区间上的单调性为： 单调递减，单调递增，
所以最小值为，
又，
所以最大值为.
所以函数在区间上的最小值为，最大值为.
16．【答案】（1），；
（2）证明见解析，.
【详解】（1）数列的前n项和为，由得，解得，
，解得，
所以，.
（2）当时，，则当时，，
两式相减得，整理得，而，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，通项公式.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，，
由，得，
由成等比数列，得，即，
则，整理得，而，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）得，
则，
因此，
两式相减得，
则，
所以的前n项和.
18．【答案】（1）
（2）答案见解析
【详解】（1）由题意知，的定义域为，则，
当时，，设切点为，则切线方程为
，即，
又因为切线过，代入切线方程得，
即，解得，所以切线方程为.
（2），
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，得，
所以，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上所述，①当时，在上单调递增；
②当时，在上单调递减，在上单调递增.
19．【答案】(1)极大值为，极小值为
(2)证明见解析
【详解】（1），
令，解得，
当或时，；当时， ，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为，的极小值为；
（2）由题意，要证，即证对于恒成立．
令，则，
因在上单调递增，，，
则在上存在唯一的零点，则，即，可得，
又 ，则得；得；
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
则时，恒成立，从而恒成立，
即成立．