新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县2024-2025学年高二下学期4月期中测试数学试题（含解析）

新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县2024 2025学年高二下学期4月期中测试数学试题
一、单选题
1．用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．243 B．252
C．261 D．279
2．某班优秀学习小组有甲 乙 丙 丁 戊共5人，他们排成一排照相，则甲 乙二人相邻的排法种数为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．60
3．在等差数列中，，则（ ）
A．16 B．24 C．60 D．72
4．在数列中，若，则下列数不是中的项的是（ ）
A． B． C．3 D．
5．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积称等比数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第节的容积为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．
6．已知函数，且，则的值为
A．1 B． C．-1 D．0
7．已知各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
8．已知数列的前项和为，且，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）.
A．在上函数为增函数.
B．在上函数为减函数.
C．在上函数有极大值.
D．是函数在区间上的极小值点.
11．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的极大值为，极小值为
B．当时，它的最大值为，最小值为
C．它的单调递减区间为
D．它在点处的切线方程为
三、填空题
12．现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有 种.
13．曲线在点处的切线方程是 .
14．若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是 .
四、解答题
15．书架上第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书
（1） 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法
（2） 从书架的第1、 2、 3层各取1本书，有多少种不同取法
（3） 从书架的第 1、 2、 3 层各取 1 本书，并将取出的这 3 本书送给3名同学阅读，共有多少种不同的排列方法？
16．计算：
（1）；
（2）；
（3）已知，求
17．函数
（1）求在点处的切线方程.
（2）求的单调区间.
18．已知数列，若，且．
（1）证明数列是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若，且数列的前项和为，求．
19．已知函数在时取得极值．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）若有两个零点，求的值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由分步乘法计数原理知,用0,1,…,9十个数字组成的三位数的个数为9×10×10=900,组成无重复数字的三位数的个数为9×9×8=648,因此组成有重复数字的三位数的个数为
2．【答案】C
【详解】先利用捆绑法让甲 乙二人相邻有种，再看作4个元素全排列即可.
【详解】先安排甲 乙相邻，有种排法，
再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，
故有排法种数为.
故选C
3．【答案】C
【详解】．
故选C
4．【答案】A
【详解】由题意得，，
所以为周期数列，且周期为4，则不是中的项.
故选A.
5．【答案】D
【详解】自上而下各节的容积构成等比数列，首项为，公比为.
，两式相除得（），解得，
则，
所以.
故选D
6．【答案】A
【详解】 由题意得，函数的导数为，因为，
即，所以，故选A．
7．【答案】C
【详解】∵各项均为正数的等比数列中，，
∴.
故选C.
8．【答案】C
【详解】由已知有，故.
所以，从而.
故选C.
9．【答案】ABC
【详解】对于A：若，则，故A正确；
对于B：若，则，故B正确；
对于C：若，则，则C正确
对于D：当时，，故D错误；
故选ABC
10．【答案】ABC
【详解】由图可知，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
时，，单调递增；
是的极大值点，
是函数的极小值点，
故、、正确.错误.
故答案为：ABC.
11．【答案】ACD
【详解】函数，．
由，得或，此时函数单调递增；
由，得，此时函数单调递减，C正确；
当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，A正确；
当时，单调递增，它的最大值为，
最小值为，B错误；
，，它在点处的切线方程为，D正确．
故选ACD.
12．【答案】180
【详解】根据题意，分4步进行分析：
对于A部分，有5种颜色可选，即有5种情况；
对于B部分，与A部分有公共边，有4种颜色可选，即有4种情况；
对于C部分，与A、B部分都有公共边，有3种颜色可选，即有3种情况；
对于D部分，与A、C部分都有公共边，有3种颜色可选，即有3种情况；
则不同的着色方法有5×4×3×3=180种
13．【答案】
【详解】由可得，
所以曲线在点处斜率，
所以曲线在点处的切线方程为，
整理得.
14．【答案】
【详解】，
令，即.
因为函数有极大值和极小值，
所以方程有两个不相等的实数根，
即，解得或.
15．【答案】（1）9
（2）24
（3）144
【详解】（1）从书架上个任取一本书，可以有三种方案：第一种方案从第一层取一本计算机书，有4种方法；
第二种方案从第二层取一本文艺书，有3种方法；
第三种方案从第三层取一本体育书，有2种方法．
根据分类加法计数原理，共有种.
（2）分3步完成：第一步从第一层取一本计算机书，有4种方法；
第二步从第二层取一本文艺书，有3种方法；
第三步从第三层取一本体育书，有2种方法．
根据分步乘法计数原理，共有种方法.
（3）由 （2） 可知，从书架的第 1、 2、 3 层各取 1 本书，有种不同取法 .
送给3名同学阅读，则为三本书的全排列，，
则共有种不同的排列方法.
16．【答案】（1）64；
（2）348；
（3）7.
【详解】（1）.
（2）.
（3）由，得，即，则，
整理得，所以.
17．【答案】（1）
（2）单调递增区间是，单调递减区间是
【详解】（1）因，
则， 又，即切点为，
故在点处的切线方程为，即.
（2）因的定义域为，
令 得 ，令 得，
故得的单调递增区间是，单调递减区间是.
18．【答案】（1）证明见解析，
（2）
【详解】（1）因为，
所以，又，所以，
所以是以为首项、为公比的等比数列，
所以，则.
（2）由（1）可得，
所以，
所以.
19．【答案】（1）递增区间是，递减区间是；
（2）
（3）或
【详解】（1）由题得，且定义域为.
由函数在时取得极值，得，解得，
此时，显然是的变号零点，即是极值点，
因此，
所以当或时，，当时，，
所以函数的递增区间是，递减区间是.
（2）由（1）知，函数，
且在上单调递增，在上单调递减，
又
所以函数在区间上的最小值是.
（3）因为，
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
所以有极小值为，极大值为，
由有两个零点得直线与函数的图象有两个交点，
故或，所以或.