数学参考答案
一、选择题（每小题 3分，共 30分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C B B A D C A D D
二、填空题（每小题 3分，共 15分）
11. 1 (x 0) 12. a≤1 13. 乙 14. π+2 2
x
15 1 + 3 2． 2
【解析】如图，将线段 BE绕点 E顺时针旋转 45°得到线段 ET，连接 GT，
连接 DE交 CG于点 J．
∵四边形 ABCD是矩形，
∴AB=CD=3,∠B=∠BCD=90°.
∵∠BET=∠FEG=45°,
∴∠BEF=∠TEG．
= ,
在△EBF和△ETG中， ∠ = ∠ ,
= ,
∴△EBF≌△ETG(SAS).
∴∠B=∠ETG=90°
∵点 G在射线 TG上运动，
∴当 CG丄 TG 时，CG的值最小．
∵BC=4,BE=1,CD=3,
∴CE=CD=3
∴∠CED=∠BET=45°.
∴∠TEJ=90°=∠ETG=∠JGT=90°．
∴四边形 ETGJ是矩形．
∴DE//GT,GJ=TE=BE=1.
∴CJ⊥DE.
∴JE=JD.
∴CJ=1DE=3 2.
2 2
∴CG=CJ+GJ=1 + 3 2.
2
CG 1 + 3 2∴ 的最小值为 .
2
三．解答题（本大题共 8个小题，共 75分）
1 1 1
16. 解：(1)原式＝－ － ＋ ………………………3 分
2 8 2
1
＝－ ；………………………5 分
8
1
(2) 原式＝ ·
2 2 +1
1
{#{QQABaYgEggiAAABAARgCAQWoCAMQkAACCYoOAFAUoAABwAFABAA=}#}
1
＝ ·
1 2
………………………3 分
1
＝ .………………………5 分
1
17．（1）15，88.5，98； ………………………3 分
6
【解析】（1）由题意得：a%＝1﹣10%﹣45% 20 ×100%＝15%，即 a＝15，
∵A款的评分非常满意有 20×45%＝9，“满意”的数据为 89、88、87、86、86、84，
∴把 A款的评分数据从高到低排列，排在中间的两个数是 89、88，
89+88
∴中位数 b= 2 =88.5，
在 B款的评分数据中，98 出现的次数最多，∴众数 c＝98；
故答案为：15，88.5，98；
（2）A款 AI 聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数相同，但 A款评分数据的中位数比 B款的中位数高，所以 A款 AI 聊天机
器人更受用户喜爱（答案不唯一）； ………………………6 分
（3）260 × 10% + 300 × 3 =71（人）
20
答：估计此次测验中对 AI 聊天机器人不满意的大约共有 71 人．………………………9 分
18．解：（1）如图所示即为所求作的图形; ………………………3 分
（2）证明：四边形 AEDF是菱形； ………………………4 分
∵根据作法可知：EF是线段 AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，AF＝DF，∴∠EAD＝∠EDA，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EDA＝∠CAD，∴DE∥AC，
同理可得,DF∥AE，
∴四边形 AEDF是平行四边形，
∵AE＝DE，
∴平行四边形 AEDF是菱形； ………………………7 分
（3）∵ AEDF是菱形，
∴AE＝DE＝DF＝AF＝4，
∵DE∥AC，
8
∴ = ，∴ = ，
3 4
解得：BD= 6． ………………………9 分
19. 解：如图，连接 EF交 CD于点 G，
可知四边形 ABFE为矩形，∴EF＝AB，EG＝AD，GF＝BD；
在 Rt△CEG中，EG＝ ，
tan78°
2
{#{QQABaYgEggiAAABAARgCAQWoCAMQkAACCYoOAFAUoAABwAFABAA=}#}
在 Rt△CFG中，GF＝ ， ………………………4 分
tan60°
又∵EF＝AB＝46，
∴EG＋GF＝46，
即 ＋ ＝ 46， ………………………7 分
tan78° tan60°
∴ ＋ ＝46，
4.70 1.7
解得，CG≈57.4，
∴CD＝CG＋GD＝57.4＋1.5＝58.9≈59m.
答：老子铜像(含底座)CD的高度约为 59 m．………………………9 分
20.解：（1）由表格数据可知：
当自变量 x增加值相同时，平均相对心率 y增加值不相同，所以该函数不是一次函数；
当自变量 x增加值相同时，相邻的平均相对心率 y增加值的差不相同，所以该函数不是二次函数；
当自变量 x与函数值 y的乘积不是一个定值，所以该函数不是反比例函数（说理方法不唯一）
.…………………3 分
（2）设 100 = ，
+
分别把（0，40），（30，60）代入，得，
40 100 =
， ………………………4 分
60 100 =
30+
= 60
解得： = 3600，
∴ = 3600 + 100． ………………………6 分
+60
3 = 3600（ ）∵ + 100．∴ = 3600 60
+60 100
当 y＝50 时，x＝12；
当 y＝60 时，x＝30；
当 y＝70 时，x＝60；
当 y＝80 时，x＝120；
当 y＝90 时，x＝300．
可以估计全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律．
方案设计如下：
连续跳绳 12s～30s 是热身运动；连续跳绳 30s～60s 是减脂运动；连续跳绳 60s～120s 是有氧耐力运动；
连续跳绳 120s～300s 是无氧耐力运动．从健康角度考虑，连续跳绳时间不要超过 5 分钟，即连续跳绳 5
分钟后需要停下休息． ………………………9 分
21.（1）证明：如图，连接 AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即 AD⊥BC，
又∵CD＝BD，∴AD垂直平分 BC，
∴AB＝AC； ………………………4 分
3
{#{QQABaYgEggiAAABAARgCAQWoCAMQkAACCYoOAFAUoAABwAFABAA=}#}
（2）解：连接 BE，
∵A、B、D、F四点共圆
∴∠CFD＝∠B，
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，
∴∠C＝∠CFD，∴CD＝FD=4，
∴FD＝BD＝4， ………………………6 分
Rt ABD cos = 2在 △ 中， = 3，BD＝4，
∴AB＝6.
∵点 E是弧 AB的中点，AB是⊙O的直径，
∴ AE BE ,
∴AE2
1 1
＝BE2＝ AB2= × 62=18，∠EBG＝∠EDB，
2 2
又∵∠GEB＝∠BED
∴△EBG∽△EDB， ………………………8 分
∴ = ，
∴EG ED＝BE2＝18． ………………………9 分
22.解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为（3，0.9）．
∴该运动员竖直高度的最大值为 0.9 米．…………………1 分
设函数关系式为：y＝a（x﹣3）2+0.9．
∵经过点（0，0），∴9a+0.9＝0，
解得：a＝﹣0.1．
∴函数关系式为：y＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9．………………4 分
（2）当 y＝0 时．
第一次训练：0＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9．
解得：x1＝0（舍），x2＝6．
∴l1＝6． ………………………6 分
第二次训练：0＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21．
解得：x1＝0（舍），x2＝4.4．
∴l2＝4.4． ………………………8 分
∵6＞4.4，
∴l1＞l2． ………………………10 分
23．解：（1）AE=EF ASA （填“AAS”也正确）………………2 分
（2）成立 .………………………3 分
4
{#{QQABaYgEggiAAABAARgCAQWoCAMQkAACCYoOAFAUoAABwAFABAA=}#}
①如图，在 AB上取一点 P，使 AP=CE，连接 EP.
四边形 ABCD是正方形，
AB BC， B 90 .
AP CE， BP BE .
∴△BPE是等腰直角三角形. ………………………5 分
BPE BEP 45 . APE 135 .
CF平分 DCG， DCG 90 ，
DCF 1 DCG 45 .
2
ECF ECD DCF 90 45 135 .
APE ECF .
AE EF，
AEB FEC 90 .
BAE AEB 90 ，
BAE FEC .
∴△PAE≌△CEF（ASA）
AE EF . ………………………8 分
② 2 2 5 ≤c<8. ………………………10 分
5
{#{QQABaYgEggiAAABAARgCAQWoCAMQkAACCYoOAFAUoAABwAFABAA=}#}2025年春期九年级第三次学情调研
数学试卷
注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间100分钟，满
分120分，考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上
作答，在议题卷上作答无效，交卷时只交答题卡。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的
《法经)中已使用负数.如果公元前500年记作一500年，那么公元
2025年应记作
A.2525年
B.2025年C.-2520年D.-2025年
2.作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型
样式丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造
型审美意识如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图
中不是其三视图之一的是
C
D
3.石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石
墨烯的品格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长
d=0.0000000142cm,将0.0000000142用科学记数法表示为
A.1.42×107
B.1.42×10-
C.1.42×10-9
D.14.2×10-o
4.下列运算正确的是
●
第3题图
A.2m+n=2mn
Bm‘÷m2=m
C.（-mn)2=-m2n
D.(-m+n)(m+n)=m2-n2
5.将等腰直角三角板ABC按如图所示放置，其直角顶点A落
在直线L1上，另一个顶点B落在直线1：上，若l1∥l:,∠1=67°，则
∠2的度数为
A.23°
B.33°
C45°
D.67°
B
第5题图
数学第1页共6页
6.下列问题适合全面调查的是
A.了解黄河的水质情况
B.了解全省九年级学生的视力情况
C.调查市场上某品牌电池的使用寿命
D.神舟二十号飞船发射前对飞船仪器设备的检查
7.定义运算：a※b=a2一2ab+1.例如：4※3=4-2×4×3+1=-7.
则方程x※2=一5的根的情况为
A.有两个相等的实数根
B有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
8.如图，电路图上有编号为①②③④⑤共5个开关和一个小灯
泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤都可使小
灯泡发光，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为
A号
c
第8题图
9.如图①所示，甲、乙两个相同容器中分别装有相同体积的α，b
两种液体，现用相同的电加热器同时加热，忽略热损失，得到如图②
所示的液体温度（℃）与加热时间(min)之间的对应关系.下列说法正
确的是
40n
温度/℃
30
20
10月
02468加热时间/min
图①
图②
A.a,b两种液体的温度均随着加热时间的增加而降低
B当加热时间为6mn时，a的温度比b的温度低
C.当加热时间为3min时，a,b的温度相等
D.当加热时间为0mn时，a,b的温度都低于20℃
10.在平面直角坐标系中，边长为2的等边△AOP在第二象限，
OA与x轴重合，将△AOP绕.点O顺时针旋转60°，得到△AOP,再
作△AOP,关于原点O的中心对称图形，得到△AOP,,再将
△A,OP:绕点O顺时针旋转60°，得到△A,OP,再作△A,OP,关于
原点O的中心对称图形，得到△A,OP,以此类推…，则点Ps的
坐标是
RA)
A(1,3)
B1,-3)
C(2,0)
D.(-2,0)
第10题图
数学：第2页共6页
