广东省东莞市第十一中学2024-2025学年高一下学期第二次段考数学试卷（图片版，含答案）

2024-2025 学年东莞市第十一中学高一下学期第二次段考
数学试卷
姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

1．在VABC中， BD 3DC，则 AD （ ）
1 AB 2

A． AC
2 1
B． AB AC
3 3 3 3
1 AB 3

AC 3

C． D． AB
1
AC
4 4 4 4
2．已知一组数据4 ,7 ,6 ,5,a的平均数为5，则这组数据的方差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
a

1

3．已知 ，3 ，b 1，2 ，则a在b 方向上的投影向量为（ ）
1 2
A． 1，1 B． 1，2 C． 2，1 D． ，
5 5
4．已知正方形的边长为4，则其直观图的面积为（ ）
A 2． B． 2 C．4 2 D．2 2
2
5．在正四棱锥 P ABCD中，侧面均为边长为 2的等边三角形，则该四棱锥的体积为（ ）
A 4 2 2 2 4 2． B． C． D．
3 3 3 3
6．设VABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若a 3，b 1，A 60 ，
则 B等于（ ）
A．30 B．30 或150 C．60 D．90
7．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面 ， ，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥ ，n ，则m∥n
B．若 m，m n，则 n
C．若m∥ ，n∥ ，则m∥n
D．若m∥ ，m ， n，则m∥n
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABKYaxwgiQkAQACR6LEUU+CEiQkJGQLaoGwVAYuAxiwAFABAA=}#}
命题人：吴二洋 审题人：张巨洪
8．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，E为DD1的中点，过点D作正方体截面使其与平
面 A1EC1平行，则该截面的面积为（ ）
A．2 3 B．2 6 C．4 6 D．4 3
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。

9．已知向量a 3， 1 ，b 1，2 ，则下列选项正确的是（ ）

A． a b B ． | a b | 17

C．若 c 2t，1 且 a∥c，则 t 3 D．a与b 夹角的余弦值为 10
z 3 i10．已知复数 ，则（ ）
i
A． | z | 10 B． z的虚部为3
C． z2 10 6i D． z在复平面内对应的点位于第二象限
11．如图，在棱长为4的正方体 ABCD A1B1C1D1中，P是线段C1D1上的动点，则下列说法正确的
是（ ）
A．存在点P使得 AC1 平面BB1P
B．存在点P使得 AA1∥平面BB1P
C．若P是C1D1的中点，则DD 4 51到平面BB1P的距离为
5
3 4D．若直线BD1与平面BB1P所成角的正弦值为 ，则D1P
15 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分。
12．如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的 A地出发，向河对岸航行．已知船的速
度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时
间为 h．
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABKYaxwgiQkAQACR6LEUU+CEiQkJGQLaoGwVAYuAxiwAFABAA=}#}
命题人：吴二洋 审题人：张巨洪
13．某校高一共有学生800人，现采用分层抽样的方法从中抽取80人进行体能测试，若这80人中有
39人是男生，据此估计该校高一男生有 人．
14．在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA 平面 ABCD，AB 3，AD 2，若 PB与
平面 ABCD所成角为60o，则四棱锥 P ABCD的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(本小题 13分)已知复数 z1 1 2i，复数 z2在复平面内对应的点为Z 2， 4 ．
（1）若复数 z 22是关于 x的方程 x mx n 1 0的一个根，m，n R，求m n的值，.
10 10
（2）若复数 z满足 z ，求复数 z的共轭复数 z ．
z1 z2

16．(本小题 15分)已知 | a | 4， | b | 3， (2a 3b ) (2a b ) 13．

（1）求a与b 的夹角 ，.

（2）若 c
ta (1 t)b ，且b c 0，求 t及 | c |．
17．(本小题 15分)如图，甲船在点M 处通过雷达发现在其南偏东60 方向相距 20海里的N 处有一
艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从 N 处向南偏西60 的方向行驶．甲船
立即通知在其正西方向且相距30 3海里的P处的补给船，补给船立刻以 25海里/时的速度与货
船在H处会合．
（1）求PN 的长，.
（2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合．
试卷第 3页，共 4页
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命题人：吴二洋 审题人：张巨洪
18．(本小题 17分)如图，在四棱锥 E ABCD中， AE 平面 ABCD， AD//BC， AD AB，
AB AD 1，AE BC 2， F 为CE中点．
（1）求证：DF∥平面 EAB，.
（2）求点C到平面BDE的距离．
19．(本小题 17分)如图，正四棱锥 S ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，
点P在侧棱 SD上，且 SP 3PD．
（1）求证： AC SD，.
（2）求二面角P AC D的大小，.
（3）侧棱 SC上是否存在一点 E，使得BE∥平面 PAC．
SE
若存在，求 的值，.若不存在，试说明理由．EC
试卷第 4页，共 4页
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2024-2025 学年东莞市第十一中学高一下学期第二次段考参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A B C D A D B BCD ABD BC
8．【分析】由题可知，过点 D作正方体截面使其与平面 A1EC1平行的截面即为菱形DMB1N，利用菱
形面积公式即可求得结果为2 6 .易知MN 2 2,B1D 2 3，所以其面积为
1MN 1 B1D 2 2 2 3 2 6 .故选：B2 2
11．【详解】在正方体中易知，BB1与 AC1不垂直，故 A不正确；
因为 AA1 BB1，又 AA1 平面 BB1P并且BB1 平面 BB1P，
所以 AA1 / /平面 BB1P，故 B正确；
正方体中易知，DD1∥BB1，DD1不在平面 BB1P内，BB1在平面 BB1P内，
所以DD1 / / 平面 BB1P，
所以DD1到平面 BB1P的距离即为D1到平面 BB1P的距离，
在正方体中，易知平面 BB1P 平面 A1B1C1D1，且相交于B1P ,
所以D1到平面 BB1P的距离即为D1到B1P的距离，
又因为点 P是C1D1的中点，所以点D1到直线B1P的距离等于点C1到直线B1P的距离，
1 1
又B1P 2 5， B1C1 C1P d
4 5
2 2 C1 PB
B1P，解得 d ，故 C正确；1 5
设D1P x 0 x 4 ，所以C P 4 x，计算可得B P C B21 1 1 1 C 21P 42 4 x
2
，
PC1 B1C1 4 4 x 4 4 xd d x 4x所以 C 1 PB1 PB ，可得 D1 PB1 ，1 42 4 x 2 42 4 x 2 4 x 42 4 x 2
4x
d 42 4 x 2
所以直线BD D PB 31与平面 BB1P所成角的正弦为 1 1 ，所以 x 1，故 D错误．
BD1 4 3 15
12．2 13．390 14．16π
15．（1）由题意得 z2 2 4i， ..........2 分
因为复数 z2是关于 x的方程 x2 mx n 1 0的一个根，
答案第 1页，共 4页
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所以 (2 4i)2 m 2 4i n 1 0，
2m n 13 4m 16 i 0，
2m n 13 0
， ..........4 分
4m 16 0
解得m 4,n 21，所以m n 17 . ..........6 分
10 z1 z2 10 1 2i 2 4i 10 3 2i
（2） z 3 2i ..........
z1 z2
， 11 分
1 2i 2 4i 10
z 3 2i . ..........13 分

16 1 2a 3b 2a b 4a 2 4a b 3b2．（ ） 4 42 4 4 3cos 3 32 13，
1
所以 cos ， ..........3 分
2
又 [0，π]， ..........4 分
π
所以 . ..........5 分
3
1
（2）由题意知b c b [ta 1 t b ] ta b (1 t)b 2 t 4 3 (1 t) 32 0，
2

解得 t 3， c 3a 2b， ..........10 分
2 c (3a-2b )2 9a 2 12a b 4b 2 9 16 12 6 4 9 108，......13 分
c 所以 6 3 ． ..........15 分
π π 5π
17．（1）根据题意可得 PMN ． ..........2 分
2 3 6
因为PM 30 3海里，MN 20海里，
5π
所以根据余弦定理可得PN 2700 400 2 30 3 20 cos 70海里．......5 分
6
2700 4900 400 4 3
（2）由余弦定理可得 cos MPN ， ..........7 分
2 30 3 70 7
则 sin MPN
1
， ..........8 分
7
答案第 2页，共 4页
{#{QQABKYaxwgiQkAQACR6LEUU+CEiQkJGQLaoGwVAYuAxiwAFABAA=}#}
所以 cos PNH cos MPN
π π
4 3 3 1 1 11 ．......12 分
2 3 7 2 7 2 14
设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为 t小时，则HN 15t海里，
PH 25t PNH cos PNH 4900 225t
2 625t2 11
海里．在△ 中， ,
2 70 15t 14
49
解得 t 2或 （舍去），
8
故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为 2小时．..........15 分
18．（1）取 BE的中点G，连接 AG,FG， ..........1 分
所以GF //BC 1且GF BC， ..........3 分
2
又 AD//BC, AD 1,BC 2，所以 AD//GF，
且 AD
1
BC GF，
2
所以四边形 ADFG为平行四边形，所以 AG//DF ， ..........5 分
又 AG 平面 EAB，DF 平面 EAB，所以DF //平面 EAB．..........7 分
（2）因为 AD AB， AD//BC，所以 AB BC，
1
所以 S 2 1 1， ..........VBCD 9 分2
1 2
又 AE 平面 ABCD，所以VE BCD 2 1 ，3 3
因为 AD AB， AD AB 1，所以 BD AD2 AB2 2 ，
由 AE 平面 ABCD， AB, AD 平面 ABCD，所以 AE AB, AE AD，
又 EA 2, AD AB 1，
所以EB ED 22 12 5，
2
1
所以 S BDE 2 2 5
2 2 3
.......... 2
， 13 分
2
1 3 2 4
设点C到平面BDE的距离为 h，则VC BDE VE BCD h ，解得 h ，3 2 3 3
答案第 3页，共 4页
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4
所以点 C到平面BDE的距离为 ． ..........17 分
3
19．（1）在正四棱锥 S ABCD中，连接 AC BD O，连接 SO，则点 O是正方形 ABCD的中心，
SO 平面 ABCD， ..........1 分
而 AC 平面 ABCD，则 SO AC，又 AC BD ，
SO,BD 平面 SBD，BD SO O，
于是 AC 平面 SBD， ......4 分
而 SD 平面 SBD，所以 AC SD ...........5 分
（2）连接OP，由（1）知，AC 平面 SBD，而OP,OD 平面 SBD，则OP AC,OD AC，
于是 POD是二面角P AC D的平面角， ..........7 分
令正方形 ABCD边长为 2，则BD SD SB 2AB 2 2，有 ODP 60 ，
又OD 2, PD 1 SD 2 ，
4 2
则OP2 OD2 PD2 2OD PDcos60 2 1 2 3 2 ，OP2 PD2 2 OD2，
2 2 2
因此 OPD = 90 ， POD 30o ，所以二面角P AC D的大小为30o . .......10 分
（3）在 SP上取点 N，使得 PN PD，过 N作 NE / /PC交 SC于点 E，连 BN，
由PC 平面 PAC ，NE 平面 PAC ，得NE / /平面 PAC ， ..........12 分
由O是BD的中点，得OP / /BN，而OP 平面 PAC ，BN 平面 PAC ，
得BN / /平面 PAC ， ..........14 分
又 BN NE N ,BN ,NE 平面BNE，因此平面BNE / /平面 PAC ，.......15 分
1
则 BE / /平面 PAC ，由（2）知，DN 2PD 2 SD，即点N 是 SD中点，
2
SE SN
于是 2，所以侧棱SC 上存在一点 E，
EC NP
使得 BE / /平面 PAC ， SE : EC 2 :1 . ............17 分
答案第 4页，共 4页
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