第1节 数列的概念
[课程标准要求]
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数,理解单调性是数列的一项重要性质,可用来求最值.
1.数列的有关概念
概念 含义
数列 按照确定的顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式
前n项和 数列{an}中,称Sn=a1+a2+…+an为数列{an}的前n项和
2.数列的表示方法
列表法 列表格表示n与an的对应关系
图象法 把点(n,an)画在平面直角坐标系中
公 式 法 通项 公式 把第n项an用式子表示的方法
递推 公式 把数列中的相邻两项或多项之间的关系用一个式子表示出来
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,
则an=
4.数列的分类
1.(人教B版选择性必修第三册P14习题5－1A T2改编)数列{an}满足an=ncos,则{an}的前8项和为( )
[A] －4 [B] 0 [C] 4 [D] 16
2.(人教A版选择性必修第二册P8 练习T4改编)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,那么它的通项公式an等于( )
[A] n [B] 2n [C] 2n+1 [D] n+1
3.(人教A版选择性必修第二册P8练习T3改编)在数列{an}中,a1=1,an=1+(n≥2),则a4等于( )
[A] [B] [C] [D]
4.(人教A版选择性必修第二册P5例2(1)改编)在数列1,－2,4,－8,16,…中,这个数列的第7项是 .
5.设数列{an}的通项公式为an=n2+bn,若数列{an}是单调递增数列,则实数b的取值范围是 .
考点一 由an与Sn的关系求通项公式
1.(2025·山东青岛模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,bn=(－1)nan(n∈N*),则数列{bn}的前50项和为( )
[A] 49 [B] 50 [C] 99 [D] 100
2.(2025·广东湛江模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和,且Sn+2an=2(n∈N*),则an= .
3.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=－1,an+1=SnSn+1,则数列的通项公式an= .
1.已知Sn求an的常用方法
利用an=转化为关于an的关系式,再求通项公式.
2.Sn与an关系问题的求解思路
方向1:利用an=Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn,Sn－1的关系式,再求解.
方向2:利用Sn－Sn－1=an(n≥2)转化为只含an,an－1的关系式,再求解.
考点二 由递推关系求通项公式
方法1 累加法——形如an+1－an=f(n),求an
[例1] 设数列{an}满足a1=1,且an+1－an=n+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式an= .
当出现an+1－an=f(n)时,用累加法求an,即利用 an=(a2－a1)+(a3－a2)+(a4－a3)+…+
(an－an－1)+a1(n≥2).
方法2 累乘法——形如=f(n),求an
[例2] (2025·山东潍坊模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,{Sn+nan}为常数列,则an等于( )
[A] [B]
[C] [D]
当出现=f(n)时,用累乘法求an,即利用an=a1···…·(n≥2),注意观察哪些项消去或约去,为此有时要“多写几项”.
方法3 构造法
[例3] (1)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+1,则通项公式an= .
(2)在数列{an}中,已知a1=,an+1=an+()n+1,则数列{an}的通项公式an= .
形式 构造方法
an+1= pan+q 引入参数c,构造新的等比数列{an－c}
an+1= pan+qn+1 两边同除以qn+1,构造新的数列{}
an+1= 两边同时取倒数转化为=·+的形式,化为bn+1=pbn+q型
[针对训练]
1.(方法1)(2025·上海模拟)在数列{an}中,a1=3,且an=an－1+lg(n≥2),则a100= .
2.(方法2)已知数列{bn}满足b1=2,(n+2)bn=nbn+1,其中n∈N*,则{bn}的通项公式为 .
3.(方法3)已知在数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),则数列{an}的通项公式an= .
考点三 数列的性质及其应用
角度1 数列的周期性
[例4] 斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用,斐波那契数列{an}可以用如下方法定义:an+2=an+1+an,且 a1=a2=1,若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn},则数列{bn}的前2 025项和为( )
[A] 2 024 [B] 2 025
[C] 2 698 [D] 2 700
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
角度2 数列的单调性
[例5] 已知数列{an}的通项公式为an=,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为( )
[A] (3,+∞) [B] (2,+∞)
[C] (1,+∞) [D] (0,+∞)
解决数列单调性问题的方法
(1)用作差比较法,根据an+1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列.
(2)用作商比较法,根据(an>0或an<0)与“1”的大小关系进行判断.
(3)结合相应函数的图象直观判断.
角度3 数列的最值
[例6] (2025·安徽合肥模拟)若数列{an}的前n项积 bn=1－n,则an的最大值与最小值之和为( )
[A] － [B] [C] 2 [D]
求解数列的最大项或最小项的常用方法
(1)函数法,利用函数的单调性求最值.
(2)利用(n≥2)确定最大项,利用(n≥2)确定最小项.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·江西南昌模拟)若首项为1的数列{an}满足an+1=,则a16等于( )
[A] 2－ [B] 2+
[C] －1 [D] 1
2.(角度2)(多选题)(2025·江西吉安模拟)已知首项为1的正项数列{an}满足4－1=
4an+1an,则( )
[A] {an}为递增数列
[B] >
[C] <
[D] 数列{an+1－an}为递减数列
3.(角度3)(2025·上海模拟)数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),则数列{an}的最小项的值为 .
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
用观察法求解通项公式 1,10
由an与Sn的关系求通项公式 8,16
由递推关系求通项公式 4,6,12,14
数列的性质及其应用 2,3,5,7,9,11,13,15
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·辽宁辽阳模拟)已知一个数列的前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,则该数列的第41项为( )
[A] 760 [B] 800 [C] 840 [D] 924
2.(2025·四川成都模拟)已知数列{an}满足an+1=1－,a1=2(n∈N*),则a2 025等于( )
[A] 2 [B] [C] －1 [D] 2 023
3.(多选题)(2025·内蒙古呼伦贝尔模拟)下列命题中正确的是( )
[A] 数列{an}的通项公式为an=n(n+1),则120是该数列的第11项
[B] 数列1,2,4,7,…的一个通项公式是an=+1
[C] 数列0,1,0,1,…没有通项公式
[D] 设数列{an},an=,其中a,b,c均为正数,则此数列为递增数列
4.已知数列{an}对任意k∈N*满足ak·ak+1=2k,则a1·a2 026等于( )
[A] 21 012 [B] 21 013
[C] 22 024 [D] 22 025
5.(2025·江西赣州模拟)已知数列{an}满足 an=(n∈N*),且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( )
[A] (2,3) [B] [2,3)
[C] (,3) [D] (1,3)
6.(5分)在数列{an}中,a1=3,且点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x－y+1=0上,则数列{an}的通项公式为 .
7.(5分)(2025·北京模拟)已知数列{an}的通项公式为 an=(n+2)·()n,则当an取得最大值时,n= .
8. (8分)(2024·辽宁锦州模拟)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足a1=1,an+1=2+1.
(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
9.已知数列{an}满足=2,a1=20,则的最小值为( )
[A] 4 [B] 4－1
[C] 8 [D] 9
10.(多选题)(2025·湖南永州模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石子所排的形状,把数分成许多类,如图(1),图形中黑色小点个数:
1,3,6,10,…称为三角形数,如图(2),图形中黑色小点个数:1,4,9,16,…称为正方形数.记三角形数为数列{an},正方形数为数列{bn},则( )
[A] a5=15 [B] b5=20
[C] b10=a10+45 [D] an=
11.(2025·吉林长春模拟)已知an=n·()n+2,则数列{an}的偶数项中最大项为( )
[A] a10 [B] a8 [C] a6 [D] a4
12.(2025·河南郑州模拟)已知数列{an}满足a2=2,a2n=a2n－1+2n(n∈N*),a2n+1=a2n+
(－1)n(n∈N*),则数列{an}的第2 026项为( )
[A] 21 014－2 [B] 21 014－3
[C] 21 013－2 [D] 21 013－3
13.(5分)(2025·河南安阳模拟)已知数列{an}满足 a1=,an+1－3=(an－2)(an+1)(n∈N*),数列{}的前n项和为Sn,则S2 025的整数部分是 .
14.(5分)(2025·浙江杭州模拟)已知数列{an}满足nan+1－(n+1)an=1(n∈N*),a3=2,则a1= ,a2 025= .
15.(12分)(2025·云南昭通模拟)在数列{an}中,an=1+(n∈N*,a∈R且a≠0).
(1)若a=－7,求数列{an}的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求实数a的取值范围.
16.(13分)已知在数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)记bn=3n－λ,若数列{bn}为递增数列,求λ的取值范围.
第1节 数列的概念（解析版）
[课程标准要求]
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数,理解单调性是数列的一项重要性质,可用来求最值.
1.数列的有关概念
概念 含义
数列 按照确定的顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式
前n项和 数列{an}中,称Sn=a1+a2+…+an为数列{an}的前n项和
2.数列的表示方法
列表法 列表格表示n与an的对应关系
图象法 把点(n,an)画在平面直角坐标系中
公 式 法 通项 公式 把第n项an用式子表示的方法
递推 公式 把数列中的相邻两项或多项之间的关系用一个式子表示出来
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,
则an=
4.数列的分类
1.(人教B版选择性必修第三册P14习题5－1A T2改编)数列{an}满足an=ncos,则{an}的前8项和为( )
[A] －4 [B] 0 [C] 4 [D] 16
【答案】 C
【解析】 由an=ncos ,知a1=a3=a5=a7=0,a2=－2,a4=4,a6=－6,a8=8,所以S8=－2+4－6+8=4.
故选C.
2.(人教A版选择性必修第二册P8 练习T4改编)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,那么它的通项公式an等于( )
[A] n [B] 2n [C] 2n+1 [D] n+1
【答案】 B
【解析】 因为a1=S1=1+1=2,an=Sn－Sn－1=(n2+n)－[(n－1)2+(n－1)]=2n(n≥2),当n=1时,
2n=2=a1,所以an=2n.故选B.
3.(人教A版选择性必修第二册P8练习T3改编)在数列{an}中,a1=1,an=1+(n≥2),则a4等于( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为a1=1,所以a2=1+=2,a3=1+=1+=,a4=1+=1+=.
故选B.
4.(人教A版选择性必修第二册P5例2(1)改编)在数列1,－2,4,－8,16,…中,这个数列的第7项是 .
【答案】 64
【解析】 由数列1,－2,4,－8,16,…,可知通项公式为an=(－2)n－1,所以a7=(－2)6=64.
5.设数列{an}的通项公式为an=n2+bn,若数列{an}是单调递增数列,则实数b的取值范围是 .
【答案】 (－3,+∞)
【解析】 由题意可得an+1－an>0恒成立,即(n+1)2+b(n+1)－n2－bn=2n+1+b>0,
即b>－2n－1,又n≥1,－2n－1≤－3,故b∈(－3,+∞).
考点一 由an与Sn的关系求通项公式
1.(2025·山东青岛模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,bn=(－1)nan(n∈N*),则数列{bn}的前50项和为( )
[A] 49 [B] 50 [C] 99 [D] 100
【答案】 A
【解析】 当n=1时,a1=S1=3.当n≥2时,an=Sn－Sn－1=2n(n≥2),当n=1时,不符合上式,所以 an=所以 b1+b2+…+b50=(－3+4)+(－6+8)+…+(－98+100)=1+2×24=49.故选A.
2.(2025·广东湛江模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和,且Sn+2an=2(n∈N*),则an= .
【答案】 ()n
【解析】 因为Sn+2an=2(n∈N*),所以a1=,Sn－1+2an－1=2(n≥2),
所以Sn－Sn－1+2an－2an－1=0(n≥2),所以3an=2an－1(n≥2),所以=(n≥2),
所以数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,所以an=×()n－1=()n.
3.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=－1,an+1=SnSn+1,则数列的通项公式an= .
【答案】
【解析】 由已知得an+1=Sn+1－Sn=Sn+1Sn,
两边同时除以Sn+1Sn,得=－1,
故数列{}是以－1为首项,－1为公差的等差数列,则=－1－(n－1)=－n,所以Sn=－.
当n≥2时,an=Sn－Sn－1=－+=.当n=1时,不符合上式,故an=
1.已知Sn求an的常用方法
利用an=转化为关于an的关系式,再求通项公式.
2.Sn与an关系问题的求解思路
方向1:利用an=Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn,Sn－1的关系式,再求解.
方向2:利用Sn－Sn－1=an(n≥2)转化为只含an,an－1的关系式,再求解.
考点二 由递推关系求通项公式
方法1 累加法——形如an+1－an=f(n),求an
[例1] 设数列{an}满足a1=1,且an+1－an=n+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式an= .
【答案】
【解析】 由题意有a2－a1=2,a3－a2=3,…,
an－an－1=n(n≥2).
以上各式相加,得an－a1=2+3+…+n==.
又因为a1=1,所以an=(n≥2).
因为当n=1时也满足上式,所以an=.
当出现an+1－an=f(n)时,用累加法求an,即利用 an=(a2－a1)+(a3－a2)+(a4－a3)+…+
(an－an－1)+a1(n≥2).
方法2 累乘法——形如=f(n),求an
[例2] (2025·山东潍坊模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,{Sn+nan}为常数列,则an等于( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 法一(累乘法) 因为数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,所以S1+1×a1=1+1=2,因为{Sn+nan}为常数列,所以由题意知,Sn+nan=2,当n≥2时,Sn－1+(n－1)an－1=2,所以(n+1)an=
(n－1)an－1,即=,从而···…·=×·…·,所以an=(*),当n=1时(*)式成立,所以an=.故选B.
法二(特值验证法) 由a1=1,{Sn+nan}为常数列,可得S1+1×a1=1+1=2,故Sn+nan=2.当n=1时,a1=1,排除C;当n=2时,S2+2×a2=2,即a1+a2+2a2=2,即3a2=1,解得a2=,A,B,D都满足;当n=3时,S3+3a3=2,即1++4a3=2,解得a3=,排除A,D.故选B.
当出现=f(n)时,用累乘法求an,即利用an=a1···…·(n≥2),注意观察哪些项消去或约去,为此有时要“多写几项”.
方法3 构造法
[例3] (1)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+1,则通项公式an= .
(2)在数列{an}中,已知a1=,an+1=an+()n+1,则数列{an}的通项公式an= .
【答案】 (1)2n－1 (2)3()n－2()n
【解析】 (1)由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1),即数列{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,
则an+1=2×2n－1=2n,故an=2n－1.
(2)在an+1=an+()n+1两边分别乘以2n+1,得2n+1·an+1=(2n·an)+1.
令bn=2n·an,则bn+1=bn+1,
根据待定系数法,得bn+1－3=(bn－3).
所以数列{bn－3}是首项为b1－3=2×－3=－,公比为的等比数列.
所以bn－3=－·()n－1,即bn=3－2()n.
于是an==3()n－2()n.
形式 构造方法
an+1= pan+q 引入参数c,构造新的等比数列{an－c}
an+1= pan+qn+1 两边同除以qn+1,构造新的数列{}
an+1= 两边同时取倒数转化为=·+的形式,化为bn+1=pbn+q型
[针对训练]
1.(方法1)(2025·上海模拟)在数列{an}中,a1=3,且an=an－1+lg(n≥2),则a100= .
【答案】 5
【解析】 a2=a1+lg 2,a3=a2+lg,a4=a3+lg,…,a100=a99+lg ,各式累加得a100=a1+(a2－a1)+(a3－a2)+…+(a100－a99)=a1+lg 2+lg +lg+…+lg=3+lg 100=5.
2.(方法2)已知数列{bn}满足b1=2,(n+2)bn=nbn+1,其中n∈N*,则{bn}的通项公式为 .
【答案】 bn=n(n+1)
【解析】 当n≥2时,bn=b1···…·=2××××…··=n(n+1),又b1=2满足上式,所以{bn}的通项公式为bn=n(n+1).
3.(方法3)已知在数列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),则数列{an}的通项公式an= .
【答案】
【解析】 因为an+1=,a1=2,所以an≠0,
所以=+,即=,
又a1=2,则=,所以数列{}是以为首项,为公差的等差数列.
所以=+(n－1)×=.所以an=.
考点三 数列的性质及其应用
角度1 数列的周期性
[例4] 斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用,斐波那契数列{an}可以用如下方法定义:an+2=an+1+an,且 a1=a2=1,若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn},则数列{bn}的前2 025项和为( )
[A] 2 024 [B] 2 025
[C] 2 698 [D] 2 700
【答案】 D
【解析】 因为an+2=an+1+an,且a1=a2=1,
所以数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn}为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…,是以6为周期的周期数列,
所以数列{bn}的前2 025项和S2 025=×(1+1+2+3+1+0)+b1+337×6+b2+337×6+b3+337×6=2 700.
故选D.
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
角度2 数列的单调性
[例5] 已知数列{an}的通项公式为an=,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为( )
[A] (3,+∞) [B] (2,+∞)
[C] (1,+∞) [D] (0,+∞)
【答案】 D
【解析】 因为an+1－an==,由于数列{an}为递减数列知,
对任意n∈N*,an+1－an=<0,
所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立,
所以实数k的取值范围为(0,+∞).故选D.
解决数列单调性问题的方法
(1)用作差比较法,根据an+1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列.
(2)用作商比较法,根据(an>0或an<0)与“1”的大小关系进行判断.
(3)结合相应函数的图象直观判断.
角度3 数列的最值
[例6] (2025·安徽合肥模拟)若数列{an}的前n项积 bn=1－n,则an的最大值与最小值之和为( )
[A] － [B] [C] 2 [D]
【答案】 C
【解析】 因为数列{an}的前n项积bn=1－n,
当n=1时,a1=;
当n≥2时,bn－1=1－(n－1),bn－1≠0,所以an====1+,
当n=1时也适合上式,所以an=1+,
所以当n≤4时,数列{an}为递减数列,且an<1;
当n≥5时,数列{an}为递减数列,且an>1,
故an的最大值为a5=3,最小值为a4=－1,
所以an的最大值与最小值之和为2.故选C.
求解数列的最大项或最小项的常用方法
(1)函数法,利用函数的单调性求最值.
(2)利用(n≥2)确定最大项,利用(n≥2)确定最小项.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·江西南昌模拟)若首项为1的数列{an}满足an+1=,则a16等于( )
[A] 2－ [B] 2+
[C] －1 [D] 1
【答案】 C
【解析】 由a1=1,an+1=,
得a2====2+,
a3====－2－,
a4====－1,
a5=====－2+,
a6====2－,
a7====1,
因为a7=a1,由此可得数列{an}是一个周期为6的周期数列,所以a16=a10=a4,
则a16=－1.故选C.
2.(角度2)(多选题)(2025·江西吉安模拟)已知首项为1的正项数列{an}满足4－1=
4an+1an,则( )
[A] {an}为递增数列
[B] >
[C] <
[D] 数列{an+1－an}为递减数列
【答案】 ACD
【解析】 对于A,由4－1=4an+1an,an>0,a1=1,可得an+1－an=an+1－=>0,即an+1>an,可得数列{an}为递增数列,故A正确;对于B,由数列{an}为递增数列,可得a8>a7>a1=1,即有<,故B错误;对于C,因为{an}为递增数列,且an>0,所以<1,所以=an+1an+=+an(an+1－an)=+<+=,故C正确;对于D,设bn=an+1－an=,可得bn+1－bn==<0,则数列{an+1－an}为递减数列,故D正确.故选ACD.
3.(角度3)(2025·上海模拟)数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),则数列{an}的最小项的值为 .
【答案】 －6
【解析】 令an=<0,得n<(n∈N*),令an=>0,得n>(n∈N*),所以当n≤7时,an<0,当n≥8时,an>0,而函数y=在[1,7]上单调递减,所以当n=7时,an取得最小值－6,即数列{an}的最小项的值为－6.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
用观察法求解通项公式 1,10
由an与Sn的关系求通项公式 8,16
由递推关系求通项公式 4,6,12,14
数列的性质及其应用 2,3,5,7,9,11,13,15
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·辽宁辽阳模拟)已知一个数列的前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,则该数列的第41项为( )
[A] 760 [B] 800 [C] 840 [D] 924
【答案】 C
【解析】 由题意得,该数列的奇数项依次为,,,…,易知该数列的第41项为=840.故选C.
2.(2025·四川成都模拟)已知数列{an}满足an+1=1－,a1=2(n∈N*),则a2 025等于( )
[A] 2 [B] [C] －1 [D] 2 023
【答案】 C
【解析】 由a1=2,an+1=1－,可推得a2=,a3=－1,a4=2,a5=,a6=－1,…,所以数列{an}是以3为周期的一个周期数列,所以a2 025=a675×3=a3=－1.故选C.
3.(多选题)(2025·内蒙古呼伦贝尔模拟)下列命题中正确的是( )
[A] 数列{an}的通项公式为an=n(n+1),则120是该数列的第11项
[B] 数列1,2,4,7,…的一个通项公式是an=+1
[C] 数列0,1,0,1,…没有通项公式
[D] 设数列{an},an=,其中a,b,c均为正数,则此数列为递增数列
【答案】 BD
【解析】 对于A,令an=n(n+1)=120,则n2+n－120=0,显然11不是方程的解,故A错误;对于B,若通项公式是an=+1,则a1=1,a2=2,a3=4,a4=7,故B正确;对于C,数列0,1,0,1,…,它的一个通项公式为an=故C错误;
对于D,an+1－an==>0,得an+1>an,则此数列为递增数列,故D正确.故选BD.
4.已知数列{an}对任意k∈N*满足ak·ak+1=2k,则a1·a2 026等于( )
[A] 21 012 [B] 21 013
[C] 22 024 [D] 22 025
【答案】 B
【解析】 由ak·ak+1=2k,得ak+1·ak+2=2k+1,所以=2,
所以····…···=21 012,即=21 012,①
又因为a1·a2=2,②
①②两式相乘,得a1·a2 026=21 013.故选B.
5.(2025·江西赣州模拟)已知数列{an}满足 an=(n∈N*),且数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( )
[A] (2,3) [B] [2,3)
[C] (,3) [D] (1,3)
【答案】 C
【解析】 当n≤6时,有3－a>0,即a<3;当n>6时,有a>1,又a7>a6,即a>10－6a,综上,有
故选C.
6.(5分)在数列{an}中,a1=3,且点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x－y+1=0上,则数列{an}的通项公式为 .
【答案】 an=·4n－1－
【解析】 因为点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x－y+1=0上,所以4an－an+1+1=0,
即an+1=4an+1,得an+1+=4(an+),
所以{an+}是首项为a1+=,公比为4的等比数列,所以an+=·4n－1,
故an=·4n－1－.
7.(5分)(2025·北京模拟)已知数列{an}的通项公式为 an=(n+2)·()n,则当an取得最大值时,n= .
【答案】 5或6
【解析】 当an取得最大值时,有n≥2,
所以n≥2,
解得所以当an取得最大值时,n=5或6.
8. (8分)(2024·辽宁锦州模拟)已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足a1=1,an+1=2+1.
(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
【解】 (1)因为a1=1,an+1=2+1,
所以a2=2+1=2+1=3.
(2)由an+1=2+1,得(an+1－1)2=4Sn,
当n≥2时,(an－1)2=4Sn－1,
所以(an+1－1)2－(an－1)2=4(Sn－Sn－1)=4an.
所以－2an+1－2an=0,
即(an+1+an)(an+1－an－2)=0.
因为an>0,所以an+1－an=2(n≥2).
a2－a1=2,所以{an}为等差数列,且公差为2,
所以an=1+(n－1)×2=2n－1.
9.已知数列{an}满足=2,a1=20,则的最小值为( )
[A] 4 [B] 4－1
[C] 8 [D] 9
【答案】 C
【解析】 由an+1－an=2n知a2－a1=2×1,a3－a2=2×2,…,an－an－1=2(n－1),n≥2,
以上各式相加得an－a1=n2－n,n≥2,
所以an=n2－n+20,n≥2.
当n=1时,a1=20符合上式,所以=n+－1,n∈N*,所以当n≤4时,单调递减,
当n≥5时,单调递增,因为=,
所以的最小值为==8.故选C.
10.(多选题)(2025·湖南永州模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石子所排的形状,把数分成许多类,如图(1),图形中黑色小点个数:
1,3,6,10,…称为三角形数,如图(2),图形中黑色小点个数:1,4,9,16,…称为正方形数.记三角形数为数列{an},正方形数为数列{bn},则( )
[A] a5=15 [B] b5=20
[C] b10=a10+45 [D] an=
【答案】 ACD
【解析】 依题意,an=1+2+3+4+…+n=,a5==15,故A,D正确;
bn=1+3+5+7+…+(2n－1)==n2,b5=25,故B错误;
a10==55,b10=100=55+45=a10+45,故C正确.故选ACD.
11.(2025·吉林长春模拟)已知an=n·()n+2,则数列{an}的偶数项中最大项为( )
[A] a10 [B] a8 [C] a6 [D] a4
【答案】 D
【解析】 在数列{an}中,an=n·,则==×,令×>1,解得n<4,则当n<4时,an+1>an,即a4>a3>a2>a1,同理当n>4时,an+1a6>a7>a8>…,而当n=4时,a5=a4,所以数列{an}的偶数项中最大项为a4.故选D.
12.(2025·河南郑州模拟)已知数列{an}满足a2=2,a2n=a2n－1+2n(n∈N*),a2n+1=a2n+
(－1)n(n∈N*),则数列{an}的第2 026项为( )
[A] 21 014－2 [B] 21 014－3
[C] 21 013－2 [D] 21 013－3
【答案】 A
【解析】 由a2n+1=a2n+(－1)n得a2n－1=a2n－2+(－1)n－1(n∈N*,n≥2),又由a2n=a2n－1+2n得a2n=a2n－2+2n+(－1)n－1(n∈N*,n≥2),
所以a4=a2+22+(－1),a6=a4+23+(－1)2,a8=a6+24+(－1)3,…,a2 026=a2 024+21 013+(－1)1 012,将上面各式相加得a2 026=a2+(－1)1+(－1)2+…+(－1)1 012+22+23+…+21 013=2+=21 014－2.故选A.
13.(5分)(2025·河南安阳模拟)已知数列{an}满足 a1=,an+1－3=(an－2)(an+1)(n∈N*),数列{}的前n项和为Sn,则S2 025的整数部分是 .
【答案】 1
【解析】 因为an+1－3=(an－2)(an+1)=－an－2,所以an+1－an=－2an+1=(an－1)2,
又a1=,所以an－1>0,所以an+1－an>0,
所以数列{an}为递增数列.
因为an+1－1=－an=an(an－1),
所以==,
则=,
所以Sn=+++…++=+++…+
+==2－,所以S2 025=2－,
因为a1=<2,a2=－a1+1=<2,a3=－a2+1=>2;
所以a2 026>a2 025>…>a4>a3>2,
所以0<<1,所以1<2－<2,
则S2 025的整数部分为1.
14.(5分)(2025·浙江杭州模拟)已知数列{an}满足nan+1－(n+1)an=1(n∈N*),a3=2,则a1= ,a2 025= .
【答案】 0 2 024
【解析】 令n=2可得2a3－3a2=1,所以a2===1,令n=1可得a2－2a1=1,所以a1==0,由nan+1－(n+1)an=1(n∈N*)可得==,
所以==,==,…,=,以上(n－1)个式子相加可得=1－,所以an=n－1,则a2 025=2 025－1=2 024.
15.(12分)(2025·云南昭通模拟)在数列{an}中,an=1+(n∈N*,a∈R且a≠0).
(1)若a=－7,求数列{an}的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求实数a的取值范围.
【解】 (1)当a=－7时,an=1+.
结合函数f(x)=1+的单调性,
可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*),所以数列{an}的最大项为a5=2,
最小项为a4=0.
(2)易知an=1+=1+.
若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,
则结合函数 f(x)=1+的单调性,
可知5<<6,解得－10故实数a的取值范围是(－10,－8).
16.(13分)已知在数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)记bn=3n－λ,若数列{bn}为递增数列,求λ的取值范围.
【解】 (1)因为2Sn=(n+1)an,所以2Sn+1=(n+2)an+1,所以2an+1=(n+2)an+1－(n+1)an,
即nan+1=(n+1)an,所以=,
所以==…==1,所以an=n(n∈N*).
(2)因为bn=3n－λn2,所以bn+1－bn=3n+1－λ(n+1)2－(3n－λn2)=2·3n－λ(2n+1).
因为数列{bn}为递增数列,
所以2·3n－λ(2n+1)>0,即λ<,
令cn=(n∈N*),
则=·=>1,
所以{cn}为递增数列,所以λ(
第
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第1节 数列的概念
第六章 数 列
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数,理解单调性是数列的一项重要性质,可用来求最值.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.数列的有关概念
概念 含义
数列 按照 排列的一列数
数列的项 数列中的
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式
前n项和 数列{an}中,称Sn= 为数列{an}的前n项和
确定的顺序
每一个数
a1+a2+…+an
知识梳理
2.数列的表示方法
列表法 列表格表示n与an的对应关系
图象法 把点 画在平面直角坐标系中
公 式 法 通项 公式 把第n项an用 表示的方法
递推 公式 把数列中的相邻 或多项之间的关系用一个式子表示出来
(n,an)
式子
两项
知识梳理
3.an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,
知识梳理
4.数列的分类
对点自测
C
[A] －4 [B] 0
[C] 4 [D] 16
对点自测
对点自测
2.(人教A版选择性必修第二册P8 练习T4改编)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,那么它的通项公式an等于( )
[A] n [B] 2n
[C] 2n+1 [D] n+1
B
【解析】 因为a1=S1=1+1=2,an=Sn－Sn－1=(n2+n)－[(n－1)2+(n－1)]=2n(n≥2),
当n=1时,2n=2=a1,所以an=2n.故选B.
对点自测
B
对点自测
4.(人教A版选择性必修第二册P5例2(1)改编)在数列1,－2,4,－8,16,…中,这个数列的第7项是 .
64
【解析】 由数列1,－2,4,－8,16,…,可知通项公式为an=(－2)n－1,
所以a7=(－2)6=64.
对点自测
5.设数列{an}的通项公式为an=n2+bn,若数列{an}是单调递增数列,则实数b的取值范围是 .
(－3,+∞)
【解析】 由题意可得an+1－an>0恒成立,
即(n+1)2+b(n+1)－n2－bn=2n+1+b>0,即b>－2n－1,又n≥1,－2n－1≤－3,故b∈(－3,+∞).
关键能力
课堂突破
考点一 由an与Sn的关系求通项公式
1.(2025·山东青岛模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,bn=(－1)nan
(n∈N*),则数列{bn}的前50项和为( )
[A] 49 [B] 50 [C] 99 [D] 100
A
2.(2025·广东湛江模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和,且Sn+2an=2(n∈N*),则an= .
3.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=－1,an+1=SnSn+1,则数列的通项公式an=
.
1.已知Sn求an的常用方法
题后悟通
2.Sn与an关系问题的求解思路
方向1:利用an=Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn,Sn－1的关系式,再求解.
方向2:利用Sn－Sn－1=an(n≥2)转化为只含an,an－1的关系式,再求解.
考点二 由递推关系求通项公式
[例1] 设数列{an}满足a1=1,且an+1－an=n+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式
an= .
方法1 累加法——形如an+1－an=f(n),求an
当出现an+1－an=f(n)时,用累加法求an,即利用 an=(a2－a1)+(a3－a2)+
(a4－a3)+…+(an－an－1)+a1(n≥2).
解题策略
B
[例2] (2025·山东潍坊模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,{Sn+nan}为常数列,则an等于( )
解题策略
2n－1
方法3 构造法
[例3] (1)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+1,则通项公式an= .
【解析】 (1)由an+1=2an+1得an+1+1=2(an+1),即数列{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,
则an+1=2×2n－1=2n,故an=2n－1.
解题策略
[针对训练]
5
bn=n(n+1)
2.(方法2)已知数列{bn}满足b1=2,(n+2)bn=nbn+1,其中n∈N*,则{bn}的通项公式为 .
考点三 数列的性质及其应用
角度1 数列的周期性
[例4] 斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用,斐波那契数列{an}可以用如下方法定义:an+2=an+1+an,且 a1=a2=1,若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{bn},则数列{bn}的前2 025项和为( )
[A] 2 024 [B] 2 025
[C] 2 698 [D] 2 700
D
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
解题策略
角度2 数列的单调性
[A] (3,+∞) [B] (2,+∞)
[C] (1,+∞) [D] (0,+∞)
D
解决数列单调性问题的方法
(1)用作差比较法,根据an+1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列.
解题策略
(3)结合相应函数的图象直观判断.
角度3 数列的最值
C
求解数列的最大项或最小项的常用方法
(1)函数法,利用函数的单调性求最值.
解题策略
[针对训练]
C
ACD
－6
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
用观察法求解通项公式 1,10
由an与Sn的关系求通项公式 8,16
由递推关系求通项公式 4,6,12,14
数列的性质及其应用 2,3,5,7,9,11,13,15
1.(2025·辽宁辽阳模拟)已知一个数列的前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,
40,50,60,则该数列的第41项为( )
[A] 760 [B] 800 [C] 840 [D] 924
C
基础巩固练
C
3.(多选题)(2025·内蒙古呼伦贝尔模拟)下列命题中正确的是( )
BD
B
4.已知数列{an}对任意k∈N*满足ak·ak+1=2k,则a1·a2 026等于( )
[A] 21 012 [B] 21 013 [C] 22 024 [D] 22 025
C
6.(5分)在数列{an}中,a1=3,且点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x－y+1=0上,则数列{an}的通项公式为 .
5或6
(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
综合运用练
C
10.(多选题)(2025·湖南永州模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石子所排的形状,把数分成许多类,如图(1),图形中黑色小点个数:1,3,6,10,…称为三角形数,如图(2),图形中黑色小点个数:1,4,9,16,…称为正方形数.记三角形数为数列{an},正方形数为数列{bn},则( )
ACD
D
[A] a10 [B] a8
[C] a6 [D] a4
12.(2025·河南郑州模拟)已知数列{an}满足a2=2,a2n=a2n－1+2n(n∈N*),a2n+1=
a2n+(－1)n(n∈N*),则数列{an}的第2 026项为( )
[A] 21 014－2 [B] 21 014－3
[C] 21 013－2 [D] 21 013－3
A
1
14.(5分)(2025·浙江杭州模拟)已知数列{an}满足nan+1－(n+1)an=1(n∈N*),
a3=2,则a1= ,a2 025= .
0
2 024
应用创新练
(1)若a=－7,求数列{an}的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求实数a的取值范围.
16.(13分)已知在数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式.
16.(13分)已知在数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N*).