【浙江省专用】2024-2025学年高二数学下册期末真题专项练习 01 单项选择（含答案+解析）

【浙江省专用】2024-2025学年高二数学下册期末真题专项练习
01 单项选择
一、选择题
1．（2024高二下·浙江期末）数据1，2，3，4，5，6，7，7的第25百分位数是（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
2．（2024高二下·衢州期末）复数（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·湖州期末）商家为了解某品牌电风扇的月销售量（台）与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月该品牌电风扇的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；
平均气温 27 29 31 33
月销售量（台） 24 33 40 55
由表中数据算出线性回归方程中的，据此估计平均气温为的那个月，该品牌电风扇的销售量约为（　　）台.
A．63 B．61 C．59 D．57
4．（2024高二下·平阳期末）已知向量，，则“”是“向量与的夹角为锐角”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022高二下·湖州期末）设，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高二下·株洲期末）已知集合 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·武威期末）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·浙江期末）在中，已知角所对的边分别是，已知，则等于（　　）
A．2 B． C． D．
9．（2024高二下·浙江期末）已知空间中两个不重合的平面和平面，直线平面，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2024高二下·浙江期末）从数据中随机选择一个数，则这个数平方的个位数是6或9的概率为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·浙江期末）在中，为边的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
12．（2024高二下·浙江期末）已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
13．（2024高二下·浙江期末）函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
14．（2024高二下·舟山期末）复数z满足（为虚数单位），则复数z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
15．（2024高二下·宁波期末）已知，为单位向量，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．（2024高二下·慈溪期末）已知向量，的夹角为，，且向量在向量上的投影向量为，则实数（　　）
A． B． C． D．
17．（2024高二下·慈溪期末）已知三个不同的平面，且，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．（2024高二下·湖州期末）的展开式中常数项的值为，记展开式的二项式系数和为，系数和为，则（　　）
A． B． C． D．
19．（2024高二下·湖州期末）若复数（为虚数单位），则（　　）
A．0 B．1 C． D．
20．（2024高二下·湖州期末）设向量，如果与共线且方向相同，则的值为（　　）
A． B． C．0 D．
21．（2023高二下·杭州）若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是 （　　）
A． B．
C． D．
22．（2024高二下·衢州期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
23．（2024高二下·浙江期末）近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（　　）
A．16 B．72 C．74 D．90
24．（2024高二下·平阳期末）已知，则的值为（　　）
A． B．1 C．4 D．
25．（2024高二下·丽水期末）已知函数的定义域为，的图象关于中心对称，是偶函数，则（　　）
A． B． C． D．
26．（2024高二下·泰山期末）已知函数为奇函数，则实数的值为（　　）
A． B．1 C．0 D．-1
27．（2023高二下·宁波期末） 对数与互为相反数，则有（　　）
A． B． C． D．
28．（2024高二下·浙江期末）已知为锐角，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
29．（2024高二下·浙江期末）已知函数，则其图象一定不过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
30．（2024高二下·浙江期末）不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
31．（2024高二下·舟山期末）嫦娥六号是中国计划进行的一次月球采样返回任务.假设嫦娥六号在接近月球表面时，需要进行一系列的减速操作，其减速过程可以近似地看作是一个指数衰减过程，其速度（单位：米/秒）随时间t（单位：秒）的变化关系可以表示为：，其中是初始速度，是一个减速过程相关的常数.已知嫦娥六号在时的初始速度为，经过后，速度变为.若嫦娥六号需要在时将速度减至月球表面的安全着陆速度，则（　　）
（精确到小数点后一位，参考数值：）
A．99.7 B．99.8 C．99.3 D．96.3
32．（2024高二下·舟山期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（　　）
A． B． C． D．
33．（2024高二下·舟山期末）在的展开式中，常数项为（　　）
A．182 B．42 C． D．
34．（2024高二下·舟山期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
35．（2024高二下·舟山期末）已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
36．（2024高二下·舟山期末）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
37．（2024高二下·慈溪期末）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
38．（2024高二下·慈溪期末）已知函数与是互为反函数，则（　　）
A． B． C． D．
39．（2024高二下·慈溪期末）已知），若为纯虚数，则（　　）
A．1 B．2 C．或 D．1或2
40．（2024高二下·湖州期末）若曲线在点处的切线方程为，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
41．（2024高二下·绍兴期末）设，为两个随机事件，若，，，则(　　)
A． B． C． D．
42．（2024高二下·绍兴期末）已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值是(　　)
A． B． C． D．
43．（2024高二下·绍兴期末）已知集合，，则(　　)
A． B． C． D．
44．（2024高二下·台州期末）现有道单选题，假定学生张君对每道题有思路与无思路的概率均为他对题目若有思路，做对的概率为；若没有思路，做对的概率为在已知张君恰做对题的条件下，则其恰有题有思路的概率为(　　)
A． B． C． D．
45．（2024高二下·台州期末）甲、乙等人站成前排人、后排人拍照，其中甲、乙两人在同一排相邻的排法共有(　　)
A．种 B．种 C．种 D．种
46．（2024高二下·台州期末）已知为正实数，，则(　　)
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
47．（2024高二下·浙江期末）已知正方体，点在上运动（不含端点），点在上运动（不含端点），直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列关于的取值可能正确的是（　　）
A． B． C． D．
48．（2024高二下·舟山期末）已知函数的定义域为，且，的图像关于直线对称，，在上单调递增，则下列说法中错误的是（　　）
A． B．的一条对称轴是直线
C． D．
49．（2024高二下·绍兴期末）已知函数的定义域为，对定义域内任意的，，当时，都有，则下列说法正确的是(　　)
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．函数和在上有相同的单调性
50．（2024高二下·台州期末）设且，方程在复数集内的三个根为，可以将上述方程变形为，展开得到，比较该方程与方程，可以得到，，已知是虚数单位，且是的三个实根，则(　　)
A． B． C． D．
答案解析部分
1．B
解：因为数据共有8项，且，
所以，第25百分位数为2和3的平均数，即为2.5．
故选：B．
根据题意结合百分位数求解方法，从而得出数据1，2，3，4，5，6，7，7的第25百分位数.
2．D
解：.
故答案为：D.
根据复数代数形式的乘法运算计算即可.
3．A
解：易知，
因为经验回归方程必过点，，所以，解得，
则，
当时，，则估计平均气温为的那个月，该品牌电风扇的销售量约为件.
故答案为：A.
由表中数据先求的值，根据经验回归方程必过样本点中心，求得的值，得回归直线方程，代入，求解即可.
4．C
5．A
解：由解得：；
由解得：．
因为
“”是“”的充分不必要条件．
故答案为：A．
由解得：；由解得：，即可判断出结论．
6．C
， ，
故答案为：C
集合A，B是数集，交集运算求出公共部分即可.
7．C
解：由，解得，则集合，因为，所以，则.
故答案为：C.
解不等式，求得集合，再根据交集，补集和子集得定义判断即可.
8．A
解：由三角形内角和定理得出角A的值，再由正弦定理得出b的值．
故选：A
根据三角形内角和定理和正弦定理得出b的值.
9．B
解：当时，与可能相交也可能平行，故不能推出，即充分性不成立；
由可以推出，即必要性成立．所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
利用已知条件和线面平行、面面平行的位置关系判断方法，从而根据充分条件、必要条件的判断方法，进而找出正确的选项.
10．D
解：样本空间的样本点总数为8，设事件：“这个数平方的个位数是6或9”，
则中的样本点为共5个，所以概率．
故选：D．
利用已知条件找到样本空间个数及符合条件的样本点的个数，再利用古典概型求概率公式得出这个数平方的个位数是6或9的概率.
11．D
解：
因为，故A、B错误；
因为，故C错误；
由平行四边形法则可知，故D正确；
故选：D．
由向量的加减法运算法则，从而借助三角形法则和相反向量的定义，进而分别对四个选项进行判断，从而得出正确的选项.
12．A
解：因为，所以．
故选：A．
解一元二次方程得出集合B，再利用集合的并集得出集合A和集合B的并集.
13．C
解：要使函数有意义，则，得，
所以，函数的定义域为．
故选：C．
根据偶次根式函数的定义域的求解方法得出函数的定义域.
14．B
解：因为，所以，
所以 复数z的虚部为.
故答案为：B.
先根据复数除法运算法则计算z，然后根据复数定义，即可求解.
15．C
解：，解得．
所以是的充要条件．
故答案为：C.
两边平方，利用数量积运算性质化简，即可得解.
16．C
解：向量在向量上的投影向量为，
则，即，
因为，所以，解得.
故答案为：C.
由题意，根据投影向量概念列出向量方程，结合向量的数量积计算即可.
17．B
解：若，，则或与相交，即充分条件不成立；
若，，则，即必要条件成立，
故三个不同的平面，且，则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B．
由垂直于同一平面的两平面相交或平行结合充分必要条件的定义判断即可．
18．A
解：的展开式的通项为，
令，解得，则的展开式中常数项是第四项即：，解得，
则的展开式系数和为，即，
的展开式二项式系数和为，即，故.
故答案为：A.
先写出展开式的通项公式求出常数项，并求值，再由二项式系数和是求得m，利用赋值求n的值，即可求得的值.
19．D
解：，则，.
故答案为：D.
根据复数的代数运算化简复数，再求其共轭复数，并求模即可.
20．B
解：向量，
若与共线 且方向相同，则，且，解得.
故答案为：B.
根据向量共线列方程求出的值即可.
21．C
，则 共面，故不能构成基底，故A错误；
，因此 共面，故不能构成基底，故B错误；
假设 即，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；
因此向量 共面，故不能构成基底，故D错误.
故选： C.
根据空间基底的概念逐项进行判断，可得答案.
22．A
解：设切点，
函数的定义域为，，
则切线斜率为：，
即切线方程为：，
因为切线过点，所以，
所以，
因为过原点的切线有两条，所以关于方程有两解，
由（），
设，，
当时，即，解得，
则函数在单调递增，在单调递减，且，当时，，
则有两解，即.
故答案为：A.
设切点，求导，根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式求切线方程，再根据切线过点，得到的关系，利用有两解求的取值范围即可.
23．C
解：由题意知，只要解不等式，化简得，
因为，所以，
所以．
故选：C．
由题得出不等式，再结合指数式与对数式的互化公式，然后由对数运算性质结合参考数据可得答案.
24．C
25．D
解：因为函数的图象关于中心对称，
则（ ），
又因为是偶函数，则，
则的图象关于轴对称，所以（ ），
令代入（ ）得，，解得，
再将代入 （ ）得到.
故答案为：D.
根据函数的图象的对称性得出，再利用偶函数的定义得出的图象关于轴对称，则得出，再由代入法代入（ ）得的值，再由代入法代入 （ ）得到的值，则找出正确的选项.
26．A
因为函数为奇函数，所以，，
又因为，，
则，则，
所以，，则，所以实数的值为.
故答案为：A.
利用已知条件结合奇函数的定义，进而得出实数a的值.
27．C
因为对数与互为相反数 ，
所有 ，即.
故答案为：C
根据对数的定义和运算逐项分析判断.
28．D
解：因为是锐角，所以，
所以，化简得，
平方得，
所以．
故选：D．
根据是锐角，得到，故，再两边平方，从而结合同角三角函数基本关系式和正弦二倍角公式求出的值.
29．B
解：因为，取，得，所以在第一象限有图象；
取，得，所以在第四象限有图象；
取，得，所以在第三象限有图象．
由排除法知图象不过第二象限．
故选：B．
由函数的解析式和代入法，计算出，，，再判断出图象过第一，第四，第三象限，从而得到答案.
30．A
解：不等式可化为，等价于，
解得，所以，不等式的解集为．
故选：A．
将不等式整理为，再结合分式不等式求解方法得出不等式的解集.
31．A
解：因为，所以，所以 ，
所以，所以，所以.
故答案为：A.
将 在时的初始速度为，经过后，速度变为
代入，求出解析式，将 代入解析式，两边取对数结合换底公式，
即可求解.
32．A
解：因为，所以，因为为互斥事件，
所以，又
所以，所以，
所以.
故答案为：A.
根据对立事件由 ，求得，根据互斥事件，由 ，求得，代入即可求解.
33．B
解：的通项为 ，
当8-2r=0，即r=4时，的常数项为，
当8-2r=-2，即r=5时，的含项为，
所以的展开式中，常数项为.
故答案为：B.
先写出的通项，求出含项、常数项，再分别与相乘后相加，即可求解.
34．D
解：因为.
故答案为：D.
先根据诱导公式化简，求出再根据二倍角公式、同角三角函数关系将转化为正切值，代入计算即可求解.
35．C
解：m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，
若，，则 或，故A错误.
若，，，则 或m、n是异面直线，故B错误.
若， ，则内存在直线与垂直，所以，故C正确.
若，， ，则m不一定垂直，n不一定垂直，所以不一定成立，故D错误.
故答案为：C.
根据线面平行判定定理，判断A错误.根据面面平行性质定理，判断B错误.根据面面垂直判定定理，判断C正确、D错误.
36．C
解：因为 集合，，
所以.
故答案为：C.
先求出集合P，再根据交集定义，即可求解.
37．C
解：若时，，则，满足题意，
若，当，解得且，此时满足题意，
若时，，此时，
此时方程在只有一根，满足题意，
若时，，此时，
此时方程在只有一根，满足题意，
当，得时，此时，
此时方差的根为，满足题意，
综上可得或
故答案为：C
分两种情况：若时；若；根据零点的定义可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围，再分时和时求出具体的零点进行检验，据此可求出实数的取值范围.
38．D
解：因为函数与是互为反函数，
所以，则，，
，，即正确的只有D.
故答案为：D
根据反函数的定义先求出的解析式，据此可求出，，，的值，选出选项.
39．B
解：为纯虚数，故且，解得.
故答案为：B.
根据纯虚数的定义，可列方程组，解方程组可求出实数a的值.
40．C
解：函数的定义域为，，
则切线的斜率为，，
将代入中，可得，则，
，
令，求导可得，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，上单调递减，即，
故的最大值为.
故答案为：C.
求函数的定义域，再求导，根据导数的几何意义得到，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性得到，即可得到的最大值.
41．B
解：由条件概率可得，
，
所以，，
所以，
故答案为：B
本题考查条件概率的计算公式，和事件的概率公式.根据条件，先利用条件概率公式可求出，利用和事件的概率公式可求出，利用对立事件概率公式可求出，，利用条件概率的计算公式可求出答案.
42．A
解：因为，所以，
从而，所以即，
故，
故答案为：A.
本题考查平面向量垂直的转化，平面向量的夹角.先根据平面向量垂直的转化可得：，通过化简可求出，再利用平面向量的夹角计算公式可求出向量与夹角的余弦值.
43．D
解：A，，A错误，
B，或，所以，B错误，
C，，但，C错误，
D，，D正确，
故答案为：D
本题考查集合的交并补运算，集合间的基本关系.元素不在集合B中，根据元素与集合的关系可判断A选项；先利用补集的定义求出，再利用集合的并集运算求出，进而可判断B选项；根据集合间的基本关系可判断C选项；利用集合的交集运算求出，可判断D选项.
44．D
解：设事件为张君对1题有思路，表示张君对1题没有思路，事件表示做对，
则，
所以2题恰有1题作对的概率为，
则2题中作对1题，且只有1题有思路的概率，
所以张君恰做对1题的条件下，则其恰有1题有思路的概率为.
故答案为：D
本题考查全概率的计算公式，条件概率的计算公式.设事件为张君对1题有思路，表示张君对1题没有思路，事件表示做对，利用全概率的计算公式可求出，利用二项分布概率公式可求出2题恰有1题作对的概率和2题中作对1题，且只有1题有思路的概率，再利用条件概率的计算公式可求出答案，
45．C
解：分两种情况，当甲、乙两人站前排时，有种排法，
当甲、乙两人站后排时，先排甲、乙再排其他人，有种排法，
综上，共有种排法.
故答案为：C
本题考查排列组合的实际应用，分类加法计数原理.本问题分两种情况：甲、乙两人站前排；甲、乙两人站后排，先排甲、乙再排其他人；先求出两种情况的排法，再利用分类加法计数原理可求出答案.
46．A
解：因为a，b为正实数，由可得，
即得，当且仅当时取等号，
即时，ab的最小值为4.
故答案为：A.
本题考查利用基本不等式求最值.根据题目条件，直接利用基本不等式可得：，通过化简可得：，再分析等号成立的条件可求出ab的最小值.
47．C
解：如图，以为原点，所以在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
对于AB，设直线与平面所成的角为，
则，
因为，所以，
由最小角定理得，
对于A，当时，，所以A错误；
对于B，当时，，所以B错误；
对于C和D，设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面与平面所成的角为，
则，
由最大角定理得，
当时，，所以C正确；
当时，，所以D错误.
故选：C．
利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式求出直线与平面所成的角和平面与平面所成的角，再结合最小角定理和最大角定理分析判断各选项，进而找出正确的选项.
48．D
解： 函数的定义域为，且 ，
令，则，解得；
令，，则，
即，故函数为奇函数；
因为的图像关于对称，
所以，即关于对称，故B正确；
因为关于对称，所以，所以，
所以，即的周期为6，
所以，，，，，
所以，，
故A正确，D错误；
因为，且在上单调递增，
所以在上单调递减，所以，即，故C正确.
故答案为：D.
由题意，令，可求得；令，可得，利用已知可得关于对称即可判断B；可求得函数的周期为6，关于对称，计算即可判断AD；由题意可得在上单调递减即可判断C.
49．C
解：A：，，
因为，所以，
因为，所以恒成立，
又因为不相等，所以，A错误；
B：，
所以恒成立，
所以，又因为不相等，，
所以，
又，，
，，
所以，
所以，B错误；
C： 因为不相等，不妨设，
因为，
所以，
所以，C正确，
D：不妨设在上单调递增，任取，满足，
则，
因为，
所以，所以，
所以单调递减，D错误.
故答案为：C.
本题考查函数的恒成立问题.先求出，根据，可推出恒成立，再结合函数的定义域可求出的取值范围，可判断A选项；先求出，根据，可列出不等式组，解不等式组可求出的取值范围，判断B选项；
因为不相等，不妨设，因为，根据放缩可得：，通过化简可判断C选项；不妨设在上单调递增，任取，满足，根据，放缩可推出单调递减，据此可判断D选项.
50．B
解：依题意，，即，而且，
则，，
，，
所以
.
故答案为：B
本题考查复数根的定义，两角和的正切公式.根据，再结合复数相等可推出，再借助复数根的定义可求出，，，利用两角和的正切公式进行计算可求出答案.