人教版（2025）数学八年级上册16.3.2 完全平方公式-第1课时 课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
16.3.2 完全平方公式-第1课时
第十六章 整式的乘法
【2025新教材】人教版数学 八年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
16.3.2 完全平方公式 - 第 1 课时教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够准确推导并理解完全平方公式，即\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)和\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)，清晰掌握公式的结构特征。
熟练运用完全平方公式进行简单的整式乘法运算，包括底数为数字、字母、单项式等不同形式的运算。
能利用完全平方公式解决与整式乘法相关的简单实际问题，如在代数式化简、求值等场景中的应用。
（二）过程与方法目标
通过创设实际问题情境和数学问题，引导学生经历探索完全平方公式的过程，培养学生从特殊到一般的归纳推理能力以及符号感。
组织学生开展小组合作学习，共同探讨完全平方公式的推导方法和应用技巧，提高学生的合作交流能力和解决问题的能力。
在公式推导和应用过程中，让学生体会数形结合、类比、转化等数学思想方法，提升学生的数学思维能力。
（三）情感态度与价值观目标
激发学生对完全平方公式学习的兴趣，在自主探索和合作交流中体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
培养学生严谨认真的学习态度和一丝不苟的计算习惯，在公式应用中注重每一个步骤的准确性和逻辑性。
让学生感受数学知识之间的内在联系和相互转化，体会数学的简洁美和应用价值，提高学生学习数学的积极性和主动性。
二、学情分析
学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的加减、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式以及平方差公式等知识，具备了一定的整式运算基础和数学思维能力。然而，完全平方公式的推导和理解对于学生来说可能存在一定难度，尤其是公式中\(2ab\)这一项的由来以及公式结构特征的准确把握。在学习过程中，学生可能会出现以下困难：在公式推导时，对多项式乘法法则的运用不够熟练，导致推导过程出错；在公式应用时，容易混淆\((a + b)^2\)与\(a^2 + b^2\)、\((a - b)^2\)与\(a^2 - b^2\)，出现漏乘\(2\)倍项、符号处理不当等问题。此外，将实际问题转化为数学问题并运用完全平方公式解决，对学生的数学建模能力也提出了较高要求。因此，在教学过程中，要充分利用学生已有的知识经验，通过大量具体的实例，引导学生逐步理解和掌握完全平方公式，加强对易错点和难点的讲解与练习，关注学生的个体差异，及时给予指导和帮助。
三、教学重难点
（一）教学重点
完全平方公式的推导过程，让学生理解公式的来源和本质。
熟练掌握完全平方公式的结构特征，能准确运用公式进行整式乘法运算。
（二）教学难点
深入理解完全平方公式的结构特征，特别是\(2ab\)这一项在公式中的意义和作用，避免与其他公式混淆。
在实际问题中，能够准确识别并运用完全平方公式解决问题，提高学生的数学应用能力。
四、教学方法
讲授法：通过清晰、准确的语言，向学生讲解完全平方公式的推导过程、结构特征和应用方法，使学生对知识有系统的认识。重点讲解公式推导的关键步骤和易错之处，帮助学生理解和掌握。
探究法：创设问题情境，引导学生自主探究完全平方公式，让学生在探究过程中发现问题、提出问题并解决问题，培养学生的探究能力和创新思维。
讨论法：组织学生进行小组讨论，共同探讨完全平方公式的推导思路和应用技巧，促进学生之间的思想交流与合作，让学生在讨论中相互学习、共同进步。
练习法：设计有针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学的完全平方公式知识，提高学生的运算能力和解题技巧。通过练习，及时发现学生存在的问题，进行有针对性的辅导和纠正。
五、教学过程
（一）复习导入（5 分钟）
回顾多项式与多项式相乘的法则：
提问学生多项式与多项式相乘的运算法则，让学生回答并举例说明。
如\((x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\) 。
复习平方差公式：
请学生说出平方差公式的内容和符号表示。
平方差公式：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) 。
进行简单的多项式乘法计算练习：
在黑板上写出题目，如\((x + 1)(x + 4)\)、\((2x - 3)(3x + 1)\)，请几位学生到黑板上板演，其他学生在练习本上完成，然后集体订正答案，复习巩固多项式乘法知识，为学习完全平方公式做好铺垫。
（二）探索新知（15 分钟）
两数和的完全平方公式推导
情境引入：提出问题 “若一个正方形的边长为\(a + b\)，那么它的面积是多少？” 引导学生根据正方形面积公式列出式子\((a + b)^2\)，从而引出对\((a + b)^2\)展开形式的探究。
推导过程：利用多项式与多项式相乘的法则，将\((a + b)^2\)展开，即\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\) 。
归纳法则：总结两数和的完全平方公式为\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，用文字叙述为：两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的\(2\)倍。强调公式中\(a\)、\(b\)可以表示任意数、单项式或多项式。
几何解释：展示一个边长为\(a + b\)的大正方形，将其分割为一个边长为\(a\)的小正方形、一个边长为\(b\)的小正方形和两个长为\(a\)宽为\(b\)的长方形。大正方形面积为\((a + b)^2\)，四个小图形面积和为\(a^2 + ab + ab + b^2\)，从图形面积角度直观验证\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) 。
两数差的完全平方公式推导
类比探究：引导学生思考，若把\((a + b)^2\)中的\(b\)换成\(-b\)，会得到怎样的式子。让学生自己尝试运用多项式乘法法则展开\((a - b)^2\) 。
推导过程：\((a - b)^2 = [a + (-b)]^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) 。
归纳法则：总结两数差的完全平方公式为\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)，用文字叙述为：两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的\(2\)倍。
对比分析：将两数和的完全平方公式与两数差的完全平方公式进行对比，让学生观察它们的相同点和不同点，强调公式中符号的变化规律。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：运用完全平方公式计算
(1) \((x + 5)^2\)
分析：这里\(a = x\)，\(b = 5\)，根据两数和的完全平方公式\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)进行计算。
解：\((x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25\)
(2) \((2m + n)^2\)
分析：\(a = 2m\)，\(b = n\)，运用公式计算。
解：\((2m + n)^2 = (2m)^2 + 2 \cdot (2m) \cdot n + n^2 = 4m^2 + 4mn + n^2\)
例 2：运用完全平方公式计算
(1) \((x - 3)^2\)
分析：这里\(a = x\)，\(b = 3\)，根据两数差的完全平方公式\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)进行计算。
解：\((x - 3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9\)
(2) \((3a - 2b)^2\)
分析：\(a = 3a\)，\(b = 2b\)，运用公式计算。
解：\((3a - 2b)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (2b) + (2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2\)
例 3：运用完全平方公式进行简便计算
(1) \(101^2\)
分析：把\(101\)写成\(100 + 1\)，然后利用两数和的完全平方公式计算。
解：\(101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201\)
(2) \(98^2\)
分析：把\(98\)写成\(100 - 2\)，利用两数差的完全平方公式计算。
解：\(98^2 = (100 - 2)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604\)
（四）课堂练习（10 分钟）
运用完全平方公式计算：
(1) \((y + 7)^2\)
(2) \((3x + 2y)^2\)
(3) \((a - 10)^2\)
(4) \((4m - 3n)^2\)
下面的计算是否正确？如果错误，请改正。
(1) \((x + 2)^2 = x^2 + 4\) （ ）
(2) \((2a - 1)^2 = 4a^2 - 2a + 1\) （ ）
(3) \((-x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\) （ ）
教师巡视学生的练习情况，及时发现问题并给予指导，选取部分学生的答案进行展示和点评，纠正学生出现的错误。
（五）课堂小结（3 分钟）
与学生一起回顾完全平方公式，包括两数和的完全平方公式\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)和两数差的完全平方公式\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)，强调公式的结构特征和符号规律。
总结运用完全平方公式进行计算的关键步骤和注意事项，如准确确定\(a\)、\(b\)的值，注意\(2ab\)项的系数和符号等。
引导学生回顾完全平方公式的推导过程，体会从特殊到一般的数学思想方法以及数形结合的思想。
（六）作业布置（2 分钟）
基础作业：教材课后练习题中关于完全平方公式的相关题目，巩固本节课所学的基础知识和运算技能。
拓展作业：
已知\(x + y = 5\)，\(xy = 3\)，求\(x^2 + y^2\)的值。
利用完全平方公式计算\((2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) + 1\) 。
六、教学反思
在教学过程中，关注学生对完全平方公式的推导和应用的掌握情况。通过学生在课堂练习和回答问题中出现的错误，分析学生在学习过程中存在的困难和问题，如对公式结构理解不清晰、计算粗心等。针对这些问题，在后续教学中加强对公式结构的讲解和练习，增加一些易错点的专项训练，同时注重培养学生良好的学习习惯和计算习惯。此外，还要关注不同层次学生的学习情况，对学习困难的学生进行个别辅导，确保每个学生都能在本节课中有所收获和提高。同时，在教学方法上，思考是否可以进一步优化，让学生更加主动地参与到公式的探索和应用中，提高课堂教学的效率和质量。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
1. 通过学生自主探究理解完全平方公式，掌握公式的结构特征，了解公式的几何意义，并能熟练运用公式进行简单计算，提高学生解决问题的能力．
2．利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力．
3．让学生经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力．
4．通过探究过程，使学生了解“特殊—一般”的认识规律，体会数形结合、类比、转化的数学思想．
重点
难点
旧识回顾
1．a2可以表示成什么？
2．多项式与多项式相乘的法则是什么？
a×a
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.(如图)用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你有什么发现呢？
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较.
a
a
b
b
知识点 1
完全平方公式
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
(a+b)2=a2+2ab+b2
a
a
b
b
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
(2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
(3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= .
p2–2p+1
(4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= .
m2–4m+4
问题1：
学生活动 【一起探究】
根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
问题2：
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央”
完全平方公式
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗
设大正方形ABCD的面积为S.
S= =S1+S2+S3+S4= .
(a+b)2
a2+b2+2ab
S1
S2
S3
S4
证明
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
几何解释
a2
ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
差的完全平方公式：
几何解释
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a–b)2= a2–2ab+b2.
观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(1) 说一说积的次数和项数.
(2) 两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？
(3) 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a， b有什么关系？它的符号与什么有关？
问题4：
公式特征：
公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.
积为二次三项式；
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
=16m2
(1)(4m+n)2；
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+8mn
+n2；
素养考点 1
利用完全平方公式进行计算
(2)
(a – b)2 = a2– 2ab + b2
y2
=y2
–y
+
解： =
+
–2 y
(1) 1022；
= (100 –1)2
=10000 –200+1
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
992
=9801.
例2 运用完全平方公式计算：
素养考点 2
利用完全平方公式进行简便计算
方法总结：当一个数具备与整十、整百相差一个正整数时求它的平方，我们可以通过变形运用完全平方公式进行运算较简便．
利用乘法公式计算：
(1)982–101×99； (2)20162–2016×4030＋20152.
＝(2016–2015)2＝1.
解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)
＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；
(2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152
例3 已知x–y＝6，xy＝–8.
求:(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36 –16＝20；
解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，
(x–y)2＝x2＋y2–2xy，
∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy
(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20 –16＝4.
素养考点 3
利用完全平方公式的变形求整式的值
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.
添括号法则
a+(b+c) = a+b+c;
a– (b+c) = a – b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a – b – c = a – ( b + c ) .
去括号：
把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：
知识点 2
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”).
添括号法则
例 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y–3)(x–2y+3) ; (2) (a+b+c)2.
原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]
解: (1)
(2)原式= [(a+b)+c]2
= x2–(2y–3)2
= x2–(4y2–12y+9)
= x2–4y2+12y–9.
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
素养考点
添括号法则的应用
计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．
＝1–4x2＋4xy–y2.
解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2
＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c
＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；
(2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)]
＝12–(2x–y)2
1. 给出下列算式： ；
； ；
.其中错误的
有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
2. 如果,则 的值是( )
A. 4 B. 或4 C. 8 D. 或8
【点拨】 ,
, ,
.
D
返回
3. 如图，可验证的乘法公式是( )
A
A.
B.
C.
D.
返回
4.若，则 的值为____.
5.若，则代数式 为______.
6.［2025广州越秀区期中］若 ，那么多项式
的值是___.
8
返回
7.母题教材P115例4 利用完全平方公式计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ;
原式 .
利用完全平方公式进行数值运算时，可以将底数拆
成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式：
一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整
千的数与相差的数的和或差；二是将带分数拆分成整数与真
分数的和或差.
. .
. .
. .
返回
8.（1）解方程： ;
【解】 ，
，
，
，
.
（2）计算： .
.
返回
9. 母题教材P117习题 一个正方形的边长少了 ，它的
面积就减少了 ，那么这个正方形的边长为( )
B
A. B.
C. D.
返回
10. 母题母题 若，，则
( )
A. 52 B. 50 C. 45 D. 60
【点拨】, .
A
返回
11.设，， ，若
，则 的值是____.
16
【点拨】，，，.又， .
返回
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常用
结论
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面)
a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab;
4ab=(a+b)2–(a–b)2.
谢谢观看！