北师大版八年级下册数学期末专题训练：平行四边形证明题（含解析）

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北师大版八年级下册数学期末专题训练：平行四边形证明题
1．如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若恰好为的中点，的面积为16，求四边形的面积．
2．如图，是的一条对角线，于点，于点．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求四边形的周长．
3．如图，在平行四边形中，是对角线上的两点（点在点左侧），且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求线段长．
4．如图，已知四边形是平行四边形，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求点到的距离．
5．如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点E，F，连接．
(1)求证：
(2)延长交于点G，若平分，试问：与相等吗？并说明理由．
6．如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求四边形的周长．
7．如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与的交点为点．
(1)判断与有什么数量关系，并说明理由．
(2)当，，求的长．
8．如图，点、是平行四边形对角线上两点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求平行四边形的周长．
9．如图，在四边形中，，，，点，分别是，中点，连结，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
10．如图，在中，延长到E点，使，连结，与交于点O，连结、．
(1)求证：；
(2)求证：．
11．如图1，和，点在同一条直线上，已知．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，请判断四边形的形状，并说明理由．
12．如图1，的对角线与交于点，点在边上，连接并延长交边于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，与分别交于点．求证：．
13．如图，在中，过点作，垂足为，为上一点，且，过点作，垂足为．
(1)求证：；
(2)若，，，求五边形的面积．
14．如图，在平行四边形中，E，F分别是，且，连接和的交点为M，和的交点为N，连接，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若cm，求的长．
15．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，点E为的中点，过点A作交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形，
(2)若，，，求四边形的面积．
16．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，且，，．
(1)求证：；
(2)点、点分别是和的一点，连接经过点，求证：．
17．如图，在四边形中，，且交于点，平分．

(1)求证：．
(2)若，，求四边形的周长．
18．如图，在平行四边形中，，与相交于点O，点E、F、G分别是的中点．
(1)探究与的位置关系，并证明你的结论；
(2)探究与的数量关系，并证明你的结论．
19．已知为等边三角形，点，分别在，边上，，与相交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，过点作交延长线于点，请直接写出图2中所有长度等于的线段．
20．如图，在中，点H是边上一点．延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求的长．
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《北师大版八年级下册数学期末专题训练：平行四边形证明题》参考答案
1．(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）证明，，即可得证；
（2）由平行四边形的性质计算即可得解．
【详解】（1）证明：∵平分，平分，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，，
，即，
，，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：恰好为的中点，
，
设的高为，
的面积为16，
，
由（1）得四边形为平行四边形，
．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质于判定、平行四边形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键；
（1）根据题意得出，根据平行四边形的性质，证明，得出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质得，则，进而根据勾股定理，在和中，得出，，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
，．
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，
，．
又，
，
，
．
，
，
，，
，
在和中，，，
四边形的周长是．
3．(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
（1）根据，可推出，再根据平行四边形的性质可得，，即可得出，，进而可证四边形是平行四边形．
（2）根据勾股定理可得，由等面积法得出，根据勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，，，
∴，
∵,
∴,
∵，
∴．
4．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）由为边的中点，得到，由平行四边形的性质得到，即可得到结论；
（2）由得到，由平行四边形的性质得到，求出，根据勾股定理求出，继而求出点到的距离．
【详解】（1）证明：为边的中点，
．
四边形是平行四边形，
，
．
，
．
（2）解：，
．
四边形是平行四边形，
．
．
，，
，
点到的距离．
5．(1)见解析
(2)相等，理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质证明，再证明四边形是平行四边形，得到，即可求证；
（2）由角平分线得到，由平行四边形得到，，则，由三角形的外角定理得到，那么，则再由等角对等边即可证明．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：相等，理由如下：
∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
6．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理．解题关键在于通过证明三角形全等得出边平行关系以判定平行四边形；利用勾股定理结合已知线段长度求出平行四边形的边长，进而求出周长．
（1）由，通过，得到 ，再结合，利用“”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）定理证明 ．全等三角形对应角相等，得到 ，根据内错角相等两直线平行，推出 ，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，从而得证．
（2）先求出的长度为 ．在中，已知， ，根据勾股定理（其中为斜边，、为两直角边）求出的长度．因为，在中，再根据勾股定理求出的长度．由于四边形是平行四边形，平行四边形对边相等，得出， ，最后根据平行四边形周长公式求出周长．
【详解】（1）证明：，，
，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解： ，，
，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形的周长为．
7．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的判断与性质，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）根据三角形中位线定理得到，，则可证明，，进一步可证明四边形是平行四边形，得到．
（2）由勾股定理求出，利用平行四边形对角线互相平分和线段中点的定义求出的长，再利用勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：，理由如下：
，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，
，，
四边形是平行四边形．
．
（2）解：在中，，，，
，．
由（1）得四边形是平行四边形，是的中点，
，．
，
，
在中，根据勾股定理得．
8．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）证明得到，再由即可证明；
（2）过点作，交的延长线于，由角直角三角形性质求出，再由勾股定理求出，然后在中，由勾股定理求出，最后根据平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：平行四边形中，，，
，
又，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，交的延长线于，
在中，，，
，
∴
在中，，
∵平行四边形，
∴，
．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的判定，勾股定理，三角形的中位线定理：
（1）根据中点结合已知条件，推出，即可得证；
（2）连接，勾股定理求出的长，三角形的中位线定理求出的长即可．
【详解】（1）解：∵点是中点，
∴，
，
四边形是平行四边形；
（2）连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵点，分别是，中点，
∴．
10．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定．
（1）先根据平行四边形的性质得，，再根据平行线的性质得，，再由得，即可证明；
（2）由（1）知，，可证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）证明：由（1）知，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
11．(1)见解析
(2)平行四边形，见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质；
（1）先证明，再利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
，
在和中，
；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
，
，
∴，
四边形是平行四边形．
12．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
（1）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，利用可证明，根据全等三角形的性质即可得出；
（2）根据全等三角形的性质得出，即可证明四边形是平行四边形，同（1）的方法证明，根据平行四边形的性质得出，根据线段的和差关系即可得答案．
【详解】（1）证明：∵的对角线与交于点，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）可知，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
13．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，再进一步利用证明即可；
（2）由勾股定理求解，可得，再利用割补法求解五边形的面积即可.
【详解】（1）证明：在中，．
，，
．
在和中，
，，，
．
（2）解：在中，，，，
．
由（1）知，
．
又四边形是平行四边形，
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质；熟记平行四边形的性质是解本题的关键.
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形为平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可得，，由三角形中位线定理可求解．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，
．
四边形是平行四边形；
（2），，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
，．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）先证明得到，再由平行四边形的性质得到，进而得到，由此即可证明四边形是平行四边形；
（2）求出，，根据四边形的面积即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形的对角线与相交于点O，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∴，
∵，
∴
∴四边形的面积
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明，，证明，可得，从而可得结论；
（2）结合平行四边形的性质证明即可；
【详解】（1）证明：在平行四边形中，对角线与相交于点O，，，
，．
，
，即，
为直角三角形，，
．
（2）证明：∵在平行四边形中，对角线与相交于点O，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴.
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的性质是解本题的关键.
17．(1)证明见详解
(2)30
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质．
（1）根据条件得出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出，利用等角对等边即可得出答案；
（2）根据给出条件得出是等边三角形，利用等边三角形和平行四边形的性质求出各边长即可求出四边形的周长．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
,
∵平分，
∴,
∵，
，
，
．
（2）解：∵
是等边三角形
由（1）得四边形是平行四边形，且，
,
∴四边形的周长为．
18．(1)，证明见解析；
(2)，证明见解析．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，，，再得到，再根据等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）根据直角三角形的性质得到，再根据三角形中位线定理得到，即可得出结论．
【详解】（1）证明： ，证明如下：
∵四边形是平行四边形，与相交于点O，
∴，，，
∵，
∴，
∵在中，，点E是的中点，
∴；
（2）证明：，证明如下：
∵，点G是的中点，
∴，
∵在中，点E、F分别是、的中点，
∴，
∵，
∴．
19．(1)见解析
(2)、、、
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
（1）先证明，推出，，再证明
，推出，即可证明四边形为平行四边形；
（2）延长交于点，连接，，根据和均为等边三角形，四边形为平行四边形，利用线段的和与差证明得到；证明四边形为平行四边形，推出，再证明四边形是平行四边形，即可得到所有长度等于的线段．
【详解】（1）证明：连接，如图，
由旋转得，，，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
.∴.，，
又∵，
∴.，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：延长交于点，连接，，如图，
∵和均为等边三角形，且，
∴，即；
由（1）知四边形是平行四边形，
∴，；
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即；
∵，即，
∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，即，
∴，
又，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
综上，与相等的线段有、、、
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】该题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）证明，得出，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明；
（2）根据等腰三角形三线合一得出，，结合平行四边形性质得出，，勾股定理求出，即可．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
，，
，
，
，
，
即的长为．
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