《数列中的递推》 讲义
《数列中的递推——探索数字的奇妙世界》讲义
同学们，咱们今天要一起走进数列的奇妙世界，特别是其中的递推关系。这可是高中人教 B 版（2019）选择性必修第三册第五章数列中的重要内容哦！
咱们先来说说啥是数列。想象一下，数列就像是一列排好队的数字小兵，每个数字都有自己的位置和特点。比如说，1，3，5，7，9……这就是一个数列，是不是很简单？
那啥是递推呢？这就好比是数字小兵们的前进规则。通过前面的数字，我们可以按照一定的方法算出后面的数字。比如说，有一个数列，第一个数是 1，从第二个数开始，每个数都比前一个数大 2。那这个数列就是1，3，5，7，9……这就是递推关系啦！
咱们来看一个生活中的例子吧。比如说，小明去爬楼梯，他第一次爬了 1 级台阶，然后从第二次开始，每次都比前一次多爬 2 级台阶。那咱们就可以用数列来表示小明爬楼梯的级数。第一个数是 1，然后按照每次多 2 级的规则，这个数列就是 1，3，5，7，9……是不是很有意思？
好啦，咱们正式开始学习数列中的递推啦！
一、递推关系式的定义
递推关系式就是通过前面的项来表示后面项的一种关系式。比如说，一个数列{a }，如果存在一个关系式，能让我们通过a （或者前面的几个项）来算出a ，那这个关系式就是递推关系式。
举个例子，对于数列{a }，如果有a ＝ 2a ＋ 1（n ≥ 2），a ＝ 1，这就是一个递推关系式。那我们怎么根据这个关系式来求出这个数列的各项呢？
我们从第一项开始，a ＝ 1。然后根据递推关系式，a ＝ 2a ＋ 1 ＝ 2×1 ＋ 1 ＝ 3。接着，a ＝ 2a ＋ 1 ＝ 2×3 ＋ 1 ＝ 7。以此类推，我们就可以求出这个数列的各项啦！
二、常见的递推关系式类型
1、 等差数列型递推关系式
如果一个数列的递推关系式是a ＝ a ＋ d（n ≥ 2），其中d是一个常数，那么这个数列就是等差数列。比如说，一个数列{a }，a ＝ 2，a ＝ a ＋ 3（n ≥ 2），那这个数列就是2，5，8，11，14……
2、 等比数列型递推关系式
如果一个数列的递推关系式是a ＝ qa （n ≥ 2），其中q是一个不为0的常数，那么这个数列就是等比数列。比如说，一个数列{a }，a ＝ 3，a ＝ 2a （n ≥ 2），那这个数列就是3，6，12，24，48……
3、 其他类型的递推关系式
除了等差数列型和等比数列型的递推关系式，还有一些其他类型的递推关系式，比如a ＝ a ＋ a （n ≥ 3），这就是著名的斐波那契数列的递推关系式。
三、递推关系式的求解方法
1、 迭代法
迭代法就是根据递推关系式，从第一项开始，依次求出后面的项。比如说，对于递推关系式a ＝ 2a ＋ 1（n ≥ 2），a ＝ 1，我们已经知道了a ＝ 1，那a ＝ 2a ＋ 1 ＝ 2×1 ＋ 1 ＝ 3，a ＝ 2a ＋ 1 ＝ 2×3 ＋ 1 ＝ 7，以此类推。
2、 特征根法
这个方法听起来有点高大上，其实也不难。对于一些特定类型的递推关系式，我们可以通过求解特征方程来得到数列的通项公式。这个方法可能有点难理解，不过没关系，咱们通过一个例子来看看。
比如说，对于递推关系式a ＝ 2a a （n ≥ 3），我们可以先写出它的特征方程x ＝ 2x 1，解这个方程得到x ＝ 1，x ＝ 1。然后，我们可以设数列的通项公式为a ＝ c ＋ c n，把a 和a 的值代入，就可以求出c 和c 的值，从而得到数列的通项公式。
四、递推关系式的应用
递推关系式在很多方面都有应用呢！比如说，在数学竞赛中，经常会出现一些需要用递推关系式来解决的问题。还有，在计算机科学中，递推关系式也被广泛应用于算法设计。
咱们来看一个例子吧。假设有一个储蓄账户，初始存款为1000元，每年的利息是5%，并且每年年底会再存入100元。那么，我们可以用递推关系式来表示这个账户在第n年的余额。
设a 表示第n年的余额，那么我们可以得到递推关系式：
a ＝ 1.05a ＋ 100（n ≥ 2），a ＝ 1000
通过这个递推关系式，我们就可以求出这个账户在任意一年的余额啦！
五、练习题
好啦，同学们，咱们来做几道练习题巩固一下吧！
1、 已知数列{a }满足a ＝ 1，a ＝ 2a ＋ 1（n ≥ 2），求a 。
2、 数列{a }中，a ＝ 2，a ＝ 3a 2（n ≥ 2），求数列{a }的通项公式。
3、 有一个数列{a }，a ＝ 1，a ＝ 2，a ＝ a ＋ a （n ≥ 3），求a 。
六、练习题答案及解析
1、 我们已经知道a ＝ 1，根据递推关系式a ＝ 2a ＋ 1（n ≥ 2），可以求出：
a ＝ 2a ＋ 1 ＝ 2×1 ＋ 1 ＝ 3
a ＝ 2a ＋ 1 ＝ 2×3 ＋ 1 ＝ 7
a ＝ 2a ＋ 1 ＝ 2×7 ＋ 1 ＝ 15
a ＝ 2a ＋ 1 ＝ 2×15 ＋ 1 ＝ 31
所以，a ＝ 31。
2、 对于递推关系式a ＝ 3a 2（n ≥ 2），我们可以先设a x ＝ 3(a x)，化简得到a ＝ 3a 2x。对比原递推关系式，可得-2x ＝ －2，解得x ＝ 1。
所以，a 1 ＝ 3(a 1)，这是一个等比数列，公比为3，首项为a 1 ＝ 1。
所以，a 1 ＝ 3 ，即a ＝ 3 ＋ 1。
3、 根据递推关系式a ＝ a ＋ a （n ≥ 3），我们可以依次求出：
a ＝ a ＋ a ＝ 2 ＋ 1 ＝ 3
a ＝ a ＋ a ＝ 3 ＋ 2 ＝ 5
a ＝ a ＋ a ＝ 5 ＋ 3 ＝ 8
a ＝ a ＋ a ＝ 8 ＋ 5 ＝ 13
a ＝ a ＋ a ＝ 13 ＋ 8 ＝ 21
所以，a ＝ 21。
七、总结
同学们，咱们今天学习了数列中的递推关系。通过生活中的例子，我们更好地理解了递推关系式的概念和应用。我们学习了常见的递推关系式类型，以及求解递推关系式的方法。还通过练习题巩固了所学的知识。希望同学们能够掌握这些内容，在今后的学习中能够灵活运用。
好啦，今天的课就到这里啦，同学们再见！
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第五章
5.1.2 数列中的递推
人教B版 数学选择性必修第三册
课标定位素养阐释
1.理解递推公式的含义,掌握递推关系的应用.
2.会求数列中的最大(小)项.
3.理解数列的前n项和Sn,掌握由Sn求an的方法.
4.提升逻辑推理与数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、数列的递推关系
1.如图,某会议室有若干排座位,每一排的座位数构成的数列设为{an}.从第二排起,后一排都比前一排多2个座位.
(1)第n排与第n-1排座位数有什么关系
提示:an=an-1+2(n∈N+,且n≥2).
(2)若第一排有7个座位,数列{an}是怎样的一列数
提示:7,9,11,13,15,….
2.如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).
3.数列1,3,6,10,15,…的递推关系是( )
解析:将数列中的项代入验证即可求得.
答案:B
二、数列{an}的前n项和
1.已知某电子图书今年上半年每个月的销售量构成数列500,650,960,1 260,1 580,1 830.假如你是该电子书的销售人员,对于上述数列,除了关心每一个数的大小和增长趋势以外,你还会关心什么呢
提示:作为销售人员,一般来说还会关心上半年的电子书的销售总量,即500+650+960+1 260+1 580+1 830=6 780.
2.(1)数列{an}的前n项和:一般地,给定数列{an},称Sn= a1+a2+a3+…+an 为数列{an}的前n项和.
(2)由数列的前n项和Sn,求其通项公式an:an=
(3)数列{an}前(n+1)项的和减去其前n项的和,差是 Sn+1-Sn=an+1 .(列式表示)
3.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为( )
A.15 B.16 C.49 D.64
解析:a8=S8-S7=64-49=15.
答案:A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)如果在数列{an}中有an=2an+1+1,那么就可以求出数列的任一项.( × )
(2)已知在数列{an}中,a1=1,an+2=an+1+an,可以求出an.( × )
(3)在数列{an}中,a1=-1,an=an-1+2(n≥2),则a3=3.( √ )
(4)在数列{an}中,若满足an+1=an,则数列{an}为常数列.( √ )
(5)an=Sn-Sn-1成立的条件是n∈N+.( × )
合作探究 释疑解惑
探究一
由递推关系写出数列的项并归纳通项公式
【例1】 已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+ (n≥2),写出该数列的前5项,并归纳出它的一个通项公式.
分析:由首项及递推关系写出前5项,再观察前5项的规律,写出一个通项公式.
1.递推关系是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an.用递推关系给出一个数列,必须包括以下两点:
(1)“基础”——数列{an}的首项或前几项;
(2)递推关系——数列{an}的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系,并且这个关系可以用一个公式来表示.
如果两个条件缺一个,那么数列就不能确定.
2.根据数列的递推关系和首项(或其他项)求数列的前几项的方法:
(1)根据递推关系写出数列的前几项,先要弄清楚公式中各部分的关系,再依次代入计算即可;
反思感悟
(2)若知道的是末项,则通常将所给关系式整理成用后面的项表示前面的项的形式,如an=2an+1+1;
(3)若知道的是首项,则通常将所给关系式整理成用前面的项表示后面的项
3.由递推关系写出通项公式的步骤:
(1)根据递推关系写出数列的前几项(至少是前3项);
(2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一形式;
(3)归纳总结写出一个通项公式.
【变式训练1】 已知在数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项满足
an=an-1+an-2(n≥3).
(1)写出此数列的前5项;
解:(1)因为an=an-1+an-2(n≥3),且a1=1,a2=2,
所以a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.
故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8.
探究二
由数列的递推关系利用“累加(乘)法”求数列的通项
反思感悟
由递推关系求通项公式时,要根据递推关系的特点,选择恰当的方法求解.常用累加法和累乘法.
(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项公式.
【变式训练2】 已知数列{an},a1=2,an+1=2an,写出数列的前5项,猜想an并加以证明.
解:由a1=2,an+1=2an,得a2=2a1=2×2=4=22,
a3=2a2=2×4=8=23,
a4=2a3=2×8=16=24,
a5=2a4=2×16=32=25,
……
猜想an=2n(n∈N+).
探究三
由Sn求an
【例3】 已知下面各数列{an}的前n项和为Sn,求数列{an}的通项公式.
(1)Sn=2n2-3n;
(2)Sn=3n-2.
解:(1)当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1;
当n≥2时,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)=2n2-7n+5,
则an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-(2n2-7n+5)=2n2-3n-2n2+7n-5=4n-5.
此时,若n=1,则an=4n-5=4×1-5=-1=a1,
故an=4n-5.
(2)当n=1时,a1=S1=31-2=1;
当n≥2时,Sn-1=3n-1-2,
则an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=3n-3n-1=3×3n-1-3n-1=2×3n-1.
此时,若n=1,an=2×3n-1=2×31-1=2≠a1,
已知数列{an}的前n项和为Sn,求数列{an}通项公式的步骤:
(1)当n=1时,a1=S1.
(2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-1.
(3)如果a1也满足当n≥2时an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1[如本例(1)];
如果a1不满足当n≥2时an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式要
反思感悟
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-3n+104,
又当n=1时,a1=101,符合上式,
故数列{an}的通项公式为an=-3n+104(n∈N+).
探究四
数列的最大(小)项的求法
【例4】 已知数列{an}的通项公式 ,试问数列{an}有没有最大项 若有,求最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1
故a1a11>a12>…,
因此数列中有最大项,最大项为第9,10项,
求数列的最大(小)项的两种方法:
(1)利用判断函数单调性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列的最大项或最小项.
(2)设ak是最大项,则有 对任意的k∈N+,且k≥2都成立,解不等式组.
反思感悟
延伸探究
若将数列的通项公式改为“an=-2n2+9n+3”,求数列的最大项.
【变式训练4】 已知数列{an}的通项公式an=n2-7n-8,求数列{an}的最小项.
【易错辨析】
忽视数列中n的取值范围而致误
【典例】 数列{an}的通项公式为an=n-7,则数列{nan}的最小项为第
项.
答案:3
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:忽视n∈N+和二次函数的图象的对称性漏掉一个解致误.
因为n∈N+,所以当n=3或n=4时,数列{nan}的项最小.
答案:3或4
1.数列是特殊的函数,在解题时需特别注意自变量的取值范围,如本例中,n∈N+,当n=3或n=4时,数列{nan}的项最小.
2.一个数列是递增数列,其首项是这数列的最小项;一个数列是递减数列,其首项是这数列的最大项.此外,数列的单调性有时需要与函数的性质结合起来.
防范措施
【变式训练】 已知数列{an}的通项公式an=n2-5n+4,n为正整数.
(1)数列中有几项是负的
(2)当n为何值时,an有最小值 并求出最小值.
解:(1)由n2-5n+4<0,解得1∵n∈N+,∴n=2,3,∴数列中有两项是负的.
因为n∈N+,所以当n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为22-5×2+4=-2.
随堂练习
1.在数列{an}中,若a1=-1,an+1=an-3,则a3等于( )
A.-7 B.-4 C.-1 D.2
解析:a2=a1-3=-1-3=-4,a3=a2-3=-4-3=-7.
答案:A
4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,n为正整数,求{an}的通项公式.
解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,当n=1时,a1=S1=2不符合上式,