(共24张PPT)
5.2.2 等差数列的前n项和
情境与问题
为了达到更好的音响和观赏效果，很多剧场的座位都是排成圆弧形的。
某公司要为一个类似的剧场定做椅子，而且剧场座位的排列规律是：第一排36个，以后每一排比前一排多6个，共有8排，你能帮这个公司算出共需要多少椅子吗？
情境与问题
1.上述情境中每排椅子数有什么规律？
某公司要为一个类似的剧场定做椅子，而且剧场座位的排列规律是：第一排36个，以后每一排比前一排多6个，共有8排，你能帮这个公司算出共需要多少椅子吗？
构成一个
等差数列
情境与问题
2.共需要多少把椅子，实际上是求什么？
1.上述情境中每排椅子数有什么规律？
某公司要为一个类似的剧场定做椅子，而且剧场座位的排列规律是：第一排36个，以后每一排比前一排多6个，共有8排，你能帮这个公司算出共需要多少椅子吗？
等差数列
的前8项和
情境与问题
2.共需要多少把椅子，实际上是求什么？
1.上述情境中每排椅子数有什么规律？
3.怎样求前8项和？
如果项数多，该怎么求？
某公司要为一个类似的剧场定做椅子，而且剧场座位的排列规律是：第一排36个，以后每一排比前一排多6个，共有8排，你能帮这个公司算出共需要多少椅子吗？
5.2.2 等差数列的前n项和
尝试与发现
如图所示，建筑工地上堆放着一些钢管，最上面一层有4根，下面每一层比上一层多放一根，共8层。
在不逐个相加的前提下，你能想办法算出这些钢管共有多少根吗？
解：从上到下每一层的数量
构成一个等差数列{an}.
尝试与发现
设想在如图钢管旁边再放同样多的钢管，但是倒过来放置，如图：
这时，每一层的钢管数是相同的，都是4+11根，因此建筑工地上钢管总数为
设等差数列{an}的前n项和为Sn，
Sn = a1 + a2 + a3 +…+an-2 + an-1 + an
Sn = an +an-1 +an-2 +…+a3 + a2 + a1
等差数列的求和公式：
倒序相加法
探究新知
等差数列的前n项和可以用类似的方式得到吗？
n
a1
an
类比记忆
几何法理解等差数列的前n项和公式的推导
尝试与发现
上述等差数列的前n项求和公式与首项和第n项有关，你能将其改写成与公差有关的形式吗？
等差数列前n项和公式
公式1
公式2
比较两个公式的异同:
例1.
解:由等差数列的通项公式可得29=a1+19×2，所以a1=-9，因此
例题讲解
解:由等差数列的通项公式可得29=a1+19×2，所以a1=-9，因此
例2.
例题讲解
解：可以看出所求数列是公差为7的等差数列.设 共有n项，则208=5+（n-1）×7，解得n=30，所以
知三求二
情境与问题
如果项数多，该怎么求？
某公司要为一个类似的剧场定做椅子，而且剧场座位的排列规律是：第一排36个，以后每一排比前一排多6个，共有8排，你能帮这个公司算出共需要多少椅子吗？
例题讲解
牢记方法
例题讲解
例题讲解
例题讲解
等差数列前n项和的最值问题有两种方法：
(1) 由
数相关知识求最值；
利用二次函
(2) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值.
可由an≥0，且an＋1 ＜ 0，求得n的值；
当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值.
可由an≤0，且an＋1 ＞ 0，求得n的值.
结论
本节课你有什么收获？
小结
1.掌握等差数列的前n项和的两个公式
2.等差数列前n项和公式的推导；
3.等差数列前n项和的最值问题；
4.等差数列前n项和公式解决实际问题。
作业
1.书26页练习A，练习B习题;
2.请同学们联系实际生活出
一道等差数列求和问题并
计算出来。等差数列的前n项和
课程内容（课名） 等差数列的前n项和 版本 2019人教B版
年级学科 高中数学 课时 8-10分钟
章节 选修三第五章数列5.2.2
一、学习者特征分析
学生通过上一节的学习，已经了解了等差数列的定义，基本上掌握了等差数列的通项公式和性质，会运用等差数列的定义、性质进行解题，本节课的内容可以看作等差数列的另一性质，公式的推导需要学生应用上节所学内容，因此探究新知过程对学生的思维要求不高，学生的运算能力和逻辑思维能力可以得到有效锻炼。
二、学习内容分析
教材把等差数列的前n项和公式看成了等差数列的一个性质，即这个公式可以根据前面学习的等差数列的概念、通项公式和性质推导出来。历史上出现的最简单的方法可能是“倒序相加法”，这是一个被广泛引用的方法，这种方法建立在对等差数列深入理解的基础上，即掌握等差数列的某些性质的基础上。教材创设了一条探究等差数列前n项和公式的路径，让学生经历利用等差数列的性质推导出“倒序相加法”的过程，将提高“四能”渗入其中。
三、学习目标
理解等差数列的前n项和公式的推导方法和原理，会利用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题； 通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透方程思想和数形结合思想，培养学生观察、归纳、反思能力； 通过历史素材和数学史，激发学生的探究兴趣和欲望，公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，培养学生探究总结能力。
四、教学重难点
重点：探究并掌握等差数列的前n项和公式，等差数列前n项和公式的应用 难点：由特殊的等差数列求和推广到一般的等差数列求和，如何由“首尾相加法”转化到“倒序相加法”。
五、教学策略选择与设计
建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学过程中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展；让学生在观察、操作、归纳、思考、探究、交流、反思参与的活动中学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。因此采用问题引导式及多媒体辅助教学的方法。 教师是知识的传授者，学生学习的引导者、组织者和合作者。采用“问题情景——建立模型——求解——解释——推广”的教学模式，启发引导学生通过对问题的体验，获得知识并掌握方法。多媒体可以使教学内容生动、鲜明地得到展示。
六、教学过程设计
教学环节1.创设情境引入新课课堂活动 教师介绍问题：古算书《张邱建算经》中有一问：今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次为之，转为一钱，共有百人，问共与几钱？ PPT展示问题情景，引导学生列出算式1+2+3+…+100 提出问题一：如何计算1+2+3+…+100设计意图：通过古算数中数列求和的例子创设情景，渗透数学文化，算书中蕴含的问题情景与高斯算法的解决思路一致，便于引入高斯算法的思想。教学环节2.首尾相加法介绍高斯的基本情况（高斯，德国数学家，近代数学的奠基者之一，他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做过杰出贡献），讲解高斯在解决1+2+3+…+100问题的思路，即讲首项1与尾项100求和，第二项2和导数第二项99求和，依次对应求和，得到50个101，求和结果5050 追问：为什么1+101=2+99=…=50+51？这是巧合吗？从数列的角度给出解释 介绍首尾相加的数列求和方法，并指出该方法的局限性（需要对项数的奇偶进行分类讨论）设计意图：介绍高斯求1，2，3，…，100的和的故事，在故事中融入“首尾相加”的求和过程，研究出高斯算法利用了数列1，2，3，…，n,…的什么性质，可以将高斯算法推广为求1，2，3，…，n，…的前n项和的方法。另外由可知，一般的等差数列都可以转化成求1，2，3，…，n，…的前n-1项和的问题。指出高斯求和奇偶项许分类讨论的局限性，为引出“倒序相加法”提供契机。教学环节3.倒序相加法展示若干按顺序排列的三角形点阵，通过计算点的数量引入三角数的概念，启发学生1+2+3+…+100也是三角数 从三角书的几何特征入手，展示一个n行的三角形点阵，点的数量就是Sn=1+2+3+…+n，将点阵中心旋转得到平行四边形点阵，此时每行均有n+1个点，因此得到，求出首项为1，公差为1的等差数列前n项和的公式。 三角形点阵旋转180°，就是“倒序”的思想，通过每行点求和，即“倒序相加”的思想方法，借助三角数的几何特征，让学生直观体会倒序相加的求和方法。并将该方法推广到一般等差数列的前n项和 借助倒序相加的思想，将进行倒序，两式对应项相加，借助等差数列的性质，推导出一般数列前n项的公式。设计意图：学生很难自己提出倒序相加法，为此引入三角数的概念，通过三角形点阵的几何变换渗透倒序求和的思想，得到求特定数列1，2，3，…，n,…前n项和的公式。在学习倒序相加的方法后，启发学生推导一般数列前n项和公式。教学环节4.推广与总结提出问题二，是否还有其他求和公式？ 回顾等差数列的定义及其通项公式，结合公式，带入得到，指出这种方法实际上就是我们之前提到的把求等差数列的前n项和问题转化为求1，2，3，…，n，…前n-1项和问题的方法，分析两个公式各适用于什么情况。 总结：知识层面，，方法层面：首尾相加法，倒序相加法，学科素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算。设计意图：在实际应用过程中，求和公式1并不能完全解决问题，因此从公式Ⅰ出发，引导学生探究求和公式的其他形式，在推导公式1时进行等差数列性质的回顾，在拓展公式Ⅰ时带领学生回顾等差数列的概念及通项公式，通过对比公式1和2的不同应用情景，方便学生记忆并理解公式，等差数列的前n项和公式1和公式2实际上是等差数列的5个相关量的等量关系。
七、教学评价
本节课教学过程为：提问题，探究思考，解决问题，整理提高。在解决问题时，角度比较全面，加强了知识间的联系，使课堂过渡流利，详略适度，突出了重点与难点。 本节课以问题贯穿课堂，通过解决问题来推进教学进程，学生在老师的带领下体验思考问题、分析问题、解决问题的乐趣。 本节课采用多媒体课件演示的方式，激发学生的学习兴趣，使学生在掌握知识的同时，体验数形结合思想。
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教学资源应用计划表
题目 等差数列求和 学科 数学 制表人
知识点 资源名称 素材类型 水平 来源 使用时间 应用方式与作用
1、创设情境，导入新课 《张邱建算经》 文字 感知 现有 1分钟 导入新课，整体感知，引发兴趣
2、首尾相加法 高斯算法 文本 理解 现有 3分钟 类比探究，初步掌握，为下一步教学做准备
3、三角数 三角形点阵 图像文本 感知 开发 1分钟 为探究倒序相加法做准备
4、倒序相加法 平行四边形点阵 图像文本 理解 现有 3分钟 直观感知倒序相加法，为推导公式提供理论方法
5、拓展与总结 公式2 文本 综合 现有 2分钟 整体回顾，课堂总结
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