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人教B版 数学选择性必修第三册
第六章
6.3 利用导数解决实际问题
课标定位素养阐释
1.利用导数解决生活中的一些最优化问题.
2.提升数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养.
自主预习 新知导学
解决最优化问题的基本思路
1.现有一根长为18 m的钢条,想将其围成一个长与宽之比为2∶1的长方体形状的框架,问如何设计才能使该长方体的体积最大
(1)若设长方体的宽为x m,则该长方体的长、高分别为多少
(2)长方体的体积V(x)关于宽x的函数解析式是什么
(3)你能用导数求出V(x)的最大值吗 最大值是多少
提示:能.V'(x)=18x-18x2,令V'(x)>0,得02.解决最优化问题的基本思路是什么
提示:
3.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
A.13万件
B.11万件
C.9万件
D.7万件
解析:y'=-x2+81,令y'=0,解得x=9或x=-9(舍去).
当00;当x>9时,y'<0.
故当x=9时,y取得最大值.
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)若在开区间(a,b)内连续的函数f(x)只在某一点处存在极大值(或极小值),则函数f(x)在该点处取得最大值(或最小值).( √ )
(2)某商品每件的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出
(200-x)件,则当每件商品的定价为115元时,利润最大.( √ )
合作探究 释疑解惑
探究一
容积的最值问题
【例1】 先在长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮的四角上分别截掉一个大小相同的小正方形,再把四边折起焊接,做成一个无盖的容器.当该容器的高为多少时,容器的容积最大 最大容积是多少
分析: 设高为x→建立容积V(x)关于x的函数→利用导数求出V(x)的最大值→得出结论
解:设容器的高为x cm,容器的容积为V(x)cm3,
则V(x)=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4 320x(0所以V'(x)=12x2-552x+4 320=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36).
令V'(x)=0,得x=10或x=36(舍去后者).
当00,当10故当x=10时,V(x)取得最大值,其最大值为V(10)=19 600.
故当容器的高为10 cm时,容器的容积最大,最大容积为19 600 cm3.
解决容积的最值问题,要正确引入变量,将容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.
反思感悟
【变式训练1】 用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制容器的底面的一条边比另一条边长0.5 m,那么高为多少时,容器的容积最大 请求出它的最大容积.
解:设容器底面一条边长为x m,
则另一条边长为(x+0.5)m,
设容器的容积为y m3,
则y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x,
所以y'=-6x2+4.4x+1.6.
令y'=0,则15x2-11x-4=0,
在定义域(0,1.6)内只有x=1使y'=0,且x=1是函数y=-2x3+2.2x2+1.6x在(0,1.6)内唯一的极大值点,也就是最大值点.
因此,当x=1时,y取得最大值,ymax=-2+2.2+1.6=1.8,此时高为3.2-2×1=1.2(m).
故当高为1.2 m时,容器的容积最大,最大容积为1.8 m3.
探究二
用料最省、费用最低问题
【例2】 已知一圆柱形金属饮料罐,当圆柱形金属饮料罐的容积为定值V时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用的材料最省
解:设圆柱形金属饮料罐的高为h,底面半径为R,则表面积S=2πRh+2πR2.
故当金属罐的高为底面半径的2倍时,才能使所用材料最省.
若把题中的条件改为“圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S”,则要使它的容积最大,它的高与底面半径的比为 .
延伸探究
解析:设圆柱形金属饮料罐的高为h,底面半径为R,体积为V.
因为S=2πRh+2πR2,
答案:2∶1
选取合适的量为自变量,并确定其取值范围.先正确列出函数的解析式,再利用导数求最值,其中正确列出函数的解析式是解题的关键.
反思感悟
【变式训练2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系: .若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的解析式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小 最小值是多少.
探究三
利润最大问题
【例3】 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,预计当每件产品的售价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数解析式;
(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大 并求出利润L的最大值Q(a).
解:(1)分公司一年的利润L与售价x的函数解析式为L=(x-3-a)(12-x)2, x∈[9,11].
(2)由(1)知,L'=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).
利润最大问题是生活中常见的一类问题,一般先根据“利润=收入-成本”得到函数解析式,再利用导数求最大值.
反思感悟
【变式训练3】 某商品每件的成本为9元,当单价为30元时,每星期能卖出432件.若降低价格,则销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位:元,0≤x≤21)的平方成正比.已知当商品单价降低2元时,每星期能多卖出24件.
(1)求一个星期的商品销售利润f(x)(单位:元)与商品单价的降低额x的函数解析式;
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大
解:(1)设每星期多卖出的商品件数为kx2,则当x=2时,k·22=24,k=6.
故f(x)=(30-x-9)(432+6x2)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈[0,21].
(2)由(1)知,f'(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).
令f'(x)>0,得2令f'(x)<0,得0≤x<2或12又f(0)=9 072,f(12)=11 664,
故当x=12时,f(x)取得最大值.
故当定价为30-12=18(元)时,才能使一个星期的商品销售利润最大.
【易错辨析】
忽视实际问题中函数的定义域而致误
【典例】 某船由甲地逆水匀速航行到乙地,甲、乙两地相距s km,水的流速为a km/h,船在静水中的最大速度为b km/h.已知船每小时的燃料费用(单位:元)与船在静水中的航行速度的平方成正比,且比例系数为k,则船在静水中的航行速度为多少时,其全程的燃料费用最省
错解:设船在静水中的航行速度为x km/h,全程的燃料费用为y元,
令y'=0,得x=2a或x=0(舍去后者).
故当x=2a时,ymin=4ask.
故当船在静水中的航行速度为2a km/h时,燃料费用最省.
以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 你如何防范
提示:该实际问题的定义域为(a,b],而由题意不能确定x=2a是否在区间(a,b]内,故需要分类讨论,错解中未讨论2a与b的关系,导致解答错误.
(1)当2a0,故当x=2a时,ymin=4ask.
综上可知,若b≤2a,则当船在静水中的航行速度为b km/h时,其全程的燃料费用最省;
若b>2a,则当船在静水中的航行速度为2a km/h时,其全程的燃料费用最省.
在运用导数解决实际问题的过程中,一定要注意函数的定义域,在定义域内找出问题的最优解.
防范措施
【变式训练】 甲、乙两地相距s km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c km/h,已知汽车每小时的运输成本(单位:元)由可变部分和固定部分组成;可变部分与速度v(单位:km/h)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y表示为速度v的函数,并指出这个函数的定义域.
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶
随堂练习
1.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高应为( )
答案:A
2.某产品的销售收入y1(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数,且关系式为y1=17x2(x>0),生产成本y2(单位:万元)是产量x(单位:千台)的函数,且关系式为y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产( )
A.6千台 B.7千台
C.8千台 D.9千台
解析:设利润为y,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0),
所以y'=-6x2+36x=-6x(x-6).
令y'=0,解得x=0(舍去)或x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点也是函数的最大值点,故为使利润最大,应生产6千台.
答案:A
3.用长为24 m的钢筋做成一个长方体形框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体的体积最大为( )
A.8 m3 B.12 m3 C.16 m3 D.24 m3
解析:设长方体的底面边长为x m,体积为V m3,则高为(6-2x)m,00.当x∈(2,3)时,V'<0,故当x=2时,Vmax=8,故这个长方体的体积最大为8 m3.
答案:A
4.某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x(单位:吨)与每吨产品的价格p(单位:元/吨)之间的关系为 ,且生产x吨该产品的成本为(50 000+200x)元,则每月生产 吨产品才能使利润达到最大,最大利润是 元.(利润=收入-成本)
答案:200 3 150 000
5.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的容积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为 .
解析:用料最省,即水桶的表面积最小.
设圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为r(r>0),
令S'=0,解得r=3.
当03时,S'>0.
所以当r=3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.
答案:3《利用导数解决实际问题》教学设计
一、教学内容分析
1.教材内容分析
本节内容选自《普通高中数学选择性必修第三册》人教B版（2019）第六章第三节《利用导数解决实际问题》，本节是在理解了导数的概念，掌握导数的基本运算，运用导数研究函数的性质，进而解决一些实际问题，通过对现实中最优化问题的合理抽象、恰当建模，准确求解，综合反馈加深学生对所学导数知识的理解，提高学生利用所学知识解决实际问题的能力。
2.地位与作用
本节内容主要通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的应用，体会利用导数研究一般函数性质的便捷性，理解为什么函数可以成为构建模型的有效数学语言，从而理解研究函数单调性不仅仅是为了数学本身的需要，也是为了更好地表达世界的需要。
3.重难点分析
本节的重点是利用导数知识解决实际生活中的最优化问题，第一个难点是建立函数模型，需要明确常量与变量之间的关系，由实际问题建立函数关系式，并且需要注意自变量的取值范围。第二个难点是对建立的函数关系式求最值，利用导数求解是一般方法，但对复杂函数的求导运算仍然是学生们的难点。为了突破这个难点，还要带领学生分析函数类型，复习求导的运算法则，进一步提升学生们的数学运算素养。
二、教学目标设置
本节课采用“逆向教学设计”，以课程目标为出发点，结合单元学习目标，制定本节课目标，然后围绕目标进行过程性评价进行设计。
我们要明确为谁培养人，培养什么样的人，怎样培养人，我们要为社会主义建设培养接班人，所以提倡立德树人，五育并举，所以本节课从介绍社会主义建设的成果出发，学生能从中体会到社会主义建设成果显著，我国综合国力不断增强，从而树立远大理想，努力学习理论知识，为进入高等数学的学习做铺垫，从而为社会主义建设做出更大的贡献，这是本节课的目标之一，通过学生表达自己的感受进行评价。
想要培养学生能对实际问题进行观察、比较、分析、抽象概括，领悟“三会”，本节课的目标是学生能从陌生情境中抽象出数学问题，能将文字语言转化成数学语言，再转化到符号语言，然后利用导数解决最优化问题，从而突出本节课的重点。理解函数为什么能够成为构建函数模型的有效的数学语言，通过练习题的解答与表述进行评价。
三、学生学情分析
教学对象是省示范性高中强基班学生，选科物化生，物化政等。学生思维普遍活跃，善于表达，善于发现问题，乐于和教师交流分享他们的解题心得。但是这个年龄段的学生对材料的理解，对问题的分析可能不够全面，抽象概括能力也还比较弱，特别是遇到陌生情境时，理解问题的实际背景、分析问题的复杂条件，建立和求解数学模型，检验模型的实际意义，利用模型最终分析和解决问题等环节都可能遇到一定的困难，导致实际问题的解决不能顺利完整的完成，需要教师的引领。
学生本章学习了导数的概念，掌握了一般函数的求导法则，能够利用导数分析函数单调性求函数的极值与最值，具备解决实际问题的理论知识，尽管学生在高中阶段多次经历数学建模活动，对数学建模活动的步骤比较清楚，能利用函数知识解决简单的数学应用问题，但是“应用意识”还不够强，多数同学还是停留在“学数学，做数学”的层面上，只是给题做题，不善于自己发现问题。
四、教学策略分析
基于对教学内容、教学目标的分析和学情分析，本节课采用如下的教学策略：
1．以我国社会主义建设和科学技术发展为主线，以南海石油开采运输为背景作为引入，不断探索现阶段能为社会主义建设做哪些贡献：铺设输油管道的线路设计、炼油厂储油罐的设计，石油的故事宣传画设计等。激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生的爱国主义精神，在同学们心中种下科技强国的种子，勇于开拓创新、迎难而上。
2．本节课在整章中占有重要地位，作为本章的应用课，是对之前学习内容的检验与深化，进一步内化导数是分析函数性质的重要工具，函数是构建模型的有效数学语言。作为整个高中阶段的倒数第二节课，承担着为进入高等数学的学习进行铺垫的责任。练习3是经典的铅球掷远问题。可以利用现有的知识进行简单的数学建模，但是抽象的过程和设置变量还是有难度的，需要教师的引导，建模后利用常规求导运算求最值比较复杂，带领大家赏析求解过程，了解高等数学里还有解决问题的更好方法，需要进一步学习和探究。
3．本节课以“学生为主体，教师引导”教学原则来设计，着重解决了学生的几个疑问。
（1）实际生活中的问题如何转化为数学问题？
如何用所学的数学知识解决现实生产、生活中存在的问题，一直是数学学习的最高要求，在本节课的学习过程中，有意识地引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.
对实际问题阅读理解、合理抽象、分析出常量与变量，结合实际问题与所学过的数学知识列出关系式，通过选取不同的未知量，建立不同的函数模型，利用导数等方法解决数学问题得到答案，然后再把答案返回到实际问题中去，获取具有实际意义的结论。
（2）利用导数解决实际问题的优越性？
实际生活中经常会遇到最优化问题，如在铺设管道或者公路时，怎样花费最少？在制作容器时，怎么样用料最省？等等这些问题都需要需求相应的最佳方案或者最佳策略，因为利用导数可以求得最值，所以可以利用导数来求解最优化问题，并且利用导数可以分析一般函数的单调性，所以只要建立相应的函数关系式，都可以求出最优解，利用导数解决问题方便、有效。
五．教学过程设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
创设情境 提出问题 一．背景介绍—— 通过观看cctv9播出的纪录片《石油的故事》了解到我国南海有着丰富的石油资源，但是海洋环境比较复杂，开采运输及其困难，经过几代石油人的共同努力，反复研究与实践，终于自主研发出我国第一座深海半潜式钻井平台——“海洋石油981钻井平台”，它不但能扛住南海的17级台风和200年一遇的巨浪，甚至几千吨的船只正面撞击，它也会屹立不倒，因此被称为南海的“定海神针”。 开采技术突破了，但该如何把采到的石油安全快速的运回陆地呢？效率最高的是采用大型邮轮，但是对于深海采油平台来说十分不方便，另一个是利用海底石油管道进行输送，海底铺管工作也是十分具有挑战性的，需要分析复杂的海底环境，针对不同的地貌特征，选择不同的铺管路线和作业条件，经过铺管船几个月的工作，就可以铺设几百公里的输油管道。 问题1：谈一谈你读了背景材料后的感受。 问题2：现发现一油井，已经测出了部分的数据，大家思考：怎么铺设输油管花费才能最少呢？ 二．提出问题—— 如图所示，海中有一座油井A,其离岸的距离AC=12 km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC=16 km ，现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上.已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？ 教师创设情境 学生理解情境 学生分析问题 学生思考问题 1.坚持立德树人，倡导“五育”并举，以央视播出的纪录片《石油的故事》做背景介绍，了解我国社会主义建设成果显著，综合国力不断增强，即便南海气候条件恶劣，石油人依然奋勇向前，坚持奋斗在祖国最需要的地方，激发同学们的爱国主义精神，激励同学们不怕吃苦，甘于奉献，坚定同学们勇于挑战困难的决心和战胜困难的信心，能够努力提升自身实力，去祖国最需要的地方建功立业。 2. 以生活中遇到的实际问题为切入点，强化应用意识的培养，使学生发现数学不仅仅只有理论推导，确实是来源于生活，应用于生活。 3. 情境新颖，能够吸引同学们的注意力，激发同学们的学习兴趣和探究热情。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
探究问题 引入课题 梳理思维 三．分析问题—— 探究1.根据所给数据，尝试给出最优的铺设方案。 问题3：请x同学回答：你从材料中读到了哪些信息？ 问题4：你的铺设方案是什么？ 问题5：你的方案中最少花费是多少？你是怎么计算的呢？
（1）先沿AC铺设，再沿CB铺设；
（2）直接沿着线段AB铺设. （3）在BC取一点D，先沿BD，再沿DA铺设. （3）最优铺设方案： 方案1：如图所示，在岸上取一点D，设其距离C的距离为， 则, , 记先沿AD铺设再沿DB铺设输油管时成本为万元， 则 问题6：观察函数解析式，思考能用什么方法求解最值？ 因此, 当 时, 令 可解得 学生探究问题 教师提出课题 教师提出问题 学生思考问题 学生解决问题 1.提升学生阅读能力，能够快速提取背景材料中的关键信息，理解题意，经过分析转化为数学问题。生活中遇到的实际问题，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，在数学上统称为最优化问题，解决最优化问题的实质是抽象成数学问题，转化为数学上求最值的问题。 2.充分发挥学生的想象力，培养学生的发散思维，能够有多少种铺设输油管的方法呢？学生自己探索，比较每种铺设方法的优劣。 3.引导学生发现身边有关最优化问题的实例，培养学生善于用数学的眼光观察世界。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
层层递进 梳理思维 因此可知在上递减，在上递增， 从而在时取得最小值，而且最小值为 最少花费是960万元. 问题7：还可以设哪些未知量列出函数关系？ 方案2：如图所示，在岸上取一点D，设，记先沿AD铺设再沿DB铺设输油管时成本为万元， ，，， 则, 问题8：观察函数解析式，思考能够用什么方法求解最值？ 解法1：三角函数有界性 解法2：数形结合：两点连线斜率 解法3：导数 四．解决问题—— 实际问题的解题程序： 读题 建模 求解 反馈 （文字语言）（数学语言）（数学应用）（检验作答） 师生合作完善 教师提问问题 学生思考问题 学生解决问题 师生找出最佳铺设方案，归纳利用导数解决实际问题的方法步骤。 1. 解决实际问题的关键是建立函数模型，这也是本节课的难点之一，为了更好的突破难点，需要审清题意，明确变量与常量之间的关系，再写出实际问题的函数关系式，还要根据实际问题标注变量的取值范围。 2. 合理选择未知量，建立不同函数模型，求解最值问题的方法有很多，比如导数、均值不等式、三角函数等，通过不同方法的比较分析，突出利用导数求解函数最值的便捷性和一般性，进一步强调本节课的授课重点。 3.导数是学生刚接触的新知识，对分式型函数和复合函数的求导运算仍然是学生们的难点之一。为了突破这个难点，还要带领学生分析函数类型，复习求导的运算法则，进一步提升学生们的数学运算素养。
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
巩固练习 内化新知 五．巩固练习—— 练习1：要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油桶，已知侧面的单位面积造价是底面的单位面积造价的一半，而盖的单位面积造价又是侧面的单位面积造价的一半，则储油桶的半径r和高h之比为何时造价最省？ 练习2：现在要设计一幅《石油的故事》宣传画，要求画的面积为4840，画面的宽与高之比为，画面上，下要留8cm的空白，左右各留5cm的空白，画面的高和宽为多少时，所用的纸张面积最小？ 教师提出问题 学生思考问题 学生解决问题 教师提出问题 学生思考探究 学生合作交流 学生评价表达 1.立足教材，给学生提供一个完整的运用知识的平台，帮助学生进一步落实基本知识，提高基本能力，三个反馈练习，使学生熟练利用导数来解决最优化问题，强化学生清楚函数是构建模型的有效数学语言。进一步内化导数是分析函数性质的重要工具， 2.通过学生对练习题的理解和表述，评价目标是否达成，找到学生理解的难点然后突破它。 3.社会主义建设需要各种类型的人才，可以是做技术攻坚者，可以做文化的传播者等等。
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
巩固练习 内化新知 六．评价检测—— 练习3：数学建模活动赏析：你投掷过铅球或者看过投掷铅球吧.运动员手指握球、置于颌下、上体微屈、背对投向,左腿摆动、右腿蹬伸、滑步向前、送出右髋,伸直右臂,将球迅速、有力地推出,极大的爆发力使铅球画出一条优美的弧线,落向远方. 问题9：你觉得出手角度是多少时投掷距离最远？ 提出问题1：你能运用所学知识，分析投掷距离与铅球的初始速度、出手角度等因素的关系,找出最佳出手角度吗？ 问题分析1：男子铅球的直径只有11 cm至 13 cm,在短暂的飞行中所受的阻力可以忽略.于是可将铅球视为一个质点,以一定的初始速度和出手角度投出后,在重力作用下作斜抛运动.物理知识告诉我们,飞行轨迹是一条抛物线, 建立模型一：若不考虑铅球出手高度,建立坐标系如图2,初始速度v方向与x轴的夹角为.v在x轴和y轴上的投影分别为.忽略空气阻力,铅球飞行过程中在x轴方向不受力,在y轴方向只受重力作用(与y轴反向),记重力加速度为g. 教师提出问题 学生思考问题 学生回答问题 1.除了钻井平台等高科技的需要，体育竞技等等日常生活中还有很多实际问题可以抽象成数学问题，然后用数学的语言描述它，简化它，解决它。 2.物理中的斜抛运动是学生高一入学就学习的知识，学生非常熟悉，而向斜上方45度角投掷会得到最大距离也是我们日常的经验，但是可以通过数学理论的推导，用数学的逻辑推理，证明出除了角度还与出手高度有关，与已有经验产生冲突，激发学生的学习兴趣，带着好奇心，期待进入高等数学的学习。
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
解法赏析： 设铅球在时刻t=0从坐标原点投出,按照运动的基本规律,铅球在任意时刻t的位置坐标( x，y)满足: 记投掷距离为s ,注意到铅球落地即y=0,此时的x坐标等于s ,(1)式化为： 消t得： 解决问题：1.上式给出投掷距离s与铅球初始速度v和出手角度的关系. 当出手角度时 ,,投掷距离s达到最大,最佳出手角度与始速度无关,这也就是大家熟知的“物体以45度角抛出的距离最远”. 解决问题：2.对任何出手角度,投掷距离s与铅球初始速度v的平方成正比,表明初始速度的提高能使投掷距离大幅度地增加. 提出问题2：如图3,投掷距离除了取决于铅球的初始速度v、出手角度外,还与出手高度h有关.
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解法赏析： 解法赏析： 建立模型二：设铅球出手高度为h，建立坐标系如图所示，铅球在时刻t=0时在（0，h）投出，由物理知识可以列出： 将代入（4）式得： 消t得： 令,即可以得到最佳出手角度. 解法赏析：消t得： 求导并令, 代入得： 代入（9）得： 教师展示 课下交流
教学环节 教学内容 师生活动 教学意图
课堂反思 课堂小结 问题创造 布置作业 七．课堂小结—— 这堂课你学习了哪些内容？ 你有什么收获？ 1.导数是研究函数性质的强有力工具； 2.函数是构建模型的有效数学语言。 3.学数学，做数学，更要用数学。 八．发现问题—— 作业1：课后题 作业2：提出身边的最优化问题，并尝试解决 师生总结 学习感悟 1.总结本节课的收获 2.发现身边的最优化问题，尝试解决，促进学生能够用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言描述世界。
板 书 设 计 (
铺设方案
1.求解过程
归纳实际问题的解题程序
读题——建模——求解——反馈
)
《利用导数解决实际问题》学案
姓名____________
背景介绍：从cctv9播出的纪录片《石油的故事》了解到我国南海有着丰富的石油资源，但是海洋环境比较复杂，开采运输及其困难，经过几代石油人的共同努力，反复研究与实践，终于自主研发出我国第一座深海半潜式钻井平台——“海洋石油981钻井平台”，它不但能扛住南海的17级台风和200年一遇的巨浪，甚至几千吨的船只正面撞击，它也会屹立不倒，因此被称为南海的“定海神针”。
开采技术突破了，但该如何把采到的石油安全快速的运回陆地呢？效率最高的是采用大型邮轮，但是对于深海采油平台来说十分不方便，另一个是利用海底石油管道进行输送，海底铺管工作也是十分具有挑战性的，需要分析复杂的海底环境，针对不同的地貌特征，选择不同的铺管路线和作业条件，经过铺管船几个月的工作，就可以铺设几百公里的输油管道。
问题1：读了背景材料后谈一谈你的感受。
问题2：现发现一油井，已经测出了部分数据，大家思考：怎么铺设输油管花费才能最少呢？
如图所示，海中有一座油井A,其离岸的距离AC=12 km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC=16 km ，现要用输油管将油井A与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上.已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30万元，那么铺设输油管的最少花费是多少？
练 习1：要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油桶，已知侧面的单位面积造价是底面的单位面积造价的一半，而盖的单位面积造价又是侧面的单位面积造价的一半，则储油桶的半径r和高h之比为何时造价最省？
练 习2：现在要设计一幅《石油的故事》宣传画，要求画的面积为4840，画面的宽与高之比为，画面上，下要留8cm的空白，左右各留5cm的空白，画面的高和宽为多少时，所用的纸张面积最小？
练 习3：数学建模活动赏析：你投掷过铅球或者看过投掷铅球吧.运动员手指握球、置于颌下、上体微屈、背对投向,左腿摆动、右腿蹬伸、滑步向前、送出右髋,伸直右臂,将球迅速、有力地推出,极大的爆发力使铅球画出一条优美的弧线,落向远方.
问题3：你觉得出手角度是多少时投掷距离最远？
作业1：提出一个身边的最优化问题，并尝试解决。
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