教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 高二 学期 秋季
课题 等比数列
教科书 书 名：普通高中教科书数学选择性必修第三册（人教B版） 出版社：人民教育出版社
教学目标
1.通过实例，理解等比数列的概念,体会数学在实际生活中的价值，培养学生数学抽象素养。 2.探索并归纳出等比数列的通项公式，能运用通项公式解决简单的问题，发展学生的数学运算和逻辑推理素养。 3.掌握等比中项的定义和等比数列的性质,并能利用它解决有关等比数列的问题。 4.了解等比数列与指数函数的关系，培养学生的数学建模素养。
教学内容
教学重点： 等比数列的定义，等比中项、等比数列的性质的应用。 等比数列的通项公式及推导过程。
教学难点： 1.等比数列的性质与函数特征及综合运用。
教学过程
一、情景导入 问题. 观察下列情景中的数列，回答后面的问题. 观看视频《巴菲特——复利的威力》。得出数列① 有些细胞在分裂时，会从1个变成2个，2个变成4个，4个变成8个……，这里细胞的个数构成数列1，2，4，8，16，32，… ②
3. 《庄子》中说“一尺之棰，日取其半，万事不竭.” 其意思是:一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果记木棒的长度为1，则不断取一半的过程中，每日之后木棒的长度构成数列，…③ 探究1.数列①②③在数学中都称为等比数列，它们有什么共同点 引导学生发现规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。 [设计意图] 该情境让学生从生活实例中发现各组数列的共同特点，目的在从而自然引出本节课的探究问题——等比数列的定义，培养学生数学抽象素养。 二、概念生成 探究2 探究2.类比等差数列的概念，你能给等比数列下一个定义吗？
如果一 1.等比数列的定义 人 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。 数学表达式：或者 . [设计意图]让学生经历概念的自主建构过程，并让学生体会类比思想在数学学习中的应用。 牛刀小试 例1.判断以下数列是否是等比数列？如果是，指出公比；如果不是，说明理由。 （1）1,10,100,1000,10000； （2）0,1,2,4,8； 解：（1）因为，所以是等比数列，且公比为10。 因为没有意义，因此不是等比数列。 （3）因为，所以不是等比数列。 探究3. 类比等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的的通项公式吗？ 通过类比等差数列的通项公式的推导过程，归纳探究等比数列的通项公式。方法有两种，分别是不完全归纳法和叠加法，类比等差数列的通项公式的推导方法，等比数列的通项公式也有两种推导方法。 （不完全归纳法）设一个等比数列的首项为,公比为,根据等比数列的定义， 可得,即 所以， ， 由此可归纳出等比数列的通项公式为 （累乘法）另外，注意到由等比数列定义可得 ,… 将这个式子两边分别相乘，则有 因此同样可得等比数列的通项公式为 [设计意图] 类比等差数列通项公式的推导方法，感受数学知识生产的过程，激发学生进一步学习的动力。 2.等比数列的通项公式 一般地,若等比数列的首项为,公比为,则通项公式为：. 点睛： 等差数列的通项公式中共含有四个变量,即，如果知道了其中任意三个量,就可由通项公式求出第四个量. 探究5.已知等比数列的第项及公比，求 解:设等比数列的首项为,则 两式相除，整理可得 即 [设计意图] 本题的关键是利用等比数列的通项公式将等比数列的第项与任意一项联系起来，从而得出等比数列任意两项之间的关系，并把等比数列的通项公式进行了推广：等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示。 典例解析 例2.已知等比数列中，， （1）求； （2） 判断18是不是这个数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由。 解:（1）解法一：设等比数列的首项为,公比为，则 解得，， ，因此. 解法二:设等比数列的公比为，则，即 解得,因此 设18是数列中的第项，则，化简得因为这个方程无正整数解，所以18不是数列中的项. [设计意图]熟练掌握等比数列的通项公式及推广的使用。 3.等比中项 如果是等比数列，那么称 为与的等比中项。 探究6.如果为与的等比中项，那么能用与表示出来吗？ 根据等比中项与等比数列的定义可知，因此， ∴ 想一想： 1.任意两个数都有等比中项吗？ 若,则有两个等比中项;若,则无等比中项。 2.等比数列的奇数项的符号与偶数项的符号有什么特点？ 因为，所以等比数列的奇数项的符号相同，偶数项的符号相同。 3.为与的等比中项的充要条件是吗？为什么？ 不是。当 时，不一定是 与的等比中项，例如0，0，5就不是等比数列。 三、归纳发现 4.等比数列的性质 探究7.设数列的通项公式为，求出， 并比较它们的大小。你能由此总结出一个一般的结论吗？ 因为， 所以. 一般地，如果是等比数列， 而且正整数满足，则. 特别地，如果,则 例3.在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数。 解：（方法一）依题意， 由等比数列的通项公式，得，解得. 当时，插入的3个数分别为, 当时，插入的3个数分别为 . 因此插入的3个数分别为或. （方法二）因为等比数列共有5项，即 又因为,所以, 即, 类似地，有,, 而且与同号，因此； 当时，； 当时，； 因此插入的3个数分别为或 [设计意图]熟练掌握等比数列的性质，并能用于解决数列的相关问题。 四、深化知识 5.等比数列与函数的关系 探究8.类比等差数列的通项公式与一次函数的关系，等比数列的通项公式中 an与n的关系与以前学过的什么函数有关？ 因为， 所以如果记 则可以看出， 当公比时，是指数型函数； 当公比时， 是常数函数，此时数列是常数列（因此，公比为1的等比数列是常数列）。 探究9. 类比指数函数的性质，你能说说公比q>0且q≠1时等比数列的单调性吗？ 指数函数 单调递减 单调递增常数列/ 数列 的单调性 常数列 摆动数列单调递减 单调递增单调递增单调递减
例4.已知数列的通项公式为，判断这个数列是否是等比数列，如果是求出公比，如果不是说明理由. 解：因为 所以数列是等比数列,且公比为2. 小结：数列是等比数列的充要条件是其中都是不为0的常数。 [设计意图] 阐明等比数列通项公式与指数函数之间的关系，进一步为等比数列的判断指明了方向，也让学生更深层次的了解了数列实际上就是离散型函数的本质。 五、课堂小结
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。
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人教B版数学选择性必修第三册
第五章 数列
5.3.1 等 比 数 列
学习目标明重点
学什么 如何学 何以学会 学科素养
目标1：理解等比数列的定义 阅读课本
师生探究 说出等比数列的定义，能用定义判断一个数列是否为等比数列.
能够独立完成练习1. 数学抽象
逻辑推理
数学运算
目标2：掌握等比数列的通项公式及其推导过程 阅读课本
合作探究 概述等比数列的通项公式及其推导过程.掌握累乘法.完成练习2. 数学抽象
逻辑推理
数学运算
目标3：了解等比数列与指数函数的关系 阅读课本
小组合作 能用自己的语言概括出等比数列与指数函数的关系.并完成练习3. 数学抽象
数学运算
一分钟
速览并了解本节学习目标
新知探究学知识
学习任务一：等比数列的概念
情境1：如图所示，有些细胞在分裂时，会中1个变成2个，2个变成4个，4个变成8个……，这里细胞的个数构成数列
1，2，4，8，16，32，… ①
新知探究学知识
新知探究学知识
问题1：以上情境中的数列，请同学们找一下它们有什么共同点？请具体说明.
问题2：数列①②③在数学中都称为_____数列，你能给_____数列下一个定义吗？
新知探究学知识
概念生成：
等比数列
自然语言：
符号语言：
牛刀小试显身手
归纳总结夯基础
注意：等比数列中任意一项不能为0，对于含参数的数列则需要分类讨论．
合作探究深思考
学习任务二：等比数列的通项公式
问题3：类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
等差数列
等比数列
不完全归纳法
合作探究深思考
等差数列
累加法
等比数列
累乘法
把这n－1个式子相乘可得：
所以 an=a1qn－1．
牛刀小试显身手
归纳总结夯基础
等比数列的通项公式
合作探究深思考
学习任务三：探究等比数列与函数的关系
牛刀小试显身手
自我评价提感悟
目 标 评价任务 评价标准及量规
目标1：理解等比数列的定义 通过情境导入和问题1， 问题2，探究学习任务一，完成练习1 标准1：问题1，问题2完成情况（10分）
标准2：合作探究一完成情况（15分）
目标2：掌握等比数列的通项公式及其推导过程.体验累乘法的数学方法和思想.
合作探究学习任务二，
完成练习2
标准1:问题3完成情况（10分）
标准2:合作探究二完成情况（25分）
标准3：练习2检测完成情况（10分）
目标3：了解等比数列与指数函数的关系 合作探究学习任务三
完成练习3 标准1:问题4完成情况（10分）
标准2:合作探究三完成情况（10分）
标准3：练习3检测完成情况（10分）
课堂小结精认知
等比数列
概念
通项公式
与函数的关系
指数函数
累乘法
课堂检测达目标
课堂检测达目标
课后思考促发展
基础训练：练习A组第1,2,4题；练习B组第2,3题
拓展训练：1、合力探究等比数列有哪些性质？
2、观察视频中的折纸，找出其中的等比数列.
①每次对折后纸张层数构成的数列：
②假设卫生纸长1千米，每次对折后卫生纸长度（千米）构成的数列：
