第六章 6.1.1 函数的平均变化率
【一 课标要求】 1
【二 思维导图】 1
【三 知识梳理】 2
【四 题型归纳】 3
【五 随堂检测】 5
1.理解函数平均变化率的概念．
2.会求函数的平均变化率．
3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．
一、 函数的平均变化率
一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称Δx=x2-x1为自变量的改变量;称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量;称
(或)为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率.
二、 函数平均变化率的几何意义:
如图所示,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率,就是直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).事实上,kAB=.
三、以直代曲
如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？
当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想．
四、平均速度与平均变化率
从物理学中我们知道,平均速度可以描述物体在一段时间内运动的快慢,如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1例1 求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？
1..求函数y＝x3从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
2．函数f(x)＝5x－3在区间[a，b]上的平均变化率为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A．2.1 B．1.1 C．2 D．0
4.已知函数y＝f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝________.
5.如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
例2 过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．
.
1. 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是( )
A．v甲>v乙
B．v甲C．v甲＝v乙
D．大小关系不确定
2．若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．
3．若函数y＝f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝________.
4.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________________．
5．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________．
1．函数的平均变化率可正可负可为零，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．
2．函数平均变化率的几何意义和物理意义．
(1)几何意义：平均变化率表示函数y＝f(x)图像上割线P1P2的斜率，若P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))，则＝＝；
(2)物理意义：把位移s看成时间t的函数，平均变化率表示s＝s(t)在时间段[t1，t2]上的平均速度，即＝.
1．设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．0.121
2．如图，函数y＝f (x)在[1，5]上的平均变化率为（ ）
A． B． C．2 D．－2
3．函数y=x2在区间[x0，x0+]上的平均变化率为k1，在[x0﹣，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是（ ）
A．k1>k2 B．k14．一质点的运动方程是，则在时间内相应的平均速度为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）（2020·青海师范大学附属第二中学高二月考）甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示.
现有下列四种说法正确的有（ ）
A.前四年该产品产量增长速度越来越快 B.前四年该产品产量增长速度越来越慢
C.第四年后该产品停止生产 D.第四年后该产品年产量保持不变.
6．已知函数，求：
（1）从0.1到0.2的平均变化率；
（2）在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
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6．1.1 函数的平均变化率
通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．
新知初探·自主学习
知识点二 函数的平均变化率的几何意义即割线的斜率
已知y＝f(x)图象上两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))，过A，B两点割线的斜率是________________，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．
知识点三 函数的平均变化率的物理意义即平均速度
物体在某段时间内的平均速度即函数的平均变化率．
√
√
√
√
2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1，2)及邻近点Q(1＋Δx，2＋Δy)，则割线PQ的斜率为( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx
答案：D
3．如图，函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案：B
4．如果质点M按规律s＝3＋t2(s的单位是m，t的单位是s)运动，则在时间段[2，2.1]内质点M的平均速度等于( )
A．3 m/s B．4 m/s
C．4.1 m/s D．0.41 m/s
答案：C
课堂探究·素养提升
【答案】C
跟踪训练1 函数y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均变化率是( )
A．2 B．2x C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
答案：C
30＋5Δt
答案：B
平均变化率的几何意义
例3 已知曲线y＝x2－1上两点A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率是___；当Δx＝0.1时，割线AB的斜率是______．
5
4.1
跟踪训练3 已知函数y＝x2－1的图象上一点A(3，8)及邻近一点B(3＋Δx，8＋Δy)，则割线AB的斜率等于( )
A．6 B．6＋Δx C．6＋(Δx)2 D．6x
答案：B
以直代曲
例4.刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为________．
方法归纳
以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”“量变到质变”“近似与精确”的思想．
跟踪训练4 已知函数f(x)的部分图象如图所示．若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为________．
