人教B版高中数学选择性必修第三册第六章导数及其应用6.2.2导数与函数的极值、最值 教案

导数与函数的极值、最值 教学设计
一、教材分析
1.从教材的核心地位来看
导数的相关知识是微积分的核心的概念之一，导数是研究函数的增长、变化的速度、极值、最值等一般的问题的工具。函数的极值和最值是在学生学习单调性之后的一节知识，也是学生思维能力提升的关键一课。另外，在学习导数与函数的极值、最值相关关系的过程中，还涉及到从特殊到一般、归纳与猜想的合理推理的思想方法，这一方法是学生以后的学习和工作当中都需要具备的基本数学素养之一。
本节课节选自《2019人教B版高中数学选择性必修三》的第六章《导数及其应用》的第二节内容。学生在学习之前已经具有导数的概念，对于函数的单调性有了全面的了解，并且储备了扎实的导数知识。函数的极值和最值是最为重要的内容之一，在上节课的学习中对于学生的学习情况有了一个全面的了解，本节课也是运用导数判断函数单调性的一个延伸和拓展，教师需要在课堂上重点培养学生的数形结合的思想，发展学生的思维想象和逻辑推理等能力。
2.从学生的发展角度来看
学生在学习本节课的知识时，很容易出现一些错误的判断，在探究知识时往往会将上节课学习的单调性的内容联系起来，猜想函数的极值为0，虽然这是一个错误的理念，但是对于高中阶段的学生来说其实也是促进发展的一个有利的因素。但是由于问题的抽象性，学生的思维受到限制，进而对于本节课的认知会产生一定的障碍，这也是本节课的不利因素。
二、学情分析
《导数与函数的极值、最值》课程的学习是建立在学生认识函数、探究函数的基础上开展的，学生学习如何利用的导数来求函数的极值和最值。在本节课课程学习之前，学生已经学习过导数的基本知识以及运用导数来求函数的单调性，对于相关的内容有了大致的了解，但是对于班级的大多数学生来说，本节课的知识还是比较抽象的，学生对于极值和最值这两个概念比较模糊，本节课的知识是学生整个高中生涯的一个重点和难点。本节课的设计以学生为主体，引导学生对相关的内容和梯形进行探究。学生学习本节课的知识可能会遇到两个问题，第一是极值和最值的含义，第二是如何用学习的知识来完成解答题。虽然说高中阶段的学生已经具备抽象思维能力，但是对于导数与函数的学习仍然存在抵触的心理，本节课通过层层递进引导的方式，来逐渐的消除学生的抵触心理，帮助学生建立一个高效的做题思路和框架，提升学生的数学水平。
三、教学目标与核心素养
《导数与函数的极值、最值》分为两个课时，本节课重点探索导数与函数的极值相关知识。
1.课程目标
①掌握函数极值的概念，能够从函数的图像上分析函数的极值和导数之间的关系。
②初步的掌握求函数极值的方法与策略。
③感受渗透在数学当中的整体性和局部性之间的相互统一辩证的关系。
2.学科素养
①数学抽象：掌握求函数极值的方法。
②逻辑推理：探索导数值为0时，与函数极值的关系。
③数学运算：运用导数来求函数的极值。
④直观想象：探索导数与极值之间的关系。
四、教学重点与难点
重点：掌握求函数极值的方法。
难点：探索导数与极值之间的关系。
五、教学基本流程
(
回忆函数的单调性和导数的关系，与已有知识建立联系
)
(
创设情境，激发学生探究兴趣
)
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组织学生自主的探索，获得函数的极值的定义
)
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通过习题训练，强化对函数的极值定义的理解
)
六、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
情景导学、激发兴趣 如下图所示，在一座座大山环绕之中，虽然每一个山峰的顶端都不一定是这座群山的最高的地方，但是却有一个一定区域的最高点。同样，虽然说谷底不一定是群山的最低处，但是在一定的区域有一个附近的最低点。 观察图中函数y=f(x)的图像，并且指出图像与刚才看到的群山美景有什么相似的地方，并且尝试运用数学的语言来描述出来。 教师带领学生观察美景，通过交流互动的方式初步的明确极值的概念。 学生分小组交流讨论，给出答案。 教师做简单总结：从图中就可以看得出来，函数y=f(x)在x1，x3，x5这三个点上所对应的y值，都是附近的函数值当中的最高点，而x2，x4这两个点所对应的函数的值，都是附近的函数值当中的最低点。 通过设计一些生活化的问题，来转移学生的注意力，让学生对本节课的问题产生强烈的好奇心，通过交流互动的形式提出函数极值的概念。本环节的设计重点提升学生的数学抽象能力以及建模思想的发展。
新课讲授、引导探究 一、概念探究 1.极值点与极值 一般的，设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有： f(x)f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值。 ☆探究活动： 如下图所示，函数y=f(x)图像当中A、B、C、D四个点所对应的横坐标都为函数的极值点，已知的条件为曲线y=f(x)在A、B、C、D四个点处都存在切线，提问： （1）这四个点处的切线都具有哪些特征？通过分析特征说明y=f(x)在x1、x2、x3、x4的导数具有什么样的特点？ （2）曲线y=f(x)在A、B、C、D四个点附近的切线有什么特征？ ☆例题解析 已知f(x)=x3，求所有能够使得f ′(x)=0的x，并且思考最终得到的数是否是函数的极值点。 2.函数的导数与极值 （1）极小值点和极小值的概念。 （2）极大值点和极大值的概念。 （3）极值点和极值的概念归类。 例1：一个函数f (x)的定义域是R，导函数f ′(x)所呈现的图像如下图所示，那么函数f (x)（ ） A.有3个极大值点，有2个极小值点 B.没有极大值点，有4个极小值点 C.有4个极大值点，没有极小值点 D有2个极大值点，有2个极小值点 例2：已知函数，求出函数的极值，并且尝试做出函数的图像示意图。 函数图像如上图所示，结合案例总结求极值的步骤： 1.需要求出函数的定义域和导数。 2.解方程f ′(x)=0，求得出来的x的值可能有多个。 3.运用求得的解，依次将函数的定义域分为不同的区间，可以将区间的变化列出表格。 4.结合f ′(x)在不同区间的符号，最终判断出f(x)在f′(x)＝0在各个根的地方的极值情况： 如果左边为正右边为负，那么此根处为极大值； 如果左边为负右边为正，那么此根处为极小值； 如果根的两边为同号的话，那么这个根就不是极值点。 学生结合教材内容和导入实验活动，与教师一同总结出极值点和极值的概念。 教师进行简单的解释分析：极大值点和极小值点都是被称作为极值点的，极大值和极小值也同样被称作为极值。很显然，如果极大值在附近的话，那么函数值就为最大，极小值点在附近的话，函数值就为最小。 学生分小组进行探究，最终得出结论： 曲线y=f(x)在四个点的位置切线都是水平的，进而得出： 通过图中的内容可以看出，在A和C两点的左侧，切线的斜率都是比0大的，在右侧的切线，其斜率都是比0小的。在B和D两点的附近，切线与A和C两点是相反的，所以，两侧的符号是不一样的。 一般的，如果x0是y=f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导，则必有： 学生自主探究解答问题，教师与学生一同分析得出答案： 因为f ′(x)=3x2 所以，假设f ′(x)为0的话，可以得出x=0。 但是0并不是函数的极值点，因为f (0)=0，而从坐标系上看，0左边的函数值是小于0的，并且右边的点起函数值一直大于0，如果f ′(x0)存在的话，那么“f ′(0)=0”是极值点的必要而不充分的条件。 学生与教师一同总结函数的导数和极值的概念。 学生自主尝试解决例1问题： 假设y=f ′(x)的图像与x轴的交点从左边依次为x1，x2，x3，x4，那么在1和3的位置都会得到最大值，在2和4的位置都会得到最小值。 师生合作解答例2： f ′(x)=x2-4=（x+2）（x-2） 当 f ′(x)=0，可以得出： x1=-2，x2=2 当x发生变化的时候，f ′(x)和f(x)都会发生变化 通过做表得出，当x=-2的时候，f(x)有极大值，当x=2的时候，f(x)有极小值。 借助由特殊到一般的思核心思想，引导学生归纳出导数与函数之间存在的极值的关系，进而有效的拓展学生的逻辑思维和建模意识等核心素养。 借助一些经典的例题，能够强化学生对于运用导数求函数极值方法的理解和应用，拓展学生的逻辑推理、抽象思维等多个能力。
初步运用、自主练习 结合刚才得出的结论求解下列函数的极值： (1)y＝x3－3x2－9x＋5 (2)y＝x3(x－5)2 学生自主解答，然后分小组讨论： （1）y′＝3x2－6x－9 令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 当x发生变化时，y′，y的变化情况如下： 当x＝－1时，函数有极大值，且f (－1)＝10。 当x＝3时，函数有极小值，且f (3)＝－22。 （2）y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5) 令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0 求解得出x1＝0，x2＝3，x3＝5当x发生变化时，y′与y的变化情况绘制表格。 ∴x＝0不是y的极值点； x＝3是极大值点，y极大值＝f (3)＝108； x＝5是极小值点，y极小值＝f (5)＝0。 采用小组讨论的形式，能够充分的体现出学生之间的相互合作，有利于构建一个高效的课堂。在合作的过程中，鼓励学生大胆的运用课堂的知识，将一些抽象的概念转化成为图表形式，培养学生的思维能力。
达标检测、强化能力 1.函数f (x)的定义域为R，其导函数y＝f ′(x)的一部分的图象如下图所示，则下面给出的结论，错误的是(　　) A．在(1，2)上函数f (x)为增函数 B．在(3，4)上函数f (x)为减函数 C．在(1，3)上函数f (x)有极大值 D．x＝3是函数f (x)在区间[1，5]上的极小值点 2.设函数f (x)＝xex，则(　　) A．x＝1为f (x)的极大值点 B．x＝1为f (x)的极小值点 C．x＝－1为f (x)的极大值点 D．x＝－1为f (x)的极小值点 学生自主练习，师生共同得出答案。 1.当1＜x＜2时，f ′(x)＞0， 当2＜x＜4时，f ′(x)＜0，当4＜x＜5时，f ′(x)＞0， 由此得出，x＝2是函数f (x)的极大值点，x＝4是函数f (x)的极小值点，所以最终选择D。 2.令f ′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f ′(x)＜0；当x＞－1时，f ′(x)＞0。故当x＝－1时，f (x)取得极小值。 通过达标检测让学生进行自主练习，为学生提供一个轻松地学习环境，有利于凸显出学生的主体地位，让学生在练习的过程中找到自身存在的一些困惑，将困惑及时的提出来，在课堂得到解决。
知识整合、总结提升 1.求可导函数y＝f (x)的极值的方法 2.解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左边f ′(x)＞0，右边f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左边f ′(x)＜0，右边f ′(x)＞0，那么f (x0)是极小值。 引导学生之间进行相互的交流讨论，相互补充之后进行小结，教师对学生的表现进行评析，并且结合多媒体图片给出小结。 引导学生通过交流的方式自己来总结课程知识，不仅仅是巩固强化的过程，更重要的是学生掌握数学学习的方法，助力学生形成良好的学习习惯。
作业设计 1.已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________。 2.已知函数f (x)＝2ef ′(e)ln x－，则函数f (x)的极大值为______。 3.若函数f (x)＝x3＋3bx2＋3b在（0,1）内有极小值，则求出实数b的范围。 学生独立完成作业。 通过作业的设计不仅能够让学生运用课堂的知识来进行练习实践，还可以感受到其中所蕴含的数学思想。
板书设计 导数与函数的极值 一、回忆导数与函数的单调性 二、典型例题引出概念 三、探究例题得出解题方法 四、归纳小结 五、作业安排
七、教学反思
在新课标的背景下，教师不仅仅是课堂教学知识的传授者，更多的是在课堂上引导学生学习的组织者和参与学生活动的合作者。为此，在本节课的教学环节，我采用“创设情境——构建模型——求解答案——解释反思——实践应用”的教学模式，引导学生通过对问题探究的方法，来获取知识和经验，而学生在课堂上不仅仅是本节课知识点的掌握，更多的是学会了数学思想和数学学习方法。
本节课运用多媒体辅助教学的形式，充分的调动学生的积极性，让学生在感兴趣的基础上进行探究。在课堂的例题分析和探索环节，则采用小组合作的形式，提升了学生的自主学习能力和探究的能力，基本上完成了高效课堂的构建。本节课的核心内容为导数与函数的极值，通过利用导数来求函数的最大值和最小值，学生借助一些例题分析，熟练的掌握求极值的过程和方法。在课堂上以学生的自主探究为主要方向，引导学生及时的归纳学习的方法，熟练的运用理论知识来解决实际问题。在探究的过程当中，让学生对题型进行归类，分析解题步骤，同时积累一些高考题型和创新题型的解答方法，让学生从不同的角度来分析问题，进而形成良好的知识网络框架。在课堂学生通过自主探究、小组合作的方式感受导数与函数的乐趣，培养了学生的学习自信心。
当然，本节课还存在一些不足之处，需要在以后的教学中进行及时的改进。首先，学生对于一些探究性的问题研究的还不够全面，只是针对课堂的一些问题进行讨论，对于探究中新生成的问题，其解决意识和能力还有待提升。其次，学生的运用能力还需要强化，尤其是函数的求导计算。在未来的教学中，应该引导学生从不同的方向思考问题，鼓励学生大胆的探究，以此促进学生全面发展。
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