第5节 空间向量及空间位置关系
[课程标准要求]
1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能判断向量的共线和垂直.
1.空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中,具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作
,其范围是[0,π],若=,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.
(2)两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b=|a||b|cos.
(3)空间向量数量积的运算律.
①结合律:(λa)·b=λ(a·b),λ∈R;
②交换律:a·b=b·a;
③分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
1.(人教A版选择性必修第一册P12练习T1改编)若{a,b,c}为空间的一个基底,则下列各项中,能构成空间的基底的一组向量是( )
[A] {a,a+b,a－b}
[B] {a+2b,a+b,a－b}
[C] {c,a+b,a－b}
[D] {b－c,a+b,a+c}
2.(人教A版选择性必修第一册P12例1改编)已知三棱锥O－ABC,点M,N分别为AB,OC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示 ,则等于( )
[A] (b+c－a) [B] (a+b+c)
[C] (a－b+c) [D] (c－a－b)
3.(人教A版选择性必修第一册P7例2(1)改编)如图,在正三棱柱ABC－A1B1C1中,AB=AA1=1,
P为B1C1的中点,则·等于( )
[A] [B] 1
[C] [D]
4.O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且 =++t,若P,A,B,C四点共面,则实数t= .
5.(人教A版选择性必修第一册P7例2(2)改编)正四面体A－BCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为 .
考点一 空间向量的线性运算
1.(2025·河南郑州模拟)如图,在四面体O－ABC中,=a,=b,=c,点D为AC的中点,=,则等于( )
[A] a－b+c [B] a－b+c
[C] a－b+c [D] a－b+c
2.如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,=a,=b,=c,O为底面ABCD的中心,G为△D1C1O的重心,则等于( )
[A] a+b+c [B] a+b+c
[C] a+b+c [D] a+b+c
3.(2025·湖北武汉模拟)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,=a,=b,=c,P为DD1的中点,过PB的平面α分别与棱AA1,CC1交于点E,F,且AE=CF,则+= (用a,b,c表示).
空间向量线性运算的几个关键点
(1)结合图形,明确图形中各线段的几何关系.
(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义.
考点二 共线、共面向量定理的应用
角度1 共线向量定理的应用
[例1] 在四面体A－BCD中,E为AD的中点,G为△BCD的重心.若AG与平面BCE交于点F,则等于( )
[A] [B] [C] [D]
角度2 共面向量定理的应用
[例2] (1)在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是(其中O为坐标原点)( )
[A] =
[B] =++
[C] +++=0
[D] ++=0
(2)(2025·甘肃兰州模拟)在四面体A－BCD中,△BCD是边长为2的等边三角形,O是△BCD内一点,四面体A－BCD的体积为2,则对 x,y∈R,|－x－y|的最小值是( )
[A] 2 [B]
[C] [D] 6
(1)对空间任一点O,=x+y,若x+y=1,则点P,A,B三点共线.
(2)证明空间四点P,M,A,B共面的方法.
①=x+y;
②对空间任一点O,=+x+y或=x+y+z(x+y+z=1)即可.
[针对训练]
1.(角度2)已知空间中A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若 =6－4+λ,则λ等于( )
[A] 2 [B] －2 [C] 1 [D] －1
2.(角度1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点E在对角线D1B上,且D1E=EB,点F在棱D1C1上,若A,E,F三点共线,则= .
考点三 空间向量的数量积及其应用
[例3] (1)有一长方形的纸片ABCD,AB的长度为4 cm,BC的长度为3 cm,现沿它的一条对角线AC把它折成直二面角,则折叠后·等于( )
[A] －4 [B] －16
[C] －7 [D] －9
(2)(2025·四川德阳模拟)正四面体A－BCD中,E,F分别是AB和CD的中点,则EF和AC所成角的大小是 .
空间向量数量积的3个应用
求夹角 设向量a,b的夹角为θ,则cos θ=,进而可求两异面直线所成的角
求长度 (距离) 利用公式|a|2=a·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决 垂直问题 利用a⊥b a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
[针对训练] (1)(多选题)(2024·山东烟台模拟)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体,下列说法正确的是( )
[A] (++)2=3()2
[B] ·()=0
[C] 向量与向量的夹角是120°
[D] 正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|
(2)(2025·山西晋中模拟)已知三棱锥P－ABC中,PA=PB=4,PC=1,∠APB=∠APC=∠BPC=
,M,N,T分别为棱AB,AC,PB的中点,则直线PM与NT所成角的正切值为( )
[A] 4 [B] 4 [C] 5 [D] 2
(分值:95分)
选题明细表
知识点、方法 题号
空间向量的线性运算 1,5
共线定理、共面定理的应用 2,3,12,15
空间向量的数量积及其应用 4,6,7,9,11,13
综合应用 8,10,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,则++等于( )
[A] [B]
[C] [D]
2.(多选题)下列说法正确的是( )
[A] |a|－|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件
[B] 若,共线,则AB∥CD
[C] 若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b－c,3a－b+2c,a－3b+4c}不可构成空间的另一个基底
[D] 若P,A,B,C为空间四点,且有=λ+μ(,不共线),则λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件
3.在空间四边形ABCD中,·+·+·等于( )
[A] －1 [B] 0 [C] 1 [D] 不确定
4.(2025·江西南昌模拟)如图,在一个60°的二面角的棱上有两个点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,并且都垂直于棱AB,且AB=AC=BD=1,则CD的长为( )
[A] 1 [B] [C] [D] 2
5.如图,在四面体ABCD中,E,F分别为BC,AE的中点,G为△ACD的重心,则等于( )
[A] －++
[B] －++
[C] +
[D] +
6.(2025·贵州铜仁模拟)在三维空间中,三个非零向量,,满足⊥,⊥,
⊥,则△ABC是( )
[A] 锐角三角形 [B] 直角三角形
[C] 钝角三角形 [D] 直角或锐角三角形
7.(2025·宁夏石嘴山模拟)在正四面体A－BCD中,M,N分别为AC,AD的中点,则异面直线BM,CN所成角的余弦值为( )
[A] [B] [C] [D]
8.(13分)(2025·浙江杭州模拟)如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,G分别是AB,CD的中点.设=a,=b,=c.
(1)求证:EG⊥AB;
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.
9.(2025·河北石家庄模拟)在三棱锥P－ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=2,AC=2,D,E分别是棱AB,PC的中点,点F是线段DE的中点,则AF的长度为( )
[A] [B]
[C] [D]
10.(多选题)(2025·山东枣庄模拟)如图,平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为1,且它们彼此的夹角都是60°,则( )
[A] AC1=
[B] AC1⊥BD
[C] 四边形BDD1B1的面积为
[D] 平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为
11.(2025·河南新乡模拟)已知圆锥MO的底面半径为 ,高为1,其中O为底面圆心,AB是底面圆的一条直径,若点P在圆锥MO的侧面上运动,则·的最小值为( )
[A] － [B] － [C] －2 [D] －1
12.(5分)已知V为矩形ABCD所在平面外一点,且VA=VB=VC=VD,=,=,=,则VA与平面PMN的位置关系是 .
13.(5分)(2025·湖南岳阳模拟)如图,在圆柱中,底面直径AB等于母线AA1.设AB与CD是底面互相垂直的两条直径,则异面直线AC与A1B所成角的大小为 .
14.(15分)如图,已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.
(1)求线段AC1的长;
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;
(3)求证:AA1⊥BD.
15.(5分)(2025·河南郑州模拟)如图(1),一张卡纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成,沿AD,BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直[如图(2)],连接EF,AE,CF,AC,若点P满足=x+y+z且x+y+z=1,则 || 的最小值为 .
第5节 空间向量及空间位置关系(解析版)
[课程标准要求]
1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能判断向量的共线和垂直.
1.空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中,具有大小和方向的量
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作,其范围是[0,π],若=,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.
(2)两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b=|a||b|cos.
(3)空间向量数量积的运算律.
①结合律:(λa)·b=λ(a·b),λ∈R;
②交换律:a·b=b·a;
③分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
1.(人教A版选择性必修第一册P12练习T1改编)若{a,b,c}为空间的一个基底,则下列各项中,能构成空间的基底的一组向量是( )
[A] {a,a+b,a－b}
[B] {a+2b,a+b,a－b}
[C] {c,a+b,a－b}
[D] {b－c,a+b,a+c}
【答案】 C
【解析】 对于A,a=[(a+b)+(a－b)],故{a,a+b,a－b}不能作为空间的一个基底,A错误;
对于B,a+2b=(a+b)－(a－b),故{a+2b,a+b,a－b}不能作为空间的一个基底,B错误;
对于C,假设c,a+b,a－b共面,则存在实数λ,μ,使c=λ(a+b)+μ(a－b),
则c=(λ+μ)a+(λ－μ)b,则c,a,b共面,这与{a,b,c}为空间的一个基底矛盾,
故c,a+b,a－b不共面,{c,a+b,a－b}可构成空间的一个基底,C正确;
对于D,b－c=(a+b)－(a+c),故{b－c,a+b,a+c}不能作为空间的一个基底,D错误.故选C.
2.(人教A版选择性必修第一册P12例1改编)已知三棱锥O－ABC,点M,N分别为AB,OC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示 ,则等于( )
[A] (b+c－a) [B] (a+b+c)
[C] (a－b+c) [D] (c－a－b)
【答案】 D
【解析】 因为点M为AB的中点,
所以=(+)=a+b,
因为点N为OC的中点,所以==c,
所以==c－a－b=(c－a－b).故选D.
3.(人教A版选择性必修第一册P7例2(1)改编)如图,在正三棱柱ABC－A1B1C1中,AB=AA1=1,
P为B1C1的中点,则·等于( )
[A] [B] 1
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由正三棱柱ABC－A1B1C1可得AA1⊥AB,AA1⊥AC,∠BAC=60°,
而=+,=+=+=+,
故·=(+)·(+)=·+=+1=.故选A.
4.O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且 =++t,若P,A,B,C四点共面,则实数t= .
【答案】
【解析】 由题意得,=++t,且P,A,B,C四点共面,所以++t=1,所以 t=.
5.(人教A版选择性必修第一册P7例2(2)改编)正四面体A－BCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为 .
【答案】
【解析】 因为||2==(++)2=+++2(·+·+·)=
12+22+12+2×(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)=2,所以||=,所以EF的长为.
考点一 空间向量的线性运算
1.(2025·河南郑州模拟)如图,在四面体O－ABC中,=a,=b,=c,点D为AC的中点,=,则等于( )
[A] a－b+c [B] a－b+c
[C] a－b+c [D] a－b+c
【答案】 B
【解析】 因为=,
所以==+),
故=+=－+=－b+a+c)=－b+a+c=a－b+c.故选B.
2.如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,=a,=b,=c,O为底面ABCD的中心,G为△D1C1O的重心,则等于( )
[A] a+b+c [B] a+b+c
[C] a+b+c [D] a+b+c
【答案】 A
【解析】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,=a,=b,=c,O为底面ABCD的中心,G为△D1C1O的重心,连接OG(图略),
则=+
=(+)+(+)
=(b+c)+[(+)++(+)+]
=(b+c)+(－b+c)+a+(b+c)+a=a+b+c.故选A.
3.(2025·湖北武汉模拟)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,=a,=b,=c,P为DD1的中点,过PB的平面α分别与棱AA1,CC1交于点E,F,且AE=CF,则+= (用a,b,c表示).
【答案】 －2a+c
【解析】 如图所示.
由题意不妨设Q,R,E,F分别为AA1,CC1,QA,RC的中点,容易证明四边形PEBF是平行四边形,即平面PEBF为符合题意的平面α,
因此+=(+)+(+)=(－+)+(－+),
又=,－=－,=+,且=,=,
所以+=(－+)+(－++)=－2+=－2a+c.
空间向量线性运算的几个关键点
(1)结合图形,明确图形中各线段的几何关系.
(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义.
考点二 共线、共面向量定理的应用
角度1 共线向量定理的应用
[例1] 在四面体A－BCD中,E为AD的中点,G为△BCD的重心.若AG与平面BCE交于点F,则等于( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】如图,连接DG交BC于H,则H为BC中点,连接AH,EH,AG,
因为AG 平面AHD,EH 平面AHD,设AG∩EH=K,则K∈EH,K∈AG,
又EH 平面BCE,所以K∈平面BCE,故K为AG与平面BCE的交点,
又因为AG与平面BCE交于点F,
所以F与K重合,
因为点A,F,G三点共线,
则=m=m(+)=m(+)
=m(+×)=m[+×(+)]=m(++),
又因为点E,F,H三点共线,则=x+y(x+y=1),
=x+y=(+)+,
所以解得m=,即=,
故=.故选C.
角度2 共面向量定理的应用
[例2] (1)在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是(其中O为坐标原点)( )
[A] =
[B] =++
[C] +++=0
[D] ++=0
(2)(2025·甘肃兰州模拟)在四面体A－BCD中,△BCD是边长为2的等边三角形,O是△BCD内一点,四面体A－BCD的体积为2,则对 x,y∈R,|－x－y|的最小值是( )
[A] 2 [B]
[C] [D] 6
【答案】 (1)D (2)D
【解析】 (1)由空间共面向量定理得=x+y+z,若A,B,C不共线,且A,B,C,M共面,其充要条件是x+y+z=1.
对于A,因为1－1－1≠1,所以A,B,C,M四点不共面;
对于B,因为++=≠1,所以A,B,C,M四点不共面;
对于C,由+++=0可得=－,
因为－1－1－1=－3≠1,所以A,B,C,M四点不共面;
对于D,由++=0可得++=0,
即=++,因为++=1,所以A,B,C,M四点共面.故选D.
(2)设=x+y,由共面向量定理得点E为平面BCD内任意一点,
且－x－y==,
所以|－x－y|=||,
求|－x－y|的最小值,即求点A到平面BCD的距离,
设点A到平面BCD的距离为h,
由题意知S△BCD=×2×2sin =,
四面体A-BCD的体积V=S△BCD·h=2,解得h=6,故所求最小值为6.故选D.
(1)对空间任一点O,=x+y,若x+y=1,则点P,A,B三点共线.
(2)证明空间四点P,M,A,B共面的方法.
①=x+y;
②对空间任一点O,=+x+y或=x+y+z(x+y+z=1)即可.
[针对训练]
1.(角度2)已知空间中A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若 =6－4+λ,则λ等于( )
[A] 2 [B] －2 [C] 1 [D] －1
【答案】 B
【解析】 =6－4+λ,即=6－4+λ,整理得=6－3+λ,由A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,可得6－3+λ=1,解得λ=－2.故选B.
2.(角度1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点E在对角线D1B上,且D1E=EB,点F在棱D1C1上,若A,E,F三点共线,则= .
【答案】
【解析】 因为正方体中,
=+=+,
设D1F=λFC1,又D1E=EB,所以 4=+,即=+,
因为A,E,F三点共线,所以+=1,解得 λ=,即=.
考点三 空间向量的数量积及其应用
[例3] (1)有一长方形的纸片ABCD,AB的长度为4 cm,BC的长度为3 cm,现沿它的一条对角线AC把它折成直二面角,则折叠后·等于( )
[A] －4 [B] －16
[C] －7 [D] －9
(2)(2025·四川德阳模拟)正四面体A－BCD中,E,F分别是AB和CD的中点,则EF和AC所成角的大小是 .
【答案】 (1)C (2)45°
【解析】 (1)在Rt△ABC中,AC==5 cm,cos∠BAC=,cos∠ACB=,
所以cos∠CAD=,所以·=·(+)=·+·=5×4×(－)+5×3×=－7.故选C.
(2)取AD中点G,连接EG,FG,令棱长为a,因为E,F分别是AB和CD的中点,
所以EG∥BD,EG=BD,GF∥AC,GF=AC,
所以∠GFE是EF和AC所成角,又·=·=·=a·a·=a2,
==()=,
=++=+
=()－+
=,
所以·=()·()=a2,
||==a,
||==a,
所以cos∠GFE==,
所以∠GFE=45°,即EF和AC所成角的大小为45°.
空间向量数量积的3个应用
求夹角 设向量a,b的夹角为θ,则cos θ=,进而可求两异面直线所成的角
求长度 (距离) 利用公式|a|2=a·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决 垂直问题 利用a⊥b a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
[针对训练] (1)(多选题)(2024·山东烟台模拟)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体,下列说法正确的是( )
[A] (++)2=3()2
[B] ·()=0
[C] 向量与向量的夹角是120°
[D] 正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|
(2)(2025·山西晋中模拟)已知三棱锥P－ABC中,PA=PB=4,PC=1,∠APB=∠APC=∠BPC=
,M,N,T分别为棱AB,AC,PB的中点,则直线PM与NT所成角的正切值为( )
[A] 4 [B] 4 [C] 5 [D] 2
【答案】 (1)ABC (2)C
【解析】 (1)由向量的加法得到++=,因为=3,所以(++)2=3()2,所以A正确;因为=,AB1⊥A1C,所以·=0,即·()=0,故B正确;
因为△ACD1是等边三角形,所以∠AD1C=60°,又A1B∥D1C,所以异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°,但是向量与向量的夹角是120°,故C正确;
因为AB⊥AA1,所以·=0,故|··|=0,因此D不正确.故选ABC.
(2)记=a,=b,=c,则=(a+b),=(a+c)－b=(a+c－b),
a·b=4×4×=8,a·c=4×1×=2,b·c=4×1×=2,
则·=(a+b)·(a+c－b)=(a2－b2+a·c+b·c)=1,
||==2,
||=
=
=,
设直线PM与NT所成的角为θ,则
cos θ=||=||=,sin θ==,
所以tan θ=5.
故选C.
(分值:95分)
选题明细表
知识点、方法 题号
空间向量的线性运算 1,5
共线定理、共面定理的应用 2,3,12,15
空间向量的数量积及其应用 4,6,7,9,11,13
综合应用 8,10,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,则++等于( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 ++=++=.故选A.
2.(多选题)下列说法正确的是( )
[A] |a|－|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件
[B] 若,共线,则AB∥CD
[C] 若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b－c,3a－b+2c,a－3b+4c}不可构成空间的另一个基底
[D] 若P,A,B,C为空间四点,且有=λ+μ(,不共线),则λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件
【答案】 CD
【解析】 由|a|－|b|=|a+b|,可知向量a,b的方向相反,此时向量a,b共线,反之,当向量a,b同向时,不能得到|a|－|b|=|a+b|,所以A不正确;若,共线,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,所以B不正确;假设存在m,n使得a+b－c=m(3a－b+2c)+n(a－3b+4c),化简解得m=,n=－,故{a+b－c,3a－b+2c,a－3b+4c}不可构成空间的另一个基底,所以C正确;若P,A,B,C为空间四点,且有=λ+μ(,不共线),当λ+μ=1时,即μ=1－λ,可得=
λ(),即=λ,所以A,B,C三点共线,反之也成立,即λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件,所以D正确.故选CD.
3.在空间四边形ABCD中,·+·+·等于( )
[A] －1 [B] 0 [C] 1 [D] 不确定
【答案】 B
【解析】如图,令=a,=b,
=c,
则·+·+·=a·(c－b)+b·(a－c)+c·(b－a)
=a·c－a·b+b·a－b·c+c·b－c·a=0.故选B.
4.(2025·江西南昌模拟)如图,在一个60°的二面角的棱上有两个点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,并且都垂直于棱AB,且AB=AC=BD=1,则CD的长为( )
[A] 1 [B] [C] [D] 2
【答案】 B
【解析】 因为=++,
所以=(++)2=+++2·+2·+2·,
因为⊥,⊥,
所以·=0,·=0,·=||·||cos 120°=－×1×1=－.
所以=1+1+1+2×(－)=2,所以||=,即CD=.故选B.
5.如图,在四面体ABCD中,E,F分别为BC,AE的中点,G为△ACD的重心,则等于( )
[A] －++
[B] －++
[C] +
[D] +
【答案】 B
【解析】 因为E,F分别为BC,AE的中点,
所以==(+).
因为G为△ACD的重心,
所以=(+),
所以==(+)－(+)=－++.
故选B.
6.(2025·贵州铜仁模拟)在三维空间中,三个非零向量,,满足⊥,⊥,
⊥,则△ABC是( )
[A] 锐角三角形 [B] 直角三角形
[C] 钝角三角形 [D] 直角或锐角三角形
【答案】 A
【解析】 因为⊥,⊥,⊥,
所以·=0,·=0,·=0,
·=()·()
=···+
=||2>0,
所以cos∠CAB=>0,
即知∠CAB为锐角.
同理可知∠ABC,∠BCA也为锐角.
故△ABC是锐角三角形.
故选A.
7.(2025·宁夏石嘴山模拟)在正四面体A－BCD中,M,N分别为AC,AD的中点,则异面直线BM,CN所成角的余弦值为( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】不妨设正四面体的棱长为2,以{,,}为基底,
则==,=(+),
则·=+···)=×(×22－×22×cos 60°)=－,
又||=||=,所以cos<,>==－,
所以BM,CN所成角的余弦值为.故选D.
8.(13分)(2025·浙江杭州模拟)如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,G分别是AB,CD的中点.设=a,=b,=c.
(1)求证:EG⊥AB;
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.
(1)【证明】 连接DE,
因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,且E,G分别是AB,CD的中点,
所以AC=BC,BD=AD,
故CE⊥AB,DE⊥AB,
又因为CE∩DE=E,CE,DE 平面CDE,
所以AB⊥平面CDE,
因为EG 平面CDE,
所以AB⊥EG.
(2)【解】 由题意得△ABC,△ACD,△ABD均为等边三角形且边长为1,
所以AG=EC=,
=(b+c),=(+)=(+)=b－a,
所以·=(b+c)·(b－a)
=b2－a·b+c·b－a·c
=|a|·|b|cos 60°+|c|·|b|cos 60°－|a|·|c|cos 60°
=+=,
设异面直线AG和CE所成角为θ,
则cos θ=|cos <,>|===.
9.(2025·河北石家庄模拟)在三棱锥P－ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=2,AC=2,D,E分别是棱AB,PC的中点,点F是线段DE的中点,则AF的长度为( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 AB=BC=2,AC=2,故AB⊥BC,∠BAC=,
故·=2×2×=4,·=0,·=0,
=(+)=[+(+)]=(++),
||=
==.故选B.
10.(多选题)(2025·山东枣庄模拟)如图,平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为1,且它们彼此的夹角都是60°,则( )
[A] AC1=
[B] AC1⊥BD
[C] 四边形BDD1B1的面积为
[D] 平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为
【答案】 ABD
【解析】 =++,
则=+++2·+2·+2·
=12+12+12+2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°=6,
故||=,A正确;
=++,
=,·
=(++)·()
=·+·+··
=1×1×cos 60°－12+12－1×1×cos 60°+1×1×cos 60°－1×1×cos 60°=0,
故⊥,B正确;
连接BD1,B1D,则=++,=++,=+++
2·+2·+2·=12+12+12+2×1×1×cos 120°+2×1×1×cos 60°+2×1×1×
cos 120°=2,
即||=,同理||=,故四边形BDD1B1为矩形,面积为1×1=1,C错误;
过A1作A1E⊥平面ABCD,易知E在直线AC上,过E作EF⊥AB于F,连接A1F,由A1E⊥AB,
EF⊥AB得AB⊥平面A1EF,易得AB⊥A1F,故AF=AA1·cos 60°=,AE==,A1E=
=,故平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为×1×1××2×=,D正确.故选ABD.
11.(2025·河南新乡模拟)已知圆锥MO的底面半径为 ,高为1,其中O为底面圆心,AB是底面圆的一条直径,若点P在圆锥MO的侧面上运动,则·的最小值为( )
[A] － [B] － [C] －2 [D] －1
【答案】 A
【解析】圆锥MO的底面半径为,高为1,其中O为底面圆心,AB是底面圆的一条直径,
则有=－,||=||=,点P在圆锥MO的侧面上运动,
则·=()·()=·－(+)·+=－()2,
||最小时,·有最小值,||的最小值为O点到圆锥母线的距离,
Rt△MOA中,OA=,OM=1,则AM=2,O点到MA的距离OD==,
则||的最小值为,·的最小值为()2－()2=－.故选A.
12.(5分)已知V为矩形ABCD所在平面外一点,且VA=VB=VC=VD,=,=,=,则VA与平面PMN的位置关系是 .
【答案】 平行
【解析】 如图,设=a,=b,=c,则=a+c－b,
由题意知=b－c,==a－b+c.因为=+,所以,,
共面.
又VA 平面PMN,所以VA∥平面PMN.
13.(5分)(2025·湖南岳阳模拟)如图,在圆柱中,底面直径AB等于母线AA1.设AB与CD是底面互相垂直的两条直径,则异面直线AC与A1B所成角的大小为 .
【答案】
【解析】 由已知可得,AB,CD,AA1两两垂直,且相等,
设AB=2,则OA=OC=1,AC==,A1B==2.
又==+,=,
则·=(+)·()=··+·==2.
所以cos<,>===,
又0≤<,>≤π,所以<,>=,
所以异面直线AC与A1B所成角的大小为.
14.(15分)如图,已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.
(1)求线段AC1的长;
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;
(3)求证:AA1⊥BD.
(1)【解】 设=a,=b,=c,则|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=0,
c·a=c·b=2×1×cos 120°=－1.
因为=++=a+b+c,
所以||=|a+b+c|===
=,
所以线段AC1的长为.
(2)【解】 因为=a+b+c,=b－c,
所以·=(a+b+c)·(b－c)=a·b－a·c+b2－c2=0+1+1－4=－2,
||=|b－c|====,
设异面直线AC1与A1D所成的角为θ,
则cos θ=|cos <,>|===,
即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.
(3)【证明】 由(1)知=c,
=b－a,
所以·=c·(b－a)=c·b－c·a=－1+1=0,
即⊥,
所以AA1⊥BD.
15.(5分)(2025·河南郑州模拟)如图(1),一张卡纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成,沿AD,BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直[如图(2)],连接EF,AE,CF,AC,若点P满足=x+y+z且x+y+z=1,则 || 的最小值为 .
【答案】 4
【解析】 因为点P满足=x+y+z且x+y+z=1,
所以A,C,F,P四点共面,即P是平面ACF上的动点,
所以||的最小值即为E到平面ACF的距离.
由题意,几何体可补成边长为6的正方体,如图,
则可知AF=AC=CF=AE=FE=CE=6,
设E到平面ACF的距离为h,则=·S△ACF·h=V正方体－4,
即××(6)2·h=63－4×××6×6×6,
解得h=4,所以||的最小值为4.
(
第
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第5节 空间向量及空间位置
关系
1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能判断向量的共线和垂直.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.空间向量的有关概念
大小
名称 定义
空间向量 在空间中,具有 和 的量
相等向量 方向 且模 的向量
相反向量 方向 且模 的向量
共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或
的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
方向
相同
相等
相反
相等
平行
重合
知识梳理
a=λb
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 .
(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x,y),使p= .
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p= ,其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底.
唯一
xa+yb
xa+yb+zc
知识梳理
[0,π]
3.空间向量的数量积
(2)两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b= .
互相垂直
|a||b|cos
知识梳理
(3)空间向量数量积的运算律.
①结合律:(λa)·b=λ(a·b),λ∈R;
②交换律:a·b=b·a;
③分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
对点自测
1.(人教A版选择性必修第一册P12练习T1改编)若{a,b,c}为空间的一个基底,则下列各项中,能构成空间的基底的一组向量是( )
[A] {a,a+b,a－b}
[B] {a+2b,a+b,a－b}
[C] {c,a+b,a－b}
[D] {b－c,a+b,a+c}
C
对点自测
对点自测
D
对点自测
对点自测
A
对点自测
对点自测
对点自测
5.(人教A版选择性必修第一册P7例2(2)改编)正四面体A－BCD的棱长为2,E,
F分别为BC,AD的中点,则EF的长为 .
关键能力
课堂突破
考点一 空间向量的线性运算
B
A
空间向量线性运算的几个关键点
(1)结合图形,明确图形中各线段的几何关系.
(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义.
题后悟通
考点二 共线、共面向量定理的应用
角度1 共线向量定理的应用
C
【解析】如图,连接DG交BC于H,则H为BC中点,连接AH,EH,AG,
因为AG 平面AHD,EH 平面AHD,设AG∩EH=K,则K∈EH,K∈AG,
又EH 平面BCE,所以K∈平面BCE,故K为AG与平面BCE的交点,
又因为AG与平面BCE交于点F,
所以F与K重合,
[例2] (1)在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是(其中O为坐标原点)( )
角度2 共面向量定理的应用
D
D
解题策略
[针对训练]
B
考点三 空间向量的数量积及其应用
[A] －4 [B] －16
[C] －7 [D] －9
C
(2)(2025·四川德阳模拟)正四面体A－BCD中,E,F分别是AB和CD的中点,则EF和AC所成角的大小是 .
45°
解题策略
空间向量数量积的3个应用
求夹角 设向量a,b的夹角为θ,则cos θ= ,进而可求两异面直线所成的角
求长度 (距离) 利用公式|a|2=a·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决 垂直问题 利用a⊥b a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
[针对训练] (1)(多选题)(2024·山东烟台模拟)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体,下列说法正确的是( )
ABC
C
课时作业
(分值:95分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
空间向量的线性运算 1,5
共线定理、共面定理的应用 2,3,12,15
空间向量的数量积及其应用 4,6,7,9,11,13
综合应用 8,10,14
基础巩固练
A
CD
2.(多选题)下列说法正确的是( )
[A] －1 [B] 0 [C] 1 [D] 不确定
B
4.(2025·江西南昌模拟)如图,在一个60°的二面角的棱上有两个点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,并且都垂直于棱AB,且AB=AC=
BD=1,则CD的长为( )
B
B
[A] 锐角三角形 [B] 直角三角形
[C] 钝角三角形 [D] 直角或锐角三角形
A
7.(2025·宁夏石嘴山模拟)在正四面体A－BCD中,M,N分别为AC,AD的中点,则异面直线BM,CN所成角的余弦值为( )
D
(1)求证:EG⊥AB;
(1)【证明】 连接DE,
因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,且E,G分别是AB,CD的中点,所以AC=BC,BD=AD,
故CE⊥AB,DE⊥AB,
又因为CE∩DE=E,CE,DE 平面CDE,
所以AB⊥平面CDE,
因为EG 平面CDE,
所以AB⊥EG.
(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.
综合运用练
B
ABD
10.(多选题)(2025·山东枣庄模拟)如图,平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为1,且它们彼此的夹角都是60°,则( )
A
平行
13.(5分)(2025·湖南岳阳模拟)如图,在圆柱中,底面直径AB等于母线AA1.设AB与CD是底面互相垂直的两条直径,则异面直线AC与A1B所成角的大小为
.
14.(15分)如图,已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.
(1)求线段AC1的长;
14.(15分)如图,已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;
14.(15分)如图,已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.
(3)求证:AA1⊥BD.
应用创新练