第6节 利用空间向量证明平行和垂直
[课程标准要求]
1.理解直线的方向向量及平面的法向量.
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.
3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
1.空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
项目 向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3
共线 a=λb(b≠0,λ∈R) a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
垂直 a·b=0(a≠0, b≠0) a1b1+a2b2+a3b3=0
模 |a|
夹角
(a≠0, b≠0) cos =
2.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量.
3.空间位置关系的向量表示
项目 位置 关系 向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2 l1∥l2 u1∥u2 u1=λu2(λ∈R)
l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2=0
直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n l∥α u⊥n u·n=0
l⊥α u∥n u=λn(λ∈R)
平面α,β的法向量分别为n1,n2 α∥β n1∥n2 n1=λn2(λ∈R)
α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0
1. (人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,－3,z),向量v=(3,－2,1)与平面α平行,则z等于( )
[A] 3 [B] 6 [C] －9 [D] 9
2.(2025·四川成都模拟)已知直线l的方向向量是 a=(3,2,1),平面α的一个法向量是n=
(1,－1,－1),则l与α的位置关系是( )
[A] l⊥α
[B] l∥α
[C] l与α相交但不垂直
[D] l∥α或l α
3.(人教A版选择性必修第一册P30例3改编)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
[A] 相交 [B] 平行
[C] 垂直 [D] 不能确定
4.已知a=(2,3,1),b=(1,－2,－2),则a在b上的投影向量为( )
[A] 2b [B] －2b
[C] b [D] －b
5.在平面ABC中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(－1,0,－1),若a=(－1,y,z),且a为平面ABC的法向量,则y+z= .
考点一 平面的法向量、直线的方向向量及其应用
1.(多选题)下列命题正确的是( )
[A] 两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,0,－1),b=(－4,0,2),则l1∥l2
[B] 直线l的方向向量c=(1,－1,2),平面α的法向量是m=(6,4,－1),则l⊥α
[C] 两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,－1),v=(－3,4,2),则α⊥β
[D] 平面α内有两点M(1,－1,2),N(a,3,3),平面α的一个法向量为n=(6,－3,6),则a=2
2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是( )
[A] (,,－)
[B] (,－,)
[C] (－,,)
[D] (－,－,－)
3.已知=(1,5,－2),=(3,1,z),若⊥,=(x－1,y,－3),且BP⊥平面ABC,则实数x+y=
.
(1)直线的方向向量的确定:若l是空间的一条直线,A,B是l上任意两点,则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量的确定:设a,b是平面α内两个不共线向量,n为平面α的一个法向量,则可用方程组求出平面α的一个法向量n.
考点二 利用空间向量证明(判断)平行与垂直
[例1] 如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.证明:
(1)BE⊥DC;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面PCD⊥平面PAD.
利用空间向量证明垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系.
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面等要素.
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量,再研究平行、垂直关系.
(4)根据运算结果解释相关问题.
注意: 运用向量知识判定空间位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍要强调直线在平面外.
[针对训练] (2025·山东菏泽模拟)如图,八面体的每一个面都是正三角形,并且A,B,C,D四个顶点在同一平面内,下列结论:①AE∥平面CDF;②平面ABE∥平面CDF;③AB⊥AD;④平面ACE⊥平面BDF.其中正确结论的个数为( )
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
考点三 平行与垂直关系中的探索性问题
[例2] (2025·湖南株洲模拟)如图,棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC和∠A1AC均为60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证:BD⊥AA1.
(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1 若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由.
向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路
(1)根据题设条件中的垂直关系,建立适当的空间直角坐标系,将相关点、相关向量用坐标表示.
(2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解.若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在.
[针对训练] (2025·江苏南通模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,
∠DAB=90°,PA⊥平面ABCD,PA=AD=DC=AB=1.
(1)若点M是棱PB上的动点,且满足=,证明:PD∥平面ACM.
(2)若点N为棱PC上的一点(不含端点),试探究PC上是否存在一点N,使得平面ADN⊥平面BDN 若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
(分值:95分)
选题明细表
知识点、方法 题号
平面的法向量、直线的方向向量及其应用 1,2,4,6,8,10,14
利用空间向量证明(判断)平行与垂直 5,7,11,12,15
平行与垂直关系中的探索性问题 3,9,13
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知a为直线l的方向向量,m,n分别为两个不同平面α,β的法向量,则下列说法正确的是( )
[A] 若a⊥m,m∥n,则l∥β
[B] 若a∥m,a∥n,则α⊥β
[C] 若a⊥m,a⊥n,则α∥β
[D] 若a∥m,a⊥n,则α⊥β
2.(多选题)(2025·重庆模拟)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(－1,3,1),则( )
[A] 与是共线向量
[B] 的单位向量是(1,1,0)
[C] 与夹角的余弦值是－
[D] 平面ABC的一个法向量是(1,－2,5)
3.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,若AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为( )
[A] (1,1,1) [B] (,,1)
[C] (,,1) [D] (,,1)
4.(2025·四川宜宾模拟)已知圆锥PO的母线长为3,表面积为4π,O为底面圆心,AB为底面圆直径,C为底面圆周上一点,∠BOC=60°,M为PB中点,则△MOC的面积为( )
[A] [B]
[C] [D]
5.(5分)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是 .
6.(5分)(2025·北京东城模拟)如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,平面 ABCD∥平面A1B1C1D1,四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是两个全等的矩形.AB∥A1B1,AD∥A1D1,AA1⊥平面ABCD,AB=B1C1=2,BC=A1B1=4,AA1=2,则BB1= .该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为 .
7.(13分)如图,在多面体ABC－A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1∥BC且B1C1=BC,二面角A1－AB－C是直二面角.求证:
(1)A1B1⊥平面AA1C;
(2)AB1∥平面A1C1C.
8.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.若在线段AB上存在点D,使得AC1∥平面CDB1,则点D满足( )
[A] AD=AB [B] AD=AB
[C] AD=AB [D] AD=AB
9.已知梯形CEPD如图(1)所示,其中PD=8,CE=6,A为线段PD的中点,四边形ABCD为正方形,现沿AB进行折叠,使得平面PABE⊥平面ABCD,得到如图(2)所示的几何体.已知当点F满足 =λ(0<λ<1)时,平面DEF⊥平面PCE,则λ的值为( )
[A] [B] [C] [D]
10.(2025·陕西西安模拟)如图所示,在六面体ABEDC中,CB=CD=2CA=2,AB=DE=BE=AD=
,BD=AE=2,则该六面体的外接球的表面积为( )
[A] 4π [B] 9π
[C] 12π [D] 16π
11.(5分)(2025·广东深圳模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则平面AD1F与平面ADE的位置关系是 .
12.(5分)在正三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱长为2,底面边长为1,M为BC的中点,=λ,且AB1⊥MN,则实数λ的值为 .
13.(15分)如图,已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形,侧面PAB是等边三角形,BC=2AB,AC=AB,PB⊥AC.
(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD.
(2)设Q为侧棱PD上一点,四边形BEQF是过B,Q两点的截面,且AC∥平面BEQF,是否存在点Q,使得平面BEQF⊥平面PAD 若存在,求的值;若不存在,说明理由.
14.(多选题)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,AA1=3,点M,N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点).若D1M⊥MN,则下列结论正确的是( )
[A] MN⊥A1M
[B] MN⊥平面D1MC
[C] 线段BN长度的最大值为
[D] 三棱锥C1－A1D1M体积不变
15.(5分)(2025·湖南长沙模拟)如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=2,底面ABCD为直角梯形,∠BAD=90°,AB=2,CD=AD=1,点M,Q分别在线段PD,AP上,且=λ,=μ.若MQ∥平面PBC,则的最小值为 .
第6节 利用空间向量证明平行和垂直（解析版）
[课程标准要求]
1.理解直线的方向向量及平面的法向量.
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.
3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
1.空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
项目 向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3
共线 a=λb(b≠0,λ∈R) a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
垂直 a·b=0(a≠0, b≠0) a1b1+a2b2+a3b3=0
模 |a|
夹角 (a≠0, b≠0) cos =
2.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量.
3.空间位置关系的向量表示
项目 位置 关系 向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2 l1∥l2 u1∥u2 u1=λu2(λ∈R)
l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2=0
直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n l∥α u⊥n u·n=0
l⊥α u∥n u=λn(λ∈R)
平面α,β的法向量分别为n1,n2 α∥β n1∥n2 n1=λn2(λ∈R)
α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0
1. (人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,－3,z),向量v=(3,－2,1)与平面α平行,则z等于( )
[A] 3 [B] 6 [C] －9 [D] 9
【答案】 C
【解析】 因为l⊥α,向量v与平面α平行,所以u⊥v,即u·v=0,所以1×3+(－3)×(－2)+z×1=0,所以z=－9.故选C.
2.(2025·四川成都模拟)已知直线l的方向向量是 a=(3,2,1),平面α的一个法向量是n=
(1,－1,－1),则l与α的位置关系是( )
[A] l⊥α
[B] l∥α
[C] l与α相交但不垂直
[D] l∥α或l α
【答案】 D
【解析】 因为a=(3,2,1),n=(1,－1,－1),
则a·n=3×1+2×(－1)+1×(－1)=0,
得到a⊥n,且直线l的方向向量是a,平面α的一个法向量是n,
所以l与α的位置关系是l∥α或l α.故选D.
3.(人教A版选择性必修第一册P30例3改编)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
[A] 相交 [B] 平行
[C] 垂直 [D] 不能确定
【答案】 B
【解析】以C1B1,C1D1,C1C所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐
标系.
因为A1M=AN=,
所以M(a,,),
N(,,a),
所以=(－,0,),
又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以=(0,a,0),
所以·=0,所以⊥.
因为是平面BB1C1C的一个法向量,且MN 平面BB1C1C,
所以MN∥平面BB1C1C.故选B.
4.已知a=(2,3,1),b=(1,－2,－2),则a在b上的投影向量为( )
[A] 2b [B] －2b
[C] b [D] －b
【答案】 D
【解析】 ===－,故a在b上的投影向量为=－b.故选D.
5.在平面ABC中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(－1,0,－1),若a=(－1,y,z),且a为平面ABC的法向量,则y+z= .
【答案】 1
【解析】 =(1,1,0),=(－1,－1,－2),
由题意得a·=0,a·=0,
所以解得所以y+z=1.
考点一 平面的法向量、直线的方向向量及其应用
1.(多选题)下列命题正确的是( )
[A] 两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,0,－1),b=(－4,0,2),则l1∥l2
[B] 直线l的方向向量c=(1,－1,2),平面α的法向量是m=(6,4,－1),则l⊥α
[C] 两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,－1),v=(－3,4,2),则α⊥β
[D] 平面α内有两点M(1,－1,2),N(a,3,3),平面α的一个法向量为n=(6,－3,6),则a=2
【答案】 ACD
【解析】 A选项,因为b=－2a,且l1,l2不重合,所以l1∥l2,A正确;
B选项,因为c·m=1×6+(－1)×4+2×(－1)=0,所以c⊥m,所以l∥α或l α,B错误;
C选项,因为u·v=2×(－3)+2×4+(－1)×2=0,所以α⊥β,C正确;
D选项,因为M(1,－1,2),N(a,3,3),所以=(a－1,4,1),因为平面α的一个法向量为n=(6,－3,6),所以n⊥,则n·=6(a－1)－3×4+6=0,解得a=2,D正确.故选ACD.
2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是( )
[A] (,,－)
[B] (,－,)
[C] (－,,)
[D] (－,－,－)
【答案】 D
【解析】 =(－1,1,0),=(－1,0,1),
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
所以令x=1,则y=1,z=1,
所以n=(1,1,1)为平面ABC的一个法向量.
所以单位法向量为±=±(,,).故选D.
3.已知=(1,5,－2),=(3,1,z),若⊥,=(x－1,y,－3),且BP⊥平面ABC,则实数x+y=
.
【答案】
【解析】 因为BP⊥平面ABC,所以为平面ABC的一个法向量,所以·=0,·=0,所以解得 x=,y=－,z=4,所以x+y==.
(1)直线的方向向量的确定:若l是空间的一条直线,A,B是l上任意两点,则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量的确定:设a,b是平面α内两个不共线向量,n为平面α的一个法向量,则可用方程组求出平面α的一个法向量n.
考点二 利用空间向量证明(判断)平行与垂直
[例1] 如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.证明:
(1)BE⊥DC;
(2)BE∥平面PAD;
(3)平面PCD⊥平面PAD.
【证明】依题意,以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图),可得B(1,0,0),C(2,2,0),
D(0,2,0),P(0,0,2),A(0,0,0).由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).
(1)=(0,1,1),=(2,0,0),故·=0,所以BE⊥DC.
(2)因为AB⊥AD,又PA⊥平面ABCD,
AB 平面ABCD,
所以AB⊥PA,PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,
所以AB⊥平面PAD,
所以=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量,
而·=(0,1,1)·(1,0,0)=0,
所以BE⊥AB,
又BE 平面PAD,所以BE∥平面PAD.
(3)由(2)知平面PAD的一个法向量为=(1,0,0),=(0,2,－2),=(2,0,0),
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
则
即
令y=1,可得n=(0,1,1)为平面PCD的一个法向量,且n·=(0,1,1)·(1,0,0)=0,
所以n⊥.
所以平面PCD⊥平面PAD.
利用空间向量证明垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系.
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面等要素.
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量,再研究平行、垂直关系.
(4)根据运算结果解释相关问题.
注意: 运用向量知识判定空间位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍要强调直线在平面外.
[针对训练] (2025·山东菏泽模拟)如图,八面体的每一个面都是正三角形,并且A,B,C,D四个顶点在同一平面内,下列结论:①AE∥平面CDF;②平面ABE∥平面CDF;③AB⊥AD;④平面ACE⊥平面BDF.其中正确结论的个数为( )
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
【答案】 D
【解析】 连接AC,BD相交于点O,由题意可知四边形ABCD为正方形,且OB,OC,OE两两相互垂直.以O为坐标原点,OB,OC,OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正八面体的边长为2,则A(0,－,0),E(0,0,),C(0,,0),D(－,0,0),
F(0,0,－),所以=(0,,),=(－,－,0),=(0,－,－),设平面CDF的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,即n=(1,－1,1)为平面CDF的一个法向量.
又·n=－+=0,所以⊥n,又AE 平面CDF,所以AE∥平面CDF,①正确;
AB∥CD,AB 平面CDF,CD 平面CDF,则AB∥平面CDF,
由AB∩AE=A,AE,AB 平面ABE,所以平面ABE∥平面CDF,②正确;
因为四边形ABCD为正方形,所以AB⊥AD,③正确;
易知平面ACE的一个法向量为n1=(1,0,0),平面BDF的一个法向量为n2=(0,1,0),
因为n1·n2=0,所以平面ACE⊥平面BDF,④正确.故选D.
考点三 平行与垂直关系中的探索性问题
[例2] (2025·湖南株洲模拟)如图,棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2,∠ABC和∠A1AC均为60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证:BD⊥AA1.
(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1 若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由.
(1)【证明】 设BD与AC交于点O,则BD⊥AC,连接A1O,
在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60°,
所以A1O2=A+AO2－2AA1·AOcos 60°=3,
所以AO2+A1O2=A,
所以A1O⊥AO.
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,
A1O 平面AA1C1C,所以A1O⊥平面ABCD.
以O为坐标原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐
标系,
则A(0,－1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(－,0,0),A1(0,0,),C1(0,2,).
所以=(－2,0,0),=(0,1,),
·=0×(－2)+1×0+×0=0,
所以⊥,即BD⊥AA1.
(2)【解】 假设在直线CC1上存在点P,使BP∥平面DA1C1,设=λ,P(x,y,z),则(x,y－1,z)=λ(0,1,).
从而有P(0,1+λ,λ),=(－,1+λ,λ).
设平面DA1C1的法向量为n1=(x1,y1,z1),则
又=(0,2,0),=(,0,),
则取n1=(1,0,－1)为平面DA1C1的一个法向量,
因为BP∥平面DA1C1,所以n1⊥,
即n1·=－λ=0,解得λ=－1,
即点P在C1C的延长线上,且||=||.
向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路
(1)根据题设条件中的垂直关系,建立适当的空间直角坐标系,将相关点、相关向量用坐标表示.
(2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解.若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在.
[针对训练] (2025·江苏南通模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,
∠DAB=90°,PA⊥平面ABCD,PA=AD=DC=AB=1.
(1)若点M是棱PB上的动点,且满足=,证明:PD∥平面ACM.
(2)若点N为棱PC上的一点(不含端点),试探究PC上是否存在一点N,使得平面ADN⊥平面BDN 若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
(1)【证明】以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),D(1,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(0,2,0),
因为点M是棱PB上靠近P的三等分点,
即=,则M(0,,),
则=(0,,),=(1,1,0),
=(1,0,－1),
设平面ACM的一个法向量为m=(x,y,z),满足
令x=1,则y=－1,z=1,则m=(1,－1,1).
·m=1－1=0,所以⊥m,
又PD 平面ACM,所以PD∥平面ACM.
(2)【解】 存在.
设=λ(0<λ<1),则N(λ,λ,1－λ),=(λ,λ,1－λ),=(1,0,0),
设平面ADN的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
满足
令z1=1,则x1=0,y1=,
故取n1=(0,,1).
=(1,－2,0),=(λ,λ－2,1－λ),
设平面BDN的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
满足
令y2=1,则x2=2,z2=,
故取n2=(2,1,),若平面ADN⊥平面BDN,则n1⊥n2,即+=0,
解得λ=,此时N为PC的中点,则=1.
(分值:95分)
选题明细表
知识点、方法 题号
平面的法向量、直线的方向向量及其应用 1,2,4,6,8,10,14
利用空间向量证明(判断)平行与垂直 5,7,11,12,15
平行与垂直关系中的探索性问题 3,9,13
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.已知a为直线l的方向向量,m,n分别为两个不同平面α,β的法向量,则下列说法正确的是( )
[A] 若a⊥m,m∥n,则l∥β
[B] 若a∥m,a∥n,则α⊥β
[C] 若a⊥m,a⊥n,则α∥β
[D] 若a∥m,a⊥n,则α⊥β
【答案】 D
【解析】 因为a⊥m,m∥n,所以a⊥n,则l∥β或l β,故A错误;
因为a∥m,a∥n,所以m∥n,所以α∥β,故B错误;
因为a⊥m,a⊥n,所以m,n可能平行,也可能不平行,所以α∥β或α,β相交,故C错误;
因为a∥m,a⊥n,所以m⊥n,所以α⊥β,故D正确.故选D.
2.(多选题)(2025·重庆模拟)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(－1,3,1),则( )
[A] 与是共线向量
[B] 的单位向量是(1,1,0)
[C] 与夹角的余弦值是－
[D] 平面ABC的一个法向量是(1,－2,5)
【答案】 CD
【解析】 对于A,由题意,=(2,1,0),=(－1,2,1),所以≠λ,则与不是共线向量,不正确;
对于B,因为=(2,1,0),所以的单位向量为(,,0)或(－,－,0),不正确;
对于C,=(2,1,0),=(－3,1,1),
所以cos <,>==－,C正确;
对于D,设平面ABC的一个法向量是n=(x,y,z),因为=(2,1,0),=(－1,2,1),
所以所以令x=1,得y=－2,z=5,
所以平面ABC的一个法向量为n=(1,－2,5),D正确.故选CD.
3.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,若AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为( )
[A] (1,1,1) [B] (,,1)
[C] (,,1) [D] (,,1)
【答案】 C
【解析】 由已知得A(,,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1).设M(x,x,1),则=(x－,x－,1),=(,－,0),=(0,－,1).
设平面BDE的一个法向量为n=(a,b,c),则即解得
取b=1,则n=(1,1,).又AM∥平面BDE,所以n·=0,即2(x－)+=0,得x=,所以M(,,1).故选C.
4.(2025·四川宜宾模拟)已知圆锥PO的母线长为3,表面积为4π,O为底面圆心,AB为底面圆直径,C为底面圆周上一点,∠BOC=60°,M为PB中点,则△MOC的面积为( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 设底面圆的半径为r,则3πr+πr2=4π,解得r=1或r=－4(舍去),则OP==2,
如图,以点O为原点建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),
C(,,0),M(0,,),
故=(,,0),=(0,,),所以||=1,
||=,
故cos∠COM===,所以sin∠COM==,
所以S△MOC=×1××=.故选C.
5.(5分)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是 .
【答案】 垂直
【解析】 以A为原点,分别以,,所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系
(图略),
设正方体的棱长为1,
则A(0,0,0),M(0,1,),O(,,0),N(,0,1),=(0,1,),=(0,－,1),
因为·=(0,1,)·(0,－,1)=0,所以ON与AM垂直.
6.(5分)(2025·北京东城模拟)如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,平面 ABCD∥平面A1B1C1D1,四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是两个全等的矩形.AB∥A1B1,AD∥A1D1,AA1⊥平面ABCD,AB=B1C1=2,BC=A1B1=4,AA1=2,则BB1= .该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为 .
【答案】 2 6
【解析】 因为AA1⊥平面ABCD,且AB,AD 平面ABCD,则AA1⊥AB,AA1⊥AD,
且AB⊥AD,即AA1,AB,AD两两垂直,
如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),A1(0,0,2),B1(4,0,2),C1(4,2,2),D1(0,2,2),
则BB1==2;
要求六面体的任意两个顶点间距离的最大值,只需考虑各体对角线的距离,
则CA1=2,B1D=6,AC1=2,BD1=2,
所以该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为DB1=6.
7.(13分)如图,在多面体ABC－A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1∥BC且B1C1=BC,二面角A1－AB－C是直二面角.求证:
(1)A1B1⊥平面AA1C;
(2)AB1∥平面A1C1C.
【证明】 (1)因为AB=AC,BC=AB,所以AB2+AC2=BC2,所以∠CAB=90°,故CA⊥AB,由二面角A1－AB－C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,可得 AA1⊥平面BAC.
所以AB,AC,AA1两两互相垂直.
以A为坐标原点,AC,AB,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐
标系.
设AB=2,则A(0,0,0),B(0,2,0),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2),B1(0,2,2).
=(0,2,0),=(0,0,2),=(2,0,0),
设平面AA1C的法向量为n=(x,y,z),则即取y=1,则n=(0,1,0)为平面AA1C的一个法向量.
所以=2n,即∥n,
所以A1B1⊥平面AA1C.
(2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),=(2,0,－2),
设平面A1C1C的法向量为m=(x1,y1,z1),
则令x1=1,则 y1=－1,z1=1,即m=(1,－1,1)为平面A1C1C的一个法向量.
所以·m=0×1+2×(－1)+2×1=0,所以⊥m.又AB1 平面A1C1C,所以AB1∥平面A1C1C.
8.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.若在线段AB上存在点D,使得AC1∥平面CDB1,则点D满足( )
[A] AD=AB [B] AD=AB
[C] AD=AB [D] AD=AB
【答案】 B
【解析】因为AC=3,BC=4,AB=5,所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC,则在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC,BC,CC1两两垂直,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),B1(0,4,4),C1(0,0,4),=(0,4,4),设点D(x,y,0)(0≤x≤3,0≤y≤4),则 =(x,y,0),设平面CDB1的法向量为m=(a,b,c),则即令b=－x,则m=(y,－x,x)为平面CDB1的一个法向量,若AC1∥平面CDB1,则 ·m=0,易得=
(－3,0,4),所以－3y+4x=0,①
由D在AB上,得=,即4x+3y=12,②
由①②可得x=,y=2,即D为AB的中点,故AD=AB.故选B.
9.已知梯形CEPD如图(1)所示,其中PD=8,CE=6,A为线段PD的中点,四边形ABCD为正方形,现沿AB进行折叠,使得平面PABE⊥平面ABCD,得到如图(2)所示的几何体.已知当点F满足 =λ(0<λ<1)时,平面DEF⊥平面PCE,则λ的值为( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】由题意,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
则D(0,4,0),E(4,0,2),C(4,4,0),P(0,0,4),A(0,0,0),B(4,0,0),
设F(t,0,0),0则(t,0,0)=(4λ,0,0),所以t=4λ,所以F(4λ,0,0),
=(4,－4,2),=(4λ,－4,0),=(4,4,－4),=(4,0,－2),
设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=1,得n=(1,λ,2λ－2)是平面DEF的一个法向量,
设平面PCE的法向量为m=(a,b,c),
则取a=1,得m=(1,1,2)是平面PCE的一个法向量,
因为平面DEF⊥平面PCE,所以m·n=1+λ+2(2λ－2)=0,解得λ=.故选C.
10.(2025·陕西西安模拟)如图所示,在六面体ABEDC中,CB=CD=2CA=2,AB=DE=BE=AD=
,BD=AE=2,则该六面体的外接球的表面积为( )
[A] 4π [B] 9π
[C] 12π [D] 16π
【答案】 B
【解析】 由CB=CD=2CA=2,AB=AD=,BD=2,得CA2+CB2=5=AB2,则CA⊥CB,同理CA⊥CD,CB⊥CD,以点C为原点,直线CA,CB,CD分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐
标系,
则C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,2,0),D(0,0,2),
设E(x,y,z),
由DE=BE=,AE=2,得解得或
即点E(1,2,2)或E(－,,),由六面体ABEDC,得点C,E在平面ABD两侧,点 E(－,,)不符合题意,
因此点E(1,2,2),
令线段CE的中点为O,
则O(,1,1),
于是OA=OB=OD=OC=OE=,因此六面体ABEDC的外接球球心为O,半径为,
所以六面体ABEDC的外接球的表面积S=4π·()2=9π.
故选B.
11.(5分)(2025·广东深圳模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则平面AD1F与平面ADE的位置关系是 .
【答案】 垂直
【解析】 设棱长为2,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),D1(0,0,2),
所以=(2,0,0),=(2,2,1),=(－2,0,2),
=(－2,1,0),
设平面ADE的一个法向量n=(x,y,z),
则
取y=1,得n=(0,1,－2),
设平面AD1F的一个法向量m=(a,b,c),则
取a=1,得m=(1,2,1),所以n·m=0+2－2=0,则平面AD1F⊥平面ADE.
12.(5分)在正三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱长为2,底面边长为1,M为BC的中点,=λ,且AB1⊥MN,则实数λ的值为 .
【答案】 15
【解析】如图所示,取B1C1的中点P,连接MP,以M为坐标原点,,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
因为底面边长为1,侧棱长为2,
所以A(0,,0),B1(－,0,2),C(,0,0),C1(,0,2),
M(0,0,0),
因为=λ,所以N(,0,),λ≠－1,
所以=(－,－,2),=(,0,).
又因为AB1⊥MN,
所以·=0,所以－+=0,
所以λ=15.
13.(15分)如图,已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形,侧面PAB是等边三角形,BC=2AB,AC=AB,PB⊥AC.
(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD.
(2)设Q为侧棱PD上一点,四边形BEQF是过B,Q两点的截面,且AC∥平面BEQF,是否存在点Q,使得平面BEQF⊥平面PAD 若存在,求的值;若不存在,说明理由.
(1)【证明】 在△ABC中,因为BC=2AB,AC=AB,
所以AC2+AB2=BC2,所以AC⊥AB,又AC⊥PB,PB∩AB=B,
且PB,AB 平面PAB,所以AC⊥平面PAB,
又AC 平面ABCD,
所以平面PAB⊥平面ABCD.
(2)【解】 假设存在点Q,使得平面BEQF⊥平面PAD.
取AB中点为H,连接PH,则PH⊥AB,
因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PH⊥平面ABCD.
建立如图所示空间直角坐标系,
不妨设AB=2,则A(0,0,0),B(2,0,0),D(－2,2,0),P(1,0,),
则=(－2,2,0),=(1,0,),=(－4,2,0),=(3,－2,),
设n1=(x1,y1,z1)是平面PAD的一个法向量,则
取n1=(,1,－1).
设=λ,其中0≤λ≤1.则=+=+λ=(3λ－4,2－2λ,λ),
连接EF,因为AC∥平面BEQF,AC 平面PAC,平面PAC∩平面BEQF=EF,
故AC∥EF,取与同向的单位向量j=(0,1,0).
设n2=(x2,y2,z2)是平面BEQF的一个法向量,则
取n2=(λ,0,4－3λ).
由平面BEQF⊥平面PAD,知n1⊥n2,
有n1·n2=3λ+3λ－4=0,解得λ=.
故在侧棱PD上存在点Q,使得平面BEQF⊥平面PAD,=.
14.(多选题)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,AA1=3,点M,N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点).若D1M⊥MN,则下列结论正确的是( )
[A] MN⊥A1M
[B] MN⊥平面D1MC
[C] 线段BN长度的最大值为
[D] 三棱锥C1－A1D1M体积不变
【答案】 ACD
【解析】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,以点D为原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
如图,则A1(3,0,3),D1(0,0,3),C(0,3,0),B(3,3,0),
设M(3,y,0),N(3,3,z),y,z∈(0,3),
=(3,y,－3),=(0,3－y,z),
而D1M⊥MN,则·=y(3－y)－3z=0,
即z=y(3－y).
对于A选项,=(0,y,－3),则·=y(3－y)－3z=0,则⊥,MN⊥A1M,A正确;
对于B选项,=(3,y－3,0),·=(y－3)(3－y)=－(3－y)2<0,即CM与MN不垂直,从而MN与平面D1MC不垂直,B不正确;
对于C选项,=(0,0,z),则线段BN的长度 ||=z=[－(y－)2+]≤,当且仅当y=时等号成立,C正确;
对于D选项,不论点M如何移动,点M到平面A1D1C1的距离均为3,而=
=×3·=,所以三棱锥C1－A1D1M体积为定值,D正确.故选ACD.
15.(5分)(2025·湖南长沙模拟)如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=2,底面ABCD为直角梯形,∠BAD=90°,AB=2,CD=AD=1,点M,Q分别在线段PD,AP上,且=λ,=μ.若MQ∥平面PBC,则的最小值为 .
【答案】 8
【解析】 因为∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,
如图,以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
故P(0,0,2),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),
则=(0,2,－2),=(1,1,－2),
设平面PBC的一个法向量为t=(x,y,z),则
取y=1,可得t=(1,1,1).
因为=λ,=μ,
所以M(,0,),Q(0,0,),
则=(－,0,),
因为MQ∥平面PBC,所以⊥t,即·t=0,
所以(－)×1+0×1+()×1=0,即=0,所以=0,所以μ=1+2λ,
所以==4λ++4≥2+4=8,
当且仅当4λ=,即λ=时取等号,所以的最小值为8.
(
第
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第6节 利用空间向量证明平行和垂直
1.理解直线的方向向量及平面的法向量.
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.
3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
a1b1+a2b2+a3b3
项目 向量表示 坐标表示
数量积 a·b
共线 a=λb(b≠0,λ∈R)
垂直 a·b=0(a≠0,b≠0)
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
知识梳理
知识梳理
平行或重合
2.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l
,则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量.
知识梳理
3.空间位置关系的向量表示
项目 位置关系 向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2 l1∥l2 u1∥u2 u1=λu2(λ∈R)
l1⊥l2 u1⊥u2
直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n l∥α u⊥n
l⊥α u∥n u=λn(λ∈R)
平面α,β的法向量分别为n1,n2 α∥β n1∥n2 n1=λn2(λ∈R)
α⊥β n1⊥n2
u1·u2=0
u·n=0
n1·n2=0
对点自测
1. (人教A版选择性必修第一册P33练习T1改编)已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,－3,z),向量v=(3,－2,1)与平面α平行,则z等于( )
[A] 3 [B] 6 [C] －9 [D] 9
C
【解析】 因为l⊥α,向量v与平面α平行,所以u⊥v,即u·v=0,所以1×3+(－3)×
(－2)+z×1=0,所以z=－9.故选C.
对点自测
D
2.(2025·四川成都模拟)已知直线l的方向向量是 a=(3,2,1),平面α的一个法向量是n=(1,－1,－1),则l与α的位置关系是( )
[A] l⊥α
[B] l∥α
[C] l与α相交但不垂直
[D] l∥α或l α
对点自测
【解析】 因为a=(3,2,1),n=(1,－1,－1),
则a·n=3×1+2×(－1)+1×(－1)=0,
得到a⊥n,且直线l的方向向量是a,平面α的一个法向量是n,
所以l与α的位置关系是l∥α或l α.故选D.
对点自测
[A] 相交 [B] 平行
[C] 垂直 [D] 不能确定
B
对点自测
对点自测
4.已知a=(2,3,1),b=(1,－2,－2),则a在b上的投影向量为( )
D
对点自测
5.在平面ABC中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(－1,0,－1),若a=(－1,y,z),且a为平面ABC的法向量,则y+z= .
1
关键能力
课堂突破
考点一 平面的法向量、直线的方向向量及其应用
ACD
1.(多选题)下列命题正确的是( )
[A] 两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,0,－1),b=(－4,0,2),则l1∥l2
[B] 直线l的方向向量c=(1,－1,2),平面α的法向量是m=(6,4,－1),则l⊥α
[C] 两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,－1),v=(－3,4,2),则α⊥β
[D] 平面α内有两点M(1,－1,2),N(a,3,3),平面α的一个法向量为n=(6,－3,6),则a=2
D
2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是( )
题后悟通
考点二 利用空间向量证明(判断)平行与垂直
[例1] 如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=
DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.证明:
(1)BE⊥DC;
[例1] 如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.证明:
(2)BE∥平面PAD;
[例1] 如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.证明:
(3)平面PCD⊥平面PAD.
解题策略
利用空间向量证明垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系.
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面等要素.
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量,再研究平行、垂直关系.
(4)根据运算结果解释相关问题.
注意: 运用向量知识判定空间位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍要强调直线在平面外.
[针对训练] (2025·山东菏泽模拟)如图,八面体的每一个面都是正三角形,并且A,B,C,D四个顶点在同一平面内,下列结论:①AE∥平面CDF;②平面ABE∥平面CDF;③AB⊥AD;④平面ACE⊥平面BDF.其中正确结论的个数为( )
[A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 4
D
考点三 平行与垂直关系中的探索性问题
[例2] (2025·湖南株洲模拟)如图,棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2,
∠ABC和∠A1AC均为60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(1)求证:BD⊥AA1.
[例2] (2025·湖南株洲模拟)如图,棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2,
∠ABC和∠A1AC均为60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面DA1C1 若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由.
解题策略
向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路
(1)根据题设条件中的垂直关系,建立适当的空间直角坐标系,将相关点、相关向量用坐标表示.
(2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解.若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在.
课时作业
(分值:95分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
平面的法向量、直线的方向向量及其应用 1,2,4,6,8,10,14
利用空间向量证明(判断)平行与垂直 5,7,11,12,15
平行与垂直关系中的探索性问题 3,9,13
基础巩固练
D
1.已知a为直线l的方向向量,m,n分别为两个不同平面α,β的法向量,则下列说法正确的是( )
[A] 若a⊥m,m∥n,则l∥β
[B] 若a∥m,a∥n,则α⊥β
[C] 若a⊥m,a⊥n,则α∥β
[D] 若a∥m,a⊥n,则α⊥β
【解析】 因为a⊥m,m∥n,所以a⊥n,则l∥β或l β,故A错误;
因为a∥m,a∥n,所以m∥n,所以α∥β,故B错误;
因为a⊥m,a⊥n,所以m,n可能平行,也可能不平行,所以α∥β或α,β相交,故C
错误;
因为a∥m,a⊥n,所以m⊥n,所以α⊥β,故D正确.故选D.
CD
2.(多选题)(2025·重庆模拟)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(－1,3,1),则
( )
C
4.(2025·四川宜宾模拟)已知圆锥PO的母线长为3,表面积为4π,O为底面圆心,
AB为底面圆直径,C为底面圆周上一点,∠BOC=60°,M为PB中点,则△MOC的面积为( )
C
垂直
5.(5分)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是 .
6.(5分)(2025·北京东城模拟)如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,平面 ABCD∥平面A1B1C1D1,四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是两个全等的矩形.AB∥A1B1,
AD∥A1D1,AA1⊥平面ABCD,AB=B1C1=2,BC=A1B1=4,AA1=2,则BB1= .该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为 .
6
(1)A1B1⊥平面AA1C;
(2)AB1∥平面A1C1C.
8.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.若在线段AB上存在点D,使得AC1∥平面CDB1,则点D满足( )
综合运用练
B
【解析】因为AC=3,BC=4,AB=5,所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC,则在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC,BC,CC1两两垂直,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
C
B
[A] 4π [B] 9π
[C] 12π [D] 16π
垂直
11.(5分)(2025·广东深圳模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,
CD的中点,则平面AD1F与平面ADE的位置关系是 .
15
(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD.
(2)【解】 假设存在点Q,使得平面BEQF⊥平面PAD.
取AB中点为H,连接PH,则PH⊥AB,
因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以PH⊥平面ABCD.
14.(多选题)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,AA1=3,点M,N分别在棱AB和BB1上运动(不含端点).若D1M⊥MN,则下列结论正确的是( )
ACD
应用创新练
8