第3节 导数与函数的极值、最值
[课程标准要求]
1.借助函数图象,了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
1.函数的极值
(1)函数的极小值.
函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值.
函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0.则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.
(1)极值点不是点,若函数f(x)在x1处取得极大值,则x1为极大值点,极大值为f(x1);在x2处取得极小值,则x2为极小值点,极小值为f(x2).极大值与极小值之间无确定的大小关系.
(2)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
(3)极值一定在区间内部取得,有极值的函数一定不是单调函数.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件.
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
函数的最值是对定义域或指定区间而言的全局概念,而极值是局部概念,在指定区间上极值可能不止一个,也可能一个也没有,而最大(小)值最多有一个,并且有最值的未必有极值;有极值的未必有最值.
1.可导函数f(x)的极值点x0一定是导函数f′(x)的变号零点.
2.若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.
1.(人教A版选择性必修第二册P92练习T1改编)函数f(x)的定义域为R,其导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)极值点的个数为( )
[A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 5
2.(人教A版选择性必修第二册P91例5改编)函数f(x)=的极大值为( )
[A] －e [B] [C] 1 [D] 0
3.(人教B版选择性必修第三册P100练习A T3改编)已知函数f(x)=2ln x+ax2－3x在x=2处取得极小值,则实数a的值为( )
[A] 2 [B] [C] －2 [D] －
4.(人教B版选择性必修第三册P101练习B T3改编)若函数f(x)=x3－ax2+2x－1有两个极值点,则实数a的取值范围是 . 【
5.(苏教版选择性必修第一册P230 T7改编)已知函数f(x)=x3－12x+8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M－m= .
考点一 利用导数解决函数的极值问题
角度1 由图象判断函数的极值
[例1] 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1－x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论一定成立的是( )
[A] 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
[B] 函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
[C] 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
[D] 函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
由导函数的图象判断函数极值情况的方法
由函数y=f(x)的导函数的图象判断其极值情况,要抓住两点:
(1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点.
(2)由导函数y=f′(x)的图象可以看出y=f′(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.
两者结合可得极值点.
角度2 求函数的极值(点)
[例2] 已知函数f(x)=ln x－ax(a∈R).
(1)当a=时,求f(x)的极值;
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
求可导函数y=f(x)的极值的一般步骤
(1)先求函数y=f(x)的定义域,再求其导数f′(x).
(2)求方程f′(x)=0在f(x)定义域内的根.
(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
角度3 已知极值(点)求参数
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx－a2－7a在x=1处取得极大值10,则a+b的值为( )
[A] －1或3 [B] 1或－3
[C] 3 [D] －1
(2)(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则( )
[A] bc>0 [B] ab>0
[C] b2+8ac>0 [D] ac<0
1.已知函数极值点或极值求参数的两个关键点
(1)求参:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列出方程组,解方程组求出参数的取值.
(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以对参数的取值必须验证它的合理性.
2.已知极值点的个数求参数范围的策略
函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值点,等价于函数y=f′(x)在(a,b)内有变号零点,也等价于方程 f′(x)=0在(a,b)内有实数根.因此,由函数y=f(x) 在(a,b)内极值点的个数求参数的取值范围时,常将问题转化为函数y=f′(x)的图象与x轴在(a,b)内交点的个数问题;也可先将方程f′(x)=0变形,转化为一条直线与一条曲线在(a,b)内交点个数的问题.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·江苏连云港模拟)函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则( )
[A] x=为函数f(x)的零点
[B] x=2为函数f(x)的极大值点
[C] 函数f(x)在(,2)上单调递减
[D] f(－2)是函数f(x)的最小值
2.(角度3)(2025·陕西宝鸡模拟)若函数f(x)=ex－e－x+x3－ax无极值点,则实数a的取值范围是 .
3.(角度2)(2025·四川达州模拟)已知函数f(x)=x2－(a－1)x+aln x(a∈R),f(x)的图象在(1,f(1))处的切线交x轴于点(,0).
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
考点二 利用导数解决函数的最值问题
[例4] 已知函数f(x)=－ln x(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求f(x)在[,e]上的最大值g(a).
(1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.
(2)求含有参数的函数的最值,应先求出函数的定义域和导函数,然后通过对参数进行分类讨论,判断导函数的正负性,从而确定函数的单调性,进而得到函数f(x)的最值.
[针对训练] 设函数f(x)=xsin x+cos x+x2+1.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x∈[－,π]时,求f(x)的最值.
考点三 导数在实际问题中的应用
[例5] (2025·江苏南通模拟)某种型号轮船每小时的运输成本Q(单位:元)由可变部分和固定部分组成.其中,可变部分成本与航行速度的立方成正比,且当速度为10 km/h时,其可变部分成本为每小时8元;固定部分成本为每小时128元.设该轮船的航行速度为x km/h.
(1)试将该轮船每小时的运输成本Q表示为x的函数;
(2)当该轮船的航行速度为多少时,其每千米的运输成本y(单位:元)最低
利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)设自变量、因变量,建立函数关系式y=f(x),并确定其定义域.
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
(4)回归实际问题作答.
[针对训练] 某制药公司生产某种胶囊,其中胶囊中间部分为圆柱,且圆柱高为l,左右两端均为半球形,其半径为r,若其表面积为S,则胶囊的体积V取最大值时r= .
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
利用导数解决函数的极值问题 1,3,6,8,11,12,16
利用导数解决函数的最值问题 2,4,7,9,10,15
导数在实际问题中的应用 5,13,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·重庆模拟)已知函数f(x)=－xex,那么f(x)的极大值是( )
[A] [B] － [C] －e [D] e
2.函数f(x)=在[2,+∞)上的最小值为( )
[A] [B] e2 [C] [D] 2e
3.(2025·河南洛阳模拟)若x=1是函数f(x)=x3+(a+1)x2－(a2+a－3)x的极值点,则a的值为( )
[A] －2 [B] 3
[C] －2或3 [D] －3或2
4.(2025·湖南益阳模拟)已知f(x)=2x3－6x2+a(a为常数)在[－2,2]上有最大值3,则此函数f(x)在[－2,2]上的最小值是( )
[A] －37 [B] －29 [C] －5 [D] －8
5.某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10 km,垂足为B,海岸线上距离B处
100 km有一原油厂C,现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍,要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低,则中转站M到B处的距离应为( )
[A] 5 km [B] km
[C] 5 km [D] 10 km
6.如图,已知直线y=kx+m与函数y=f(x),x∈(0,+∞)的图象相切于两点,则函数y=f(x)－kx有( )
[A] 2个极大值点,1个极小值点
[B] 3个极大值点,2个极小值点
[C] 2个极大值点,无极小值点
[D] 3个极大值点,无极小值点
7.(5分)(2025·湖北黄冈模拟)若函数f(x)=2x++3ln x在(a,2－3a)内有最小值,则实数a的取值范围是 .
8.(14分)(2025·八省联考)已知函数f(x)=aln x+－x.
(1)设a=1,b=－2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程;
(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围.
9.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=3x,且f(m)=g(n),则n－m的最小值为( )
[A] 1－ln 2 [B] 2(1－ln 2)
[C] (2－ln 2) [D] (1－ln 2)
10.(2025·四川宜宾模拟)若函数f(x)=的最小值是－1,则实数m的取值范围是( )
[A] (－∞,0] [B] [1,+∞)
[C] [3,+∞) [D] (0,+∞)
11.已知函数f(x)=2ex－ax2+2存在两个极值点x1,x2(x1
[A] 0[B] 0[C] 若x2=2x1,则a=2ln 2
[D] ln x1+x2>0
12.已知函数f(x)=sin 2πx－sin(－2πx)－ax(a∈R)在区间(0,)上有两个极值点x1和x2,则f()的取值范围为( )
[A] (－,－) [B] [－,－)
[C] [－,) [D] (－,)
13.(5分) 如图,四边形ABCD和EFGH是两个相同的矩形,面积均为300,图中阴影部分也是四个相同的矩形,现将阴影部分分别沿MN,NP,PQ,QM折起,得到一个无盖长方体,则该长方体体积的最大值为 .
14.(5分)如图,两条足够长且互相垂直的轨道l1,l2相交于点O,一根长度为8的直杆AB的两端点A,B分别在l1,l2上滑动(A,B两点不与O点重合,轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计),直杆上的点P满足OP⊥AB,则△OAP面积的取值范围是 .
15.(15分)已知a∈R,函数f(x)=ex－ax,g(x)=ax－ln x.
(1)当a=e时,若斜率为0的直线l是g(x)的一条切线,求切点的坐标;
(2)若f(x)与g(x)有相同的最小值,求实数a.
16.(多选题)材料:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,在现行的高等数学与数学分析教材中,对“初等函数”给出了确切的定义,即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的,且能用一个式子表示的,如函数f(x)=xx(x>0),我们可以作变形:f(x)=xx==exln x=et(t=xln x),所以f(x)可看作是由函数f(t)=et和g(x)=xln x复合而成的,即f(x)=xx(x>0)为初等函数.根据以上材料,下列关于初等函数h(x)=(x>0)的说法正确的是( )
[A] 无极小值 [B] 有极小值1
[C] 无极大值 [D] 有极大值
第3节 导数与函数的极值、最值（解析版）
[课程标准要求]
1.借助函数图象,了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
1.函数的极值
(1)函数的极小值.
函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值.
函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0.则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.
(1)极值点不是点,若函数f(x)在x1处取得极大值,则x1为极大值点,极大值为f(x1);在x2处取得极小值,则x2为极小值点,极小值为f(x2).极大值与极小值之间无确定的大小关系.
(2)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
(3)极值一定在区间内部取得,有极值的函数一定不是单调函数.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件.
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
函数的最值是对定义域或指定区间而言的全局概念,而极值是局部概念,在指定区间上极值可能不止一个,也可能一个也没有,而最大(小)值最多有一个,并且有最值的未必有极值;有极值的未必有最值.
1.可导函数f(x)的极值点x0一定是导函数f′(x)的变号零点.
2.若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.
1.(人教A版选择性必修第二册P92练习T1改编)函数f(x)的定义域为R,其导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)极值点的个数为( )
[A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 5
【答案】 C
【解析】 设导函数f′(x)的图象与x轴的交点分别为x1,x2,x3,x4,x5,根据函数的极值的定义可知在极值点处的左右两侧的导数符号相反,可得x1,x4为函数f(x)的极大值点,x2,x5为函数f(x)的极小值点,所以函数f(x)极值点的个数为4.故选C.
2.(人教A版选择性必修第二册P91例5改编)函数f(x)=的极大值为( )
[A] －e [B] [C] 1 [D] 0
【答案】 B
【解析】 f(x)=的定义域为(0,+∞),f′(x)=,令f′(x)=0,得x=e,当x∈(0,e)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,所以函数f(x)的极大值为f(e)=.故选B.
3.(人教B版选择性必修第三册P100练习A T3改编)已知函数f(x)=2ln x+ax2－3x在x=2处取得极小值,则实数a的值为( )
[A] 2 [B] [C] －2 [D] －
【答案】 B
【解析】 由f′(x)=+2ax－3,得f′(2)=0,
解得a=,经验证符合题意.故选B.
4.(人教B版选择性必修第三册P101练习B T3改编)若函数f(x)=x3－ax2+2x－1有两个极值点,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (－∞,－)∪(,+∞)
【解析】 f′(x)=3x2－2ax+2,x∈R,
由题意知f′(x)有两个变号零点,
所以Δ=(－2a)2－4×3×2>0,
解得a>或a<－.
5.(苏教版选择性必修第一册P230 T7改编)已知函数f(x)=x3－12x+8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M－m= .
【答案】 32
【解析】 令f′(x)=3x2－12=0,解得x=±2.
计算f(－3)=17,f(－2)=24,
f(2)=－8,f(3)=－1,
所以M=24,m=－8,
故M－m=32.
考点一 利用导数解决函数的极值问题
角度1 由图象判断函数的极值
[例1] 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1－x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论一定成立的是( )
[A] 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
[B] 函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
[C] 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
[D] 函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
【答案】 D
【解析】 由题图可知,当x<－2时,f′(x)>0;当 －22时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=－2处取得极大值,在x=2处取得极小值.故选D.
由导函数的图象判断函数极值情况的方法
由函数y=f(x)的导函数的图象判断其极值情况,要抓住两点:
(1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点.
(2)由导函数y=f′(x)的图象可以看出y=f′(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.
两者结合可得极值点.
角度2 求函数的极值(点)
[例2] 已知函数f(x)=ln x－ax(a∈R).
(1)当a=时,求f(x)的极值;
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
【解】 (1)当a=时,f(x)=ln x－x,
函数f(x)的定义域为(0,+∞),
且f′(x)==,
令f′(x)=0,得x=2,
于是当x变化时,f′(x)在各区间上的正负以及f(x)的单调性如表所示.
x (0,2) 2 (2,+∞)
f′(x) + 0 －
f(x) 单调递增 ln 2－1 单调递减
故f(x)在定义域上的极大值为f(2)=ln 2－1,无极小值.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=－a=.
当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时函数f(x)在定义域上无极值点;
当a>0时,若x∈(0,),则f′(x)>0,
若x∈(,+∞),则f′(x)<0,
故函数f(x)在x=处有极大值.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点;
当a>0时,函数f(x)有一个极大值点,且为x=.
求可导函数y=f(x)的极值的一般步骤
(1)先求函数y=f(x)的定义域,再求其导数f′(x).
(2)求方程f′(x)=0在f(x)定义域内的根.
(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
角度3 已知极值(点)求参数
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx－a2－7a在x=1处取得极大值10,则a+b的值为( )
[A] －1或3 [B] 1或－3
[C] 3 [D] －1
(2)(多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则( )
[A] bc>0 [B] ab>0
[C] b2+8ac>0 [D] ac<0
[溯源探本]本例题(2)源于人教B版选择性必修第三册P101练习B T3.
【答案】 (1)C (2)BCD
【解析】 (1)因为f(x)=x3+ax2+bx－a2－7a,
所以f′(x)=3x2+2ax+b.
因为函数f(x)在x=1处取得极大值10,
所以f′(1)=3+2a+b=0,①
f(1)=1+a+b－a2－7a=10,②
联立①②,解得a=－2,b=1或a=－6,b=9.
当a=－2,b=1时,f′(x)=3x2－4x+1=(x－1)(3x－1),f(x)在(－∞,)和(1,+∞)上单调递增,在(,1)上单调递减,此时函数f(x)在 x=1处取得极小值10,不符合题意;当a=－6,b=9时,f′(x)=3x2－12x+9=(x－1)(3x－9),f(x)在(－∞,1)和(3,+∞)上单调递增,在(1,3)上单调递减,此时函数f(x)在x=1处取得极大值10,符合题意.
综上,a=－6,b=9,所以a+b=3. 故选C.
(2)函数f(x)=aln x++(a≠0)的定义域为(0,+∞),求导得f′(x)==,
因为函数f(x)既有极大值也有极小值,则函数 f′(x) 在(0,+∞)上有两个变号零点,而a≠0,
因此方程ax2－bx－2c=0有两个不等的正根x1,x2,
于是即有b2+8ac>0,ab>0,ac<0,显然a2bc<0,即bc<0,A错误,B,C,D正确.
故选BCD.
1.已知函数极值点或极值求参数的两个关键点
(1)求参:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列出方程组,解方程组求出参数的取值.
(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以对参数的取值必须验证它的合理性.
2.已知极值点的个数求参数范围的策略
函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值点,等价于函数y=f′(x)在(a,b)内有变号零点,也等价于方程 f′(x)=0在(a,b)内有实数根.因此,由函数y=f(x) 在(a,b)内极值点的个数求参数的取值范围时,常将问题转化为函数y=f′(x)的图象与x轴在(a,b)内交点的个数问题;也可先将方程f′(x)=0变形,转化为一条直线与一条曲线在(a,b)内交点个数的问题.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·江苏连云港模拟)函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则( )
[A] x=为函数f(x)的零点
[B] x=2为函数f(x)的极大值点
[C] 函数f(x)在(,2)上单调递减
[D] f(－2)是函数f(x)的最小值
【答案】 C
【解析】 由f′(x)的图象可得,当x<－2时,
f′(x)<0,当－20,
当2时,f′(x)>0,
所以f(x)在(－2,)和(2,+∞)上单调递增,在(－∞,－2)和(,2)上单调递减,
所以x=2为f(x)的极小值点,
所以B选项错误,C选项正确;
x=是f′(x)的零点,
但不一定是f(x)的零点,所以A错误;
f(－2)是函数f(x)的极小值,
但不一定是最小值,所以D错误.
故选C.
2.(角度3)(2025·陕西宝鸡模拟)若函数f(x)=ex－e－x+x3－ax无极值点,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (－∞,2]
【解析】 f(x)=ex－e－x+x3－ax,x∈R,
则f′(x)=ex+e－x+x2－a,
因为函数f(x)无极值点,
则f′(x)=ex+e－x+x2－a无变号零点,
令g(x)=f′(x)=ex+e－x+x2－a,x∈R,
则g′(x)=ex－e－x+2x.
当x<0时,01,2x<0,
则ex－e－x<0,则g′(x)=ex－e－x+2x<0,
当x>0时,ex>1,00,
则ex－e－x>0,则g′(x)=ex－e－x+2x>0,
则g(x)在(－∞,0)上单调递减,
在(0,+∞)上单调递增,
即f′(x)在(－∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,在x=0处取得最小值.
若f′(x)=ex+e－x+x2－a无变号零点,
则f′(0)=e0+e－0+02－a≥0,解得a≤2.
3.(角度2)(2025·四川达州模拟)已知函数f(x)=x2－(a－1)x+aln x(a∈R),f(x)的图象在(1,f(1))处的切线交x轴于点(,0).
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
【解】 (1)f′(x)=x+－a+1(x>0),
所以f′(1)=2,即切线斜率为2,
又f(1)=－a,所以切点坐标为(1,－a),
则f(x)在(1,f(1))处的切线方程为
y－(－a)=2(x－1),
代入点(,0),得a=6.
(2)由(1)得f(x)=x2－5x+6ln x,
f′(x)=x+－5=(x>0),
令f′(x)=0,得x=2或x=3.
当x变化时,f′(x)在各区间上的正负以及f(x)的单调性如下表:
x f′(x) f(x)
(0,2) + 单调递增
2 0 －8+6ln 2
(2,3) － 单调递减
3 0 －+6ln 3
(3,+∞) + 单调递增
因此,x=2时,f(x)有极大值,
极大值为－8+6ln 2;
x=3时,f(x)有极小值,极小值为－+6ln 3.
考点二 利用导数解决函数的最值问题
[例4] 已知函数f(x)=－ln x(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求f(x)在[,e]上的最大值g(a).
【解】 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=,
①若a≤0,则f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减;
②若a>0,则当x>a时,f′(x)<0,
当00,
所以f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减.
综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减.
(2)f′(x)=,当a≤时,
f(x)在[,e]上单调递减,
所以f(x)max=f ()=2－ae;
当在(a,e]上单调递减,
所以f(x)max=f(a)=－ln a;
当a≥e时,f(x)在[,e]上单调递增,
所以f(x)max=f(e)=－.
综上,g(a)=
(1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.
(2)求含有参数的函数的最值,应先求出函数的定义域和导函数,然后通过对参数进行分类讨论,判断导函数的正负性,从而确定函数的单调性,进而得到函数f(x)的最值.
[针对训练] 设函数f(x)=xsin x+cos x+x2+1.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x∈[－,π]时,求f(x)的最值.
【解】 (1)因为f(x)=xsin x+cos x+x2+1的定义域为R,
所以f′(x)=sin x+xcos x－sin x+2x=x(2+cos x),
因为－1≤cos x≤1,所以1≤2+cos x≤3,
所以当x<0时,f′(x)<0,当x>0时,f′(x)>0,
所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(－∞,0).
(2)由(1)可得f(x)在[－,0]上单调递减,在(0,π]上单调递增,所以f(x)在x=0处取得极小值即最小值,所以f(x)min=f(0)=2,
又f(－)=++1,f(π)=π2,
π2－(++1)=－1=>0,
所以f(x)max=f(π)=π2,
所以f(x)的最大值为π2,最小值为2.
考点三 导数在实际问题中的应用
[例5] (2025·江苏南通模拟)某种型号轮船每小时的运输成本Q(单位:元)由可变部分和固定部分组成.其中,可变部分成本与航行速度的立方成正比,且当速度为10 km/h时,其可变部分成本为每小时8元;固定部分成本为每小时128元.设该轮船的航行速度为x km/h.
(1)试将该轮船每小时的运输成本Q表示为x的函数;
(2)当该轮船的航行速度为多少时,其每千米的运输成本y(单位:元)最低
【解】 (1)该轮船的航行速度为x km/h时,设其每小时的可变成本为P(单位:元),
则P=kx3,其中k≠0.
由题意,得8=k×103,解得k=,故P=x3,
所以每小时的运输成本Q=x3+128,
其中x>0.
(2)该轮船每千米的运输成本y=f(x)=(x3+128)=x2+,
求导,得f′(x)=x－=,
其中x>0.
令f′(x)=0,解得x=20.
由f′(x)>0,解得x>20,
故f(x)在区间(20,+∞)上单调递增;
由f′(x)<0,解得0故f(x)在区间(0,20)上单调递减.
所以当x=20时,f(x)取得最小值f(20)=9.6.
故当该轮船的航行速度为20 km/h时,其每千米的运输成本y最低,且为9.6元.
利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)设自变量、因变量,建立函数关系式y=f(x),并确定其定义域.
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
(4)回归实际问题作答.
[针对训练] 某制药公司生产某种胶囊,其中胶囊中间部分为圆柱,且圆柱高为l,左右两端均为半球形,其半径为r,若其表面积为S,则胶囊的体积V取最大值时r= .
【答案】
【解析】 依题意,4πr2+2πrl=S l=,
故V(r)=πr3+πr2l=πr3,
V′(r)=－2πr2,令V′(r)=0,则r=.
r∈(0,),V′(r)>0,V(r)单调递增;
r∈(,+∞),V′(r)<0,V(r)单调递减;
则当r=,V取最大值.
(分值:100分)
选题明细表
知识点、方法 题号
利用导数解决函数的极值问题 1,3,6,8,11,12,16
利用导数解决函数的最值问题 2,4,7,9,10,15
导数在实际问题中的应用 5,13,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.(2025·重庆模拟)已知函数f(x)=－xex,那么f(x)的极大值是( )
[A] [B] － [C] －e [D] e
【答案】 A
【解析】 因为函数f(x)=－xex,
所以f′(x)=－(x+1)ex.
令f′(x)=0,得x=－1,
当x<－1时,f′(x)>0;
当x>－1时,f′(x)<0,
所以f(x)在(－∞,－1)上单调递增,
在(－1,+∞)上单调递减,
所以f(x)极大值=f(－1)=.故选A.
2.函数f(x)=在[2,+∞)上的最小值为( )
[A] [B] e2 [C] [D] 2e
【答案】 A
【解析】 f′(x)=,x≥2,
令f′(x)>0,解得x>3,令f′(x)<0,
解得2≤x<3,故f(x)在[2,3)上单调递减,
在(3,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(3)=.故选A.
3.(2025·河南洛阳模拟)若x=1是函数f(x)=x3+(a+1)x2－(a2+a－3)x的极值点,则a的值为( )
[A] －2 [B] 3
[C] －2或3 [D] －3或2
【答案】 B
【解析】 f(x)=x3+(a+1)x2－(a2+a－3)x,
则f′(x)=x2+2(a+1)x－(a2+a－3),
由题意可知f′(1)=0,
即1+2(a+1)－(a2+a－3)=0,
解得a=3或a=－2.
当a=3时,f′(x)=x2+8x－9=(x+9)(x－1),当x>1或x<－9时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
当－94.(2025·湖南益阳模拟)已知f(x)=2x3－6x2+a(a为常数)在[－2,2]上有最大值3,则此函数f(x)在[－2,2]上的最小值是( )
[A] －37 [B] －29 [C] －5 [D] －8
【答案】 A
【解析】 由题意可知,f′(x)=6x2－12x=6x(x－2),x∈[－2,2],
令f′(x)>0,解得－2令f′(x)<0,解得0可知f(x)在(－2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,则函数的最大值为f(0)=a=3,
此时f(x)=2x3－6x2+3,
且f(2)=－5,f(－2)=－37,
可知当x=－2时,函数f(x)取得最小值为－37.故选A.
5.某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10 km,垂足为B,海岸线上距离B处
100 km有一原油厂C,现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍,要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低,则中转站M到B处的距离应为( )
[A] 5 km [B] km
[C] 5 km [D] 10 km
【答案】 B
【解析】设MB=x km,在陆地上修建管道每千米费用为a,修建总费用为y,
则y=a(100－x)+3a=a(100－x+3),
令f(x)=100－x+3(0则f′(x)=－1+=－1+,
所以当0当0,
所以当x=时,f(x)取得最小值,故而y取得最小值.故选B.
6.如图,已知直线y=kx+m与函数y=f(x),x∈(0,+∞)的图象相切于两点,则函数y=f(x)－kx有( )
[A] 2个极大值点,1个极小值点
[B] 3个极大值点,2个极小值点
[C] 2个极大值点,无极小值点
[D] 3个极大值点,无极小值点
【答案】 B
【解析】 设F(x)=f(x)－kx(x>0),F′(x)=f′(x)－k,
作出与直线y=kx+m平行的函数f(x)的所有切线,各切线与函数f(x)的切点的横坐标从左到右依次为a,b,c,d,e,
f(x)在a,b,c,d,e处的导数都等于k,
在(0,a),(b,c),(d,e)上,f′(x)>k,
F′(x)>0,F(x)单调递增,
在(a,b),(c,d),(e,+∞)上,
f′(x)因此函数F(x)=f(x)－kx有三个极大值点,两个极小值点.故选B.
7.(5分)(2025·湖北黄冈模拟)若函数f(x)=2x++3ln x在(a,2－3a)内有最小值,则实数a的取值范围是 .
【答案】 [0,)
【解析】 函数f(x)=2x++3ln x的定义域为(0,+∞),
f′(x)=2－+==,
令f′(x)=0可得x=1或x=－(舍去),
当01时f′(x)>0,
所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,即最小值,
又因为函数f(x)在(a,2－3a)内有最小值,故0≤a<1<2－3a,解得0≤a<,
所以a的取值范围是[0,).
8.(14分)(2025·八省联考)已知函数f(x)=aln x+－x.
(1)设a=1,b=－2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程;
(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围.
【解】 (1)当a=1,b=－2时,f(x)=ln x－－x,x>0,则f′(x)=+－1=,
令f′(x)=2,化简得3x2－x－2=0,
解得x=1(负值舍去),此时f(1)=－3,则所求切线过点(1,－3),又切线斜率为2,
故切线方程为y+3=2(x－1),即2x－y－5=0.
(2)由题可得f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=－1=,
因为x=1是f(x)的极小值点,则f′(1)=－1+a－b=0,得a=b+1,
则f′(x)==－.
①若b≤0,令f′(x)>0,得x∈(0,1),令f′(x)<0,得x∈(1,+∞),则f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
可得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;
②若00,得x∈(b,1),
令f′(x)<0,得x∈(0,b)∪(1,+∞),
则f(x)在(b,1)上单调递增,在(0,b),(1,+∞)上单调递减,
可得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;
③若b=1,则f′(x)=－<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,无极值,不满足题意;
④若b>1,令f′(x)>0,得x∈(1,b),令f′(x)<0,得x∈(0,1)∪(b,+∞),则f(x)在(1,b)上单调递增,在(0,1),(b,+∞)上单调递减,可得x=1是f(x)的极小值点,满足题意.综上,x=1是f(x)的极小值点时,b的取值范围为(1,+∞).
9.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=3x,且f(m)=g(n),则n－m的最小值为( )
[A] 1－ln 2 [B] 2(1－ln 2)
[C] (2－ln 2) [D] (1－ln 2)
【答案】 D
【解析】 由f(m)=g(n),得em+m=3n,
所以3n－3m=em－2m;
令h(m)=em－2m(m∈R),则h′(m)=em－2,
令em－2=0,解得m=ln 2.
当m∈(－∞,ln 2)时,h′(m)<0,
即h(m)在(－∞,ln 2)上单调递减;
当m∈(ln 2,+∞)时,h′(m)>0,
即h(m)在(ln 2,+∞)上单调递增;
即h(m)min=h(ln 2)=2－2ln 2,
故(n－m)min=(1－ln 2).故选D.
10.(2025·四川宜宾模拟)若函数f(x)=的最小值是－1,则实数m的取值范围是( )
[A] (－∞,0] [B] [1,+∞)
[C] [3,+∞) [D] (0,+∞)
【答案】 B
【解析】 当x≥0时,f(x)=2x3－3x2,f′(x)=6x2－6x=6x(x－1),当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)min=f(1)=－1.因为y=f(x)的最小值为－1,所以当x<0时,f(x)min≥－1,当x<0时,f(x)=(x－m)2－2.①若m≥0,f(x)在(－∞,0)上单调递减,f(x)>f(0)=m2－2,m2－2≥－1,得m≥1;②若m<0,f(x)在(－∞,m)上单调递减,在(m,0)上单调递增,f(x)min=f(m)=－2,舍去.综上,实数m的取值范围是[1,+∞).故选B.
11.已知函数f(x)=2ex－ax2+2存在两个极值点x1,x2(x1[A] 0[B] 0[C] 若x2=2x1,则a=2ln 2
[D] ln x1+x2>0
【答案】 D
【解析】 函数f(x)的定义域为R,求导得f′(x)=2ex－2ax,由f′(x)=0,得ex－ax=0,显然x≠0,由函数f(x)=2ex－ax2+2存在两个极值点x1,x2(x1由g′(x)<0得 x∈(－∞,0)∪(0,1),由g′(x)>0得x∈(1,+∞),因此函数g(x)在(－∞,0),(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且当x<0时,g(x)<0,当x>0时,g(x)>0,g(x)的大致图象如图所示.
对于A,要使函数f(x)=2ex－ax2+2存在两个极值点x1,x2(x1g(1)=e,A错误;
对于B,当a>e时,由函数g(x)的图象知,0对于C,若x2=2x1,则a===,得x1=ln 2,则a==,C错误;
对于D,由=,得x1=x2,又01,又x2>1,则x2>1,即x1>1,
因此 ln x1+x2>0,D正确.故选D.
12.已知函数f(x)=sin 2πx－sin(－2πx)－ax(a∈R)在区间(0,)上有两个极值点x1和x2,则f()的取值范围为( )
[A] (－,－) [B] [－,－)
[C] [－,) [D] (－,)
【答案】 A
【解析】因为f(x)=sin 2πx－sin(－2πx)－ax,
所以f′(x)=2π[cos 2πx+cos(－2πx)]－a=2πcos(2πx－)－a,由f′(x)=0,得cos(2πx－)=,且函数y=cos(2πx－),x∈(0,)的图象如图所示,
故当∈(,1)时,f′(x)=0有两个不相等的实根x1和x2,此时a∈(π,2π).因为f′(－x)=2πcos－a=2πcos(2πx－)－a=f′(x),即直线x=是f′(x)图象的对称轴,
由f′(x1)=f′(x2)=0知=.
从而f()=f()=－,
所以f()=－∈(－,－).
故选A.
13.(5分) 如图,四边形ABCD和EFGH是两个相同的矩形,面积均为300,图中阴影部分也是四个相同的矩形,现将阴影部分分别沿MN,NP,PQ,QM折起,得到一个无盖长方体,则该长方体体积的最大值为 .
【答案】 1 000
【解析】 由题意设AD=x(x>0),因为矩形ABCD面积为300,所以AB=(x>0),
根据题意有,MQ=MN=AD=x(x>0),
所以AM===(x>0),
则长方体的体积为V=MN·MQ·AM=x2()=－x3+150x(x>0),
V′=－x2+150(x>0),令V′=0,得x=10,
所以x∈(0,10)时,V′>0,V在(0,10)上单调递增,
x∈(10,+∞)时,V′<0,V在(10,+∞)上单调递减,所以当x=10时,V取得最大值,最大值为－×103+150×10=1 000.
14.(5分)如图,两条足够长且互相垂直的轨道l1,l2相交于点O,一根长度为8的直杆AB的两端点A,B分别在l1,l2上滑动(A,B两点不与O点重合,轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计),直杆上的点P满足OP⊥AB,则△OAP面积的取值范围是 .
【答案】 (0,6 ]
【解析】 依题意,设∠OAB=x(0则OA=ABcos x=8cos x,
AP=OAcos x=8cos2x,
因此△OAP的面积f(x)=OA·APsin x=32sin xcos3x,0当00,当f′(x)<0,即函数f(x)在(0,)上单调递增,
在(,)上单调递减,
因此f(x)max=f()=32×()3×=6,而f(0)=f()=0,则0所以△OAP面积的取值范围是(0,6 ].
15.(15分)已知a∈R,函数f(x)=ex－ax,g(x)=ax－ln x.
(1)当a=e时,若斜率为0的直线l是g(x)的一条切线,求切点的坐标;
(2)若f(x)与g(x)有相同的最小值,求实数a.
【解】 (1)由题意g(x)=ex－ln x,g′(x)=e－,
由g′(x)=0得x=,此时g()=1－ln =2,
所以切点为(,2).
(2)f′(x)=ex－a,当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在R上是增函数,无最小值,所以a>0,
由f′(x)=0得x=ln a,
xx>ln a时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)有唯一的极小值也是最小值f(ln a)=a－aln a,
g′(x)=a－(x>0),由g′(x)=0得x=,
0x>时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)有唯一的极小值也是最小值g()=1－ln=1+ln a,
由题意a－aln a=1+ln a,a－aln a－ln a－1=0,
设h(x)=x－xln x－ln x－1(x>0),则h′(x)=1－(1+ln x)－=－ln x－,
设H(x)=h′(x),则H′(x)=－+=,
当00,H(x)单调递增,
当x>1时,H′(x)<0,H(x)单调递减,
所以H(x)max=H(1)=－1<0,
所以H(x)<0,即h′(x)<0,h(x)是减函数,
又h(1)=0,因此x=1是h(x)的唯一零点,
所以由a－aln a－ln a－1=0得a=1.
16.(多选题)材料:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,在现行的高等数学与数学分析教材中,对“初等函数”给出了确切的定义,即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的,且能用一个式子表示的,如函数f(x)=xx(x>0),我们可以作变形:f(x)=xx==exln x=et(t=xln x),所以f(x)可看作是由函数f(t)=et和g(x)=xln x复合而成的,即f(x)=xx(x>0)为初等函数.根据以上材料,下列关于初等函数h(x)=(x>0)的说法正确的是( )
[A] 无极小值 [B] 有极小值1
[C] 无极大值 [D] 有极大值
【答案】 AD
【解析】 根据材料知h(x)===(x>0),
所以h′(x)=·(ln x)′=·(－ln x+)=·(1－ln x),令h′(x)=0得x=e,当00,此时函数h(x)单调递增;当x>e时,h′(x)<0,此时函数h(x)单调递减.所以h(x)有极大值,为h(e)=,无极小值.故选AD.
(
第
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)(共101张PPT)
第3节 导数与函数的
极值、最值
1.借助函数图象,了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
知识梳理
1.函数的极值
(1)函数的极小值.
函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 ,右侧 .则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值.
f′(x)<0
f′(x)>0
知识梳理
(2)函数的极大值.
函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 ,右侧 .则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为 ,极小值和极大值统称为 .
f′(x)>0
f′(x)<0
极值点
极值
释疑
(1)极值点不是点,若函数f(x)在x1处取得极大值,则x1为极大值点,极大值为f(x1);在x2处取得极小值,则x2为极小值点,极小值为f(x2).极大值与极小值之间无确定的大小关系.
(2)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
(3)极值一定在区间内部取得,有极值的函数一定不是单调函数.
知识梳理
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件.
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
知识梳理
(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的 ;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
极值
f(a),f(b)
释疑
函数的最值是对定义域或指定区间而言的全局概念,而极值是局部概念,在指定区间上极值可能不止一个,也可能一个也没有,而最大(小)值最多有一个,并且有最值的未必有极值;有极值的未必有最值.
重要结论
1.可导函数f(x)的极值点x0一定是导函数f′(x)的变号零点.
2.若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.
对点自测
1.(人教A版选择性必修第二册P92练习T1改编)函数f(x)的定义域为R,其导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)极值点的个数为( )
[A] 2 [B] 3 [C] 4 [D] 5
C
对点自测
【解析】 设导函数f′(x)的图象与x轴的交点分别为x1,x2,x3,x4,x5,根据函数的极值的定义可知在极值点处的左右两侧的导数符号相反,可得x1,x4为函数f(x)的极大值点,x2,x5为函数f(x)的极小值点,所以函数f(x)极值点的个数为4.
故选C.
对点自测
B
对点自测
对点自测
3.(人教B版选择性必修第三册P100练习A T3改编)已知函数f(x)=2ln x+ax2－3x在x=2处取得极小值,则实数a的值为( )
B
对点自测
4.(人教B版选择性必修第三册P101练习B T3改编)若函数f(x)=x3－ax2+2x－1有两个极值点,则实数a的取值范围是 .
对点自测
5.(苏教版选择性必修第一册P230 T7改编)已知函数f(x)=x3－12x+8在区间
[－3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M－m= .
32
【解析】 令f′(x)=3x2－12=0,解得x=±2.
计算f(－3)=17,f(－2)=24,
f(2)=－8,f(3)=－1,
所以M=24,m=－8,
故M－m=32.
关键能力
课堂突破
考点一 利用导数解决函数的极值问题
角度1 由图象判断函数的极值
[例1] 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1－x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论一定成立的是( )
[A] 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
[B] 函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
[C] 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
[D] 函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
D
【解析】 由题图可知,当x<－2时,f′(x)>0;
当 －2当1当x>2时,f′(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x=－2处取得极大值,
在x=2处取得极小值.故选D.
由导函数的图象判断函数极值情况的方法
由函数y=f(x)的导函数的图象判断其极值情况,要抓住两点:
(1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点.
(2)由导函数y=f′(x)的图象可以看出y=f′(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.
两者结合可得极值点.
解题策略
角度2 求函数的极值(点)
[例2] 已知函数f(x)=ln x－ax(a∈R).
令f′(x)=0,得x=2,
于是当x变化时,f′(x)在各区间上的正负以及f(x)的单调性如表所示.
x (0,2) 2 (2,+∞)
f′(x) + 0 －
f(x) 单调递增 ln 2－1 单调递减
故f(x)在定义域上的极大值为f(2)=ln 2－1,无极小值.
[例2] 已知函数f(x)=ln x－ax(a∈R).
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
求可导函数y=f(x)的极值的一般步骤
(1)先求函数y=f(x)的定义域,再求其导数f′(x).
(2)求方程f′(x)=0在f(x)定义域内的根.
(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
解题策略
角度3 已知极值(点)求参数
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx－a2－7a在x=1处取得极大值10,则a+b的值为( )
[A] －1或3 [B] 1或－3
[C] 3 [D] －1
C
【解析】 (1)因为f(x)=x3+ax2+bx－a2－7a,
所以f′(x)=3x2+2ax+b.
因为函数f(x)在x=1处取得极大值10,
所以f′(1)=3+2a+b=0,①
f(1)=1+a+b－a2－7a=10,②
联立①②,解得a=－2,b=1或a=－6,b=9.
[A] bc>0 [B] ab>0
[C] b2+8ac>0 [D] ac<0
BCD
1.已知函数极值点或极值求参数的两个关键点
(1)求参:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列出方程组,解方程组求出参数的取值.
(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以对参数的取值必须验证它的合理性.
解题策略
2.已知极值点的个数求参数范围的策略
函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值点,等价于函数y=f′(x)在(a,b)内有变号零点,也等价于方程 f′(x)=0在(a,b)内有实数根.因此,由函数y=f(x) 在(a,b)内极值点的个数求参数的取值范围时,常将问题转化为函数y=f′(x)的图象与x轴在(a,b)内交点的个数问题;也可先将方程f′(x)=0变形,转化为一条直线与一条曲线在(a,b)内交点个数的问题.
解题策略
[针对训练]
C
1.(角度1)(2025·江苏连云港模拟)函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则( )
(－∞,2]
当x<0时,01,2x<0,
则ex－e－x<0,则g′(x)=ex－e－x+2x<0,
当x>0时,ex>1,00,
则ex－e－x>0,则g′(x)=ex－e－x+2x>0,
则g(x)在(－∞,0)上单调递减,
在(0,+∞)上单调递增,
即f′(x)在(－∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,在x=0处取得最小值.
若f′(x)=ex+e－x+x2－a无变号零点,
则f′(0)=e0+e－0+02－a≥0,解得a≤2.
(1)求实数a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
当x变化时,f′(x)在各区间上的正负以及f(x)的单调性如下表:
考点二 利用导数解决函数的最值问题
(1)讨论f(x)的单调性;
②若a>0,则当x>a时,f′(x)<0,
当00,
所以f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减.
综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减.
(1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.
(2)求含有参数的函数的最值,应先求出函数的定义域和导函数,然后通过对参数进行分类讨论,判断导函数的正负性,从而确定函数的单调性,进而得到函数f(x)的最值.
解题策略
[针对训练] 设函数f(x)=xsin x+cos x+x2+1.
(1)求f(x)的单调区间;
【解】 (1)因为f(x)=xsin x+cos x+x2+1的定义域为R,
所以f′(x)=sin x+xcos x－sin x+2x=x(2+cos x),
因为－1≤cos x≤1,所以1≤2+cos x≤3,
所以当x<0时,f′(x)<0,当x>0时,f′(x)>0,
所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(－∞,0).
[针对训练] 设函数f(x)=xsin x+cos x+x2+1.
考点三 导数在实际问题中的应用
[例5] (2025·江苏南通模拟)某种型号轮船每小时的运输成本Q(单位:元)由可变部分和固定部分组成.其中,可变部分成本与航行速度的立方成正比,且当速度为10 km/h时,其可变部分成本为每小时8元;固定部分成本为每小时
128元.设该轮船的航行速度为x km/h.
(1)试将该轮船每小时的运输成本Q表示为x的函数;
(2)当该轮船的航行速度为多少时,其每千米的运输成本y(单位:元)最低
令f′(x)=0,解得x=20.
由f′(x)>0,解得x>20,
故f(x)在区间(20,+∞)上单调递增;
由f′(x)<0,解得0故f(x)在区间(0,20)上单调递减.
所以当x=20时,f(x)取得最小值f(20)=9.6.
故当该轮船的航行速度为20 km/h时,其每千米的运输成本y最低,且为9.6元.
解题策略
利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)设自变量、因变量,建立函数关系式y=f(x),并确定其定义域.
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
(4)回归实际问题作答.
[针对训练] 某制药公司生产某种胶囊,其中胶囊中间部分为圆柱,且圆柱高为l,左右两端均为半球形,其半径为r,若其表面积为S,则胶囊的体积V取最大值
时r= .
课时作业
(分值:100分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
利用导数解决函数的极值问题 1,3,6,8,11,12,16
利用导数解决函数的最值问题 2,4,7,9,10,15
导数在实际问题中的应用 5,13,14
基础巩固练
1.(2025·重庆模拟)已知函数f(x)=－xex,那么f(x)的极大值是( )
A
【解析】 因为函数f(x)=－xex,
所以f′(x)=－(x+1)ex.
令f′(x)=0,得x=－1,
当x<－1时,f′(x)>0;
当x>－1时,f′(x)<0,
所以f(x)在(－∞,－1)上单调递增,
在(－1,+∞)上单调递减,
A
[A] －2 [B] 3
[C] －2或3 [D] －3或2
B
当a=3时,f′(x)=x2+8x－9=(x+9)(x－1),
当x>1或x<－9时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
当－9当a=－2时,f′(x)=x2－2x+1=(x－1)2≥0,函数f(x)在R上单调递增,没有极值点.故选B.
4.(2025·湖南益阳模拟)已知f(x)=2x3－6x2+a(a为常数)在[－2,2]上有最大值3,则此函数f(x)在[－2,2]上的最小值是( )
[A] －37 [B] －29 [C] －5 [D] －8
A
【解析】 由题意可知,f′(x)=6x2－12x=6x(x－2),x∈[－2,2],
令f′(x)>0,解得－2令f′(x)<0,解得0可知f(x)在(－2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,
则函数的最大值为f(0)=a=3,
此时f(x)=2x3－6x2+3,
且f(2)=－5,f(－2)=－37,
可知当x=－2时,函数f(x)取得最小值为－37.故选A.
5.某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10 km,垂足为B,海岸线上距离B处100 km有一原油厂C,现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍,要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低,则中转站M到B处的距离应为( )
B
6.如图,已知直线y=kx+m与函数y=f(x),x∈(0,+∞)的图象相切于两点,则函数y=f(x)－kx有( )
[A] 2个极大值点,1个极小值点
[B] 3个极大值点,2个极小值点
[C] 2个极大值点,无极小值点
[D] 3个极大值点,无极小值点
B
【解析】 设F(x)=f(x)－kx(x>0),F′(x)=f′(x)－k,
作出与直线y=kx+m平行的函数f(x)的所有切线,各切线与函数f(x)的切点的横坐标从左到右依次为a,b,c,d,e,
f(x)在a,b,c,d,e处的导数都等于k,
在(0,a),(b,c),(d,e)上,f′(x)>k,
F′(x)>0,F(x)单调递增,
在(a,b),(c,d),(e,+∞)上,f′(x)因此函数F(x)=f(x)－kx有三个极大值点,两个极小值点.故选B.
(1)设a=1,b=－2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程;
(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围.
①若b≤0,令f′(x)>0,得x∈(0,1),令f′(x)<0,得x∈(1,+∞),
则f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
可得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;
②若00,得x∈(b,1),
令f′(x)<0,得x∈(0,b)∪(1,+∞),
则f(x)在(b,1)上单调递增,在(0,b),(1,+∞)上单调递减,
可得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;
④若b>1,令f′(x)>0,得x∈(1,b),令f′(x)<0,得x∈(0,1)∪(b,+∞),则f(x)在(1,b)上单调递增,在(0,1),(b,+∞)上单调递减,可得x=1是f(x)的极小值点,满足题意.
综上,x=1是f(x)的极小值点时,b的取值范围为(1,+∞).
综合运用练
9.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=3x,且f(m)=g(n),则n－m的最小值为( )
D
【解析】 由f(m)=g(n),得em+m=3n,所以3n－3m=em－2m;
令h(m)=em－2m(m∈R),则h′(m)=em－2,
令em－2=0,解得m=ln 2.
当m∈(－∞,ln 2)时,h′(m)<0,即h(m)在(－∞,ln 2)上单调递减;
当m∈(ln 2,+∞)时,h′(m)>0,即h(m)在(ln 2,+∞)上单调递增;
即h(m)min=h(ln 2)=2－2ln 2,
B
[A] (－∞,0] [B] [1,+∞)
[C] [3,+∞) [D] (0,+∞)
【解析】 当x≥0时,f(x)=2x3－3x2,f′(x)=6x2－6x=6x(x－1),
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)min=f(1)=－1.
因为y=f(x)的最小值为－1,所以当x<0时,f(x)min≥－1,
当x<0时,f(x)=(x－m)2－2.①若m≥0,f(x)在(－∞,0)上单调递减,
f(x)>f(0)=m2－2,m2－2≥－1,得m≥1;②若m<0,f(x)在(－∞,m)上单调递减,
在(m,0)上单调递增,f(x)min=f(m)=－2,舍去.
综上,实数m的取值范围是[1,+∞).故选B.
11.已知函数f(x)=2ex－ax2+2存在两个极值点x1,x2(x1[A] 0[B] 0[C] 若x2=2x1,则a=2ln 2
[D] ln x1+x2>0
D
由g′(x)<0得 x∈(－∞,0)∪(0,1),由g′(x)>0得x∈(1,+∞),
因此函数g(x)在(－∞,0),(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
且当x<0时,g(x)<0,当x>0时,g(x)>0,g(x)的大致图象如图所示.
A
13.(5分) 如图,四边形ABCD和EFGH是两个相同的矩形,面积均为300,图中阴影部分也是四个相同的矩形,现将阴影部分分别沿MN,NP,PQ,QM折起,得到一个无盖长方体,则该长方体体积的最大值为 .
1 000
14.(5分)如图,两条足够长且互相垂直的轨道l1,l2相交于点O,一根长度为8的直杆AB的两端点A,B分别在l1,l2上滑动(A,B两点不与O点重合,轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计),直杆上的点P满足OP⊥AB,则△OAP面积的取值范围是 .
应用创新练
15.(15分)已知a∈R,函数f(x)=ex－ax,g(x)=ax－ln x.
(1)当a=e时,若斜率为0的直线l是g(x)的一条切线,求切点的坐标;
15.(15分)已知a∈R,函数f(x)=ex－ax,g(x)=ax－ln x.
(2)若f(x)与g(x)有相同的最小值,求实数a.
【解】 (2)f′(x)=ex－a,当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在R上是增函数,无最小值,
所以a>0,
由f′(x)=0得x=ln a,
xx>ln a时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)有唯一的极小值也是最小值f(ln a)=a－aln a,
当00,H(x)单调递增,
当x>1时,H′(x)<0,H(x)单调递减,
所以H(x)max=H(1)=－1<0,
所以H(x)<0,即h′(x)<0,h(x)是减函数,
又h(1)=0,因此x=1是h(x)的唯一零点,
所以由a－aln a－ln a－1=0得a=1.
AD
应用创新练