第1节 两个计数原理、排列与组合
[课程标准要求]
1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理,理解两个计数原理的区别与联系,能运用两个计数原理分析并解决一些简单的实际问题.
2.理解排列、组合的概念,掌握排列数公式和组合数公式,能利用排列与组合的知识解决简单的实际问题.
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理
计数原理 完成一件事的策略 完成这件事 共有的方法
分类加法 计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法 N=m+n种不同的方法
分步乘法 计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法 N=m×n种不同的方法
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别:分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
2.排列、组合的定义
排列的 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的 定义 作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
元素之间与顺序有关的为排列,与顺序无关的为组合.
3.排列数、组合数的定义、公式、性质
项目 排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n,m,n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n,m,n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式 =n(n－1)(n－2)…(n－m+1)= ===
性质 =n!,0!=1 =1,=,=+
1.排列数、组合数常用公式
(1)=(n－m+1).
(2)=n.
(3)(n+1)!－n!=n·n!.
(4)k=n.
(5)++…++=.
2.解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排.
(2)合理分类与准确分步.
(3)排列、组合混合问题要先选后排.
(4)相邻问题捆绑处理.
(5)不相邻问题插空处理.
(6)定序问题倍缩法处理.
(7)分排问题直排处理.
(8)“小集团”排列问题先整体后局部.
(9)构造模型,将相似、相通问题模型化.
(10)正难则反,等价转化.
1.(人教B版选择性必修第二册P12例5改编)用1,2,3,4,5可以排成数字不重复的三位数的个数为( )
[A] 53 [B] 35 [C] [D]
2.(人教A版选择性必修第三册P11练习T3改编)五一小长假前夕,甲、乙、丙三人从A,B,C,D四个旅游景点中任选一个前去游玩,其中甲到过A景点,所以甲不选A景点,则不同的选法有( )
[A] 64种 [B] 48种
[C] 36种 [D] 24种
3.(2025·山东青岛模拟)甲、乙、丙等5人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同排法共有( )
[A] 20种 [B] 16种
[C] 12种 [D] 8种
4.现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人.若甲、乙、丙三人中,一人得3本,另外两人每人得2本,则不同的分配方法有 种.
5.(人教B版选择性必修第二册P39复习题B组T5改编)已知=,则的值为 .
考点一 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[例1] (1)(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
[A] 120种 [B] 60种
[C] 30种 [D] 40种
(2)(2025·福建福州模拟)某快件从甲送到乙需要5个转运环节,其中第1,2两个环节各有a,b两种方式,第3,4两个环节各有b,c两种方式,第5个环节有d,e两种方式,则快件从甲送到乙,第一个环节使用a方式的送达方式有 种;从甲到乙恰好用到4种方式的送达方式有 种.
应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的注意事项
(1)切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行.
(2)分类时标准要明确,除了不能交叉重复外,还不能有遗漏.
(3)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成.
(4)混合问题一般是先分类再分步.
[针对训练] (1)(2025·江苏宿迁模拟)如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E五个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为( )
[A] 48 [B] 64 [C] 72 [D] 84
(2)已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对 x∈A,y∈B,x考点二 排列问题
[例2] (2025·北京模拟)某工厂生产一种产品需经过一、二、三、四共4道工序,现要从A,B,C,D,E,F这6名员工中选出4人,安排在4道工序上工作(每道工序安排一人),如果员工A不能安排在第四道工序,则不同的安排方法共有( )
[A] 360种 [B] 300种
[C] 180种 [D] 120种
解有限制条件的排列问题的关键
分析问题时有位置分析法和元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法,即正难则反.
[针对训练] (1)(2025·湖北武汉模拟)从数字0,1,2,3,4中选四个组成没有重复数字且比2 024大的四位数有( )
[A] 52个 [B] 64个
[C] 66个 [D] 70个
(2)(2025·江苏南通模拟)某地要举办国际旅游节,在旅游节期间,需从4名志愿者中选3名安排到甲、乙、丙三个不同的工作岗位,每个岗位1人,其中志愿者A不能安排在甲岗位,则不同的安排方法种数为 .
考点三 组合问题
[例3] (2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有 种(用数字作答).
组合问题的两种题型及解法
题型 解法
“含有”或“不含有”某些元素的组合 “含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取
“至少”或“至多”含有几个元素的组合 解这类题型必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理
[针对训练] (多选题)现有3名男生、4名女生,若从中选取3名学生,则下列说法正确的是( )
[A] 选取的3名学生都是女生的不同选法共有4种
[B] 选取的3名学生恰有1名女生的不同选法共有24种
[C] 选取的3名学生至少有1名女生的不同选法共有34种
[D] 选取的3名学生至多有1名男生的不同选法共有18种
考点四 排列与组合的综合问题
角度1 相邻、相间问题
[例4] (2025·河南安阳模拟)某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻,这样的节目单排法有( )
[A] 36种 [B] 40种
[C] 32种 [D] 42种
相邻、相间问题的解题策略
(1)要求相邻时,把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列.
(2)对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中.
角度2 定序问题
[例5] (2025·河北唐山模拟)有4名男生、3名女生,其中3名女生高矮各不相同,将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列(不一定相邻),不同的排法共有 种.
定序问题的求解策略
对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列.
角度3 分组分配问题
[例6] (2025·天津模拟)为丰富同学们的劳动体验,增强劳动技能,认识到劳动最光荣、劳动最伟大,学校在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目.某宿舍8名同学积极参加,若每名同学必须参加且只能参加1个项目,且每个项目至多三人参加,则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为( )
[A] 2 730 [B] 10 080
[C] 20 160 [D] 40 320
分组、分配问题的求解策略
(1)对不同元素的分配问题.
①对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以(n为均分的组数),避免重复计数;
②对于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!,分组过程中有几个这样的均匀分组,就要除以几个这样的全排列数;
③对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数.
(2)对于相同元素的“分配”问题,常用方法是采用“隔板法”.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·安徽马鞍山模拟)六一儿童节,某小学举办欢乐童年联欢会,原定的7个节目已排成节目单,开演前又增加了3个新节目,如果将这3个新节目插入原节目单中,那么不同的插法有( )
[A] 180种 [B] 336种
[C] 720种 [D] 1 440种
2.(角度2)(多选题)(2025·山东威海模拟)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某学校计划在校本课程中开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程,每天开设一门,连续开设6天,则( )
[A] 课程“礼”不排在第一天和最后一天的不同排法共有480种
[B] 课程“射”必须排在课程“数”前面的不同排法共有360种
[C] 课程“乐”“射”相邻的不同排法共有120种
[D] 课程“御”“书”“数”互不相邻的不同排法共有144种
3.(角度3)(2025·山西大同模拟)五一小长假期间,某旅游公司为助力当地旅游事业的发展,计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往景区A、景区B、景区C 3个景区承担义务讲解任务,要求每个景区都要有银牌导游前往,则不同的分配方法种数有( )
[A] 360 [B] 640
[C] 1 350 [D] 1 440
(分值:95分)
选题明细表
知识点、方法 题号
两个计数原理 1,2,6
排列 9,11
组合 4,15
排列与组合的综合应用 3,5,7,8,10,12,13,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.由0,1,2,3,4,5,6这7个数字,可以组成无重复数字的四位数的个数为( )
[A] 360 [B] 480
[C] 600 [D] 720
2.(2025·广东肇庆模拟)求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积,例如12=31×22,12的正整数因数只需分别从{30,31},{20,21,22}中各选一个元素相乘即可,则500的正整数因数的个数为( )
[A] 12 [B] 15 [C] 16 [D] 18
3.(2025·四川南充模拟)某大学开学时选择选修课程,甲、乙、丙、丁、戊5名同学准备在音乐鉴赏、影视鉴赏、相声艺术鉴赏、戏曲鉴赏四门课程中每人选择一门课程,每门选修课程至少有一人选择,甲、乙都不选音乐鉴赏,但能选择其他三门选修课程,丙、丁、戊可选择四门选修课程的任何一门课程,则不同的选择方法有( )
[A] 324种 [B] 234种 [C] 216种 [D] 126种
4.(2025·山东滨州模拟)已知≈1.414 21,小明在设置银行卡的数字密码时,打算将的前6位数字1,4,1,4,2,1进行某种排列得到密码.如果排列时要求三个1不相邻,两个4也不相邻,那么小明可以设置的不同的密码个数为( )
[A] 6 [B] 7 [C] 10 [D] 12
5.(多选题)(2025·江苏南通模拟)某机构组织举办经验交流活动,共邀请了8名专家,以A,B,C,D,E,F,G,H区分,现安排专家发言顺序,则( )
[A] F专家和C专家发言中间必须间隔1个人,共有种排法
[B] E专家和G专家发言不相邻,共有种排法
[C] A,B,C 3名专家的发言必须相邻,共有720种排法
[D] D专家不第一个发言,H专家不最后一个发言,共有+种排法
6.(2025·湖北武汉模拟)给图中这五个区域染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有四种颜色可供选择,则不同的染色方案共有( )
[A] 24种 [B] 48种
[C] 96种 [D] 144种
7.(5分)(2025·湖南长沙模拟)若m,n∈N*,m≥3,n≥m+2,则=++
.(请用一个排列数来表示)
8.(12分)某市有6所院校,每校安排一男一女两名同学共12人作为马拉松比赛志愿者,主办方安排这12名同学中的4名与比赛的冠亚季军合影.根据下列条件解答问题:(用数字
表示)
(1)4人均来自不同学校有多少种安排;
(2)4人中有男有女有多少种安排;
(3)若4人已经选出请分别解答下列两个问题:
①4名同学不相邻;
②冠军在中间,亚军季军不在冠军同侧.
9.(2025·北京模拟)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛,决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说:“你不是最差的.”对乙说:“很遗憾,你和甲都没有得到冠军.”对丙说:“你不是第2名.”从这三个回答分析,5名同学可能的名次排列情况种数为( )
[A] 44 [B] 46 [C] 52 [D] 54
10.(2025·山东菏泽模拟)将5名教师和6名学生安排到4个地区开展调研活动,出于安全考虑,若每个地区至少安排1名教师,至多安排2名学生,则不同的安排方式共有( )
[A] 172 800种 [B] 256 800种
[C] 345 600种 [D] 650 600种
11.(多选题)身高各不相同的六名同学A,B,C,D,E,F站成一排照相,则下列说法正确的是( )
[A] B与C同学不相邻,共有·种站法
[B] B,C,D,E四名同学从左到右按照由高到矮的顺序站,共有30种站法
[C] E不在排头,F不在排尾,共有504种站法
[D] A,C,D三名同学必须站在一起,且A只能在C与D的中间,共有144种站法
12.(多选题)(2025·广东清远模拟)现有数字0,1,1,1,2,3,4,5,下列说法正确的是( )
[A] 可以组成600个没有重复数字的六位数
[B] 可以组成288个没有重复数字的六位偶数
[C] 可以组成3 240个六位数
[D] 可以组成2 160个相邻两个数字不相同的八位数
13.(5分)(2025·山西太原模拟)某运动队要从6名运动员中选4名参加4×100 m接力赛训练.现已选定1人跑第1棒或第4棒,在剩下的5人中有2人只能跑第2,3棒,还有1人不能跑第4棒,则此训练的不同方法种数为 .
14.(15分)甲、乙、丙、丁、戊五名同学.
(1)去三个城市游览,每人只能去一个城市,可以有城市没人去,共有多少种不同游览方法
(2)排成一排,甲不在首位,乙不在末位,共有多少种不同排列方法
(3)分配到三个城市参加活动,每个城市至少去一人,每人只能去一个城市,共有多少种不同分配方法
15.(5分)(2025·安徽合肥模拟)从一列数a1,a2,a3,…,a3m+2(m≥3,m∈Z)中抽取ai,aj
(1每组中数的个数均大于零且是3的倍数,则ai,aj有 种不同的取法.(答案用m表示)
第1节 两个计数原理、排列与组合（解析版）
[课程标准要求]
1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理,理解两个计数原理的区别与联系,能运用两个计数原理分析并解决一些简单的实际问题.
2.理解排列、组合的概念,掌握排列数公式和组合数公式,能利用排列与组合的知识解决简单的实际问题.
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理
计数原理 完成一件事的策略 完成这件事 共有的方法
分类加法 计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法 N=m+n种不同的方法
分步乘法 计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法 N=m×n种不同的方法
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别:分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
2.排列、组合的定义
排列的 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的 定义 作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
元素之间与顺序有关的为排列,与顺序无关的为组合.
3.排列数、组合数的定义、公式、性质
项目 排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n,m,n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n,m,n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式 =n(n－1)(n－2)…(n－m+1)= ===
性质 =n!,0!=1 =1,=,=+
1.排列数、组合数常用公式
(1)=(n－m+1).
(2)=n.
(3)(n+1)!－n!=n·n!.
(4)k=n.
(5)++…++=.
2.解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排.
(2)合理分类与准确分步.
(3)排列、组合混合问题要先选后排.
(4)相邻问题捆绑处理.
(5)不相邻问题插空处理.
(6)定序问题倍缩法处理.
(7)分排问题直排处理.
(8)“小集团”排列问题先整体后局部.
(9)构造模型,将相似、相通问题模型化.
(10)正难则反,等价转化.
1.(人教B版选择性必修第二册P12例5改编)用1,2,3,4,5可以排成数字不重复的三位数的个数为( )
[A] 53 [B] 35 [C] [D]
【答案】 D
【解析】 用1,2,3,4,5可以排成数字不重复的三位数的个数为.故选D.
2.(人教A版选择性必修第三册P11练习T3改编)五一小长假前夕,甲、乙、丙三人从A,B,C,D四个旅游景点中任选一个前去游玩,其中甲到过A景点,所以甲不选A景点,则不同的选法有( )
[A] 64种 [B] 48种
[C] 36种 [D] 24种
【答案】 B
【解析】 因为甲不选A景点,应该分步完成:第一步,先考虑甲在B,C,D三个景点中任选一个,有3种选法;第二步,再考虑乙和丙,从A,B,C,D中分别任选一个景点,有4×4=16(种)选法.由分步乘法计数原理,可得不同选法有3×16=48(种).故选B.
3.(2025·山东青岛模拟)甲、乙、丙等5人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同排法共有( )
[A] 20种 [B] 16种
[C] 12种 [D] 8种
【答案】 B
【解析】 由题意知甲一定在乙、丙之间,先排列乙、丙,排法有种,再从除甲以外的两人中选一人排在乙、丙之间,选法为,再对甲与选中的人进行排列,排法为,再排最后一人,排法为,故有 ···=16种.故选B.
4.现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人.若甲、乙、丙三人中,一人得3本,另外两人每人得2本,则不同的分配方法有 种.
【答案】 630
【解析】 首先将7本书分成3本、2本、2本三组,有·=105种,
再将三组分给甲、乙、丙三人有=6种,所以共有105×6=630(种)不同的分配方法.
5.(人教B版选择性必修第二册P39复习题B组T5改编)已知=,则的值为 .
【答案】 17
【解析】 因为=,
所以n+1=3n－4或n+1+3n－4=25,
解得n=2.5或n=7,n为整数,故n=7,
所以==24－7=17.
考点一 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
[例1] (1)(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
[A] 120种 [B] 60种
[C] 30种 [D] 40种
(2)(2025·福建福州模拟)某快件从甲送到乙需要5个转运环节,其中第1,2两个环节各有a,b两种方式,第3,4两个环节各有b,c两种方式,第5个环节有d,e两种方式,则快件从甲送到乙,第一个环节使用a方式的送达方式有 种;从甲到乙恰好用到4种方式的送达方式有 种.
【答案】 (1)B (2)16 16
【解析】 (1)不妨记5名志愿者为a,b,c,d,e,假设a连续参加了两天公益活动,再从剩余的4人中抽取2人各参加星期六与星期日的公益活动,共有=12种方法,同理,b,c,d,e连续参加了两天公益活动,也各有12种方法,所以恰有1人连续参加了两天公益活动的安排方式有5×12=60(种).故选B.
(2)由题意可得,第一个环节使用a方式的送达方式有1×2×2×2×2=16(种);快件从甲送到乙有4种送达方式,且第5个环节从d,e两种方式中选一种,1,2,3,4环节必须包含a,b,c三种不同的方式,若1,2环节方式相同,则只能都选a,则3,4环节一个选b,一个选c,则有2×1×2=4(种),若1,2环节方式不相同,则已经包含a,b两种方式,则3,4环节一个选b,一个选c,或者都选c,则有2×2×2+2×1×2=8+4=12(种),快件从甲送到乙有4种方式的送达方式共有4+12=16(种).
应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的注意事项
(1)切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行.
(2)分类时标准要明确,除了不能交叉重复外,还不能有遗漏.
(3)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成.
(4)混合问题一般是先分类再分步.
[针对训练] (1)(2025·江苏宿迁模拟)如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E五个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为( )
[A] 48 [B] 64 [C] 72 [D] 84
(2)已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对 x∈A,y∈B,x【答案】 (1)C (2)17
【解析】 (1)根据题意分5步进行涂色:第一步,点E的涂色有4种;第二步,点A的颜色与E不同,其涂色有3种;第三步,点B的颜色与A,E都不同,其涂色有2种;第四步,对点C涂色,当A,C同色时,点C有1种选择;当A,C不同色时,点C有1种选择;第五步,对点D涂色,当A,C同色时,点D有2种选择;当A,C不同色时,点D有1种选择;根据两个计数原理可得,不同的涂色方法共有4×3×2×(1×2+1×1)=72(种).故选C.
(2)A={1}时,B有(23－1) 种情况;
A={2}时,B有(22－1) 种情况;
A={3}时,B有1种情况;
A={1,2}时,B有(22－1) 种情况;
A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况,
故满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+3=17(个).
考点二 排列问题
[例2] (2025·北京模拟)某工厂生产一种产品需经过一、二、三、四共4道工序,现要从A,B,C,D,E,F这6名员工中选出4人,安排在4道工序上工作(每道工序安排一人),如果员工A不能安排在第四道工序,则不同的安排方法共有( )
[A] 360种 [B] 300种
[C] 180种 [D] 120种
【答案】 B
【解析】 法一(位置优先法) 先排第四道工序,从B,C,D,E,F这5名员工中选出1人安排有5种方法,再从剩余的包含A的5名员工中任意选出3人安排有种方法,故不同的安排方法共有5=5×60=300(种).故选B.
法二(元素优先法) 按A是否入选分两类:
若A入选,则先给A从一、二、三3道工序选1个安排,再将剩余5人安排在剩余工序,有3种方法;若A不入选,则将其余5人任意安排在4道工序有种方法,故不同的安排方法共有3+=180+120=300(种).故选B.
法三(间接法) 从6名员工中任选4人,安排在4道工序上工作的安排方法数为,其中员工A在第四道工序工作的安排方法数为,所以不同的安排方法共有=300种.
故选B.
解有限制条件的排列问题的关键
分析问题时有位置分析法和元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法,即正难则反.
[针对训练] (1)(2025·湖北武汉模拟)从数字0,1,2,3,4中选四个组成没有重复数字且比2 024大的四位数有( )
[A] 52个 [B] 64个
[C] 66个 [D] 70个
(2)(2025·江苏南通模拟)某地要举办国际旅游节,在旅游节期间,需从4名志愿者中选3名安排到甲、乙、丙三个不同的工作岗位,每个岗位1人,其中志愿者A不能安排在甲岗位,则不同的安排方法种数为 .
【答案】 (1)D (2)18
【解析】 (1)根据题意,可分为三类:当首位大于2时有2=48个;当首位为2,第二位非0时有3=18个;当首位为2,第二位为0时有2=4个.综上,总共有48+18+4=70(个).
故选D.
(2)法一(位置优先法) 先安排甲岗位,再安排乙、丙岗位,则不同的安排方法共有3=
18种.
法二(元素优先法) 若A不入选,有=6种安排方法;若A入选,则有2=12种安排方法,所以共有6+12=18(种)不同的安排方法.
考点三 组合问题
[例3] (2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有 种(用数字作答).
[溯源探本] 本例题源于人教A版选择性必修第三册P37复习参考题6 T1(2).
【答案】 64
【解析】 (1)当从8门课中选修2门,则不同的选课方案共有=16种.
(2)当从8门课中选修3门,
①若体育类选修课选修1门,则不同的选课方案共有=24种;
②若体育类选修课选修2门,则不同的选课方案共有=24种.
综上所述,不同的选课方案共有16+24+24=64(种).
组合问题的两种题型及解法
题型 解法
“含有”或“不含有”某些元素的组合 “含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取
“至少”或“至多”含有几个元素的组合 解这类题型必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理
[针对训练] (多选题)现有3名男生、4名女生,若从中选取3名学生,则下列说法正确的是( )
[A] 选取的3名学生都是女生的不同选法共有4种
[B] 选取的3名学生恰有1名女生的不同选法共有24种
[C] 选取的3名学生至少有1名女生的不同选法共有34种
[D] 选取的3名学生至多有1名男生的不同选法共有18种
【答案】 AC
【解析】 选取的3名学生都是女生的不同选法共有=4种,故A正确;
恰有1名女生的不同选法共有=12种,故B错误;
至少有1名女生的不同选法共有=34种,故C正确;
至多有1名男生的不同选法共+=22种,故D错误.故选AC.
考点四 排列与组合的综合问题
角度1 相邻、相间问题
[例4] (2025·河南安阳模拟)某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻,这样的节目单排法有( )
[A] 36种 [B] 40种
[C] 32种 [D] 42种
【答案】 A
【解析】 将相声、跳舞看成一个整体,与唱歌,杂技全排列共有·=12种情况,3个节目有4个空,除去相声旁边的那个空,还剩3个空,小品选其一,有=3种,
所以共有12×3=36(种)排法.故选A.
相邻、相间问题的解题策略
(1)要求相邻时,把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列.
(2)对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中.
角度2 定序问题
[例5] (2025·河北唐山模拟)有4名男生、3名女生,其中3名女生高矮各不相同,将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列(不一定相邻),不同的排法共有 种.
【答案】 840
【解析】 7名学生的排列共有种,其中女生的排列共有种,按照从左到右,女生从矮到高的排列只是其中的一种,故有==840种不同的排法.
定序问题的求解策略
对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列.
角度3 分组分配问题
[例6] (2025·天津模拟)为丰富同学们的劳动体验,增强劳动技能,认识到劳动最光荣、劳动最伟大,学校在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目.某宿舍8名同学积极参加,若每名同学必须参加且只能参加1个项目,且每个项目至多三人参加,则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为( )
[A] 2 730 [B] 10 080
[C] 20 160 [D] 40 320
【答案】 B
【解析】 若没有人参加“打埂作畦”,则有·=1 680种不同的方法,
若有一人参加“打埂作畦”,则有(·+·)=8 400种不同的方法,
所以这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为1 680+8 400=10 080.
故选B.
分组、分配问题的求解策略
(1)对不同元素的分配问题.
①对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以(n为均分的组数),避免重复计数;
②对于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!,分组过程中有几个这样的均匀分组,就要除以几个这样的全排列数;
③对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数.
(2)对于相同元素的“分配”问题,常用方法是采用“隔板法”.
[针对训练]
1.(角度1)(2025·安徽马鞍山模拟)六一儿童节,某小学举办欢乐童年联欢会,原定的7个节目已排成节目单,开演前又增加了3个新节目,如果将这3个新节目插入原节目单中,那么不同的插法有( )
[A] 180种 [B] 336种
[C] 720种 [D] 1 440种
【答案】 C
【解析】 ①若3个新节目在一起,则有=48种插法;②若3个新节目有两个相邻,则有=336种插法;③若3个新节目都不相邻,则有=336种插法.综上,一共有48+336+336=720(种)不同的插法.故选C.
2.(角度2)(多选题)(2025·山东威海模拟)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某学校计划在校本课程中开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程,每天开设一门,连续开设6天,则( )
[A] 课程“礼”不排在第一天和最后一天的不同排法共有480种
[B] 课程“射”必须排在课程“数”前面的不同排法共有360种
[C] 课程“乐”“射”相邻的不同排法共有120种
[D] 课程“御”“书”“数”互不相邻的不同排法共有144种
【答案】 ABD
【解析】 “礼”不排在第一天和最后一天,则排在中间4天中的1天,所以不同排法有4=480种,故A正确;顺序一定问题,不同的排法种数为=360,故B正确;相邻问题,采用捆绑法,不同的排法种数为=240,故C错误;不相邻问题,采用插空法,不同的排法种数为=144,故D正确.故选ABD.
3.(角度3)(2025·山西大同模拟)五一小长假期间,某旅游公司为助力当地旅游事业的发展,计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往景区A、景区B、景区C 3个景区承担义务讲解任务,要求每个景区都要有银牌导游前往,则不同的分配方法种数有( )
[A] 360 [B] 640
[C] 1 350 [D] 1 440
【答案】 C
【解析】 将2名金牌导游分配到3个景区,有3×3=9(种)分配方法,若每个景区都要有银牌导游,则将银牌导游分成三组,各组人数分别为1,1,3或1,2,2.
当银牌导游分成三组的人数为1,1,3时,此时共有××9=540种分配方法;当银牌导游分成三组的人数为1,2,2时,此时共有××9=810种分配方法,所以不同分配方法有540+810=1 350(种).
故选C.
(分值:95分)
选题明细表
知识点、方法 题号
两个计数原理 1,2,6
排列 9,11
组合 4,15
排列与组合的综合应用 3,5,7,8,10,12,13,14
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
1.由0,1,2,3,4,5,6这7个数字,可以组成无重复数字的四位数的个数为( )
[A] 360 [B] 480
[C] 600 [D] 720
【答案】 D
【解析】 由题意得千位上不得为0,故有6种选择,百位上减去千位上使用过的数字共有6种选择,同理十位上有5种选择,个位上有4种选择,故由分步乘法计数原理得共可以组成6×6×5×4=720(个)无重复数字的四位数.故选D.
2.(2025·广东肇庆模拟)求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积,例如12=31×22,12的正整数因数只需分别从{30,31},{20,21,22}中各选一个元素相乘即可,则500的正整数因数的个数为( )
[A] 12 [B] 15 [C] 16 [D] 18
【答案】 A
【解析】 因为500=22×53,由题意可知500的正整数因数只需分别从{20,21,22},{50,51,52,53}中各选一个元素相乘即可,所以500的正整数因数的个数为3×4=12.故选A.
3.(2025·四川南充模拟)某大学开学时选择选修课程,甲、乙、丙、丁、戊5名同学准备在音乐鉴赏、影视鉴赏、相声艺术鉴赏、戏曲鉴赏四门课程中每人选择一门课程,每门选修课程至少有一人选择,甲、乙都不选音乐鉴赏,但能选择其他三门选修课程,丙、丁、戊可选择四门选修课程的任何一门课程,则不同的选择方法有( )
[A] 324种 [B] 234种 [C] 216种 [D] 126种
【答案】 D
【解析】 根据题意,分2种情况讨论:①甲、乙选择同一门课程,有=18种选法;②甲、乙不选择同一门课程,有(+2)=108种选法,则不同选法总数为18+108=126.
故选D.
4.(2025·山东滨州模拟)已知≈1.414 21,小明在设置银行卡的数字密码时,打算将的前6位数字1,4,1,4,2,1进行某种排列得到密码.如果排列时要求三个1不相邻,两个4也不相邻,那么小明可以设置的不同的密码个数为( )
[A] 6 [B] 7 [C] 10 [D] 12
【答案】 C
【解析】 当2在两个4的左边时,两个4中间必有一个1,另外两个1可以插空,共有=
3个;
由对称性可得,当2在两个4的右边时,共有3个;
当2在两个4的中间时,形成4个空,将3个1插入其中,共有=4个.综上,共有10个.
故选C.
5.(多选题)(2025·江苏南通模拟)某机构组织举办经验交流活动,共邀请了8名专家,以A,B,C,D,E,F,G,H区分,现安排专家发言顺序,则( )
[A] F专家和C专家发言中间必须间隔1个人,共有种排法
[B] E专家和G专家发言不相邻,共有种排法
[C] A,B,C 3名专家的发言必须相邻,共有720种排法
[D] D专家不第一个发言,H专家不最后一个发言,共有+种排法
【答案】 BD
【解析】 先排剩下的6人,有种,两人之间必须间隔1个人,有6种,总共有6种,故A错误;
若E,G不相邻,剩余6人排列方法为形成7个空,则E,G填入7个空的方法为,所以共有种排法,故B正确;
先排列A,B,C 3名专家则有6种排列方法,3人形成整体与剩余5人再进行全排列,则有种排列方法,所以共有6=4 320种方法,故C错误;
分成两类情况,一是H排在第一,则此类情况下排法有种,二是H排在除第一位和最后一位之外的某一位置,有种方法,则共有+种排法,故D正确.
故选BD.
6.(2025·湖北武汉模拟)给图中这五个区域染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有四种颜色可供选择,则不同的染色方案共有( )
[A] 24种 [B] 48种
[C] 96种 [D] 144种
【答案】 C
【解析】 第一步:从4种颜色中选3种颜色对A,B,C三个区域着色有=24种方法,
第二步:对D,E着色分两类,当D与B同色有1种方法,对E着色有2种方法;
当D与B不同色时有1种方法,对E着色有2种方法,故不同的染色方案共有24×(2+2)=96(种).故选C.
7.(5分)(2025·湖南长沙模拟)若m,n∈N*,m≥3,n≥m+2,则=++
.(请用一个排列数来表示)
【答案】
【解析】 从n个元素中选取m个元素排列到m个位置上去,
对于两个指定的元素a,b进行分类,a,b都被选出来,有种排法,
a,b中有一个被选出来,有种排法,a,b都没有被选出来,有种排法,
所以=++.
8.(12分)某市有6所院校,每校安排一男一女两名同学共12人作为马拉松比赛志愿者,主办方安排这12名同学中的4名与比赛的冠亚季军合影.根据下列条件解答问题:(用数字
表示)
(1)4人均来自不同学校有多少种安排;
(2)4人中有男有女有多少种安排;
(3)若4人已经选出请分别解答下列两个问题:
①4名同学不相邻;
②冠军在中间,亚军季军不在冠军同侧.
【解】 (1)根据题意,在6所学校中选出4所,再在每所学校的2人中再选出1人即可,有=240种安排方法.
(2)根据题意,在12人中选出4人,有种选法,其中只有男生的选法有种,只有女生的选法有种,则4人中有男有女有－2=495－30=465(种).
(3)①根据题意,先排好冠亚季军,再将4名学生安排在空位中,则有=144种安排方法.
②根据题意,6人任意排列,排除其中亚军季军在冠军同侧情况即可,有－2=432种排法.
9.(2025·北京模拟)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛,决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说:“你不是最差的.”对乙说:“很遗憾,你和甲都没有得到冠军.”对丙说:“你不是第2名.”从这三个回答分析,5名同学可能的名次排列情况种数为( )
[A] 44 [B] 46 [C] 52 [D] 54
【答案】 B
【解析】 由题意得,甲、乙都不是第1名,且甲不是最后一名.甲的限制最多,故先排甲,
有可能是第2、第3、第4名3种情况;再排乙,也有3种情况;余下3人有种排法,
故共有3×3×=3×3×3×2×1=54种不同的情况;
假如丙是第2名,则甲有可能是第3、第4名2种情况,再排乙,也有2种情况;余下2人有种排法,故共有2×2×=2×2×2×1=8种不同的情况,由间接法得,满足题意的5名同学可能的名次排列情况种数为54－8=46.故选B.
10.(2025·山东菏泽模拟)将5名教师和6名学生安排到4个地区开展调研活动,出于安全考虑,若每个地区至少安排1名教师,至多安排2名学生,则不同的安排方式共有( )
[A] 172 800种 [B] 256 800种
[C] 345 600种 [D] 650 600种
【答案】 C
【解析】 5名教师分成4组,一定有2人在一个组,共有种方法;6名学生可以分成3组或4组,共有+种方法;所以不同的安排方式有(+)=345 600种.故选C.
11.(多选题)身高各不相同的六名同学A,B,C,D,E,F站成一排照相,则下列说法正确的是( )
[A] B与C同学不相邻,共有·种站法
[B] B,C,D,E四名同学从左到右按照由高到矮的顺序站,共有30种站法
[C] E不在排头,F不在排尾,共有504种站法
[D] A,C,D三名同学必须站在一起,且A只能在C与D的中间,共有144种站法
【答案】 ABC
【解析】 对于A,先排A,D,E,F 4个人有,然后将B,C插空有,故共有·种站法,A正确;
对于B,6个人全排列有种方法,B,C,D,E全排列有种方法,则B,C,D,E从左到右由高到矮的排列有=30种方法,B正确;
对于C,6个人全排列有种方法,当E在排头时,有种方法,当F在排尾时,有种方法,当E在排头且F在排尾时,有种方法,则E不在排头,F不在排尾的情况共有－2=504种,C正确;
对于D,A,C,D必须排在一起,且A在C,D中间的排法有2种,将这3人捆绑在一起,与其余3人全排列,有种方法,则共有2=48种方法,D错误.故选ABC.
12.(多选题)(2025·广东清远模拟)现有数字0,1,1,1,2,3,4,5,下列说法正确的是( )
[A] 可以组成600个没有重复数字的六位数
[B] 可以组成288个没有重复数字的六位偶数
[C] 可以组成3 240个六位数
[D] 可以组成2 160个相邻两个数字不相同的八位数
【答案】 ACD
【解析】 对于A,可选取的数字为0,1,2,3,4,5,且首位不能为0,先排首位有=5种不同排法,再排其他5位,有=120种排法,由分步乘法计数原理可知,可以组成=600个没有重复数字的六位数,故A正确;
对于B,由题意,末位只能为0,2,4,当末位为0时,有=120种排法;
当末位为2时,有=96种排法;
当末位为4时,有=96种排法,
由分类加法计数原理可知,可以组成312个没有重复数字的六位偶数,故B错误;
对于C,由题意,六位数中可能有1个1,2个1,3个1三种情况,
当六位数中有1个1时,由A选项知有600种排法;当六位数中有2个1时,分为有0与无0两种情况,有0时,有=1 200种排法,无0时,有=360种排法;
当六位数中有3个1时,分为有0与无0两种情况,有0时,有=600种排法,
无0时,有=480种排法,所以由分类加法计数原理可知,可以组成600+1 200+360+600+480=3 240(个)六位数,故C正确;
对于D,因为相邻两个数字不相同,即3个1不能相邻,故用插空法:先排除1外的5个数字,有=120种排法,每种排法留出6个空位,再将3个1插入6个空位,有=20种排法,由分步乘法计数原理可知,共有2 400 种排法,又因为0不能在首位,而0在首位时,有=240种排法,所以可以组成2 400－240=2 160个相邻两个数字不相同的八位数,故D正确.故选ACD.
13.(5分)(2025·山西太原模拟)某运动队要从6名运动员中选4名参加4×100 m接力赛训练.现已选定1人跑第1棒或第4棒,在剩下的5人中有2人只能跑第2,3棒,还有1人不能跑第4棒,则此训练的不同方法种数为 .
【答案】 60
【解析】 设六人中确定甲跑第1棒或第4棒,乙、丙只能跑第2,3棒,丁不能跑第4棒,当甲跑第4棒时,乙、丙均不参与,则丁及其他两人必参加,有=6种;
乙、丙都参与有,在其他3人中任选1人安排在第1棒有,则=6种;
乙、丙有一人参与且在第2,3棒任选一棒有,最后在其他3人中任选2人安排余下的两棒有,则=24种.
当甲跑第1棒时,乙、丙均不参与,则丁及其他两人必参加,有=4种;
乙、丙都参与,则丁必不能参与,有=4种;
乙、丙有一人参与且在第2,3棒任选一棒有,则第4棒在除丁外其他两人中选一人有,余下一棒在余下可参与的两人中任选一人有,则=16种.
综上,此训练的不同方法种数为6+6+24+4+4+16=60.
14.(15分)甲、乙、丙、丁、戊五名同学.
(1)去三个城市游览,每人只能去一个城市,可以有城市没人去,共有多少种不同游览方法
(2)排成一排,甲不在首位,乙不在末位,共有多少种不同排列方法
(3)分配到三个城市参加活动,每个城市至少去一人,每人只能去一个城市,共有多少种不同分配方法
【解】 (1)去三个城市游览,每人只能去一个城市,可以有城市没人去,因此每个人都有3种选择,所以不同游览方法有35=243(种).
(2)排成一排,无限制条件的排列有,
甲不在首位,乙不在末位的反面是甲在首位或乙在末位,共有2,
则甲不在首位,乙不在末位的不同排法有
－2+=78种.
(3)分配到三个城市参加活动,每个城市至少去一人,每人只能去一个城市,
则先把5人按1∶1∶3分组,有种分组方法,按2∶2∶1分组,有种分组方法,
因此不同分组方法数为+,
再把每一种分组安排到三个城市,有种方法,
所以不同分配方法种数是(+)=(10+15)×6=150.
15.(5分)(2025·安徽合肥模拟)从一列数a1,a2,a3,…,a3m+2(m≥3,m∈Z)中抽取ai,aj
(1每组中数的个数均大于零且是3的倍数,则ai,aj有 种不同的取法.(答案用m表示)
【答案】 m2－m+1
【解析】 设三组中的数的个数分别为3x,3y,3z(x,y,z∈N+),
则3x+3y+3z+2=3m+2,所以x+y+z=m,
利用隔板法可得==m2－m+1.
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第1节 两个计数原理、
排列与组合
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
1.掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理,理解两个计数原理的区别与联系,能运用两个计数原理分析并解决一些简单的实际问题.
2.理解排列、组合的概念,掌握排列数公式和组合数公式,能利用排列与组合的知识解决简单的实际问题.
[课程标准要求]
必备知识
课前回顾
计数原理 完成一件事的策略 完成这件事
共有的方法
分类加法 计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法 N= 种不同的方法
分步乘法 计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第1步有 m种不同的方法,做第2步有n种不同的 方法 N= 种不同的方法
知识梳理
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理
m+n
m×n
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别:分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
释疑
排列的 定义 从n个 元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的 定义 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
知识梳理
2.排列、组合的定义
不同
顺序
作为一组
释疑
元素之间与顺序有关的为排列,与顺序无关的为组合.
知识梳理
3.排列数、组合数的定义、公式、性质
项目 排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出m (m≤n,m,n∈N*)个元素的所有不同 从n个不同元素中取出m(m≤n,m,
n∈N*)个元素的所有不同 的个数
排列的个数
组合
重要结论
1.排列数、组合数常用公式
重要结论
2.解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排.
(2)合理分类与准确分步.
(3)排列、组合混合问题要先选后排.
(4)相邻问题捆绑处理.
(5)不相邻问题插空处理.
重要结论
(6)定序问题倍缩法处理.
(7)分排问题直排处理.
(8)“小集团”排列问题先整体后局部.
(9)构造模型,将相似、相通问题模型化.
(10)正难则反,等价转化.
对点自测
1.(人教B版选择性必修第二册P12例5改编)用1,2,3,4,5可以排成数字不重复的三位数的个数为( )
[A] 53 [B] 35
[C] [D]
D
对点自测
2.(人教A版选择性必修第三册P11练习T3改编)五一小长假前夕,甲、乙、丙三人从A,B,C,D四个旅游景点中任选一个前去游玩,其中甲到过A景点,所以甲不选A景点,则不同的选法有( )
[A] 64种 [B] 48种
[C] 36种 [D] 24种
B
对点自测
【解析】 因为甲不选A景点,应该分步完成:第一步,先考虑甲在B,C,D三个景点中任选一个,有3种选法;第二步,再考虑乙和丙,从A,B,C,D中分别任选一个景点,有4×4=16(种)选法.由分步乘法计数原理,可得不同选法有3×16=48(种).故选B.
对点自测
3.(2025·山东青岛模拟)甲、乙、丙等5人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同排法共有( )
[A] 20种 [B] 16种
[C] 12种 [D] 8种
B
对点自测
对点自测
4.现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人.若甲、乙、丙三人中,一人得
3本,另外两人每人得2本,则不同的分配方法有 种.
630
对点自测
17
关键能力
课堂突破
[例1] (1)(2023·全国甲卷)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
[A] 120种 [B] 60种
[C] 30种 [D] 40种
考点一 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
B
(2)(2025·福建福州模拟)某快件从甲送到乙需要5个转运环节,其中第1,2两个环节各有a,b两种方式,第3,4两个环节各有b,c两种方式,第5个环节有d,e两种方式,则快件从甲送到乙,第一个环节使用a方式的送达方式有 种;
从甲到乙恰好用到4种方式的送达方式有 种.
16
16
解题策略
应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的注意事项
(1)切实理解“完成一件事”的含义,以确定需要分类还是需要分步进行.
(2)分类时标准要明确,除了不能交叉重复外,还不能有遗漏.
(3)分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成.
(4)混合问题一般是先分类再分步.
[针对训练] (1)(2025·江苏宿迁模拟)如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,
D,E五个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法种数为( )
[A] 48 [B] 64
[C] 72 [D] 84
C
【解析】 (1)根据题意分5步进行涂色:第一步,点E的涂色有4种;第二步,点A的颜色与E不同,其涂色有3种;第三步,点B的颜色与A,E都不同,其涂色有2种;第四步,对点C涂色,当A,C同色时,点C有1种选择;当A,C不同色时,点C有1种选择;第五步,对点D涂色,当A,C同色时,点D有2种选择;当A,C不同色时,点D有
1种选择;根据两个计数原理可得,不同的涂色方法共有4×3×2×(1×2+
1×1)=72(种).故选C.
(2)已知集合M={1,2,3,4},集合A,B为集合M的非空子集,若对 x∈A,y∈B,x 个.
17
考点二 排列问题
[例2] (2025·北京模拟)某工厂生产一种产品需经过一、二、三、四共4道工序,现要从A,B,C,D,E,F这6名员工中选出4人,安排在4道工序上工作(每道工序安排一人),如果员工A不能安排在第四道工序,则不同的安排方法共有( )
[A] 360种 [B] 300种
[C] 180种 [D] 120种
B
解有限制条件的排列问题的关键
分析问题时有位置分析法和元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法,即正难则反.
解题策略
[针对训练] (1)(2025·湖北武汉模拟)从数字0,1,2,3,4中选四个组成没有重复数字且比2 024大的四位数有( )
[A] 52个
[B] 64个
[C] 66个
[D] 70个
D
(2)(2025·江苏南通模拟)某地要举办国际旅游节,在旅游节期间,需从4名志愿者中选3名安排到甲、乙、丙三个不同的工作岗位,每个岗位1人,其中志愿者A不能安排在甲岗位,则不同的安排方法种数为 .
18
考点三 组合问题
[例3] (2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有 种(用数字作答).
64
[溯源探本] 本例题源于人教A版选择性必修第三册P37复习参考题
6 T1(2).
解题策略
组合问题的两种题型及解法
题型 解法
“含有”或“不含有”某些元素的组合 “含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;
“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取
“至少”或“至多”含有几个元素的组合 解这类题型必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理
[针对训练] (多选题)现有3名男生、4名女生,若从中选取3名学生,则下列说法正确的是( )
[A] 选取的3名学生都是女生的不同选法共有4种
[B] 选取的3名学生恰有1名女生的不同选法共有24种
[C] 选取的3名学生至少有1名女生的不同选法共有34种
[D] 选取的3名学生至多有1名男生的不同选法共有18种
AC
考点四 排列与组合的综合问题
角度1 相邻、相间问题
[例4] (2025·河南安阳模拟)某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻,这样的节目单排法有( )
[A] 36种 [B] 40种
[C] 32种 [D] 42种
A
解题策略
相邻、相间问题的解题策略
(1)要求相邻时,把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列.
(2)对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中.
角度2 定序问题
[例5] (2025·河北唐山模拟)有4名男生、3名女生,其中3名女生高矮各不相同,将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列(不一定相邻),不同的排法共有 种.
840
解题策略
定序问题的求解策略
对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列.
角度3 分组分配问题
[例6] (2025·天津模拟)为丰富同学们的劳动体验,增强劳动技能,认识到劳动最光荣、劳动最伟大,学校在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目.某宿舍8名同学积极参加,若每名同学必须参加且只能参加1个项目,且每个项目至多三人参加,则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为( )
[A] 2 730 [B] 10 080
[C] 20 160 [D] 40 320
B
解题策略
分组、分配问题的求解策略
(1)对不同元素的分配问题.
解题策略
③对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数.
(2)对于相同元素的“分配”问题,常用方法是采用“隔板法”.
1.(角度1)(2025·安徽马鞍山模拟)六一儿童节,某小学举办欢乐童年联欢会,原定的7个节目已排成节目单,开演前又增加了3个新节目,如果将这3个新节目插入原节目单中,那么不同的插法有( )
[A] 180种 [B] 336种
[C] 720种 [D] 1 440种
C
[针对训练]
2.(角度2)(多选题)(2025·山东威海模拟)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某学校计划在校本课程中开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程,每天开设一门,连续开设6天,则( )
[A] 课程“礼”不排在第一天和最后一天的不同排法共有480种
[B] 课程“射”必须排在课程“数”前面的不同排法共有360种
[C] 课程“乐”“射”相邻的不同排法共有120种
[D] 课程“御”“书”“数”互不相邻的不同排法共有144种
ABD
3.(角度3)(2025·山西大同模拟)五一小长假期间,某旅游公司为助力当地旅游事业的发展,计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往景区A、景区B、景区C 3个景区承担义务讲解任务,要求每个景区都要有银牌导游前往,则不同的分配方法种数有( )
[A] 360 [B] 640
[C] 1 350 [D] 1 440
C
课时作业
(分值:95分)
选题明细表
单选每题5分,多选每题6分,填空每题5分.
知识点、方法 题号
两个计数原理 1,2,6
排列 9,11
组合 4,15
排列与组合的综合应用 3,5,7,8,10,12,13,14
1.由0,1,2,3,4,5,6这7个数字,可以组成无重复数字的四位数的个数为( )
[A] 360 [B] 480
[C] 600 [D] 720
基础巩固练
D
基础巩固练
【解析】 由题意得千位上不得为0,故有6种选择,百位上减去千位上使用过的数字共有6种选择,同理十位上有5种选择,个位上有4种选择,故由分步乘法计数原理得共可以组成6×6×5×4=720(个)无重复数字的四位数.故选D.
2.(2025·广东肇庆模拟)求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积,例如12=31×22,12的正整数因数只需分别从{30,31},{20,21,22}中各选一个元素相乘即可,则500的正整数因数的个数为( )
[A] 12 [B] 15
[C] 16 [D] 18
A
【解析】 因为500=22×53,由题意可知500的正整数因数只需分别从{20,21,22},{50,51,52,53}中各选一个元素相乘即可,所以500的正整数因数的个数为3×4=12.故选A.
3.(2025·四川南充模拟)某大学开学时选择选修课程,甲、乙、丙、丁、戊
5名同学准备在音乐鉴赏、影视鉴赏、相声艺术鉴赏、戏曲鉴赏四门课程中每人选择一门课程,每门选修课程至少有一人选择,甲、乙都不选音乐鉴赏,但能选择其他三门选修课程,丙、丁、戊可选择四门选修课程的任何一门课程,则不同的选择方法有( )
[A] 324种 [B] 234种
[C] 216种 [D] 126种
D
C
BD
6.(2025·湖北武汉模拟)给图中这五个区域染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有四种颜色可供选择,则不同的染色方案共有( )
[A] 24种
[B] 48种
[C] 96种
[D] 144种
C
8.(12分)某市有6所院校,每校安排一男一女两名同学共12人作为马拉松比赛志愿者,主办方安排这12名同学中的4名与比赛的冠亚季军合影.根据下列条件解答问题:(用数字表示)
(1)4人均来自不同学校有多少种安排;
(2)4人中有男有女有多少种安排;
8.(12分)某市有6所院校,每校安排一男一女两名同学共12人作为马拉松比赛志愿者,主办方安排这12名同学中的4名与比赛的冠亚季军合影.根据下列条件解答问题:(用数字表示)
(3)若4人已经选出请分别解答下列两个问题:
①4名同学不相邻;
8.(12分)某市有6所院校,每校安排一男一女两名同学共12人作为马拉松比赛志愿者,主办方安排这12名同学中的4名与比赛的冠亚季军合影.根据下列条件解答问题:(用数字表示)
(3)若4人已经选出请分别解答下列两个问题:
②冠军在中间,亚军季军不在冠军同侧.
8.(12分)某市有6所院校,每校安排一男一女两名同学共12人作为马拉松比赛志愿者,主办方安排这12名同学中的4名与比赛的冠亚季军合影.根据下列条件解答问题:(用数字表示)
综合运用练
9.(2025·北京模拟)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛,决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说:“你不是最差的.”对乙说:“很遗憾,你和甲都没有得到冠军.”对丙说:“你不是第2
名.”从这三个回答分析,5名同学可能的名次排列情况种数为( )
[A] 44 [B] 46
[C] 52 [D] 54
B
10.(2025·山东菏泽模拟)将5名教师和6名学生安排到4个地区开展调研活动,出于安全考虑,若每个地区至少安排1名教师,至多安排2名学生,则不同的安排方式共有( )
[A] 172 800种 [B] 256 800种
[C] 345 600种 [D] 650 600种
C
ABC
12.(多选题)(2025·广东清远模拟)现有数字0,1,1,1,2,3,4,5,下列说法正确的是
( )
[A] 可以组成600个没有重复数字的六位数
[B] 可以组成288个没有重复数字的六位偶数
[C] 可以组成3 240个六位数
[D] 可以组成2 160个相邻两个数字不相同的八位数
ACD
13.(5分)(2025·山西太原模拟)某运动队要从6名运动员中选4名参加4×
100 m接力赛训练.现已选定1人跑第1棒或第4棒,在剩下的5人中有2人只能跑第2,3棒,还有1人不能跑第4棒,则此训练的不同方法种数为 .
60
14.(15分)甲、乙、丙、丁、戊五名同学.
(1)去三个城市游览,每人只能去一个城市,可以有城市没人去,共有多少种不同游览方法
14.(15分)甲、乙、丙、丁、戊五名同学.
(2)排成一排,甲不在首位,乙不在末位,共有多少种不同排列方法
14.(15分)甲、乙、丙、丁、戊五名同学.
(3)分配到三个城市参加活动,每个城市至少去一人,每人只能去一个城市,共有多少种不同分配方法
应用创新练
